Lý thuyết chọn Michael và ứng dụng

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM TƯỜNG BẢO NGUN LÝ THUYẾT CHỌN MICHAEL VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hồng Trí Phản biện 1: ……………………………………… Phản biện 2: …………………………………… Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày… tháng … năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thơng tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho X, Y khơng gian tơpơ, ký hiệu 2Y họ tất tập khác rỗng Y Một hàm Φ : X → 2Y gọi giá Vấn đề đặt với điều kiện khơng gian X, Y hàm liên tục f : X → chọn liên tục Y mà f(x) ∈ Φ (x), x ∈ Φ tồn hàm X Hàm f gọi phép Φ Việc tồn phép chọn liên tục giá với giá trị tập lồi khơng gian metric tuyến tính nghiên cứu Michael Lý thuyết gọi lý thuyết chọn Michael Nó có nhiều ứng dụng quan trọng Giải tích hàm, tơpơ lý thuyết điểm bất động, việc mở rộng định lý thác triển Tietze – Urysohn Định lý Tietze – Urysohn phát biểu “ Cho X khơng gian metric, A tập đóng X, f : A → R hàm liên tục Khi tồn hàm liên tục F: X → R mà thác triển f ” Dugundji mở rộng kết cách thay tập hợp số thực R khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương E tùy ý Sử dụng lý thuyết chọn Michael, ta thay khơng gian metric X khơng gian tơpơ chuẩn tắc khơng gian tơpơ tuyến tính X phải giả thiết thêm khả metric đầy đủ Cho khơng gian tơpơ X, ta nói X có tính chất điểm bất động hàm liên tục f:X → X tồn phần tử x ∈ X cho f(x) = x Định lý điểm bất động Schauder phát biểu tập lồi compact khơng gian tuyến tính định chuẩn có tính chất điểm bất động Bằng cách sử dụng lý thuyết chọn Michael, ta mở Footer Page of 126 Header Page of 126 rộng Định lý cho ánh xạ đa trị (Định lý Kakutani) Vì vấn đề đặt luận văn tìm hiểu lý thuyết ứng dụng Do đó, tơi chọn đề tài “ LÝ THUYẾT CHỌN MICHAEL VÀ ỨNG DỤNG” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Luận văn “LÝ THUYẾT CHỌN MICHAEL VÀ ỨNG DỤNG” nhằm thể vai trò lý thuyết chọn Michael việc mở rộng định lý thác triển Dugundji, mở rộng định lý Tietze – Urysohn mở rộng định lý điểm bất động Schauder Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu - Các tập lồi, ánh xạ liên tục, giá nửa liên tục dưới, ánh xạ tuyến tính liên tục, khơng gian tơpơ, khơng gian metric tuyến tính 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu sau : - SELECTED TOPICS IN INFINITE-DIMENTIONAL TOPOLOGY tác giả “Czeslaw Bessaga Aleksander Pelczynski” - Infinite - Dimensional Topology tác giả J van Mill - Tơpơ đại cương – Độ đo tích phân Nguyễn Xn Liêm - Và sách chun đề giải tích hàm, lý thuyết chọn Michael Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu luận văn khảo sát, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp làm sáng tỏ kết khoa học báo lý thuyết chọn Michael Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Mở rộng định lý Tiezte – Urysohn, định lý Dugundji Footer Page of 126 Header Page of 126 Mở rộng định lý điểm bất động Schauder Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận: Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương - LÝ THUYẾT CHỌN CỦA MICHAEL Chương 3- CÁC ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT CHỌN MICHAEL Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian Tơpơ ánh xạ 1.1.1 Khơng gian Tơpơ Một khơng gian tơpơ cặp (X, T ) bao gồm tập X lớp T tập X thoả mãn điều kiện sau: (i) ∈ T X ∈ T ; (ii) U, V ∈ T kéo theo U ∩ V = T ; (iii) Nếu Uc ∈ T với c ∈ C U U c ∈ T c∈C Ta thừa nhận thêm tiên đề tách Hausdorff: (iv) Nếu x, y ∈ X, x ≠ y tồn tập rời U, V ∈ T cho x ∈ U y ∈ V Lớp T gọi tơpơ khơng gian (X, T ), phần tử T gọi tập mở Một tập B ⊂ X đóng X \ B ∈ T Với A ⊂ X, ta ký hiệu clA bao đóng A Nghĩa tập đóng nhỏ chứa A, phần biên A tập hợp: intA = X \ cl (X\A), ∂A = clA ∩ cl (X\A) Khơng gian tơpơ (X, T ) ký hiệu X Một tập hợp A khơng gian tơpơ (X, T ) thường xem khơng gian tơpơ với tơpơ tương đối: (1) T | A = {U ∩ A : U ∈ T } Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1.2 Ánh xạ Cho X Y khơng gian tơpơ, hàm f : X →Y liên tục f-1(V) mở với tập mở V ⊂ Y Các hàm liên tục hiểu ánh xạ Từ định nghĩa tơpơ tương đối T | A suy hàm f : X →Y liên tục có hạn chế f Nghĩa hàm f1 : X → f(X) cho f1(x) = f(x) với x ∈ X liên tục 1.1.3 Phép biến đổi tơpơ Một phép biến đổi tơpơ hay phép đồng phơi khơng gian tơpơ X Y hàm liên tục song ánh f : X  →Y cho hàm nghịch f-1 liên tục Khơng gian X Y gọi biến đổi tơpơ hay đồng phơi, ký hiệu X Y tồn phép biến đổi tơpơ chúng Một ánh xạ f : X →Y phép nhúng biến đổi tơpơ hay phép nhúng đồng phơi (viết tắt phép nhúng) hạn chế f phép biến đổi tơpơ X f(X) Giả sử X, Y khơng gian tơpơ X1 ⊂ X , Y1 ⊂ Y Một ánh xạ f : X →Y gọi phép biến đổi tơpơ cặp (X, X1) (Y, Y1), với điều kiện f phép biến đổi tơpơ X Y f(X1) = Y1 1.1.4 Sự co rút Cho A ⊂ X Ta ký hiệu iA :A →X ánh xạ bao hàm iA(a) = a với a ∈ A Mỗi ánh xạ r:X → A cho r°iA = eA gọi co rút X A 1.1.5 Tập hợp trù mật Một tập hợp A khơng gian tơpơ X gọi trù mật Footer Page of 126 Header Page of 126 clA = X Khơng gian X gọi tách hay khả ly tồn tập trù mật đếm 1.1.6 Liên thơng Một khơng gian tơpơ X liên thơng tập hợp X mà đóng mở đồng thời X Những tập liên thơng cực đại khơng gian tơpơ gọi thành phần liên thơng 1.1.7 Khơng gian quy Một khơng gian tơpơ X quy, với tập đóng A với điểm x ∈ X \ A, tồn tập mở rời U, V ∈ A U A ⊂X ⊂ ⊂X ⊂X cho x V Khơng gian X hồn tồn quy với tập đóng với điểm x ∈ X \ A tồn hàm lấy giá trị thực liên tục f xác định X cho A ⊂ f-1(0) x ∈ f-1(1) 1.1.8 Khơng gian chuẩn tắc Một khơng gian tơpơ X chuẩn tắc với hai tập đóng rời A, B X có lân cận rời 1.1.9 Khơng gian compact Một khơng gian tơpơ X compact, phủ mở X có phủ hữu hạn Mỗi ảnh liên tục [tập hợp] khơng gian compact compact Một ánh xạ đơn ánh với miền xác định compact phép nhúng Một khơng gian tơpơ X compact địa phương với điểm x ∈ X có lân cận compact 1.2 Khơng gian metric khơng gian metric đầy đủ 1.2.1 Khơng gian metric Footer Page of 126 Header Page of 126 Một metric tập A hàm khơng âm d(x, y) xác định với x, y ∈ A cho điều kiện sau thoả mãn: (i) d(x, x) = d(x, y) = kéo theo x = y (với x, y ∈ A) (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ A; (iii) d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z) với x, y, z ∈ A Tơpơ T mà sở tập hợp hình cầu metric B(y, ε) = { x ∈ A : d(x, y) < ε } , với y ∈ A, ε > } , gọi sinh d Hay metric d tương thích với tơpơ T , hay d metric khơng gian tơpơ (A, T ) Một khơng gian tơpơ X gọi metric hố tồn metric mà sinh tơpơ X 1.2.2 Khơng gian metric đầy đủ Cho X khơng gian tơpơ metric hố được, cho d metric X sinh tơpơ cho (xn) dãy phần tử X Khi đó: (xn) hội tụ xo, ký hiệu : lim xn = xo dãy số thực (d(xn, xo)) có n giới hạn Cho d metric tập X Một dãy (xn) X gọi dãy Cauchy d (viết tắt dãy : d - Cauchy) thoả mãn điều kiện sau: (*) Với ε > 0, k ∈ N cho d(xn, xk) < ε với n ≥ k Một khơng gian tơpơ thừa nhận metric đầy đủ tương thích với tơpơ gọi metic hố đầy đủ Một khơng gian metric [đầy đủ] cặp (X, d) với X tập hợp d metric [đầy đủ] X Cho (X, d) khơng gian metric, A, B Footer Page of 126 ⊂X x ∈ X Ta có: Header Page 10 of 126 10 d ( x , y ) : khoảng cách điểm tập hợp d(x, A) = inf y∈ A d(A, B) = inf { d ( x , y ) : x ∈ A, y ∈ B} : khoảng cách hai tập hợp diam A = sup{ d ( x , y ) : x , y ∈ A} : đường kính tập hợp Cho (X, d) (X’, d’) khơng gian metric Một đơn ánh g : X→X’ gọi phép nhúng đẳng cự [phép đẳng cự] nếu: d(x, y) = d’(g(x), g(y)) với x, y ∈ X [và g(X) = X’] Các khơng gian metric (X, d) (X’, d’) gọi đẳng cự tồn phép đẳng cự X X’ Mệnh đề 1.1 Nếu X khơng gian tơpơ metric hóa [đầy đủ] tồn metric [đầy đủ] d X cho d(x, y) ≤ với x, y ∈ X, với d tương thích với tơpơ cho X Mệnh đề 1.2 (Hausdorff) Với khơng gian metric X = (X, d), tồn phép nhúng đẳng cự g X vào khơng gian metric đầy đủ Y cho clg(X) = Y Khơng gian Y phép đẳng cự Mệnh đề 1.3 (Cantor) Nếu khơng gian metric (X, d) đầy đủ An với n ∈ N, tập đóng X cho A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ … diamAn = lim n 0, giao I An tập hợp điểm n∈N Định lý 1.1 (Baire) Cho X khơng gian metric đầy đủ An tập trù mật X có kiểu Gδ, với n ∈ N Khi giao I An trù mật X n∈N (Với Gδ họ gồm tất tập có dạng giao đếm tập mở) Hệ 1.1 Nếu X khơng gian metric đầy đủ X = U Bn , với Bn n∈N đóng, tập hợp Bn có phần tử khơng rỗng Footer Page 10 of 126 Header Page 13 of 126 13 Với co ∈ C, toạ độ co ánh xạ pco : ∏ X c → X c định nghĩa o c∈C pco ({ xc }c∈C ) = xc Nếu { X c }c∈C {Yc }c∈C hai họ khơng gian tơpơ, fc : o Xc→Yc ánh xạ f = ∏f c∈C c , gọi tích Cartesian ánh xạ, định nghĩa f ({ xc }c∈C ) = { f ( x )}c∈C c c Nếu X khơng gian tơpơ gc: X → Yc ánh xạ, f = ∏X c∈C c ∏g c∈C c : → ∏ Yc , với tất khơng gian Xc khơng gian c∈C X, g = { g } : X → c c∈C ∏Y c∈C c định nghĩa g(x) = { g c ( xc )}c∈C Từ định nghĩa tơpơ tích, hàm số liên tục Khi tập hợp số C hữu hạn C = {1, 2, …, n}, ta ký hiệu: ∏X c∈C c = X1 × …× Xn, ∏f c∈C c = f1 × …× fn, { g } = (g1, …, gn) , Xc = Xn c c∈C Với khơng gian tơpơ X bất kỳ, ta định nghĩa ∆ : X → X × X, với ∆(x)=(x, x) ∆ gọi ánh xạ đường chéo, ∆(X), tập hợp X × X, gọi đường chéo X Nếu X Y khơng gian tơpơ, a ∈ X, b ∈ Y, đó: :Y→X×Y ×b:X→X×Y ánh xạ định nghĩa a × (y) = (a, y) × b(x) = (x, b) Mệnh đề 1.7 Nếu Xc, c ∈ C, khơng gian compact, ∏X c∈C compact Nếu Xc, c ∈ C, khơng gian metric đầy đủ, cardC ≤ ∏X c∈C c khơng gian metric đầy đủ 1.3.3 Khơng gian thương Footer Page 13 of 126 c o Header Page 14 of 126 14 Cho X khơng gian tơpơ r quan hệ tương đương X X/r ký hiệu tập hợp lớp [x] = {y ∈ X : yrx} Cho φ : X → X/r phép chiếu tắc, nghĩa φ(x) = [x] Ký hiệu : T = { U ⊂ X/r : φ-1(U) mở X} Khi T tơpơ X/r Cặp (X/r, T), ký hiệu ngắn gọn X/r, gọi khơng gian thương X quan hệ r 1.4 Khơng gian tuyến tính tập hợp lồi – khơng gian tơpơ tuyến tính X ký hiệu khơng gian tuyến tính Với A, B ⊂ X, L ⊂ R, ta ký hiệu: A + B = {x + y: x ∈ A, y ∈ B} , L · A = {tx : t ∈ L, x ∈ A } , –A = {–1}·A , A – B = A + (–B) Trong trường hợp tập hợp điểm ta viết tắt ký hiệu sau: x + A, L · x, t · A, … Một tập hợp U ⊂ X gọi hấp thu, R+ · U = X Với x, y ∈ X, ta ký hiệu (x; y) = x + (0; 1) · (y – x) đoạn mở x y, [x; y) = (x; y) {x} [x; y] = [x; y) {y} đoạn nửa mở đoạn đóng Tập hợp x + R+ · y gọi tia phát xạ từ x theo phương y Nếu y = tia suy biến thành tập hợp điểm {x} Tổ hợp tuyến tính t1x1 + t2x2 + … + tnxn (ti ∈ R, xi ∈ X) gọi tổ hợp lồi, ti ≥ với i = 1, …, n t1 + … + tn = Cho trước tập A ký hiệu: spanA ⊂ X Các convA tương ứng ký hiệu cho tập hợp tổ hợp tuyến tính phần tử A tập hợp tất tổ hợp tuyến tính lồi phần tử A Hai tập hợp gọi bao tuyến tính bao lồi A Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 Tập hợp A 15 ⊂ X lồi A = convA Điều tương đương với tính chất: x, y ∈ A kéo theo [x, y] ⊂ A Nếu A lồi A + A =2·A Bất kỳ hàm g : X → R thoả mãn điều kiện: g(x + y) ≤ g(x) + g(y) , g(tx) = tg(x) với x, y ∈ X, t ∈ R+ gọi phiếm hàm tuyến tính X Một phiếm hàm tuyến tính g tuyến tính với điều kiện g(x + y) = g(x) + g(y) với x, y ∈ X Một giả chuẩn (hoặc nửa chuẩn) phiếm hàm tuyến tính g thoả mãn điều kiện: g(tx) = t · g(x) với t ∈ R, x ∈ X Cho X Y khơng gian tuyến tính Một hàm T : X → Y cho T(ax + bx’) = aT(x) + bT(x’) với x, x’ ∈ X; a, b ∈ R, gọi tốn tử tuyến tính Một khơng gian tơpơ tuyến tính X trang bị tơpơ cho tốn tử tuyến tính (x, y) → x + y (t, x) → tx liên tục Khơng gian tơpơ tuyến tính X Y gọi đẳng cấu tồn tốn tử tuyến tính T X sang Y mà phép biến đổi tơpơ Khi tốn tử T gọi phép đẳng cấu Mệnh đề 1.8 Nếu g phiếm hàm tuyến tính X, tập hợp Ug = {x ∈ X : g(x) < 1} hấp thu lồi Ngược lại, U tập hợp hấp thu lồi X, hàm: (1) gU(x) = inf{t > : x ∈ t · U} phiếm hàm tuyến tính Hơn nữa, gU = g với phiếm hàm tuyến tính g g Hàm (1) gọi hàm cỡ tập U Ta thấy giả chuẩn hàm cỡ tập lồi hấp thu đối xứng zero Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 16 Định lý 1.3 Giả sử X khơng gian tuyến tính, Y khơng gian tuyến tính X g phiếm hàm tuyến tính định nghĩa X, f phiếm hàm tuyến tính xác định Y cho f(x) ≤ g(x) với x ∈ Y Khi phiếm hàm f thác triển thành phiếm hàm F xác định X cho: (2) F(x) ≤ g(x) với x ∈ X Mệnh đề 1.9 Nếu X khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương ≠ xo ∈ X, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định X cho F(xo) = Định lý 1.4 (Ngun lý ánh xạ mở Schauder - Banach) Nếu X Y khơng gian metric tuyến tính đầy đủ T tốn tử liên tục tuyến tính từ X lên Y, T mở, nghĩa ảnh tập mở X tập mở Y Hệ 1.4 Nếu X Y khơng gian metric tuyến tính đầy đủ T tốn tử liên tục song ánh từ X lên Y, nghịch đảo T-1 : Y → X tốn tử tuyến tính liên tục Hệ 1.5 Nếu X Y khơng gian metric tuyến tính đầy đủ T : X → Y tốn tử tuyến tính cho đồ thị {(x, T(x)) ∈ X × Y : x ∈ X} đóng X × Y, T liên tục 1.5 Phủ, phân hoạch đơn vị, paracompact Cho A họ tập khơng gian tơpơ X A gọi mở (đóng) phần tử A mở (đóng) A gọi hữu hạn địa phương (rời rạc) điểm X có lân cận mà lân cận giao với khơng q hữu hạn phần tử A (khơng q phần tử A ) Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 17 A sigma (σ) rời rạc A biểu diễn thành hợp đếm họ rời rạc A hình hữu hạn phần tử A giao với khơng q hữu hạn phần tử lại Cho Z tập X Ta nói họ A tập X phủ Z A phủ Z U A⊃Z A∈A Họ A gọi phủ mở Z phủ đóng, phủ hữu hạn địa phương phủ rời rạc phủ sigma rời rạc phủ hữu hạn A phủ Z tập hợp A có thuộc tính Định lý 1.5 Mỗi phủ mở khơng gian metric có phủ mở hữu hạn địa phương sigma rời rạc làm mịn Hệ 1.6 Mỗi khơng gian compact paracompact Hệ 1.7 Mỗi khơng gian metric paracompact 1.6 Mối quan hệ paracompact tồn điều kiện đủ phân hoạch đơn vị Một họ B hàm liên tục khơng âm khơng gian tơpơ X gọi “phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương” với x ∈ X tồn lân cận U(x) tập hợp hữu hạn B(x) B cho: (i) ∑ b( y ) = với y ∈ U(x) b∈B ( x ) (ii) b(y) = với y ∈ U(x) b ∈ B \ B(x) Rõ ràng B phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương, tập hợp: UB = {b −1 } phủ mở hữu hạn địa phương X ((0,1]) b∈B Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 18 Một phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương B gọi nội tiếp phủ V X tồn hàm V → bV từ V vào B cho: cl bV−1 ((0, 1]) ⊂ V Định lý 1.6 Mỗi khơng gian tơpơ Hausdorff X paracompact phủ mở U X có phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương nội tiếp U Bổ đề 1.1 Cho A B tập đóng rời khơng gian tơpơ paracompact X x ∈ B, tồn tập mở Ux Vx mà: A ⊂ Ux , x ∈ Vx , Ux ∩ Vx = Khi đó, tồn tập mở U V mà: A ⊂ U,B ⊂ V U ∩ V = Bổ đề 1.2 Nếu W họ tập mở hữu hạn địa phương : U W = U W W∈W W∈W Mệnh đề 1.10 Mỗi khơng gian tơpơ paracompact chuẩn tắc Bổ đề 1.3 Mỗi phủ mở U khơng gian tơpơ paracompact X có phủ mở hữu hạn địa phương W X mà phủ mở {V }U ∈U X mà VU U ⊂ {W} W∈W làm mịn U U với U ∈ U Mệnh đề 1.11 Với phủ mở U khơng gian tơpơ paracompact X tồn phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương nội tiếp phủ U 1.7 Cơng thức Dugundji mở rộng Bổ đề 1.4 Cho A tập đóng thật khơng gian metric X( ≠ A ≠ X), d metric X Khi tồn họ {U s , as } cho: Footer Page 18 of 126 s∈S Header Page 19 of 126 (1) Us ⊂ 19 X \ A , as ∈ A ( s ∈ S), (2) {U s }s∈S phủ mở hữu hạn địa phương X \ A, (3) x ∈ Us, d(x, as) ≤ 2d(x, A) với s ∈ S Định nghĩa Nếu A tập đóng thật khơng gian metric ≠ A ≠ X) với d metric X Khi họ {U s , as }s∈S X( thỏa mãn điều kiện (1), (2), (3) bổ đề 1.4, gọi hệ thống Dugundji cho X \ A Định lý 1.7 Cho A tập đóng khác rỗng khơng gian metric X E khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Khi đó, ánh xạ liên tục f : A → E có thác triển liên tục L(f) : X → E cho L(f)(X) ⊂ convf(A) 1.8 Các định lý điểm bất động cho hàm liên tục Cho X khơng gian tơpơ, X gọi có tính chất điểm bất động với hàm liên tục f từ X vào X có phần tử x ∈ X cho f(x) = x Ta có định lý sau: Định lý 1.8 Cho X khơng gian tơpơ có tính chất điểm bất động Y khơng gian tơpơ đồng phơi với X Khi Y có tính chất điểm bất động Định lý 1.9 Cho X khơng gian tơpơ có tính chất điểm bất động A co rút X Khi A có tính chất điểm bất động Định lý 1.10 Mỗi cầu đơn vị đóng khơng gian Rn có tính chất điểm bất động Định lý 1.11 Mỗi khơng gian thuộc lớp AR (tức khơng gian tơpơ khả metric có tính chất co rút tuyệt đối), compact có tính chất điểm bất động Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 20 Định lý 1.12 Mỗi tập lồi, compact khơng gian tuyến tính định chuẩn có tính chất điểm bất động CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHỌN CỦA MICHAEL 2.1 Các định nghĩa liên quan đến lý thuyết chọn Michael Cho X Y khơng gian tơpơ, ký hiệu 2Y họ tất tập khác rỗng Y Một hàm Φ : X → 2Y gọi giá Nếu đóng compact Y với x ∈ X , Φ compact Nếu Y khơng gian metric Y với x ∈ X , Φ (x) tuyến tính mở U ⊂ Φ Φ (x) tập gọi giá đóng Φ (x) tập đầy đủ gọi giá đầy đủ Nếu Y khơng gian lồi với x ∈ X , Y, tập hợp: Φ -1 Φ gọi giá lồi Nếu với tập (U) = { x ∈ X : Φ( x) ∩ U ≠ ∅} mở , giá Φ gọi giá nửa liên tục Một hàm f : X → Y gọi phép chọn cho giá Φ : X → 2Y f(x) ∈ Φ( x), ∀x ∈ X 2.2 Định lý chọn Michael Định lý sau gọi định lý chọn Michael: Định lý 2.1 Cho X khơng gian tơpơ paracompact E khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương Cho Φ : X → 2E giá nửa liên tục lồi, đầy đủ Khi Φ thừa nhận phép chọn liên tục 2.3 Các kết liên quan đến lý thuyết chọn Michael Ở l1(A) xác định sau: Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 21 Cho A tập (có thể tập hữu hạn hay vơ hạn) l1(A) =      x = (x a )a∈A / ∃ sup ∑ x a  a∈A '   A '⊂ A  A 'là tập hữu hạn   l1(A) khơng gian vectơ, x = sup ∑ xa a∈A' x = (xa )a∈A ∈ l1(A), ta đặt: chuẩn l1(A) l1(A) khơng A'⊂ A A'là tập hữu hạn gian Banach Ta có định lý sau: Định lý 2.2 Cho X khơng gian tơpơ Hausdorff Khi điều kiện sau tương đương: (i) X paracompact; (ii) giá nửa liên tục lồi, đóng từ X vào khơng gian Frechet thừa nhận hàm chọn liên tục; (iii) giá nửa liên tục lồi, đóng từ X vào khơng gian l1(A) thừa nhận hàm chọn liên tục Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 22 CHƯƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT CHỌN MICHAEL 3.1 Ứng dụng lý thuyết chọn Michael vào việc phân tích khơng gian Frechet thành tích khơng gian Frechet Mỗi khơng gian Frechet khơng gian metric tuyến tính đầy đủ, lồi địa phương Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.1 (Mệnh đề Bartle –Graves) Cho u: E → X tốn tử tuyến tính liên tục tồn ánh từ khơng gian Frechet E lên khơng gian Frechet X Khi đó, tồn hàm liên tục f : X → E cho uf = idX f(0) = Do đó, tồn phép đồng phơi h: E  → vào keru × X xác định bởi: (1) với e ∈ E h(e) = (e – fu(e), u(e)) Và ta có p2h = u ; h(e) = (e, 0) với e ∈ keru với p2 : keru × X → X phép chiếu tự nhiên lên thành phần thứ hai Hệ 3.1 Cho Eo khơng gian tuyến tính đóng khơng gian Frechet E Cho u : E → E/Eo ký hiệu phép chiếu tắc Khi tồn phép đồng phơi h: E p 2h = u ;  → vào h(eo) = (eo, 0) Eo × E/Eo cho: với eo ∈ Eo với p2 : Eo × E/Eo → E/Eo phép chiếu tự nhiên lên thành phần thứ hai Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 23 Hệ 3.2 Cho X khơng gian Banach khả ly vơ hạn chiều Khi tồn khơng gian tuyến tính đóng Z khơng gian l1 cho l1 đồng phơi với Z × X Mệnh đề 3.1 (Michael) Cho E X khơng gian metric tuyến tính đầy đủ Cho u : E → X tồn ánh tuyến tính cho ker u = Eo khơng gian Frechet Khi tồn ánh xạ liên tục f : X → E cho uf = idX f(0) = 3.2 Ứng dụng lý thuyết chọn Michael vào phức đơn hình Trước hết ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1 Một phức đơn hình họ K gồm tập hữu hạn khơng rỗng tập V cho: (1) Mỗi tập điểm V thuộc vào K; (2) σ ∈ K σ1 ⊂ σ, σ1 ∈ K Định nghĩa 3.2 Một họ L ⊂ K thỏa mãn điều kiện (1) (2) với K thay L gọi phức đơn hình K Một tập n – điểm thuộc vào K gọi (n – 1) – đơn hình Định nghĩa 3.3 Cho K phức đơn hình Cho V sở khơng gian vectơ X σ = {u1, …, un} ∈ K, ta đặt σ = conv { u1, …, un} K = U σ gọi σ∈K thuộc thể hình học hóa K Trang bị tơpơ Whitehead cho K xác định sau: U ∈ K Ta nói U ∈ T U ∩ σ mở kiểm tra dễ dàng rằng: T tơpơ K σ ; Như ứng dụng lý thuyết chọn Michael ta có: Footer Page 23 of 126 σ ∈ K Ta Header Page 24 of 126 24 Định lý 3.1 Với phức đơn hình K, khơng gian K paracompact 3.3 Ứng dụng lý thuyết chọn Michael để mở rộng định lý Tiezte – Urysohn, định lý Dugundji Từ Định lý 2.1 (Chương 2) ta có: Định lý 3.2 Cho E khơng gian Frechet cho A tập đóng khơng gian tơpơ paracompact X Khi hàm liên tục f : A → E tồn thác triển liên tục F : X → E mà : F(X) ⊂ cl conv f(A) Ta thấy định lý mở rộng định lý sau: Bổ đề 3.2 (Urysohn) (Cho khơng gian paracompact) Cho X khơng gian tơpơ paracompact; A, B tập đóng X mà A ∩ B = Khi tồn ánh xạ liên tục f : X → R mà: f(a) = 1; a ∈ A; f(a) = 0; a ∈ B Định lý 3.3 (Tietze – Urysohn) (Cho khơng gian paracompact) Cho X khơng gian tơpơ paracompact, A tập đóng X, f : A → R hàm liên tục Khi tồn F : X → R thác triển f Định lý 3.4 (Dugundji) Cho X khơng gian tơpơ khả metric, A tập đóng, E khơng gian Frechet Cho f : A → E ánh xạ liên tục Khi tồn ánh xạ liên tục: F : X → E thác triển f F(X) ⊂ cl conv f(A) Footer Page 24 of 126 Header Page 25 of 126 25 3.4 Mở rộng định lý điểm bất động Schauder cho hàm đa trị (Định lý Kakutani) Định lý sau gọi định lý điểm bất động Schauder: Định lý 3.5 Cho K tập lồi, compact khơng gian Banach Khi K có tính chất điểm bất động (có nghĩa ánh xạ liên tục f : K → K có điểm bất động) Và Kakutani mở rộng kết cho hàm đa trị: Định lý 3.6 (Kakutani) Cho K tập lồi, compact khơng gian Banach E Cho Φ : K → 2K giá lồi, đóng, nửa liên tục Khi tồn xo ∈ K : xo ∈ Φ (xo) (với xo gọi điểm bất động giá Φ ) Ta chứng minh định lý nhờ lý thuyết chọn Michael Bằng cách sử dụng định lý chọn, ta có định lý sau: Định lý 3.7 Cho E khơng gian Frechet K tập lồi, compact E, cho Φ : K → 2K giá lồi, đóng, nửa liên tục Khi đó: tồn xo ∈ K : xo ∈ Φ (xo) Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 26 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn “Lý thuyết chọn Michael ứng dụng” đạt kết sau: o Hệ thống lại số kiến thức liên quan đến khơng gian tơpơ o Trình bày lý thuyết chọn Michael o Trình bày ứng dụng lý thuyết chọn Michael Tuy nhiên khn khổ luận văn thạc sỹ, nhiều ứng dụng lý thuyết chọn Michael mà tơi chưa đề cập tới, hy vọng đề tài mở rộng Footer Page 26 of 126 Header Page 27 of 126 Footer Page 27 of 126 27 ... từ X vào khơng gian l1(A) thừa nhận hàm chọn liên tục Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 22 CHƯƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT CHỌN MICHAEL 3.1 Ứng dụng lý thuyết chọn Michael vào việc... LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn Lý thuyết chọn Michael ứng dụng đạt kết sau: o Hệ thống lại số kiến thức liên quan đến khơng gian tơpơ o Trình bày lý thuyết chọn Michael o Trình bày ứng dụng lý thuyết. .. Page of 126 rộng Định lý cho ánh xạ đa trị (Định lý Kakutani) Vì vấn đề đặt luận văn tìm hiểu lý thuyết ứng dụng Do đó, tơi chọn đề tài “ LÝ THUYẾT CHỌN MICHAEL VÀ ỨNG DỤNG” làm luận văn tốt