Chuyên đề: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị

THAY CHO LỜI KẾT Để làm rõ vai trò quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài toán và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tôi xin nêu một phương pháp mới giải[r]

Chuyên Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ I BÀI TOÁN MỞ ĐẦU  a, b  1  Bài toán Cho  , tìm GTNN P  2 2ab a b a  b  Giải 1 4 Ta có:    4 2 2ab a  2ab  b a b (a  b)2  a   a  b  MinP  x  y   Dấu “=” xảy   a  b  b    a, b  1  Bài toán Cho  , tìm GTNN P   a  b2 2ab a  b  Giải 1 4 Lời giải Ta có: P      2  a  b2 2ab a  2ab  b2  (a  b)2  1  a  b2  2ab (a  b)2   Dấu “=” xảy    (voâ nghieäm) Vậy không tồn a  b  a  b  MinP ? ? Lời giải Ta có: 1 4 P        a  b2 6ab 3ab a  6ab  b2  3ab (a  b)2   4ab 3ab ab Mặt khác ab     Vậy P    ab 2     ab 6     1  a  b2  3ab  ab Dấu “=” xảy  a  b a  b   Lời bình: Bài toán và bài toán gần tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 1 1     Lời giải sai? Lời giải lại tách ? ? Làm a b ab 2ab 6ab 3ab nhận biết điều đó…? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chuyên đề này chúng ta hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải các bài toán cực trị II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang Lop12.net Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là nhửng bài toán quan tâm đến nhiều các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt là với xu hước đề chung Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó đề thi mặc dù cần sử dụng số bất đẳng thức Sách giáo khoa học sinh gặp nhiều khó khăn số sai lầm thói quen lời giải bài toán mở đầu là ví dụ Để giúp học sinh hiểu sâu bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi giải toán bất đẳng thức” III NỘI DUNG Bổ túc kiến thức bất đẳng thức a) Tính chất bất đẳng thức Định nghĩa: a  b  a  b  a  b   ac b  c   a b  acbc a  b  acbd  c  d 1  a b b) Một số bất đẳng thức  Bất đẳng thức Cauchy a1 , a2 , , an (n  2) n Cho số thực không âm ta luôn có a1  a2    an n  a1a2 an Dấu “=” xảy và a1  a2    an n  Một vài hệ quan trọng: 1 1   (a1  a2    an )        n2 với ai  0, i  1, n an   a1 a2  ab0 1 n2     với ai  0, i  1, n  a1 a2 an a1  a2    an  Cho 2n số dương ( n  Z , n  ): a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ta có: n (a1  b1 )(a2  b2 ) (an  bn )  n a1a2 an  n b1b2 bn  Bất đẳng thức BCS Cho 2n số dương ( n  Z , n  ): a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ta có:  (a1b1  a2b2    anbn )2  (a12  a22    an2 )(b12  b22    bn2 ) a a a Dấu “=’ xảy      n (quy ước bi    0) b1 b2 bn Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho hai dãy số a1 , a2 , , an và b1 , b2 , , bn với bi  i  1, n ta luơn cĩ: an2 (a1  a2    an )2 a12 a22     b1 b2 bn b1  b2    bn Trang Lop12.net a a1 a2    n b1 b2 bn Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho f ( x1 , x2 , , xn ) là hàm n biến thực trên D   n : f : D   n   Dấu “=’ xảy   f ( x1 , x2 , , x n )  M ( x1 , x2 , , xn )  D  Max f  M   0 0 0 D ( x1 , x2 , , xn )  D : f ( x1 , x2 , , xn )  M  f ( x1 , x2 , , x n )  m ( x1 , x2 , , xn )  D  Min f  m   0 0 0 D ( x1 , x2 , , xn )  D : f ( x1 , x2 , , xn )  M Phương pháp chọn điểm rơi Nhận xét: Các bất đẳng thức các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và ta dự đoán dấu xảy ta các biến và xảy biên a) Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Sử dụng hệ (1) và (2)  a, b  1   4ab Bài Cho  , tìm GTNN biểu thức P  2 ab a b a  b  Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : 1 4   P    4ab    4ab    4ab  2 2ab 2ab a b a  b  2ab 2ab (a  b)  2ab  1 Mặt khác  4ab  4ab  2 Vậy P   2 nên MinP  2(2  2) 2ab 2ab Sai lầm 2: 1   1 1 P    4ab   4ab   42 6  2 ab  4ab  4ab (a  b) 2ab 4ab 4ab 4ab a b a  b2  2ab  1  Dấu xảy  a 2b2  vào ta P   a  b  Thay a  b  16  a  b    MinP  a  b  Nguyên nhân sai lầm: Trang Lop12.net 1   là thói quen để ab 2ab 2ab a  b   làm xuất a  b2  2ab  (a  b)2 MinP   2    4ab  VN Dấu “=” bất ab  a  b  Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách đẳng thức không xảy  không kết luận MinP   2 Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán dấu a  b  nên đã tách là đúng, bước cuối học sinh làm sai ví dụ (1  x)2  x  x , dấu xảy x   Min ( x  1)2  x   1?? các số hạng và MinP  a  b  Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đoán MinP đạt a  b  P , ta có: 1   1   ab     ab  7   4ab  4ab (a  b)2 2ab a  b2 2ab  ab 4    a  b2  2ab  1  Dấu xảy  a 2b2  ab 16  a  b    a, b  1 Bài Cho  , tìm GTNN biểu thức S  3   a b a b ab a  b  Sai lầm thường gặp: 1 2 2 1  Ta có: S  3          a  b 3a b 3ab2 3a 2b 3ab2 a  b3  3a 2b  3ab2  a 2b ab2  1 1 59      9  (a  b) ab  a b  ab ab 3     59 MinS  a  b3  3a 2b  59  a  b (vn) Nguyên nhân sai lầm: MinS  a  b   Lời giải đúng Trang Lop12.net , và ta thấy a  b3  3a 2b  3ab2  (a  b)3 vì ta 1 muốn xuất (a  b)3 ; ta áp dụng bất đẳng thức 3   và vậy: a b 2a b 2ab2 1 , ta không đánh giá tiếp cho nên ta phải áp    3 a b 2a b 2ab (a  b)  ab(a  b) dụng bất đẳng thức cho số: 1 1 25 25 S 3       20 2 a b 2a b 2ab 2a b 2ab (a  b)  ab(a  b) (a  b)3 (a  b)  Dấu xảy a  b   x, y , z  1  Bài Cho  1 Tìm GTLN P       x  y  z x  y  z x  y  z x y z  Sai lầm thường gặp:  1   1   1   1  10             Sai lầm 1: Ta có P          x y z   x y z   x y z  18  x y z  10  MaxP  Sai lầm 2: 1 1  1  1  1  1  1  10 P                3 xyz 3 x.2 yz 3 xy z 3  x y z  3  x y z  3  x y z  Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm 2 x  y  z 2 y  x  z  10 10 rơi MaxP   2 z  x  y (vn) , tức là không tồn ( x, y, z )  D : P  9 1 1    4  x y z Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt x  y  z  nên tách các số 2x  x  x cho dấu xẩy 1 1 1 1        , tương tự và ta có: Cách 1: Ta có x  y  z x  x  y  z 16  x x y z  Ta dự đoán dấu xảy a  b   1     1                   , MaxP  x  y  z  16  x y z   x y z   x y z   1  Cách 2: Ta có x  y  z  x  x  y  z  4 x.x y.z  , mặt khác: x  y  z 4 x yz P Trang Lop12.net 1 1 11 1 1 1 2 1            , tương tự ta có: x x y z  x x y z  x  y  z 16  x y z  1 1 1 P       Dấu “=” xảy x  y  z  , suy ra: 16  x y z  MaxP  x  y  z  Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:  x, y , z  1  Cho  1 Tìm GTLN P        x   y   z  x   y   z  x   y   z x y z  Với  ,  ,   N  : Cách làm tương tự bài 3, ta tách  x   x  x    x , Nếu  ,  ,   R  ,  soá thì bài toán có còn giải không? Câu trả lời dành cho độc giả phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi BCS”  a , b, c  Bài Cho  Chứng minh rằng: a  2b  b  2c  c  2a  3 a  b  c  Sai lầm thương gặp:   (a  2b)  a  2b  Ta có: 1.1(a  2b)  , tương tự ta có: 3  a  2b  b  2c  c  2a a  2b  b  2c  c  2a     5, 3 mà  3  đề sai ? ? a  2b  b  2c   Nguyên nhân sai lầm: P  VT  5, vaäy MaxP =5   (vn) , P  c  a  a  b  c  Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” bất đẳng thức xảy a  b  c  Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a  2b,3,3 ta có: 1   (a  2b)  a  2b , tương tự ta có: a  2b  3 3.3(a  2b)   9 33  a  2b  b  2c  c  2a P    3 , dấu xảy a  b  c  3 3 9  x, y , z  x2 y2 z2 Bài Cho  , chứng minh rằng:    1 y 1 z 1 x  xyz  Sai lầm thường gặp: 1  y  y 2 2  x y z ( xyz ) Sai lầm 1: P  , mặt khác 1  z  z , suy ra:    33 1 y 1 z 1 x (1  y )(1  z )(1  x)  1  x  x Trang Lop12.net (1  y )(1  z )(1  x)  xyz  Vậy P  , dấu “=” xảy x  y  z   x2  (1  y )  x   y   y  (1  z )  y  P  2( x  y  z )  ( x  y  z )   x  y  z  , Sai lầm 2: ta có:   z   z2  (1  x)  z  1  x mặt khác x  y  z  3 xyz   P  Nguyên nhân sai lầm: 1 Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất bất đẳng thức: a  b    a b x  y  z  y2 z2  x Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy     y,   z,   x (vn)  y  z  x   xyz   Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy x  y  z  Vì áp dụng Cauchy cho 1 y x2 x2 1 y      và :  1 y 1 y    x2 1 y  x   y   y  z 3 3   y  P  (x  y  z)  (x  y  z)   (x  y  z)   Ta có:  4 4 1  z  z 1 x  z   x  Dấu “=” xảy x  y  z  Bài tập tương tự(trích dẫn các đề thi đại học) m  x3  y m  y3  z3  x, y , z  m  z  x3 Bài Cho  , chứng minh   3 3, xy yz zx  xyz  với m  N  : Nếu m  là đề thi Đại học khối D năm 2005 Bài Cho x, y, z là số thỏa x  y  z  , chứng minh rằng:  x   y   z  (đề tham khảo 2005) ab c   bc a   ca b  Bài Cho a  2, b  3, c  , tìm GTLN: P  abc Bài Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  Trang Lop12.net Chứng minh rằng: a  3b  b  2c  c  3a  (ĐTK 2005)  a , b, c  Bài Cho  , tìm GTNN các biểu thức sau: a  b  c  1 1 P    a  b2  c ab bc ca 1 1 1 S      a  b2 b2  c c  a ab bc ca 1 1 1 Q      a  bc b  ca c  ab ab bc ca 2   1 25  Bài Cho u  v  , chứng minh rằng:  u     v    u   v   Bài Cho a, b, c là các số dương Tìm GTNN của: 2 a3 b3 c3   c3 a (ĐHQGHN 2001-2002) Q b a b c   b c a Bài Cho a, b, c dương thỏa abc  , tìm GTNN biểu thức: bc ca ab (ĐH 2000 – 2001) Q   a (b  c) b (c  a ) c (a  b)  x, y , z  x y Bài Cho  , tìm GTNN P  (ĐHNT 2001 – 2002)  1 x 1 y x  y  Bài 10 Cho x, y, z là ba số dương và x  y  z  , chứng minh rằng: x2  1  y   z   82 (ĐH 2003) x y z b) Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức BCS Bài Cho x, y, z là ba số dương và x  y  z  , chứng minh rằng: 1 2  y   z   82 x2 y2 z2 Nhận xét: chúng ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy phần x2  Sai lầm : 1 1  1   2   x   1   x    x   x   x  x x x x  x 2   Tương tự ta có: P     1  1 1  ( x  y  z )  (x  y  z)            2  x y z  x y z Vậy P  ? Trang Lop12.net x y z   ,  ,  Nguyên nhân sai lầm: P    x y z (vn) x  y  z   Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y  z  ; và biểu thức gợi     cho tam sử dụng BCS:  x         x   với  ,  là số thỏa mãn: y x    x x     x   , chọn   1,     x     9 1  9   Ta có  x   12  92   x    x    x   , tương tự ta có: x x x  x 82     1  1 1  P 9 x  y  z )       , x  y  z  1;    nên ta tách: x y z 82   x y z     1  80  1  80  1  (x  y  z)            (x  y  z)       82 9 x y z   x y z  x y z x  y  z   Vậy P  82 , dấu “=” xảy x  y  z   x, y, z.0 1  Bài Cho  1 , tìm GTLN P    2x  y  z x  y  z x  y  2z x  y  z 1  Giải 2 1 (  z )2    Áp dụng hệ qua (1) ta có: , ta chọn  cho x  y  z  và 2x y z 2x  y  z  1     1   2x y z  1 (2  2)2     2x  y  z  2x y z   1 1 1 (2  2)2 Vậy ta có:     P     2y z x  2y  z x 2 x y z 2 1     (2  2)  x y 2z x  y  2z Dấu xảy x  y  z   MaxP  x  y  z  2 Bài tập áp dụng     Trang Lop12.net  a , b, c  1 Bài Cho  ,chứng minh    a (b  c) b (c  a ) c (a  b) abc   a , b, c  a3 b3 c3 Bài Cho  , tìm GTNN P    (1  b)(1  c) (1  c)(1  a ) (1  a )(1  b) abc  Bài Cho a, b, c, d  , tìm GTNN a b c d P    b  2c  3d c  2d  3a d  2a  3b a  2b  3c  xi  0, i  1, n  Bài Cho  n , tìm GTNN P   x1   x2     xn  xi   i 1 a b c Bài Cho a, b, c  , chứng minh rằng:   1 2 a  8bc b  8ca c  8ab IV THAY CHO LỜI KẾT Để làm rõ vai trò quan trọng việc chọn điểm rơi việc định hướng giải bài toán và là kết lại phần chuyên đề này, tôi xin nêu phương pháp giải bài toán sau: 3 Bài toán: Chứng minh tam giác ABC ta luôn có sin A  sin B  sin C  Phân tích để đến lời giải: Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy tam giác ABC là tam giác ABC   Vì A  B  C   ta giảm bớt số biến sin C  sin A cos B  sin B cos A P  sin A  sin B  sin C  sin A  sin B  sin A cos B  sin B cos A , ta nghĩ đến: sin A  cos2 A  ; A, B không còn quan hệ ràng buộc, làm nào để xuất sin A,cos2 A  2 sin B  cos B  a  b2 , ta nghĩ đến bất đẳng thức ab  , sin A  sin B  ,cos A  cos B  , Ta áp dụng Cauchy: 2  sin B  sin A  sin A    sin B  cos B  cos A   cos B   cos A         3        3   Ta có: sin A  sin B   sin A     sin B    Vậy:         sin A 3   3   sin B VT   cos B     cos2 A      sin A     sin B       4        Trang 10 Lop12.net