Tìm điểm rơi trong bài toán Max, Min

Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức là một trong những đề tài thuộc về mảng kiến thức khó của toán học phổ thông và là một chủ đề thờng có trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, phần lý thuy

A/ Phần mở đầu:

I/ Lý do chọn đề tài

1 Cơ sở lý luận:

Bất đẳng thức là một trong những đề tài thuộc về mảng kiến thức khó của toán học phổ thông và là một chủ đề thờng có trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, phần lý thuyết ngắn gọn nhng phạm vi áp dụng khá rộng đòi hỏi học sinh không những phải nắm chắc kiến thức lý thuyết mà còn phải có nhiều kinh nghiệm trong quá trình giải Việc dạy lý thuyết thông qua các bài tập về bất đẳng thức giúp ngời học toán hiểu kĩ và sâu sắc hơn về các mối quan hệ giữa bất đẳng thức và dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Đối với học sinh khi cha đợc làm quen với dạng toán này thì th-ờng không tìm ra định hớng để giải, một số em giải đợc thì không tránh khỏi những sai lầm khi giải loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức Việc truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm bằng cách đa ra những sai lầm thờng gặp cũng nh phơng pháp giải một số dạng cơ bản về toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức là hết sức cần thiết

2 Cơ sở thức tiễn :

Trong nhiều năm giảng dạy, bồi dỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy: Hầu hết các đề thi học sinh giỏi các cấp và các đề thi vào các lớp chuyên chọn

đều có bài tập thuộc dạng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một bất đẳng thức Hầu hết các em học sinh đều nhận định đây là

dạng toán khó ở chơng trình THCS ( Phần nâng cao) học sinh đã đợc làm

quen với một số bất đẳng thức nh bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacopski,…NhNhng việc vận dụng các bất đẳng thức này vào giải toán thì các em còn bị hạn chế và thiếu kinh nghiệm rất nhiều do đó dẫn tới không giải đợc hoặc nếu giải đợc thì có những sai lầm đáng tiếc Để giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện để giải các bài toán dạng này mà không bị sai sót để các em vơn lên đạt những thành tích cao trong học tập, với những tích lũy trong giảng dạy của bản thân và xuất phát từ cơ sở thực tiễn nh đã nêu trên tôi đã nghiên cứu và viết đề tài này

II/ Nhiệm vụ nghiên cứu:

1 Nghiên cứu lý luận:

Xuất phát từ cơ sỏ lý luận và cơ sỏ thực tiễn trên tôi xin trình bày một số kinh nghiệm nhỏ : Tổng kết các sai lầm cơ bản mà học sinh thờng gặp phải

trong việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đồng thời đa ra một số dạng thờng gặp về bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

và một số chú ý quan trọng

2 Khảo sát thực tiễn của đề tài:

a/ Số liệu thông kê:

Khi cha áp dụng đề tài này giáo viên ra bài tập chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị Max, Min của biểu thức thì có:

Số học sinh không giải

đợc

Số học sinh có kết quả

sai

Số học sinh giải đúng

b/ Phân tích nguyên nhân:

* Học sinh không giải đợc :

- Do cha nắm đợc các tích chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức phụ thờng dùng

- Do cha đợc trang bị các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

* Học sinh giải có kết quả sai:

- Do mắc một số sai lầm khi vận dụng các tính chất của bất đẳng thức vào giải toán

- Cha nắm vững các cánh áp dụng bất đẳng thức, điều kiện trong bất đẳng thức

3 Đề xuất giải pháp:

Để giải các bài toán về bất đẳng thức giáo viên cần cung cấp cho học sinh nắm vững kiến thức về bất đẳng thức Côsi, cách phân tích trong kỷ thuật chọn điểm rơi, chú ý điều kiện để dấu “=” xẩy ra Cung cấp cho học những dạng thờng gặp và hớng giải quyết đồng thời nhấn mạnh các chú ý trong khi tìm lời giải, có nh thế học sinh mới có đợc định hớng giải và tránh đợc những

Chơng IV: những chú ý quan trọng khi tìm giá trị Max, Min của

một biểu thức

Chú ý 1: Khi tìm giá trị Max, Min của biểu thức ta cần chú ý tới việc biến

đổi biểu thức đã cho

Chú ý 2: Khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức nhiều khi ta thay

điều kiện để biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất( lớn nhất) bởi điều kiện tơng

đơng là biểu thức khác

Chú ý 3: Nhiều khi ta cần tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu

thức trong từng khoảng của biến sau đó so sánh các giá trị đó để tìm giá trị

nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trong toàn bộ tập xác định của biểu thức

Chú ý 4: Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ta thờng sử dụng các bất đẳng

thức đã biết và một số bất đẳng thức phụ

Chú ý 5: Trong các hằng đẳng thức cần chú ý đến hai mệnh đề sau cho giá

trị lớn nhất của tích Giá trị nhỏ nhất của tổng:

+ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và

chỉ khi hai số đó bằng nhau

+ Nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất

khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

Chú ý 6: Trong các ví dụ trên ta chỉ ta tất cả các giá trị của biến để xẩy ra

dấu đẳng thức Tuy nhiên yêu cầu của bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị

lớn nhất không đòi hỏi nh vậy Chỉ cần chứng tỏ rằng tồn tại của biến để xẩy

ra dấu đẳng thức

Chú ý 7: Nếu việc tìm giá trị Max của một biểu thức mà phức tạp thì ta

chuyển thành việc tìm Min của nghịch đảo biểu thức đó

Chơng V: Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho 











2 0

;

;

c b a c b a

Tìm Min của biểu thức: S = abc +

abc

1

Bài 2: Cho 







 4 0

;

b a b a

Tìm Min của biểu thức : S = 2a + 3b +

b

a

10

6



Bài 3: Cho a; b; c; d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S =

d

c b a c

b a d b

a d c a

d c b c b a

d b

a d

c a

d c

b d

c

b











































Bài 4: Cho 











1 0

;

;

c b a c b a

Tìm Max của S =

3 3

3 ab  bc  ca

Bài 5: Cho 









 16 0 ,

, ,

d c b a

d c b a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = ( 2 1)( 2 1)( 2 1)( 2 1)

b a

d a d

c d c

b c b

Bài 6: Cho : 





 1 0

;

b a b a

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = ab

ab b

1 1

2



Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2

x

x

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a)

9

12 27

2





x

x

b)

1 4

3 8

2





x x

c)

2

1 2

2





x x

Bài 9: Cho x; y > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : S = 2

3

.

) (

y x

y

x 

 Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức cho ba số dơng 4x; 2y; 2y

Max S =

4 27

Bài 10: Cho (x + y)2 + 6(x + y) + y2 + 6 = 0

Tìm Max, Min của S = x + y

(Trích đề thi vào THPT năm 2008 của Hà Tĩnh)

Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số, mẫu

số là tổng các chữ số của mẫu số

Bài 12: Cho các số tự nhiên a, b, c, d với c, d lớn hơn 0 thỏa mãn bất đẳng

thức a + b = c + d = 1000 Tìm giá trị lớn nhất của S =

d

b c

a



Bài 13 : Tìm giá trị lớn nhất của C = 1x x.1y y  1z z

Biết x + y + z = 1

Bài 14 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x) = x x



 1

1 1

Với 0 < x < 1

Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của P(a,b) =

ab

b a b a

2 2





 Với a, b > 0

Bài 16 : Tìm giá trị lớn nhất của A = x2y2z2t biết x, y, z, t > 0

và 2x + xy + z + yzt = 1

Bài 17 : Cho a > 0 và x )

2

; 0 ( a

 Tìm giá trị lớn nhất của

Q = ) 4

2

(

a a



Bài 18 : Cho xy + xz + zy = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x4 + y4 + z4

C/ Kết quả và kiến nghị :

1 Kết quả:

Khi học sinh đợc trang bị những kiến thức này thì học sinh giải

sạng toán này rất say mê và thực sự đã phát huy đợc tính tò mò, sáng tạo, tích cực học tập của học sinh

Cụ thể : Sau khi học sinh đợc học tập chuyên đề này thì có 80% học sinh tiếp thu nhanh, vận dụng tốt ( Trong đó có 30% học sinh giỏi và 50% học sinh khá)

Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi cho học sinh THCS môn toán tôi đã rút ra đợc một số kinh nghiệm và viét thành đề tài này Thực tế cho thấy khi học sinh học bất đẳng thức ngoài việc đợc rèn luyện kỷ năng chứng minh bất đẳng thức, vận dụng bất đẳng thức vào giải toán thì viẹc nâng cao t duy lôgic lập luận các vấn đề chặt chẽ, phát huy tính sáng tạo, tích cự của học sinh là rất cần thiết

Sau khi viết đề tài này bản thân tôi nhận thấy trình độ chuyên môn của mình đợc nâng cao hơn

Đề tài giúp cho học sinh có một định hớng nhất định khi đứng trớc một bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, giúp học sinh tránh

đợc những sai lầm khi giải toán dạng này, từ đó các em tự tin hơn, hứng thú hơn trong học tập

Với thời gian và trình độ có hạn nên đề tài sẽ không tránh khỏi những sai sót và hạn chế Tôi rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của giáo viên hớng dẫn, quý thầy cô giáo để đề tài của tôi đợc hoàn thiện hơn

2 Kiến nghị:

- Đề tài này đợc áp dụng đối với học sinh lớp 9 là chủ yếu

- Giáo viên bồi dỡng toán 9 cần trang bị cho học sinh nội dung của

đề tài một cách hợp lý và linh hoạt

- Mặc đầu bản thân đã rất cố gắng nghiên cứu tích lũy để viết đề tài này, nhng cũng không thể tránh khỏi những hạn chế Kính mong quý thầy cô và ban giám khảo giúp đỡ

Em xin chân thành cảm ơn!

D/ Mục lục

A/ Phần mở đầu

I/ Lý do chọn đề tài

1 Cơ sở lý luận

2 cơ sở thực tiễn II/ Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Nghiên cứu lý luận

2 Khảo sát thực tiễn

3 Đề xuất giải pháp

B/ Nội dung Chơng I : Một số bất đẳng thức quan trọng

Chơng II : Kỷ thuật chọn điểm rơi và các ví dụ

Chơng III : Các dạng toán tìm Max, Min của một biểu thức thờng gặp

Ch¬ng VI : Mét sè chó ý quan träng khi gi¶i bµi to¸n t×m Max, Min

Ch¬ng V : Bµi tËp ¸p dông

C/ KÕt qu¶ vµ kiÕn nghÞ