a Tính biên độ của dao động và vận tốc cực đại của chất điểm b Hãy xác định li độ x và vận tốc v của chất điểm sau thời điểm trên là 16 p s.. 1 Viết phương trình dao động của quả cầu, l
Trang 1DAO ĐỘNG CƠ HỌC Bài 1 Một chất điểm dao động điều hịa (dđđh) trên trục x'x, cĩ phương trình: x = 2cos(5pt
-4
p
) (cm ; s) a) Xác định biên độ, chu kì, tần số, pha ban đầu và chiều dài quỹ đạo của dao động
b) Tính pha của dao động, li độ, vận tốc, gia tốc ở thời điểm t =
5
1 s
c) Tính vận tốc của chất điểm khi nĩ qua vị trí cĩ li độ x = -1cm
ĐS : a) A = 2cm ; T = 0,4s ; f = 2,5Hz ; j =
4
p
; L = 2A = 4cm
b) x = - 2cm ; v » -22,2cm/s ; a » 349cm/s2 ; c) v » ± 27cm/s
Bài 2 Một chất điểm dđđh theo phương trình : x = 2,5cos(10pt
-2
p
) (cm)
a) Xác định li độ và vận tốc của vật lúc t =
30
1 s
b) Chất điểm đi qua vị trí x = 1,25cm vào những thời điểm nào ? Phân biệt những lần đi qua theo chiều dương và theo chiều âm
c) Tìm tốc độ trung bình của chất điểm trong một chu kì dao động
ĐS : a) x = 1,25 3cm, v = 12,5pcm/s ; b) t =
5 60
với K = 0,1,2, qua theo chiều dương ;
t =
5
12
với K = 0,1,2, qua theo chiều âm ; c)
T
A t
S
V 4 = 50cm/s
Bài 3 Một chất điểm dđđh cĩ tần số gĩc = 4rad/s Vào thời điểm nào đĩ chất điểm cĩ li độ x1 = - 6cm và vận tốc v1 = 32cm/s
a) Tính biên độ của dao động và vận tốc cực đại của chất điểm
b) Hãy xác định li độ x và vận tốc v của chất điểm sau thời điểm trên là
16
p
s
ĐS : a) A = 10cm ; vmax = 40cm/s ; b) x = 2cm ; v = 28 2cm/s » 39,6cm/s
Bài 4 Một vật dđđh thực hiện 20 dao động mất thời gian 31,4s Biên độ dao động là 8cm Tính giá trị lớn nhất của vận
tốc và gia tốc của vật ĐS : vmax = 32 cm/s ; amax = 128cm/s2
Bài 5 Một con lắc lị xo gồm một quả cầu cĩ khối lượng m = 0,5kg và lị xo cĩ độ cứng k = 50N/m được treo thẳng
đứng Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 3cm theo phương thẳng đứng rồi nhẹ nhàng buơng tay
1) Viết phương trình dao động của quả cầu, lấy gốc thời gian là lúc bắt đầu buơng tay, chiều dương từ trên xuống dưới 2) Xác định vận tốc và gia tốc của quả cầu tại điểm cĩ li độ +2cm
3) Tính cơ năng tồn phần và vận tốc cực đại của con lắc ,
ĐS : 1) x = 3cos(10t) (cm) ; 2) a = - 2m/s2 ; v = ± 10 5cm/s » ± 22,4cm/s ; 3) E = 0,0225 (J) ; vmax = 30cm/s
Bài 6 Một quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,2kg gắn vào đầu một lị xo cĩ độ cứng k = 80N/m để tạo thành con lắc lị xo.
Khối lượng lị xo khơng đáng kể
1) Tính chu kì dao động của quả cầu
2) Viết phương trình dao động của quả cầu, biết lúc t = 0 quả cầu cĩ li độ bằng 2cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục tọa độ với vận tốc bằng 40 3cm/s
ĐS : 1) T =
10
p
s » 0,314s ; 2) x = 4cos(20t
-3
p
) (cm)
Bài 7 Quả cầu cĩ khối lượng m treo vào lị xo khối lượng khơng đáng kể cĩ độ cứng k = 50 N/cm Kéo vật m khỏi VTCB 3cm và truyền vận tốc 2m/s theo phương thẳng đứng thì vật dao động với tần số f =
p
25 Hz
a) Tính m và chu kì dao động
b) Viết phương trình dao động của quả cầu Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu qua điểm cĩ tọa độ -2,5cm theo chiều dương
ĐS : a) m = 2kg ; T =
25
p
s ; b) x = 5cos(50t
-3
2p
) (cm)
Bài 8 Một lị xo khối lượng khơng đáng kể cĩ độ cứng k = 50N/m treo thẳng đứng, đầu dưới mang quả cầu nhỏ khối
lượng m = 100g Chọn trục x’x thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng Quả cầu dao động điều hịa với cơ năng bằng 2.10-2 (J) Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu đang đi lên qua vị trí cĩ li độ x = 2cm
a) Viết phương trình dao động của quả cầu
b) Định vị trí của vật mà tại đĩ động năng bằng 3 lần thế năng
ĐS : a) x = 2 2cos(10 5t +
4
p
) (cm) ; b) x = ± 2cm
Trang 2Bài 9 Một vật dao động điều hịa dọc theo trục x, vận tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng là 62,8cm/s và gia tốc cực
đại của vật là 2m/s2 Lấy p2 = 10
a) Xác định biên độ, chu kì và tần số dao động của vật
b)Viết phương trình dao động của vật nếu gốc thời gian chọn lúc vật qua điểm M0 cĩ li độ x0 = - 10 2cm theo chiều dương trục tọa độ cịn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của vật
c) Tìm thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí M1 cĩ li độ x1 = 10cm
ĐS : a) A = 20cm ; = p rad/s ( =
p
10 rad/s) ; T = 2s ; f = 0,5Hz ; b) x = 20cos(pt -
4
3p
) (cm) ; c) t =
6
1
s
Bài 10 Một lị xo cĩ khối lượng khơng đáng kể, chiều dài tự nhiên 0 = 40cm, đầu trên được gắn vào giá cố định Đầu dưới gắn với một quả cầu nhỏ cĩ khối lượng m thì khi cân bằng lị xo giãn ra một đoạn = 10cm Cho gia tốc trọng trường g » 10 m/s2 ; p2 » 10
a) Chọn trục Ox thẳng đứng hướng xuống, gốc O tại VTCB của quả cầu Nâng quả cầu lên trên thẳng đứng cách O một đoạn 2 3cm Vào thời điểm t = 0, truyền cho quả cầu một vận tốc 20cm/s cĩ phương thẳng đứng hướng xuống Viết phương trình dao động của quả cầu
b) Tính chiều dài của lị xo sau khi quả cầu dao động được một nửa chu kì kể từ lúc bắt đầu dao động
ĐS: a) x = 4cos(10t
-6
5p
) (cm) ; b) » 53,46 cm
Bài 11 Một lị xo (khối lượng khơng đáng kể), đầu trên cố định, đầu dưới treo một vật cĩ khối lượng 80g Vật dao động
điều hịa theo phương thẳng đứng với tần số 4,5Hz Trong quá trình dao động, độ dài ngắn nhất của lị xo là 40cm và dài nhất là 56cm
a) Viết phương trình dao động, chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, t = 0 lúc lị xo ngắn nhất b) Tìm độ dài tự nhiên của lị xo, lấy g = 9,8 m/s2
c) Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi nĩ ở vị trí x = 4cm
ĐS : a/ x = 8cos(9pt + p) (cm) ; b/ 0 = 46,8cm ; c/ v =±1,96m/s ; a = - 31,95m/s2
Bài 12 Một lị xo cĩ khối lượng khơng đáng kể cĩ chiều dài tự nhiên 0= 40cm, độ cứng k = 50N/m Đầu trên của lị
xo được giữ cố định, đầu dưới treo một vật nhỏ cĩ khối lượng m = 100g Vật dao động điều hịa theo phương thẳng đứng và cĩ vận tốc cực đại vmax = 40 5cm/s Lấy g = 10m/s2
a) Viết phương trình dao động của vật Chọn trục tọa độ x’x thẳng đứng hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cĩ li độ x = 2cm và đang hướng lên
b) Tính chiều dài cực đại và cực tiểu của lị xo, lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lị xo trong quá trình vật dao động
ĐS : a) x = 4cos(10 5t +
3
p
) (cm) ; b) max= 46cm ; min= 38cm ; Fmax = 3N ; Fmin = 0
Bài 13 Một lị xo cĩ khối lượng khơng đáng kể cĩ độ cứng k được treo thẳng đứng tại một điểm cố định Khi đầu dưới
mang vật khối lượng m1 = 160g lị xo dài 1 = 60cm, cịn khi mang vật khối lượng
m2 = 240g lị xo dài 2 = 65cm Lấy g = 10m/s2
1) Tìm k và độ dài tự nhiên 0 của lị xo
2) Treo vào lị xo vật cĩ khối lượng m = 360g Lúc t = 0, vật m ở VTCB thì ta kích thích để tạo cho nĩ vận tốc ban đầu
v0 =
3
100
cm/s
a) Viết phương trình dao động của vật m, chiều dương hướng xuống
b) Tìm lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lị xo trong quá trình vật m dao động
ĐS : 1) k = 16N/m ; 0 = 50cm ; 2) a) x = 5cos(
3
20
t -2
p
) (cm) ; b) Fmax = 4,4N ; Fmin = 2,8N
BÀI TẬP VỀ CON LẮC ĐƠN
Bài 14 Con lắc đơn gồm một vật m = 0,1 kg treo bằng một dây cĩ chiều dài = 1m Lấy g = p2 m/s2 Kéo con lắc ra khỏi VTCB để cho dây treo lệch một gĩc cực đại a0 = 60 so với phương thẳng đứng rồi buơng ra khơng vận tốc đầu a) Viết phương trình dao động với gốc thời gian là lúc buơng cho con lắc dao động
b) Xác định vị trí, vận tốc của con lắc ở thời điểm t =
3
1
s và so sánh động năng Eđ và thế năng Et tại thời điểm này
ĐS : a) S =
30
p
cos(pt) (m) hay a =
30
p
cos(pt) (rad) ; b) S =
60
p
m ; v » - 0,285 m/s ; Eđ = 3Et
Bài 15 Một con lắc đơn gồm một dây nhẹ, khơng co giãn, cĩ chiều dài = 50cm, một đầu cố định, đầu cịn lại treo một vật nặng Khi con lắc đang đứng yên ở vị trí cân bằng, người ta truyền cho vật nặng một vận tốc ban đầu v0 = 31,6cm/s, theo phương vuơng gĩc với dây treo và hướng theo chiều dương Tính gĩc lệch cực đại của con lắc Viết phương trình dao động của vật nặng, với gốc thời gian là lúc truyền cho con lắc vận tốc v0 Cho g = 10m/s2
ĐS : a0 » 0,142rad » 80 ; S = 7,1cos(2 5t
-2
p
) (cm)
Bài 16 Con lắc đơn cĩ khối lượng m = 10kg và độ dài = 2m Gĩc lệch cực đại của nĩ so với đường thẳng đứng là a0
= 0,175 rad Tính cơ năng của con lắc và vận tốc của quả nặng khi nĩ ở vị trí thấp nhất Cho g = 9,8 m/s2
Trang 3ĐS : 3J ; 0,77m/s.
Bài 17 Hai con lắc đơn cùng dao động tại một nơi có gia tốc trong trường là g = 9,8 m/s2 Chu kì dao động của chúng lần lượt là 1,2s và 1,6s
a) Tính chiều dài 1 và 2 của mỗi con lắc
b) Tìm tỉ số các biên độ góc của hai con lắc trên, biết chúng có cùng năng lượng và các quả cầu của hai con lắc có cùng khối lượng
c) Tính chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn có chiều dài = 1 + 2
ĐS : a) » 0,358 m ; 1 2 » 0,636 m ; b)
3
4
02
01
a
a
» 1,33 ; c) T = 2
2 2
1 T
T = 2s
BÀI TẬP VỀ CHU KÌ DAO ĐỘNG :
Bài 18 Một vật nặng có khối lượng m treo bằng một lò xo vào một điểm cố định dao động với tần số
f1 = 6Hz Khi treo thêm một vật m' = 44g thì tần số dao động là f2 = 5Hz Tính m và độ cứng K của lò xo
ĐS : m = 100g ; K » 142N/m.
Bài 19 Một con lắc đơn có chu kì bằng 1,5s khi nó dao động ở nơi có gia tốc trọng trường bằng
9,8 m/s2 Tính độ dài của nó
Tính chu kì dao động của con lắc nói trên khi ta đưa nó lên Mặt trăng, biết rằng gia tốc trọng trường của Mặt trăng nhỏ hơn của Trái đất 5,9 lần
ĐS : 0,56m ; 3,64s.
Bài 20 Một con lắc đđơn có độ dài bằng Trong khoảng thời gian t nó thực hiện 6 dao đđộng Người ta giảm bớt độ
dài của nó 16cm Cùng trong khoảng thời gian t như trước, nó thực hiện được 10 dao động Tính độ dài ban đầu và tần
số ban đầu của con lắc Cho g = 9,8 m/s2
ĐS : = 25cm ; f » 1Hz.
TỔNG HỢP DAO ĐỘNG :
Bài 21 Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương Phương trình của hai dao động thành phần là :
x1 = 10 3cos(10pt +
2
p
) (cm) và x2 = 10cos(10pt) (cm)
Xác định phương trình của dao động tổng hợp
ĐS : x = 20cos(10pt +
3
p
) (cm)
Bài 22 Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số bằng 100Hz, và có biên độ bằng
8cm và 6cm Dao động tổng hợp có tần số và biên độ bằng bao nhiêu trong trường hợp các dao động thành phần là cùng pha, ngược pha, lệch pha 900 ? Vẽ giản đồ vectơ của ba trường hợp trên
ĐS : 100Hz ; 14cm ; 2cm ; 10cm
Bài 23 Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc = 5p rad/s, với các biên độ
A1 =
2
3 cm, A2 = 3cm và các pha ban đầu j1 =
2
p
và j2 =
6
5p
Tìm phương trình dao động tổng hợp của hai dao động trên
ĐS: x = 2,3cos(5pt + 0,73p) (cm)
Bài 24 Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, theo các phương trình :
x1 = 3sin4pt (cm) và x2 = 3 3cos4pt (cm)
a) Xác định chu kì, tần số của các dao động thành phần
b) Viết phương trình và tính vận tốc cực đại của dao động tổng hợp
ĐS : a) T = 0,5s ; f = 2Hz ; b) x = 6cos(4pt
-6
p
) (cm) ; vmax = 24p cm/s
Bài 25 Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số Viết biểu thức của dao động tổng
hợp, biết các dao động thành phần có biểu thức sau :
x1 = 3sint (cm) , x2 = 3cost (cm) , x3 = 7sin(t -
2
p
) (cm)
ĐS : x = 5sin(t -
180
53p
) (cm) = 5cos(t – 0,79p) (cm)