Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)

Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)Một số khái niện toán học của giải tích tín hiệu (Khóa luận tốt nghiệp)

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

*x*x**x**x*x*x*x**%

BÙI THỊ HỒNG LINH

MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP DẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 52 46 01 02

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*x*x*x*x*x*x*x**x*x**%

BÙI THỊ HỒNG LINH

MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP DẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 52 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

Trang 3

LOI CAM ON

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học tại Khoa và trong thời gian làm khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường,

người đã trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình làm khóa luận này

Mặc dù đã có rất nhiều cỗ gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản

thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc

Em zin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngàu 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên

Trang 4

LOI CAM DOAN

Khóa luận này là do bản thân em thực hiện dưới sự hướng dẫn tận

tình của thầy giáo TS Bùi Kiên Cường

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham

khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Hà Nội, ngàu 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên

Trang 5

Muc luc L6icam on 2s i pe eee wR EH Ew RHE eS Léicam doan 0000000000 MỞ ĐẦU 1 1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI 3 1.1 Kh6ng gian metric 2 2 ee ee 3

1.2 Không gian định chuẩn 5

13 Không gian Banach 6

1.4 Không gian tích vô hướng, không gian Hibert 6 1.6 ‘Dieh:ehap iw 2s sms ema em ew em em eS 9 1.5.1 Tích chập của các tín hiệu liên tục 9 1.5.2 Tích chập của các tín hiệu rờirạc 11

1.6 Một số khái niệm cơ bản trong xác suất thống kê 12

1.6.1 Biến ngẫu nhiên, hàm mật độ 14 1.62 Kì vọng, phương sai 16 1.7 Biến déi Fourier 2.2 0.0000 ee 16

2 MOT SO KHAI NIEM CG BAN CUA GIẢI TÍCH TÍN

Trang 6

MUC LUC

2.1 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất 18

2.2_ Mật độ năng lượng và hàm tương quan 19

2.21 Tín hiệu liên tục theo thời gian 19

2.2.2 Tín hiệu rời rạc theo thời giàn 21

2.3 Tín hiệu ngẫu nhiên .- 23

2.3.1 Các tính chất của biến ngẫu nhiên 24

2.3.2 Quá trình ngẫu nhiên 26

2.3.3 Hàm tự tương quan và hàm tự hiệp phương sai của quá trình dừng theo nghĩa rộng 28

2.3.4 Tín hiệu rời rạc theo thời giaàn 30

2.3.5 Quá trình Ergodic 33

2.3.6 Quá trình nhiễu trắng liên tục theo thời gian 34

2.3.7 Sự truyền của quá trình ngẫu nhiên qua hệ tuyến tínộ ca 35 Kết luận 38

Tai li6utham khao 39

Trang 7

°

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Mục đích chủ yếu của giải tích tín hiệu là để lấy thông tin từ tín hiệu liên quan đến các hiện tượng của thế giới thực Ví dụ là sự phân tích lời nói, hình ảnh và tín hiệu trong các ứng dụng y học hay địa vật lý Lí do cho việc phân tích tín hiệu như vậy là để hiểu rõ hơn bản chất của các hiện tượng vật lí Mặt khác là để tìm các biểu diễn hiệu quả của tín hiệu đó, cho phép lưu trữ nhỏ gọn hoặc việc truyền tin hiệu qua thông qua môi trường thế giới thực Các phương pháp phân tích tín hiệu được

lan truyền rộng rãi, từ giải tích Fourier cổ điển đến nhiều dạng biến đổi tuyến tính thời gian - tần số và phương pháp tiếp cận dựa trên mô hình

tuyến tính và phi tuyến Mở đầu là việc nghiên cứu tín hiệu, các tính chất cơ bản và khái quát tín hiệu, khơng gian tín hiệu Ư đây việc nghiên cứu bao gồm không gian tín hiệu như: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, các khái niệm mở đầu là tích chập, , mật độ năng lượng và hàm số tương quan của các tín hiệu xác định; tín hiệu ngẫu nhiên - được bắt gặp trong tất cả các lĩnh vực của xử lý tín hiệu,

Trang 8

MO DAU

dẫn của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường tôi đã lựa chọn đề tài sau để

thực hiện luận văn tốt nghiệp: “Một số khái niệm toán học của giải tích tín hiệu”

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số khái niệm toán học của giải tích tín hiệu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày một số khái niệm và kết quả chuẩn bị - Trình bày về không gian tín hiệu

- Trình bày về tín hiệu ngẫu nhiên 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Một số khái niệm toán học của giải tích tín hiệu

- Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu liên quan đến một số khái niệm toán học của giải tích tín hiệu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề

6, Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Trang 9

Chuong 1

MOT SO KIEN THUC CHUAN BI

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm như các khái niệm không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tích vô hướng, không gian Hilbert; biến đổi Fourier, lý thuyết về tích chập của tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc và một số khái niệm cơ bản trong xác suất thống kê cần thiết

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 Ta gọi là không gian metric một tập hợp X 4 @ cùng với một ánh xạ ở từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực R

thỏa mãn các tiên đề sau đây

1)(Vz,u€X) d(z,w)>0, d(z,u) =0 © z = , (tiên đề đồng nhất); 2)(Vz,u€X) d(z,w) = d(w,z), (tiên đề đối xứng);

3) (Vz,u,z€ X) d(z,w) < d(z,z) + d(z,9), (tiên đề tam giác)

Trang 10

Chương 1 MỘT SỐ KIÊN THUC CHUAN BI

Ánh xạ đ gọi là metric trên X, số d(z, 9) gọi là khoảng cách giữa hai

phan tit x,y Cac phần tử của X gọi là điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi

là hệ tiên đề metric

Không gian metric được kí hiệu là Ä⁄ = (X,d) Hay don gian la X

Ví dụ 1.1 /?(œ,b) là tắt cả các hàm số x(t) do duoc theo dé do Lebesgue trên đoạn [a;b] sao cho J’ |e(t)|rat <+oo (p>1) Voi hai ham sé bat ki x(t), y(t) € L"(a,b) ta đặt

Pp

ale, y) = ( fie — va

Hệ thúc nàu xác định một metric trên tập L?(œ,b) Không gian tương

ứng uẫn kí hiệu là LP(a, Ù)

Ví dụ 1.2 I? = {z = (z,), : » lzn/? < cof, (p> 1), tới hai dãy số n=1 bat ky ô = (2n)n,yƠ = (Yn)n EL ta dat d(x,y) = (>: bt — nt) n=1 Hệ thúc nàu xác dinh mét metric trén I? Khong gian tương ứng van kí hiéu la I’

Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric M = (X,d) Day diém (z,,) C X gọi là day co ban trong M, néu

Trang 11

Chương 1 MỘT SỐ KIÊN THỨC CHUẨN BỊ

hay:

lim d(z„,#„) = 0

n,m — 00

Dễ dàng thấy mọi dãy điểm (z„) C X hội tụ trong Ä⁄ đều là dãy cơ bản

Dinh nghia 1.3 Khéng gian metric M = (X, đ) gọi là không gian đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ

Ví dụ 1.3 Không gian TP(a,b),1 <p< œ là không gian metric đầy Ví dụ 1.4 Không gian I" là không gian metic day

1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.4 Ta gọi là không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P(P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tâp số thực R,

ký hiệu là ||.|| và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây

1) (Vz € X) |lz|| > 0, ||+z|| =0 © z = 9, (ký hiệu phần tử không là 0);

2) (Va € X)(Va € P) ||ax|| = [a] llzll: 3) (Ve, y € X) ||z + 9| < llzll + llul:

Số ||z|| gọi là chuẩn của vectơ z Ta cũng ký hiệu không gian định

Trang 12

Chương 1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI Định nghĩa 1.5 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ bất ky x,y € X ta dat d(x, y) = ||z — 9Ï|: Khi do d la m6t metric trén X

Định nghĩa 1.6 Dãy điểm (z„) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x € X, nếu lim ||#„ — #|| = 0 Ký hiệu lim x, = x hay

oo

+ 1:— %

no

Ln > x(n > ov)

1.3 Không gian Banach

Định nghĩa 1.7 Dãy điểm (z„) trong không gian định chuẩn X gọi là

dãy cơ bản nếu

lim ||#„ — #„|| = 0

%œ

TH,1ì— ©

Khơng gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.5 Các không gian LP(a,b), I? là không gian Banach

1.4 Không gian tích vô hướng, không gian Hilbert

Định nghĩa 1.8 Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là

trường số thực l hoặc trường số phức C) Ta gọi là tích vô hướng trên

không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes Ä x X vào trường P, ky

Trang 13

Chương 1 MỘT SỐ KIÊN THUC CHUAN BI 1) (Wz,u€ ÄX)(0,#) = (#9): 2) (Vz,,z€ X)(z+,z) = (z,z) + (0.z) ; 3) (Vz,€ X)(Vœ € P)(œz,) = a(z,y) ; 4)(Vz € X)(z,z) > 0 nếu z # 0 (Ø là ký hiệu phần tử không ), (z,z) = 0, nếu # = 0

Các phần tử z,,z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (z, 9)

gọi là tích vô hướng của hai nhân tử z và , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi

là hệ tiên đề tích vô hướng

Định nghĩa 1.9 Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert (hay không gian tích vô

hướng)

Định lý 1.1 Cho X là không gian tiền Hilbert, vdi mdi Vx € X, ta

đặt ||x|| = \/(a, x) Khi đó ta có bắt đẳng thức sau (gợi là bát đẳng thức Schwarz)

ll(z.ø)|I < llzllllull Yz,y e X

Định lý 1.2 Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn

uới chuẩn ||z|| = (a, 2)

Định nghĩa 1.10 Ta gọi một tập #7 # Í gồm những phần tử 2, y, z nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện

1) là không gian tuyến tính trên trường P;

Trang 14

Chương 1 MỘT SỐ KIÊN THỨC CHUẨN BI

2) H được trang bị một tích vô hướng (-, -);

3) H 1a không gian Banach với chuẩn ||#||= (œ,z) ,œ€ HH

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert Hf la không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ 1.6 Ký hiệu L?(E, t) là không gian 0ectơ thực các hàm số uới bình phuong kha tich trén tap E theo dé do p Voi moi x(t) € L?(E, 1), y(t) € T2(E,) ta đặt te) = [ #994, Chuẩn sinh ra bởi tích uô hướng trên lll = Vea) = Không gian 0ectơ Lˆ(E,u) cùng tới tích uô hướng trên là một không gian Hilbert

Trang 15

Định nghĩa 1.11 Hệ trực chuẩn (c„)„>¡ trong không gian Hilbert H gọi là cơ sở trực chuẩn của không gian #7, nếu trong không gian H khong tồn tại vectơ khác không nào trực giao với hệ đó

Định lý 1.3 (Dinh ly vé dang thite Parseval) Cho (e„)„>ị là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H Năm ménh dé sau tuong đương:

(i) Hệ (e„)u>ì là cơ sở trực chuẩn của không gian H;

(it) (Vax € H)x = » (#, €„)€u; n>1 (itt) (Vx, y € H)(a,y) = > (2, €n) (€n, y) (dang thite Parseval); n>1 (iv) (We € H) |lal|? = SX |(x, en)? (phuong trình đóng); n>1

Trang 16

Chương 1 MỘT SỐ KIÊN THỨC CHUẨN BỊ tồn tại uới hầu khắp z € Tà" Nếu giá trị của tích phân được kí hiệu là (f *g) (x), thi fxg € L/(R") va l/ * øll, < lI/II:lløll, Định nghĩa 1.12 Ta gọi hàm ƒ * g là tích chập của các hàm ƒ 0à g Mệnh dé 1.1 Cho f € /?(§"),1 < p< ®, ta có lim If fll, = 0 ở đó ƒ, là hàm số được xác định bởi fly) = Ƒƒ(œ + 0),ụ € RẺ

Mệnh đề 1.2 Œo(R") là trà mật trong L?(R") vdi 1 < p< oo

Định lý 1.5 Choy € L'(R") uới ƒ 2(#)d+ =a Choe > 0, dinh nghia Be ham số ọ bởi —T: x n y-(x) =e p(=).2eR Khi đó, uới hàm số bất ki ƒ € L?(R"),1 < p < o, ta cb f xy, > af trong L?(R") khie > 0

Định nghĩa 1.13 Không gian các hàm giam nhanh, ki hiéu la S (R") hay ngan gon S, tap hop

S(R")= {y € C™ (R") |lx*D 2ø (z)| < Cag, Ve € R", Va, 6B € Z1} Uớt khái tiệm hội tụ được định nghĩa như sau

Trang 17

Déay {x}p_, trong S(R") được gọi là hội tụ đến @ € 5 (R") nếu jim sup |2"D°y, (x) — 2“ D*y(x)| = 0, Va, 8 € 2% E+ eR” Ki hiéu S_ jim Oe=Y.- Ménh dé 1.3 Choy € S va f € L?(R"),1 < p< ©, ta có f*xpeC™(R") va có Of * yp) = fx Oy

cho moi da chi sé a

Mệnh dé 1.4 Cho f vag la céc ham số liên tục trên R” vdi gid compact Khi d6 tich chap ƒ * g cũng có giá compact Ta có

supp(f *g) C supp(f) + supp(g)

Chú ý 1.1 Tổng 0ectơ A+ B của 2 tập A va B được định nghĩa A+DP=({z+g:z€eA,ucbP}

1.5.2 Tích chập của các tín hiệu rời rạc

Định nghĩa 1.14 Cho hàm số phức ƒ, ø xác định trên tập số nguyên

Z, tích chập rời rạc của ƒ và ø được định nghĩa

(feg)inl= S) ƒImlsin— mỊ

= » Ƒ[n — m] g[m] (tính giao hoán)

Trang 18

Tích chập của hai dãy hữu hạn được định nghĩa bằng cách mở rộng các dãy hữu hạn lên dãy có tập chỉ số là các số nguyên theo nguyên

tắc cho bằng 0 các phần tử của bên ngoài giá của dãy đó Khi các dãy là các hệ số của hai đa thức, thì các hệ số của tích thông thường

của hai đa thức là tích chập của hai dãy đó Điều này được gọi là tích Cauchy của các hệ số của hai dãy Vì vậy khi ø có giá hữu hạn trên tập {—M,—M +1, ,M — 1, M} thì tổng hữu hạn có thể được sử dụng M (+*ø)[nl= 3} ƒ[n— m]g[m] 1n=— 1.6 Một số khái niệm cơ bản trong xác suất thống kê

Định nghĩa 1.15 (Dại số) Giả sử © là một tập tùy ý khác Ú Ký hiệu

7 (9) là tập hợp gồm tất cả các tập con của © Lớp A Cc P (Q) dude goi là một đại số nếu Al QEA, A2) AE ASA=Q\AEA, A3)A,BEASAUBEA, ANBEA

Nhan xét 1.1 Vi AUB =ANB,ANB=AUB, nén trong A3) chi can doi hoi mét trong hai diéu kién, chang han AUB € A

Dinh nghia 1.16 (o — dai sd) Lép F C P(Q) được gọi là ơ — đại số nếu nó là đại số và ngoài ra:

Trang 19

A4) tt A, € F,n = 1,2, suy ra

Ù An € F, A A, €F

n=1 n=1

Nhận xét 1.2 Ở đây cũng như A8) chỉ cần doi hoi mét trong hai hệ thúc Hệ thúc kia tự động được thỏa mãn Chẳng hạn từ (A,) CF > JA €F n=1 thì ta cũng có A A, -U A, € F n=1 n=1

Định nghĩa 1.17 (Độ đo xác suất) Hàm tập hợp P xác định trên đại

số 4 được gọi là độ đo xác suất ø- cộng tính nêu 1) P(A)>0,AEA, 2) P(Q) =1, 3) néu A; € A,i = 1,2, ,A;N Aj = 0,% Z7.) A, €.4 thì #1 P (>: 4 = oP (Ai) i=1 i=1

Dinh nghĩa 1.18 Ta gọi bộ ba (Ô,.Z, P) với a) © là tập hợp tùy ý gồm các phan tit w; b) F 1a ø-đại số các tập con của Ô;

c) P là độ đo xác suất ø- cộng tính hay nói gọn là xác suất trên F,

Trang 20

là không gian xác suất

Tập © được gọi là khơng gian các biến cố sơ cấp Tập A € Z được

gọi là biến cố, P(A) 1a xác suất của biến cố A P được gọi là xác suất trên Z

1.6.1 Biến ngẫu nhiên, hàm mật độ

Định nghĩa 1.19 Một đại lượng (hay một biến) nhận các giá trị của

nó với xác suất tương ứng nào đấy gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến

ngẫu nhiên

Ta thường ký hiệu các biến ngẫu nhiên bởi các chữ X,Y, Z hoặc €,mn,C, Các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận thường viết bằng chữ nhỏ #,1, 2

Phân loại các đại lượng ngẫu nhiên Căn cứ vào giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận ta phân các đại lượng ngẫu nhiên ra làm 2 loại chính: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 1.20 Nếu tập các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận là một

tập gồm một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn nhưng đếm được, khi đó biến

ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị #i,#s, ,#„ Và P{X =z,} =p;,¡= 1,2,

Để mô tả (hoặc xác định) biến ngẫu nhiên rời rạc X ta dùng bảng

sau

Trang 21

Chương 1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI xX đì Tạ " Un P{X =a} ] pr D2 = Pn Trong đó: S> p; = 1,p; > 0 Vi = 1,2, i

Bảng với hai thông tin cho trên xác định biến ngẫu nhiên X được gọi

là bảng phân phối xác suất

Định nghĩa 1.21 Nếu tập các giá trị biến ngẫu nhiên nhận lấp đầy

một khoảng nào đó, khi đó biến ngẫu nhiên gọi là biến ngẫu nhiên liên

tục

Để mô tả (hoặc xác định) biến ngẫu nhiên liên tục ta thường dùng

khái niệm hàm mật độ

Trang 22

Chương 1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI

1.6.2 Ki vong, phuong sai

Định nghĩa 1.23 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là một con số được ký hiệu là AX và được xác định như sau

S2 mụp, nếu P(X =#,)=?,,

EX=4 °

Jƒ zp(z)dz nêu X có mật độ p(#)

Định nghĩa 1.24 Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số không

âm kí hiệu là DX, được xác định bởi

DX = E(X — EX)? = EX? —(EX)’*

Theo tinh chat của kỳ vọng, ta có:

Yo pz? néu P(X =2;) =p ,

EX? = 2% g8

J +?p(z) dz nêu X có mật độ p (z)

—°o

o = VDX gọi là độ lệch tiêu chuẩn

1.7 Biến đổi Eourier

Tì

Ta kí hiệu zw = À) #;6¡,V#,øð € R” là tích vô hướng trên R” va viết

i=l

tắt ø? = zz,Vz € Ñ", chuẩn luclide là |z| = #z

Định nghĩa 1.25 Biến đổi Fourier của hàm f € L'(R”) ki hiéu 1a f hoặc #(ƒ), là một hàm được xác định bởi

> 1

f (w) - (2m)" [fet dew € R” (1.1)

Re

Trang 24

Chuong 2

MOT SO KHAI NIEM CO BAN CUA GIAI TICH TIN HIEU

2.1 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất

Định nghĩa 2.1 Xét một tín hiệu tất định liên tục theo thời gian x(t),

Trang 25

Chương 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU

Nhận xét 2.1 Da phần các tín hiệu được bắt gặp trong ứng dụng kĩ

thuật thuộc về một trong hai loại này

Sự phân loại quan trọng thứ hai của tín hiệu là đưa chúng tới không

gian tín hiệu "(œ,b), ở đó ø và b là các đầu mút của khoảng mà tín hiệu

xác định Theo sự phân loại này, tín hiệu năng lượng xác định trên trục

thực là các phần tử của không gian "(R)

2.2 Mật độ năng lượng và hàm tương quan

2.2.1 Tín hiệu liên tục theo thời gian Xét LE, = J |z(£) | di (2.1) Theo định lí Parseval, ta còn có thể viết Lƒ » E, == | |X(w)|'dw, (2.2) 27

3 d6 X(w) a bién déi Fourier cia x(t) Dai lugng |x(t)|’ trong (2.1)

biểu diễn sự phân bố của năng lượng tín hiệu đối với thời gian #, do đó

Trang 26

Định nghĩa 2.3 Hàm số tự tương quan của tín hiệu z(£) được định nghĩa bởi

r= (rT) = [Welt ra= TR xe)

Phổ mật độ năng long S¥ (w) citing co thé duoc 1A bién doi Fourier

của hàm tự tương quan, bởi

SẼ (w) = / rẺ (r).e dr

Sự tương ứng giữa phổ mật độ năng lượng và hàm số tự tương quan được biểu thị như sau

Sir (w) @ rf, (7)-

Ham số tự tương quan là một thước đo cho biết mức độ giống nhau

giữa tín hiệu năng lượng z(f) và biến đổi thời gian z; (f) = z(f +7) của nó Điều này có thể thấy từ

d(,r)” =||x — +;|Ÿ

= (x, x) — ,#;) — (ar, x) + (fr, #r)

=2Ilz|Ï — 28 {(x,, z)} =2|lz|Ï — 2# {rz„(z)} - Với sự gia tăng tương quan làm khoảng cách giảm

Trang 27

z và được định nghĩa bởi

Tay (T) =

Và phổ mật độ năng lượng tương quan chéo của hai tín hiệu năng lượng z và được định nghĩa bởi: EU — ae —iUT Suy (0) = / Pry (T) 6°" dr Tương tự như đối với hàm tự tương quan, ta cũng có SẼ (0u) © rẻ (7) ry ry va Thy (r) có thể được xem như mức độ giống nhau giữa 2 tín hiệu x(t) va y, (t) = y(t+7)

2.2.2 Tín hiệu rời rạc theo thời gian

Định nghĩa 2.5 Các tín hiệu rời rạc theo thời gian #(n) có thể nhận các giá trị thực hoặc phức Năng lượng tín hiệu được định nghĩa bởi E,= Y` |e(n) Tì=—®% Theo hệ thức Parseval ta có thể tính #, từ biến đổi Fourier rời rạc X (e“) bởi 1 i iw 2 © E, = al |X (e) |" dw (2.3)

Trang 28

Chương 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Định nghĩa 2.6 Dãy tự tương quan của tín hiệu rời rạc z(n) được định nghĩa bởi rE (m) = » #{m) z{n + mì} Ta sử dụng kí hiệu: 5„ (e”) = |X (e”)

Phổ mật độ năng lượng SỬ, (c“) là biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian của dãy tự tương quan Tức là: œ St (el) = SO rk, (m) ee †n=—œ 1 / 1U tun r= (m) = x | 8 (e'”) et dw Ta có mối quan hệ SE (el) a rk (m)

Chú ý rằng mật độ năng lượng có thể xem như tích X(z)X(z) lấy giá trị trên vòng tròn đơn vị (z = c?“), ở đó X(z) là biến đổi Zack cia x(n)

xác định bởi

T,——0O

Trang 29

Chương 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Phổ mật độ năng lượng chéo thỏa mãn oO Se (e“) = ` Tay (m)c “", 1n =-® Ta có mối liên hệ SE (el) a rf, (m) 2.3 Tin hiéu ngau nhiên

Tin hiéu ngẫu nhiên được bắt gặp trong tất cả các lĩnh vực của xử lí tín hiệu Ví dụ, chúng xuất hiện dưới dạng nhiễu trong đường truyền tín hiệu Thậm chí việc truyền và cả kết quả nhận tín hiệu trong viễn thông đều mang tính ngẫu nhiên, bởi vì chỉ các tín hiệu ngẫu nhiên mới chứa đựng thông tin Trong mô hình nhận dạng, các mô hình mà để phân biệt được mô hình hóa như quá trình ngẫu nhiên Trong lời nói, âm thanh và hình ảnh mã hóa, các tín hiệu được nén và mô hình hóa như vậy

Đầu tiên là nhắc lại sự phân biệt giữa biến ngẫu nhiên và quá trình ngẫu nhiên Một biến ngẫu nhiên được thu bởi việc gán một số thực

hoặc phức với một biến cỗ zm; từ tập biến cỗ A⁄ Các biến cố xảy ra ngẫu

nhiên

Nếu một phép gần mot ham s6 ‘x (t) với một biến cố zm; thì toàn bộ các hàm số có thể được gọi là quá trình ngẫu nhiên Biến cố xảy ra ngẫu nhiên trong khi phép gan m; > /#(£) lại là tất định Hàm s6 ‘x (t)

được gọi là sự thể hiện (realization) của quá trình ngẫu nhiên z ()

Trang 30

2.3.1 Các tính chất của biến ngẫu nhiên

Các tính chất của một biến ngẫu nhiên thực được hoàn toàn đặc trưng bởi hàm phân phối tích lũy Ƒ> (œ) và cũng bởi hàm mật độ xác

suất ø„ (œ) Phân bé xác định xác suất của biến ngẫu nhiên # nhỏ hơn hoặc bằng giá trị œ

1,(a)= P(z < o)

Ở đây, tiên đề xác suất chỉra rằng lim F, (œ)=0,lm F,(a)=1,

a> 00 œ>œ

Fe (ai) < tp (a2) ’ VỚI ay < đa

Với một phân phối xác suất, ta thu được hàm mật độ xác suất bằng phép lấy vi phân đu, Dy (@) = 1a (a) Vi phân bố xác suất là một hàm không giảm, ta có pr (a) > 0

Định nghĩa 2.8 (Mật độ xác suất chung) Mật độ xác suất chung Đz,z»„ (is) của hai biến ngẫu nhiên z¡ và z; được định nghĩa bởi

Đan rg (&, &) = Pr, (&) Pro\xy (€2|&1) ) (2.4)

6 dO pp,jr, (E2[) 1a mat do xdc suat c6 diéu kien (mat do cha x, khi xy

da nhan gid tri €;) Néu cdc bién x; va x 1a déc lap, (2.4) trở thành

Trang 31

Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên phức được xác định như mật độ chung của phần thực và ảo của nó

Dr (€) = Pu (&) Pou (€›|&:) ;u —= Re {a} ;U= 3 {x} 1€ = & + J6

Định nghĩa 2.9 (Mômen) Mômen của một biến ngẫu nhiên được xác

định là giá trị

m) = EB {|x|"}

Ö đây, E {-} là kì vọng Kì vọng {ø(z)}, ở đó ø(z) là một ham số tùy

Trang 32

Định nghĩa 2.10 (Hàm đặc trưng) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên z được xác định như sau

®,(u)= / ep, (0) do,

Nghĩa là, ngoài tín hiệu của đối số, nó là biến đổi Fourier của hàm mật

độ xác suất Theo định lí mômen của biến đổi Fourier, các mômen của biến ngẫu nhiên có thể còn được tính từ hàm số đặc trưng như sau

Tì d” ®,, (v)

mi”) = (-i) do" '=0 2.3.2 Quá trình ngẫu nhiên

Bắt đầu cho việc xem xét sau đây là quá trình ngẫu nhiên z(t),

từ các biến ngẫu nhiên #/,,#,„, ,#,, VỚI #„ = #(f¿), được lay 6 những thời điểm í¡ < tp < < t,,n € Z Cac tính chất của các biến ngẫu nhiên được mô tả bởi hàm mật độ xác suất chung của

chúng Øz, „, „ (đi,ds, ,d„) Khi đó, một tập thứ hai các biến

ngẫu nhiên được lấy từ quá trình z() áp dụng sự dịch thời gian 7:

Thuy v.v, „ VỚI #y,,„ = #(y +7) Nếu mật độ chung của cả hai

tập là bằng nhau cho mọi sự dịch thời gian 7 và với mọi n, tức là, nếu ta có

Dia tig yg (ai, Œ2, ; Gy) = Devi, _ Piys prin (a »A2, -, œ„) LV n,T,

Trang 33

Định nghĩa 2.11 (Các hàm tự tương quan và hàm tự hiệp phương sai của quá trình không dừng) Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên chung được định nghĩa như một mômen bậc hai re tt) =B {he (6) = | ae P„, (E4, 6a) đệ đệo, —=œ—œ 6 day x; = x(t)) va = +(03)

Về cơ bản hàm tự tương quan cho biết quá trình giống nhau như thế

nào ở các thời điểm f¡,f¿ vì với kì vọng theo khoảng cách Euclidean, ta

co

B {ler — al} = 2 (el? } + E {Iel°} — 298 {ron(trs te}

Hàm tự hiệp phương sai của một quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa c„(h„ t2) =E {[=) — ma | le (h) — mụ]} =rss(ạ ty) — Thụ, Mr, 6 do, m,, ki hiệu giá trị kì vọng tại thời điểm ứ„; nghĩa là mị, = E{xz(t,)}

Định nghĩa 2.12 (Quá trình dừng theo nghĩa rộng) Các quá trình mà

giá trị trung bình là hằng số và hàm số tự tương quan là một hàm số của

Trang 34

Định nghĩa 2.13 (Quá trình dừng theo chu kì) Một quá trình là không

dừng nhưng nếu các tính chất lặp lại tuần hoàn, thì ta nói đó quá trình

dừng theo chu kì

2.3.3 Hàm tự tương quan và hàm tự hiệp phương sai của qua trình dừng theo nghĩa rộng

Xét một quá trình dừng theo nghĩa rộng, khi đó mômen bậc một và mômen bậc hai độc lập theo thời gian Vì tính dừng ta phải giả thiết sự

thực hiện quá trình không khả tích tuyệt đối, và biến đổi Fourier của

chúng không tồn tại Vì trong lĩnh vực viễn thông còn bắt gặp quá trình giá trị phức khi mô tả quá trình băng thông thực trong băng thông phức, chúng ta sẽ tiếp tục tìm kiếm quá trình giá trị phức Với quá trình dừng theo nghĩa rộng, hàm số tự tương quan chỉ phụ thuộc vào sự dịch chuyển thời gian giữa các lần tương ứng, được cho bởi:

Tyy(T) =E {+0 a(t+ r)}

Cho x, = #(f+ 7) và #¿ = #(f) giá trị kì vọng E {-} c6 thé duge viét:

na (r) = Efe} = f Js 5 EaPesas (Ena) AE (228)

Giá trị lớn nhất của hàm tự tương quan đạt tại 7 = 0, ở đó giá trị của nó bằng giá trị trung bình bình phương:

Trang 35

Hơn nữa ta có r„„ (—7) = r›„(7)

Khi trừ kì vọng rm„ = E {x (t)} trước khi tính toán hàm tự tương quan, ta có hàm tự hiệp phương sai

Con (7) =E { FØ — m;| [x(t +7) —m, }

2

=Pne (T) — |m,|"

Định nghĩa 2.14 (Mật độ phổ công suất) Mật độ phổ công suất hay

phổ mật độ công suất mô tả sự phân bố của công suất đối với tần số

Nó được định nghĩa là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan

Spx (w) = [re (r) eT dr (2.6) +

Trang 36

đồng nhất với mật độ phổ xác suất đưa trong (2.6)

Lay (2.8) với r = 0, ta thu được

lf

8 = T„„(0)= — J Sinn (w) dw

, 27

Định nghĩa 2.15 (Hàm tương quan chéo và mật độ phổ công suất chéo) Tương quan chéo giữa 2 quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng #(f) và ø(f) được xác định: ry(t) = E {x(t) (t+ r)} Biến đổi Fourier của r„„(7) là mật độ phổ công suất chéo, kí hiệu Says Do đó, ta có sự tương quan Sry (w) = ic (r) edt —œ 2m t I iw Poy (r) = Sry (w) €”“” dụ

2.3.4 Tín hiệu rời rạc theo thời gian

Trong mục này chúng ta cũng trình bày các định nghĩa cho tín hiệu rời rạc theo thời gian cơ bản tương ứng với các định nghĩa cho tín hiệu liên tục theo thời gian; các hàm tương quan và hiệp phương sai Tuy nhiên, chúng trở thành các dãy tương quan và dãy hiệp phương sai

Dãy tương quan được xác định bởi

ry„(m) = E {eứ) a(n+ m)} (2.8)

Trang 37

Chương 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Dãy tự hiệp phương sai được xác định như sau €„ (m) = EB { FØ = my] [x(n +m) — m;]} = rzz(m) — |m„|Ÿ m, = E{a(n)}

Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian của dãy tự tương quan được gọi là mật độ phổ công suất (định lí Wiener-Khintchine ) Ta có ° Sixx (e’) = » Ty (m) em Tn=—®% + r„„ (m) = = J S„„ (c“) e“ "dụ Định nghĩa của dãy tương quan chéo là r„u(m) = E {x(n) y(n + m)} ; ở đó biến đổi Fourier cia r,,(m) la mật độ phổ công suất chéo Š„„ (ec): T 4 Try (Mm) = = ( — i S „„(€”)e ( Bế) tu dụ Wd =T + œ Sry (e) — > Pin, (m) cm 1n=—°œ

Một dãy hiệp phương sai định nghĩa bởi

Cry (m) = E { FO — | [y(n +m) — m,)} =Pyy(m) — my, m,

Trang 38

VỚI

m, = E{x(n)},m, = E {y(n)}

Định nghĩa 2.16 (Ma trận tương quan) Ma trận tự tương quan (tương quan chéo) lần lượt được định nghĩa bởi Ry, =E {zz”} 5 Rey = E{uwzf}, ở đó œ = [#(n),#(n +1), ,(n + N„ — UP y= ly(n),y(n+ 1), -,y(n +N, — 1))’ và z1 = #T, zT là chuyển vi cia x con yx” IA tich v6 huéng ca y và oe,

Vì tính chất đầy, chúng ta phải lưu ý rằng ma trận tự tương quan J,„ của một quá trình dừng z(n) có cấu trúc Toeplitz như sau

r„(D T„CỦ Ty NM,+1 |

ñ.= Tr» (1) Tx (0)

Pro (- 1)

Tre( Ny — 1) cu Try (1) r>„(0) O day, tinh chat

Torx (=7) — Tạ„ạ (J),

được suy ra từ (2.8) bằng việc quan tâm đến tính dừng đã được sử dụng

Trang 39

Chương 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU Nếu hai quá trình z(ø) và ø(n) là một cặp quá trình dừng, ta có Vay (-j) = Tyx(9), và ma trận tương quan chéo #?„„ = # {y#” } có dạng sau [ r„„(0) Tr>„(—1) su m„(—N; + 1) | Ry =| Te) tl) ry(—L)

Pry(Ny 1) see ty) Pay (0)

Ma trận tự hiệp phương sai chéo có thể được xác định tương tự bằng

việc thay thế r„„(m) qua c„y (m)

2.3.5 Quá trình Ergodic

Trang 40

Chương 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TỐN HỌC CỦA GIẢI TÍCH TÍN HIỆU

2.3.6 Quá trình nhiễu trắng liên tục theo thời gian

Một quá trình nhiễu liên tục theo thời gian dừng theo nghĩa rộng x(t)

được gọi là trắng nếu phổ mật độ công suất là một hằng số: Sra (w) = ơ? Khi đó, hàm số tự tương quan của quá trình là một xung Dirac với trọng 2 Ø”: On 8 Thưa (TỦ = 0) (r)

Vì công suất của quá trình này là vô hạn nên quá trình này không thể thực hiện được Tuy nhiên, quá trình nhiễu trắng là một quá trình mẫu tiện lợi thường sử dụng để mô tả các tính chất của các hệ có thực

Xét một quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng giá trị thực #(£) và thử biểu diễn nó trên khoảng [—a,ø] qua khai triển thành chuỗi bởi

một cơ sở trực chuẩn thực bất kỳ ¿; (£) của 7¿(—øœ,a) Cơ sở này thỏa mãn a Jos, a= =a 0 néu ngugc lai 1 néu i= J,

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	6,14 MB