Toan roi rac Chuong 2 Quan he

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM -oOo BÀI GIẢNG MÔN TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG QUAN HỆ §1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU 1.1 Định nghóa: Cho tập hợp X ≠ ∅ Một quan hệ hai X tập hợp R X Nếu (x, y)  R, ta viết xRy (đọc “x có quan hệ R với y”) Nếu (x, y) ∉ R, ta viết x R y (đọc “x quan hệ R với y”) Ví dụ: Cho X = {1, 2, 3, 4} vaø R = {(1, 1), (1,3), (2, 1), (3, 1)} Ta thấy R quan hệ X 1R1, 1R3, 2R1, 3R1 R 2, R 2, R 3, 2) Quan hệ có trị tuyệt đối tập hợp số thực R quan hệ hai R tập hợp R: x, y  R, xRy  |x| = |y| 3) Quan hệ nhỏ hay tập số hữu tỉ Q quan hệ hai Q: x, y  Q, xRy  x ≤ y 4) Cho trước số nguyên dương n, ta định nghóa quan hệ hai Z sau: PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 1 x, y  Z, xRy  a – b chia heát cho n Quan hệ gọi quan hệ đồng dư modulo n Neáu xRy ta vieát: x ≡ y (mod n) Rõ ràng x y có dư số chia cho n Chẳng hạn, với n = ta coù ≡ (mod 7) ≡ 10 (mod 7)  (mod 7) 1.2 Ma trận biểu diễn quan hệ hai ngôi: Cho tập hợp hữu hạn X = {x , x , , x } Khi đó, quan hệ hai R X có n thể biểu diễn ma trận vuông cấp n, ký hiệu M(R), đó: 1 x i R x j M(R) = (r ) với r =  ij ij 0 neáu x i R x j Ví dụ: Xét X = {1, 2, 3, 4} quan hệ hai R Ví dụ Ma trận biểu diễn R laø: 1  1 M(R) =   0    0 0 0 0  0  §2 TÍNH CHẤT CỦA QUAN HỆ HAI NGÔI Cho R quan hệ hai X 2.1 Tính phản xạ: Ta nói quan hệ hai R có tính phản xạ với xX, x luôn có quan hệ R với x Như vậy: R phản xạ x  X, xRx Suy ra: R không phản xạ x  X, x R x Nhận xét: 1) Gọi Δ đường chéo X : X Δ = {(x, x) | x  X} X PGS.TS Vũ Thanh Nguyên Page 2 Khi quan hệ R X phản xạ R  Δ X 2) Nếu X hữu hạn R phản xạ ma trận biểu diễn M(R) có hệ số đường chéo 2.2 Tính đối xứng: Ta nói quan hệ hai R có tính đối xứng với x, yX, x có quan hệ R với y y có quan hệ R với x Như vậy: R đối xứng  (x, yX, xRy  yRx) Suy ra: R không đối xứng  (x, yX, xRy y R x) Nhận xét: Nếu X hữu hạn R đối xứng ma trận biểu diễn M(R) ma trận đối xứng 2.3 Tính phản xứng: Ta nói quan hệ hai R có tính phản xứng hai phần tử khác x, y  X xảy đồng thời x có quan hệ R với y y có quan hệ R với x Như vậy: R phản xứng  (x, y  X, x ≠ y vaø xRy  y R x)  (x, y  X, xRy vaø yRx  x = y) Suy ra: R không phản xứng  (x, y  X, x ≠ y xRy yRx) Nhận xét: Với X hữu hạn R phản xứng ma trận biểu diễn M(R) = (r ) ij thỏa: 1 ≤ i ≠ j ≤ n, r =  r = ji ij 2.4 Tính bắc cầu: Ta nói quan hệ hai R có tính bắc cầu phần tử x, y, z  X, x có quan hệ R với y y có quan hệ R với z x có quan hệ R với z Như vậy: R bắc cầu  (x, y, z  X, xRy yRz  xRz) Suy ra: R không bắc cầu  (x, y, z  X, xRy vaø yRz vaø x R z) PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 3 Nhận xét: Từ định nghóa ta thấy: R bắc cầu  (x, y, z  X, x ≠ y vaø y ≠ z vaø xRy vaø yRz  xRz) Ví dụ: 1) Quan hệ tập hợp X ≠ ∅ quan hệ hai X có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu 2) Quan hệ có trị tuyệt đối tập hợp số Z, R hay C có tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu tính phản đối xứng 3) Quan hệ nhỏ hay thông thường tập hợp số có tính chất phản xạ, phản đối xứng bắc cầu tính đối xứng §3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 3.1 Định nghóa: Một quan hệ R tập hợp X gọi quan hệ tương đương R thỏa tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu Ví dụ: 1) Quan hệ tập hợp X ≠ ∅ quan hệ tương đương X 2) Quan hệ nhỏ hay thông thường tập hợp số quan hệ tương đương 3) Quan hệ “tương đương logic” tập hợp dạng mệnh đề quan hệ tương đương Z 4) Quan hệ đồng dư modulo n (n nguyên dương) quan hệ tương đương 3.2 Định nghóa: Giả sử R quan hệ tương đương X xX Khi lớp tương đương chứa x, ký hiệu x hay [x], tập hợp gồm tất phần tử y X có quan hệ R với x Như vaäy: x = {y  X | yRx} = {y  X | xRy} 3.3 Định lý: Giả sử R quan hệ tương đương X Khi đó: 1) x  X, x  x 2) x, y  X, xRy  x  y PGS.TS Vũ Thanh Nguyên Page 4 3) x, y  X, x  y ≠∅  x  y 4) X/R : = { x | x  X }, gọi tập thương X theo quan hệ R thỏa tính chất: •  x = X; xX / R •  x , y X/R, x  y  x  y = ∅ Chứng minh: 1) Do tính phản xạ, xRx Nói cách khác x x 2) Giả sử xRy Gọi z phần tử x Ta có zRx xRy nên zRy tính bắc cầu Như x  y Mặt khác tính đối xứng ta có yRx Do chứng minh tương tự ta có y  x Ngược lại giả sử x = y , x x nên x y Điều có nghóa xRy 3) Do x  y ≠∅ nên tồn z x  y , nghóa zRx zRy Do 2) ta có x = z = y Phần đảo lại hiển nhiên lớp tương đương khác rỗng (do 1) 4) Được suy từ 1) 3) Ví dụ: Với n nguyên dương, quan hệ đồng dư modulo n Z có n lớp tương đương: = {kn|kZ}; = {1 + kn kZ}; ; n  = {n – + kn|kZ} Tập thương Z theo quan hệ đồng dư modulo n ký hiệu Z Như vậy, n Z = { , , , n  } n Các phần tử Z gọi số nguyên đồng dư mod n n 3.4 Nhận xét: Với tập hợp X ≠ ∅, ta nói {A |iI}  P(X) phân hoạch X tính i chất sau thỏa: • iI, A ≠ ∅; i •  Ai = X; iI • i ≠ jI, A ∩ A = ∅ i PGS.TS Vũ Thanh Ngun j Page 5 Định lý 3.3 cho thấy R quan hệ tương đương X tập thương X/R phân hoạch X Kết sau cho thấy có tương úng 1-1 quan hệ tương đương X phân hoạch X 3.5 Định lý: Tương ứng f:RX/R song ánh tập quan hệ tương đương X tập phân hoạch X Chứng minh: • f ánh xạ: Do Định lý 3.3 • f đơn ánh Thậy vậy, X/R = X/R’ R = R’ vì: (x,y)X , (x,y)R  x R y  y thuộc lớp tương đương chứa x theo quan hệ R  y thuộc lớp tương đương chứa x theo quan hệ R’  x R’ y  (x,y)R’ • f toàn ánh Thậy vậy, với {A |iI} phân hoạch X, ta xây dựng quan hệ R nhö sau: i x, yX, x R y  iI, xA yA i Dễ thấy R quan hệ tương đương X tập {A |iI} Điều chứng tỏ f toàn ánh i thương X/R i Kết luận: f: RX/R song ánh §4 QUAN HỆ THỨ TỰ 4.1 Định nghóa: Một quan hệ hai R tập hợp X gọi quan hệ thứ tự (hay thứ tự) R phản xạ, phản xứng bắc cầu Khi ta nói X tập hợp thứ tự (hay có thứ tự) Ví dụ: 1) Quan hệ nhỏ hay ≤ thông thường tập hợp số quan hệ thứ tự 2) Cho tập hợp E ≠ ∅ Trên tập hợp P(E) ta xét quan hệ: A, B P(E), A R B  AB PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 6 Khi R quan hệ thứ tự P(E), ta gọi thứ tự bao hàm Trong trường hợp này, ta dùng ký hiệu A  B thay cho A R B 3) Trên tập N số tự nhiên ta định nghóa quan hệ ước số: xRy  x|y x|y có nghóa x ước y, hay y chia hết cho x Khi rõ ràng R phản xạ bắc cầu Mặt khác, giả sử xRy yRx Ta có y = ax x = by với a, bN Suy y = aby hay ab = Do a, bN ta phải có a = b = 1, nghóa x = y Trong trường hợp này, ta dùng ký hiệu x|y thay cho xRy 4) Trên tập M dạng mệnh đề theo biến mệnh đề p , p , , p , xét quan hệ suy ra: n E R F  (E  F) Đây quan hệ thứ tự M ký hiệu  Chú ý: 1) Nếu nhầm lẫn, ta thường ký hiệu quan hệ thứ tự ≤ (và “x ≤ y” đọc “x nhỏ hay y” hay “y lớn hay x” không thứ tự nhỏ hay thông thường tập hợp số) Khi ký hiệu x < y (đọc “x nhỏ y”) để x ≤ y x ≠ y Cặp (X, ≤) tập hợp có thứ tự hay thứ tự 2) Giả sử X' tập hợp tập hợp có thứ tự (X, ≤) Khi ≤ cảm sinh thứ tự X' cách tự nhiên: với x, yX', ta nói x ≤ y X' x ≤ y X 4.2 Định nghóa: Một quan hệ thứ tự ≤ X gọi toàn phần hai phần tử so sánh với nhau, nghóa là: x, y X, x ≤ y hay y ≤ x Trong trường hợp ngược lại, ta nói ≤ quan hệ thứ tự phận Nói cách khác, quan hệ thứ tự ≤ phận tồn hai phần tử không so sánh với nhau, nghóa là: x, y  X, x y y x Ví dụ: 1) N, Z, Q, R với thứ tự ≤ thông thường tập hợp thứ tự toàn phần 2) (P(E), ) tập thứ tự phận E có phần tử PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 7 3) (N, | ) tập thứ tự phận 4.3 Định nghóa: Xét tập hợp có thứ tự (X, ≤) x, y phần tử X Khi ta nói: 1) y trội x hay x trội y x ≤ y 2) y trội trực tiếp x y ≠ x, y trội x không tồn trội z cuûa x cho x < z < y 4.4 Định nghóa: Biểu đồ Hasse tập hợp hữu hạn có thứ tự (X, ≤) bao gồm: 1) Một tập hợp điểm mặt phẳng tương ứng 1-1 với X, gọi đỉnh 2) Một tập hợp cung có hướng nối số đỉnh: hai đỉnh x, y nối lại cung có hướng từ x tới y y trội trực tiếp x Ví dụ: 1) Biểu đồ Hasse U 12 = {x  N | x|n} với quan hệ “ | ” cho bởi: 2) Với E = {a, b, c} biểu đồ Hasse (P(E), ) có dạng: Ở ta qui ước cung không chéo Do cách để hình dung dễ dàng xem biểu đồ Hasse P(E) gồm đỉnh cạnh hình lập phương chiều PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 8 3) Với E = {a, b, c, d} biểu đồ Hasse (P(E), ) có dạng: 4) Biểu đồ Hasse {1, 2, 3, 4, 5} với thứ tự thông thường có dạng dây chuyền: 4.5 Định nghóa: Xét (X, ≤) tập a, b  X Ta nói: 1) a phần tử nhỏ (tương ứng phần tử lớn nhất) X, ký hiệu X (tương ứng, max X), a nhỏ hay (tương ứng, lớn hay bằng) phần tử X Như vậy: a = X  xX, a ≤ x; a = max X  xX, x ≤ a 2) b phần tử tối tiểu (tương ứng, phần tử tối đại) X, b không trội thực (tương ứng không trội thực bởi) phần tử X Như vậy: b phần tử tối tiểu X  (xX, x ≤ b  x = b); b phần tử tối đại X  (xX, b ≤ x  x = b) Chú ý: Nếu (X, ≤) tập thứ tự toàn phần khái niệm tối tiểu trùng với khái niệm nhỏ nhất, khái niệm tối đại trùng với khái niệm lớn PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 9 Ví dụ: 1) Với tập thứ tự (P(E) ) ta có minP(E) = ∅ phần tử tối tiểu P(E) Tương tự, max P(E) = E phần tử tối đại P(E) 2) Xét tập hợp A = {0,1, 2, , 100}; B = {0, 2, 3, , 100}; C = {1, 2, 3, , 100}; D = {2, 3, 4, , 100} với quan hệ ước số | cảm sinh từ (N, |) Ta thấy: * A = vaø max A = Đây phần tử tối tiểu tối đại A * max B = phần tử tối đại B Nhưng B không tồn B có phần tử tối tiểu số nguyên tố p ≤ 100 * C = phần tử tối tiểu C Nhưng max C không tồn C có phần tử tối đại số 51, 52, , 100 * D max D không tồn Nhưng D có phần tử tối tiểu số nguyên tố dương p ≤ 100 phần tử tối đại số 51, 52, ,100 4.6 Định lý: Trong tập hợp thứ tự X, phần tử nhỏ a = X, tồn tại, phần tử tối tiểu Suy a phần tử nhỏ nhất Kết luận tương tự cho phần tử lớn phần tử tối đại Chứng minh: Giả sử a phần tử nhỏ x phần tử thỏa x ≤ a Do a nhỏ nhất, ta có a ≤ x Do tính phản xứng, ta có x = a Suy a phần tử tối tiểu Mặt khác gọi a' phần tử tối tiểu tùy ý, a nhỏ ta có a ≤ a' Nhưng a' tối tiểu, ta phải có a' = a Như a phần tử tối tiểu dó nhiên phần tử nhỏ nhất Kết luận cho phần tử lớn phần tử tối đại chứng minh tương tự Chú ý với X tập hợp bất kỳ, phần tử nhỏ nhất, lớn nhất, tối tiểu tối đại không thiết tồn (việc tìm phản ví dụ dành cho độc giả, xem tập) Tuy nhiên, tập hợp hữu hạn, tồn phần tử tối tiểu tối đại cho định lý sau: 4.7 Định lý: Trong tập hợp thứ tự hữu hạn ta có: PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 10 đại) 1) phần tử trội (tương ứng, trội bởi) phần tử tối tiểu (tương ứng, tối 2) a phần tử tối tiểu (tương ứng, tối đại) X a phần tử nhỏ (tương ứng, phần tử lớn nhất) Chứng minh: 1) Xét phần tử x  X Nếu x không tối tiểu có x  X cho x < x Nếu 1 x tối tiểu phần tử phải tìm Nếu không có x  X cho x < x Neáu x 2 tối tiểu phần tử phải tìm x rõ ràng trội x Nếu không ta tiếp tục tìm phần tử x trội thực x Do X hữu hạn phần tử x, x , x , đôi 2 khác nhau, trình dừng sau tối đa n – bước, n số phần tử X Phần tử cuối tìm phần tử tối tiểu trội x 2) Giả sử a phần tử tối tiểu X, x phần tử tùy ý X Do 1) tồn phần tử tối tiểu a' cho a' ≤ x Do a nhaát ta coù a' = a Suy a ≤ x, x  A, nghóa a phần tử nhỏ tự Chứng minh cho kết luận phần tử tối đại phần tử lớn hoàn toàn tương Một ứng dụng Định lý 4.7 xếp công việc cách hợp lý dựa vào độ ưu tiên chúng Chẳng hạn để xây dựng công trình ta phải thực số công việc khác Trong số có số công việc thực sau hoàn thành số công việc khác Trên tập hợp X gồm tất công việc cần thực ta xét quan hệ thứ tự sau: x ≤ y x = y công việc y tiến hành sau hoàn thành công việc x Nói chung, quan hệ ≤ quan hệ thứ tự phận Để có kế hoạch làm việc chung ta cần phải lập qui trình chung cho tất công việc, phải đảm bảo độ ưu tiên chúng, tức phải xây dựng quan hệ thứ tự toàn phần ≤' cho x ≤' y x ≤ y Quan hệ ≤' với tính chất gọi tương thích với quan hệ ≤ 4.8 Định lý: Cho (X, ≤) tập hữu hạn thứ tự phận Khi đó, tồn quan hệ thứ tự toàn phần ≤' X tương thích với quan hệ ≤ cho, nghóa là: x, y  X, x ≤ y  x ≤' y (1) Chứng minh: Ta xếp X thành tập có thứ tự toàn phần x ≤' x ≤' ≤' x thỏa tính chất (1) sau: PGS.TS Vũ Thanh Ngun n Page 11 Chọn x phần tử tối tiểu X Tiếp theo, chọn x phần tử tối tiểu X\{x }, Cuối cùng, chọn x phần tử tối tiểu n X\{x , x , , x } Các n–1 phần tử tồn theo Định lý 4.7 Hơn nữa, tính tối tiểu bước chọn ta thấy quan hệ thứ tự toàn phần xây dựng tương thích với quan hệ thứ tự cho Ví dụ: Hãy xây dựng quan hệ thứ tự toàn phần (khác với quan hệ nhỏ hay thông thường) tương thích với quan hệ ước số | tập hợp X=U 30 = {nN | n|30} = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Giải: Trước hết ta chọn x = X = Sau chọn x phần tử tối tiểu X \ {1} Có ba phần tử tối tiểu 2, Ta chọn, chẳng hạn x = Tiếp theo, ta chọn x phần tử tối tiểu X \ {1, 3}, chẳng hạn x = Tiếp tục 3 trình ta xây dựng quan hệ thứ tự toàn phần ≤' tương thích với quan hệ ước số | X sau: ≤' ≤' ≤' ≤' ≤' ≤' 10 ≤' 15 ≤' 30 Bây xét (X, ≤) tập A tập X Ta đưa vào khái niệm sup A inf A sau: 4.9 Thứ tự tự điển: Cho (A, ≤) tập hữu hạn, khác rỗng, có thứ tự toàn phần, gọi tập mẫu tự Gọi S tập hợp tất chuỗi kí tự có dạng s = a a a với nN vaø a , a , , n a A (với n = ta có chuỗi rỗng ∅ ký tự nào) Trong S ta qui ước: với s = n a a a vaø n t = b b b : m s = t  (n = m vaø a = b , i = i ) i Trên S ta định nghóa quan hệ ≤ nhö sau: 1) sS , ∅ ≤ s; 2) s, tS , s = a a a vaø t = b b b n m Khi ≤ quan hệ thứ tự toàn phần S (bài tập) Ta gọi thứ tự tự điển S ứng với tập mẫu tự (A, ≤) PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 12 Ví dụ: Xét tập mẫu tự A = {a, b, c} với a < b < c chuỗi kí tự: s = abcab s = abaaa s = bbaa a) Hãy xếp s , s , s tăng dần theo thứ tự tự điển b) Có chuỗi kí tự s thỏa s ≤ s ≤ s ? c) Có chuỗi kí tự s gồm ký tự thỏa s ≤ s ≤ s ? Giải: a) Dễ thấy s ≤ s ≤ s b) Coù vô số chuỗi kí ù tự s thỏa s ≤ s ≤ s chuỗi có dạng s = abaaaa a thỏa tính chất c) Xeùt s = a a a a a Ta coù: s = abaaa ≤ s = a a a a a ≤ s = abcab 2  s = aba a a ≤ abcab  Theo nguyên lý nhân ta có số chuỗi s thỏa (1) 2.3 = 18 Số chuỗi s thỏa (2) Do số chuỗi s thỏa điều kiện cho 18 + = 20 §5 DÀN 5.1 Định nghóa: Giả sử A tập hợp tập hợp thứ tự (X, ≤) Khi đó: 1) Một phần tử gọi chặn (tương ứng, chặn dưới) A nếu: xA, x ≤ c (tương ứng, x  A, c ≤ x) 2) Phần tử nhỏ (tương ứng, lớn nhất) tập hợp {c  X | c chặn PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 13 A} (tương ứng {c  X | c chặn A}) ký hiệu supA (tương ứng, infA) Nhận xét: Nói chung, sup A (tương ứng, infA), tồn tại, không thuộc A Tuy nhiên, sup A (tương ứng, infA) tồn thuộc A maxA (tương ứng, minA) Đảo lại, maxA (tương ứng, minA) tồn tại, sup A (tương ứng, infA) Ví dụ: 1) Xét tập số thực R với quan hệ ≤ thông thường A = [0, 1]; B = [0, 1); C = (0, 1]; D = (0, 1) Ta coù: * max A = sup A = vaø A = inf A = * B = inf B = 0, sup B = max B không tồn * max C = sup C = 1, inf C = C không tồn * sup D = inf D = max D D không tồn * maxR, supR, minR infR không tồn n 2) Giả sử A = {A , A , , A } tập hữu hạn P(E) Khi  Ai n i 1 supΩ  A i infΩ n i 1 3) Trên tập M dạng mệnh đề theo biến mệnh đề p , p , , p với quan hệ n , xét tập hữu hạn E = {E , E , , E } Khi E VE V VE supE E ^E ^ ^E infE 2 n n n 5.2 Định nghóa: Một tập có thứ tự (A, ≤) gọi dàn với hai phần tử x, yA, sup{x,y} inf{x,y} luôn tồn Khi ta ký hiệu sup{x,y} inf{x,y} xVy x^y Ví dụ: 1) Một tập hợp thứ tự toàn phần dàn 2) (P(E), ) dàn, đó: AB = AB AB = AB 5) Tập M dạng mệnh đề (theo biến mệnh đề p , p , , p ) với quan hệ  n dàn, ký hiệu   dành cho sup{E,F} inf{E,F} trùng với ký hiệu quen thuộc phép nối rời nối liền: EF EF PGS.TS Vũ Thanh Ngun Page 14 5.3 Định lý: Trong dàn (A, ≤), phép toán   thỏa tính chất sau: i) Tính giao hoán: x, y  A, x  y = y  x vaø x  y = y  x ii) Tính kết hợp: x, y, z  A, x  (y  z )= (x  y)  z ; x  (y  z )= (x  y)  z Chứng minh: Dành cho độc giả 5.4 Định nghóa: i) Dàn (A, ≤) gọi dàn phân bố hai phép toán   phân bố lẫn nhau, nghóa là: x, y, z  A, x  (y  z )= (x  y)  (x  z ); x  (y  z )= (x  y)  (x  z ) ii) Dàn (A, ≤) gọi dàn bù A có phần tử lớn phần tử nhỏ mà ta ký hiệu 1; phần tử x  A có phần tử bù x A thỏa: x  x = x  x = Ví dụ: 1) (P(E), ) dàn bù phân bố với phần tử E phần tử ∅, phần tử bù AP(E) phần bù E\A 2) Tập M dạng mệnh đề (theo biến mệnh đề p , p , , p ) với quan hệ  n dàn bù phân bố, phần tử phần tử sai 0, phần tử bù dạng mệnh đề E dạng mệnh đề phủ định 3) (N, | ) dàn phân bố không dàn bù 4) Với n số nguyên dương n ≥ 2, đặt U tập tất ước số dương n n Khi (U | ) dàn phân bố Hơn nữa, (U | ) dàn bù n n thừa số phương PGS.TS Vũ Thanh Ngun n Page 15 ... Vũ Thanh Ngun Page 2 Khi quan hệ R X phản xạ R  Δ X 2) Nếu X hữu hạn R phản xạ ma trận biểu diễn M(R) có hệ số đường chéo 2. 2 Tính đối xứng: Ta nói quan hệ hai R có tính đối xứng với x, yX, x có quan hệ... §3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 3.1 Định nghóa: Một quan hệ R tập hợp X gọi quan hệ tương đương R thỏa tính chất phản xạ, đối xứng bắc cầu Ví dụ: 1) Quan hệ tập hợp X ≠ ∅ quan hệ tương đương X 2) Quan. .. số quan hệ tương đương 3) Quan hệ “tương đương logic” tập hợp dạng mệnh đề quan hệ tương đương Z 4) Quan hệ đồng dư modulo n (n nguyên dương) quan hệ tương đương 3 .2 Định nghóa: Giả sử R quan