HHKG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ph ầ n 1 : HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 1) Vectơ đơn vò của 2 trục tọa độ là i , j • O: gốc toạ độ • i  j •  i  =  j r  = 1 • i = (1, 0): vt đơn vò trên trục ox • j = (0, 1): vt đơn vò trên trục oy 2) Tọa độ của vectơ: a = (a 1 , a 2 ) ⇔ a = a 1 i + a 2 j TRONG KHƠNG GIAN 1) Vectơ đơn vò của 3 trục tọa độ là i , j , k • i  j , j  k , k  i ( i , j , k đôi 1 vuông góc) •  i  =  j r  =  k  = 1 • i = (1, 0, 0): vt đơn vò trên trục ox • j = (0, 1, 0): vt đơn vò trên trục oy • k = (0, 0, 1): vt đơn vò trên trục oz 2) Tọa độ của vectơ: a = (a 1 , a 2 , a 3 ) ⇔ a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ph ầ n 2 : CƠNG THỨC LIÊN HỆ ĐẾN VECTƠ 1. Công thức về 1 vectơ : a r = (a 1 , a 2 ) 1)k. a r = (ka 1 , ka 2 ) 2)  a r  = 3) a r = 0 ⇔ 1 2 a 0 a 0 =   =  2. Công thức về 2 vectơ : a r = (a 1 , a 2 ) b r = (b 1 , b 2 ) 1) a r  b r = (a 1  b 1 , a 2  b 2 ) 2) a r = b r ⇔ 3) m a r + n b r = (ma 1 + nb 1 , ma 2 + nb 2 ) 4) a r cùng phương với b r ⇔ a r = k. b r ⇔ = 3. T ích vô hướng ĐN: a r . b r =  a r . b r .cos( a r , b r )  a r . b r = a 1 .b 1 + a 2 .b 2  a r  b r ⇔ a r . b r = 0 4. Góc gi ư õa 2 vectơ  Cos ( a r , b r ) = a.b a . b r r r r Để chứng minh 1 góc của tam giác là góc nhọn (tù) ta cm cos của góc đó là dương (âm) 1. Công thức về 1 vectơ a = (a 1 , a 2 , a 3 ) 1) k a = (ka 1 , ka 2 , ka 3 ), k  R 2)  a  = 2 3 2 2 2 1 aaa ++ 3) a r = 0 ⇔      = = = 0a 0a 0a 3 2 1 2. Công thức về 2 vectơ a r = (a 1 , a 2 , a 3 ) b r = (b 1 , b 2 , b 3 ) 1) a r  b r = (a 1  b 1 , a 2  b 2 , a 3  b 3 ) 2) a r = b r ⇔      = = = 33 22 11 ba ba ba 3) m a r + n b r = (ma 1 + nb 1 , ma 2 + nb 2 , ma 3 + nb 3 ) 4) a r cùng phương với b r ⇔ a r = k. b r ⇔ = = 3 3 b a hay [ a r , b r ] = 0 3. T ích vô hướng 4. Góc giũa 2 vectơ Tương tự như HHP 5. Tích có hướng Tích có hướng của a và b , kí hiệu [ a , b ] hoặc a b∧ r r là vectơ có tọa độ         − 21 21 31 31 32 32 bb aa , bb aa , bb aa 17 O y x O x y z i r j r ph ầ n 3 : TỌA ĐỘ ĐIỂM OM = x i + y j ⇔ M(x, y) • M  ox ⇔ M(x, 0) • M  oy ⇔ M(0, y) I. Công thức liên hệ 2 điểm : A (x A; y A ) B (x B ; y B ) 1. AB = (x B – x A; y B – y A ) 2. AB = 22 )()( ABAB yyxxAB −+−= 3. M  mp (oxy) ⇔ OM uuuur = (x; y) OM = 1) Toạ độ trung điểm: M là trung điểm AB ⇔ 2) M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA = kMB ⇔ *) L ư u ý : M, A, B phải đđúng thứ tự II. Công thức liên hệ 3 điểm : A (x A ;y A ) B (x B; y B ) C (x C; y C ) 1) G là trọng tâm tam giác ABC 3 3 A B C G A B C G x x x x y y y y + +  =    + +  =   2) Diện tích tam giác Nếu 1 2 1 2 ( ; ) ( ; ) AB a a AC b b  =   =   uuur uuur thì S ABC = 21 21 2 1 bb aa = 2 1 a 1 b 2 – b 1 a 2   1 số công thức tính diện tích 1. S = a.h a = b.h b = c.h c 2. S = b.c.sinA ;p = 2 a b c+ + : nửa chu vi 3. S = p.r r: bk đtròn nội tiếp  4. S = R: bk đtròn ngoại tiếp  5. S = ))()(( cpbpapp −−− (cthức Hêrông) 3) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng : OM = x i + y j + z k ⇔ M(x, y, z) M  (oxy) => M(x, y, 0) M  ox => M(x, 0, 0) M  (oyz) => M(0, y, z) M  oy => M(0, y, 0 M  (ozx) => M(x, 0, z) M  oz => M(0, 0, z) I. Công thức liên hệ 2 điểm: A(x A , y A , z A ) B(x B , y B , z B ) 1) AB = (x B - x A , y B – y A , z B – z A ) 2) AB = 2 AB 2 AB 2 AB )zz()yy()xx( −+−+− 3) Trung điểm M của AB          + = + = + = 2 zz z 2 yy y 2 xx x BA M BA M BA M 4) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ĐN: MA = k MB          − − = − − = − − = k1 kzz z k1 kyy y k1 kxx x BA M BA M BA M II. Công thức liên hệ 3 điểm A(x A; y A ; z A ) B(x B ; y B ; z B ) C(x C ; y C ; z C ) G là trọng tâm tam giác ABC 3 3 3 A B C G A B C G A B C G x x x x y y y y z z z z + +  =   + +  =   + +  =   MỘT SỐ DẠNG TOÁN 1) Diện tích ABC S  ABC = 2 1 AB.AC.sinA = 2 1 [ AC,AB ] 2) Thể tích của 1 tứ diện 18 • 3 điểm A, B, C thẳng ⇔ AB và AC cùng phương ⇔ AB = k AC , k  R, k ≠ 1 ⇔ 1 2 1 2 a a b b = ( AB uuur = (a 1 , a 2 ); AC uuur =(b 1 , b 2 )) • A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác ⇔ AB và AC không cùng phương V ABCD = 6 1 [ AC,AB ]. AD  = 1 S 3 đáy .chiều cao 3) Thể tích hình hộp V ABCD.A’B’C’D’ = [ AD,AB ]. 'AA  4) A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện ⇔ [ AC,AB ]. AD ≠ 0 5) AH là đường cao của tứ diện ABCD. Tọa độ điểm H cho bởi      ⊥ ⊥ phẳngđồng:BH,BD,BC BDAH BCAH ⇔      = = = 0BH].BD,BC[ 0BD.AH 0BC.AH 6) Tâm I và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD cho bởi      = = = 22 22 22 IDIA ICIA IBIA R = IA MẶT PHẲNG I. Vectơ pháp tuyến (vtpt) Vectơ n ≠ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu n có giá vuông góc với (α ). *) Chú ý: Nếu n là vtpt của (α ) thì k n cũng là vtpt của ( α ) II. Phương trình mặt phẳng 1) Phương trình tồng quát Phương trình mp qua M(x 0 , y 0 , z 0 ) và có vtpt n = (A, B, C) là: A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C (z – z 0 )= 0 Phương trình tổng quát của mp là: Ax + By + Cz + D = 0  =   + + ≠   r 2 2 2 ( , , ) 0 Vtpt n A B C A B C 2) Phương trình theo đoạn chắn Nếu (α) cắt ox, oy, oz lần lượt tại A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) thì phương trình mp qua A, B, C là 1 c z b y a x =++ phương trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn 3) Các trường hợp riêng Trong Không gian oxyz mp (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 19 α n r Mặt phẳng (α ) Phương trình Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = 0 (D = 0) Song song ox hay vuông góc (oyz) By + Cz + D = 0 Qua (chứa) ox By + Cz = 0 Song song oy hay vuông góc (oxz) Ax + Cz + D = 0 Qua (chứa) oy Ax + Cz = 0 Song song oz hay vuông góc (xoy) Ax + By + D = 0 Qua (chứa) oz Ax + By = 0 Vuông góc oz hay song song (xoy) Cz + D = 0 Trùng (oxy) z = 0 Vuông góc ox hay song song (oyz) Ax + D = 0 Trùng (oyz) x = 0 Vuông góc oy hay song song (oxz) By + D = 0 Trùng (oxz) y = 0 III. Vò trí tương đối giữa 2 mặt phẳng Cho mặt phẳng (α 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 (α 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 1) (α 1 ) // (α 2 ) ⇔ 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ≠== 2) (α 1 )  (α 2 ) ⇔ 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A === 3) (α 1 ) cắt (α 2 ) ⇔ A 1 : B 1 : C 1 ≠ A 2 : B 2 : C 2 4) (α 1 )  (α 2 ) ⇔ A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 (2 mặt phẳng này có 2 vtpt vuông góc nhau) IV. Vấn đề liên quan đến phương trình mặt phẳng 1) Nguyên tắc chung để viết phương trình mặt phẳng - Tìm 1 điểm M và 1 vtpt - Tìm 1 điểm M và 1 cặp vtcp ( a , b ) = > vtpt n = [ a , b ] 2) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (α )    = ABnVtpt ABthẳngđoạncủaIđiểmtrungQua 3) Chứng minh rằng: ABCD là tứ diện B 1 : viết phương trình (ABC) B 2 : Thế tọa độ của điểm D vào phương trình (ABC) • Nếu tọa độ điểm D nghiệm đúng phương trình (ABC) => ABCD không là tứ diện • Nếu tọa độ điểm D không nghiệm đúng phương trình (ABC) => ABCD là tứ diện V. Một số cách tìm vtpt của mặt phẳng ( α ) 1) (α )  AB => α n = AB 2) (α ) // (): Ax + By + Cz + D = 0 = > α n = β n = (A, B, C) 3) (α) có cặp vtcp a , b => α n = [ a , b ] 4) (α ) qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng => (α ) có cặp vtcp là AB , AC => α n = [ AB , AC ] 5) (α ) qua 2 điểm A, B và vuông góc () => α n = [ AB , β n ] 6) (α ) qua M và chứa đường thẳng (d) => (α ) có cặp vtcp là 0 MM (M 0  d) và d a => α n = [ 0 MM , d a ] 7) (α ) qua M và chứa trục ox => (α ) có cặp vtcp là OM và i = (1, 0, 0) => α n = [ OM , i ] 20 8)    β⊥α α )()( ox//)( => (α ) có cặp vtcp là i = (1, 0, 0) và β n => α n = [ i , β n ] 9) (α )     =+++ =+++ 0DzCyBxA:)P( 0DzCyBxA:)P( 22222 11111 => (α ) có cặp vtcp là      = = )C,B,A(n )C,B,A(n 2222 1111 = > α n = [ 1 n , 2 n ] Vấn đề 5 ĐƯỜNG THẲNG I. Phương trình của đường thẳng Qua điểm Vtcp Phương trình Ghi chú Đường thẳng  M(x 0 , y 0 , z 0 ) )a,a,a(a 321 = 1 ) Phương trình tham số      += += += tazz tayy taxx 30 20 10 (t  R) 2) Phương trình chính tắc 3 0 2 0 1 0 a zz a yy a xx − = − = − Trong phương trình chính tắc nếu mẫu số bằng 0 ta vẫn viết ptct như dạng bên với qui ước tử số cũng bằng 0 I. Cách tìm vtcp của đường thẳng a)  qua 2 điểm A, B => ∆ a = AB b)  // ’=> ∆ a = ' a ∆ c)   mp(α) => ∆ a = α n d)      'd d => ∆ a = [ d a , 'd a ] VỊ TRÍ TNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG I. Vò trí tương đối giữa 2 đường thẳng Cho 2 đường thẳng (d 1 )    1 1 avtcpCó MđiểmQua (d 2 )    2 2 avtcpCó MđiểmQua 1) d 1 và d 2 đồng phẳng ⇔ [ 1 a , 2 a ]. 21 MM = 0 2) d 1 cắt d 2 ⇔      = phươngcùngkhôngavàa 0MM].a,a[ 21 2121 3) d 1 // d 2 ⇔      211 21 MMphươngcùngkhônga aphươngcùnga 4) d 1  d 2 ⇔      211 21 MMphươngcùnga aphươngcùnga 5) d 1 chéo d 2 ⇔ [ 1 a , 2 a ]. 21 MM ≠ 0 6) d 1  d 2 ⇔ 1 a . 2 a = 0 *) Phương pháp xét vò trí tương đối giữa 2 đường thẳng B 1 : - Tìm điểm M 1  d 1 và vtcp 1 a 21 - Tìm điểm M 2  d 2 và vtcp 2 a B 2 : Tính [ 1 a , 2 a ] = ? - Nếu [ 1 a , 2 a ] = 0 nghóa là d 1 và d 2 cùng phương ta đem tọa độ của điểm M 1 thế vào phương trình d 2 • Nếu M 1 thuộc d 2 thì d 1  d 2 • Nếu M 1 không thuộc d 2 thì d 1 // d 2 - Nếu [ 1 a , 2 a ] ≠ 0 nghóa làø d 1 và d 2 không cùng phương ta tính [ 1 a , 2 a ]. 21 MM = ? • Nếu [ 1 a , 2 a ]. 21 MM = 0 => d 1 cắt d 2 (nghóa là d 1 và d 2 đồng phẳng) • Nếu [ 1 a , 2 a ]. 21 MM ≠ 0 => d 1 và d 2 chéo nhau (nghóa là d 1 và d 2 không đồng phẳng) II. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d    avtcpCó MQua mặt phẳng (α) có vtpt n *) Phương pháp 1 *) Phương pháp 2 Giải hệ phương trình gồm phương trình của d và phương trình của (α) • Hệ có 1 nghiệm: d cắt (α) • Hệ có vô số nghiệm: d ⊂ (α) • Hệ vô nghiệm : d // (α) 22 [,] = , tính [,] . M 1 d 2 : d 1 d 2 M 1 d 2 : d 1 // d 2 = 0: d 1 cắt d 2 0: d 1 và d 2 chéo nhau . 0: d cắt () = 0 M () : d () M (): d // () HÌNH CHIẾU Điềm Chiếu lên là điểm Ox (x, 0, 0) Oy (0, y, 0) Oz (0, 0, z) mp(oxy) M 1 (x, y, 0) mp(oxz) M 2 (x, 0, z) mp(oyz) M 3 (0, y, z) 1) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng(α ) Gọi H  Ch M/( α ) B 1 : Lập phương trình tham số của đường thẳng MH qua M và vuông góc (α ) MH    = α na MQua AH B2: H = MH ∩ (α ) (bằng cách giải hệ phương trình MH và (α )) 2) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng  Gọi H  ch M/  B 1 : Vết phương trình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc  ( α∆ = na ) B 2 : Tm H =  ∩ (α ) 3) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng  lên mặt phẳng(α ) ( ∆ không vuông góc với ( α )) Gọi ’  ch  /( α )  qua M và có vtcp a B 1 : Tìm I =  ∩ (α ) (tìm giao điểm của ( α ) và ∆ ) B2: Tìm H ≡ CH M / ( α ) B3: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm I, H chính là pt ’ SỰ ĐỐI XỨNG 1) Tọa độ điểm đối xứng Điềm Đối xứng qua Tọa độ điểm M’ Ox (x, -y, -z) Oy (-x, y, -z) Oz (-y, -x, z) mp(oxy) (x, y, -z) mp(oxz) (x, -y, z) mp(oyz) (-x, y, z) Gốc tọa độ (-x, -y, -z)  Ghi chú: ta cũng nhận được kết quả tương tự khi xét sự đối xứng của 2 vectơ qua trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ và gốc tọa độ 2) Tìm điểm đối xứng M’ của M qua I I là trung điểm của MM’ nên      −= −= −= MI'M MI'M MI'M zz2z yy2y xx2x 3) Tìm điểm đối xứng M’ của M qua mặt phẳng (α ) • Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên mặt phẳng (α ) • H là trung điểm của MM’=> tọa độ điểm M’? α) M H n α α) M / M H H α)  a r M α M H  M’ 4) Tìm điểm đối xứng M’ của M qua đường thẳng  • Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên  • H là trung điểm MM’=> tọa độ điểm M’? GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1) Vò trí tương đối của 2 điểm A, B so với (α ): Ax + By + Cz + D = 0 Đặt F(x, y, z ) = Ax + By + Cz + D Tính T = F(A). F(B) - Nếu T > 0 => A, B ở 1 phía của (α ) - Nếu T < 0 => A, B ở 2 phía của (α ) 2) Quan hệ 3 điểm M, A, B a) MA + MB  AB Dấu “=” xảy ra ⇔ A, B, M thẳng hàng => min (MA + MB) = AB ⇔    ABtrongởM hàngthẳngB,A,M b) MA - MB ≤ AB Dấu “=” xảy ra ⇔ A, B, M thẳng hàng => maxMA - MB = AB ⇔    ABngoàiởM hàngthẳngB,A,M 3) Tìm điểm M trên đường thẳng  sao cho MA + MB nhỏ nhất a) A và B ở một phía đối với  Ta có MA + MB  AB (cố đònh) Vậy min (MA + MB) = AB ⇔ M  M 0 ( M 0 là giao điểm của AB và  ) b) A và B ở hai phía đối với  B 1 : tìm A’ đối xứng của A qua  B 2 : MA + MB = MA’ + MB  A’B (cố đònh) Vậy min(MA + MB) = A’B ⇔ M  M 0 ( M 0 là giao điểm của A’B và  )  Chú ý : nếu ta thay đường thẳng  bằng mặt phẳng (α ) thì cách giải không có gì thay đổi CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG STT Bài toán Hình vẽ Cách giải 1 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và cắt B 1 : - Gọi M 1 (toạ độ có chứa tham số t)   1 - M 2 (toạ độ có chứa tham số t’)   2 B 2 : 1 MM uuuuur và 2 MM uuuuur cùng phương => t => M 1 A A B B  1 α 2 α 1  2  d H A B M M 0  A B M M 0   1 α 2 α 1  2  M M 1 M 2 2 đường thẳng  1 ,  2 B 3 : Viết phương trình MM 1 chính là phương trình đường thẳng  2 Viết phương trình đường thẳng  song song với d và cắt cả  1 và  2 B 1 : - Gọi M 1 (toạ độ có chứa tham số t)   1 - M 2 (toạ độ có chứa tham số t’)   2 B 2 : 1 2 M M uuuuuur và d a uur cùng phương => t, t’ => M 1 , M 2 B 3 : Viết phương trình M 1 M 2 chính là phương trình đường thẳng  3 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M vuông góc và cắt đường thẳng d Phương pháp 1 B 1 : Gọi N (toạ độ có chứa tham số t) ∈ d B 2 : MN ⊥ d ⇔ . d MN a uuuur uur = 0 => t => M Phương trình  chính là phương trình MN Phương pháp 2 B 1 : Viết ptrình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc d B 2 : Tìm H = (α ) ∩ d B 3 : phương trình  là phương trình đường MH 4 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng  1 và cắt đthẳng  2 B 1 : Viết phương trình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc  1 B 2 : Tìm N = (α ) ∩ ( 2 ) B 3 : phương trình  là phương trình đường MN 5 Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng α và cắt cả 2 đường thẳng  1 ,  2 B 1 : Tìm M 1 =  1 ∩ (α ) B 2 : Tìm M 2 =  2 ∩ (α ) B 3 :  là đường thẳng M 1 M 2 7 Viết pt đường thẳng  nằm trong mp(α ), qua giao điểm A của d và α , vuông góc d B 1 : Tìm điểm A =  ∩ (α ) B 2 :  qua A vtcp a , d Có n a α      =     r uur uur Vấn đề 10 MẶT CẦU 1) Phương trình mặt cầu Dạng Phương trình Tâm Bán kính 1 (x - a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2 I(a, b, c) R 2 x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (1) I(-A, -B, -C) R = + + − 2 2 2 A B C D ĐB x 2 + y 2 + z 2 = R 2 O(0, 0, 0) R (1) là phương trình mặt cầu ⇔ A 2 + B 2 + C 2 – D > 0 2) Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Trong kg Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c), bán kính R và mặt phẳng (α ): Ax + By +Cz + D = 0 2 a uur  1 M M 2  2  α 1 α 2  α  A d M 1  1 α  2 M 2 M d  ra α ra N   Ta có d(I, α ) = 222 CBA DCcBbAa ++ +++ a) d > R: (α ) không có điểm chung với (S) b) d = R: (α ) tiếp xúc (S). Tiếp điểm là hình chiếu H của điểm I lên mặt phẳng (α ) và (α ) gọi là tiếp diện của mặt cầu c) d < R: (α ) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn (C) có    −= ≡ α 22 )/(I IHRrkínhBán ChHTâm với IH = d Phương trình đường tròn (C)    α )S(cầumặttrìnhPhương )(mptrìnhPhương 3) Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu Muốn tìm vò trí tương đối của đường thẳng  và mặt cầu (S) ta thế x, y, z trong phương trình tham số của  vào phương trình mặt cầu (S) ta sẽ được phương trình bậc 2 ần là t a) Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì  cắt (S) tại 2 điểm b) Nếu phương trình có nghiệm kép thì  tiếp xúc (S) c) Nếu phương trình vô nghiệm thì  và (S) không có điểm chung 4) Vò trí tương đối của điểm và mặt cầu Cho điểm A và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R a) IA > R: điểm A nằm ngoài mặt cầu (S) b) IA = R: điểm A nằm trên mặt cầu (S) c) IA < R: điểm A nằm trong mặt cầu (S) *) phương trình mặt cầu đường kính AB: (x – x A )(x – x B ) + (y – y A )(y – y B ) + (z – z A )(z – z B ) = 0 MẶT PHẲNG TIẾP DIỆN (α ): Ax + By + Cz + D = 0, (α ) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I, α ) = R BÀI TẬP 1: chứng minh rằng mặt phẳng(α ) tiếp xúc mặt cầu (S). Tìm tọa độ tiếp điểm T Giải • Tìm tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S) • (α ) tiếp xúc (S) ⇔ d(I, α ) = R • Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc (α ) • Tọa độ tiếp điểm T = (d) ∩ (α ) BÀI TẬP 2: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M 0 • Tìm tâm I của mặt cầu (S) • Phương trình tiếp diện (α ) của mặt cầu (S) (α )    = α 0 0 IMn MQua BÀI TẬP 3 : Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S). Viết phương trình ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với (P) Giải • Tìm tâm I và bán kính r của mặt cầu (S) • ( α ) // (P) nên Phương trình ( α ) có dạng: Ax + By + Cz + D’ = 0 (1) (D’ ≠ D) • ( α ) tiếp xúc (S) ⇔ d(I, ( α )) = r => D’ . Thế vào (1) => Phương trình ( α ) Các dạng tốn thường gặp Bài tốn 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ( α ) và ( β )