Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Vấn đề 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Phương pháp 1: Để tìm giao tuyến của 2 mp’ (α) và (β) ta cần thực hiện 2 bước sau: Bước 1: Tìm 2 điểm chung A, B của (α) và (β) Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC. Tìm giao tuyến của hai mp’ (IBC) và (KAD) Phương pháp 2: Tương tự như phương pháp 1 nhưng ta chỉ tìm ngay được một điểm chung S. Khi đó ta có 2 trường hợp xảy ra. TH1: Hai mp’ (α) và (β) theo thứ tự chứa 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) mà (d 1 ) ∩ (d 2 ) = I Suy ra SI là giao tuyến cần tìm. TH2: Hai mp’ (α) và (β) theo thứ tự chứa 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) mà (d 1 ) // (d 2 ). Khi đó ta dựng đường thẳng xS // d 1 // d 2 . Suy ra xSy là giao tuyến cần tìm. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) b) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) Bài tập: 1. Cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song và 1 điểm S ở ngoài (ABCD). Tìm giao tuyến của: a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC) 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G 1 , G 2 lần lượt là trọng tâm của hai ∆BCD và ACD. Lấy theo thứ tự I, J, K là trung điểm của BD, AD, CD. Tìm các giao tuyến của a) (G 1 G 2 C) và (ADB) b) (G 1 G 2 B) và (ACD) c) (ABK) và (CIJ) 3. Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt lấy trên 2 đoạn thẳng AB, AC. Tìm giao tuyến của 2 mp’ (IBC) và (DMN) 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD. Gọi E là giao điểm của MP và BD. Tìm giao tuyến của (PMN) và (BCD) 5. Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD. Tìm giao tuyến của 2 mp’ (SBM) và (SAC) 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB > KD. Tìm giao tuyến của mp’ (IJK) với các mp’ (ACD) và (ABD) 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. a) Tìm giao tuyến của 2 mp’ (IBC) và (JAD) b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2 mp’ (IBC) và (DMN) 8. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong ∆ ACD. Tìm giao tuyến của 2 mp’ (AMN) và (BCD); (DMN) và (ABC) 9. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. P là một điểm trên cạnh SC và SP > PC. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt (SAC), (SAB), (SAD) và (ABCD). Vấn đề 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. 1 Phương pháp: Để tìm giao điểm O của đường thẳng a và mp’ (α) ta xét 2 trường hợp xảy ra: TH 1: (α) chứa đường thẳng b mà b lại cắt đường thẳng a tại O. Tìm O a b= ∩ ⇒ O là giao điểm cần tìm. TH 2: (α) không chứa đường thẳng nào cắt a. Trường hợp này ta cần thực hiện 2 bước. B 1 : Tìm (β) chứa a và ( ) ( ) d α β ∩ = B 2 : Tìm O a d = ∩ . Suy ra O là giao điểm cần tìm. Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K BD∈ sao cho KB > KD. Tìm giao điểm của hai đường thẳng CD và AD với (MNK) Bài tập: 1. Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên AC và hai điểm N và K theo thứ tự nằm trong các tam giác BCD và ACD. Tìm giao điểm của CD và AD với (MNK) 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Lấy trên SA, SB và BC 3 điểm theo thứ tự là M, N, P sao cho MP không thể cắt AB hay CD. Tìm giao điểm của SC và AC với (MNP) 3. Cho tứ diện S.ABC. Trên SA và SB ta lấy hai điểm M, N và trong mp’ (ABC) ta lấy một điểm O. Tìm giao điểm của (MNO) với các đường thẳng AB, BC, AC và SC. 4. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N là hai điểm lần lượt trên AD và AC sao cho MN và DC cắt nhau. Tìm giao điểm của (nếu có) của đường thẳng MN và mp’ (SCD) 6. Cho tứ diện ABCD. Trên AB và AC lấy các điểm M và N sao cho MN không song song với BC. Gọi O là một điểm trong ∆ BCD a) Tìm giao tuyến của mp’ (OMN) với (BCD) b) Mặt phẳng (OMN) cắt BD và CD tại H và K. Hãy tìm điểm H và K 7. Cho hình chóp S.ABCD, gọi I, J, K là 3 điểm lần lượt trên SA, AB, BC. Giả sử JK cắt CD và AD. Tìm giao điểm của SD, SC với mp’ (IJK) Vấn đề 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Phương pháp: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó cùng nằm trên một giao tuyến của 2 mp’ nào đó. Ví dụ 1: Cho ∆ ABC và ∆ DEF không nằm trong cùng một mp’. AB cắt DE ở M; BC cắt EF ở N; AC cắt DF ở K. Chứng minh rằng M, N, K thẳng hàng Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD và E, F, G là 3 điểm lần lượt trên cạnh AB, AC, AD. Gọi M, N, K là giao điểm lần lượt của BC và EF; CD và FG; BD và GE. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, K thẳng hàng. Bài tập. 1. Cho ∆ ABC nằm ngoài mp’ (α), biết 3 cạnh của ∆ ABC kéo dài cắt (α) tại I, J, K. Chứng minh rằng 3 điểm I, J, K thẳng hàng. 2. Cho tứ diện S.ABC có D, E lần lượt là trung điểm cảu AC, BC và G là trọng tâm của ∆ ABC. Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mp’ (β) qua BC cắt SD và SA lần lượt tại P và Q. a) Gọi ; I AM DN J BP EQ= ∩ = ∩ . Chứng minh 4 điểm S, I, J, G thẳng hàng. b) Giả sử ; K AN DM L BQ EP= ∩ = ∩ . Chứng minh 3 điểm S, K, L thẳng hàng. 3. Cho 3 tia ox, oy, oz. Trên các tia ox, oy, oz lần lượt lấy các cặp điểm A và A’; B và B’; C và C’ sao cho BC cắt B’C’ tại M; CA cắt C’A’ tại N; và AB cắt A’B’ tại I. Chứng minh 3 điểm M, N, I thẳng hàng. Vấn đề 4: Chứng minh một đường thẳng trong không gian đi qua một điểm cố định Phương pháp 1: Để chứng minh đường thẳng a đi qua một điểm cố định ta cần tìm trên a 2 điểm A, B và chứng minh 3 điểm A, B, I thẳng hàng. 2 Phương pháp 2: Cần thực hiện 2 bước B 1 : Tìm đường thẳng d cố định ở ngoài mp (α) mà (α) chứa a B 2 : Tìm giao điểm I a d= ∩ . Suy ra I là điểm cố định mà a luôn đi qua. Ví dụ 1: Cho A, B là hai điểm cố định trong không gian ở về 2 phía khác nhau của mp’ cố định (α). Xét điểm M di động trong không gian sao cho ( ) & ( )MA I MB J α α ∩ = ∩ = . Chứng minh rằng IJ luôn đi qua một điểm cố định. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang và AB // CD; AB > CD. Một mp’ (α) di động quanh AC và có ( ) ; ( )SB M SD N α α ∩ = ∩ = . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài tập: 1. Cho 2 điểm cố định A, B ở ngoài mp’ (α) sao cho AB không song song với (α). Gọi M là 1 điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (α) tại A’, B’. Chứng minh rằng MN luôn đi qua 1 điểm cố định. 2. Cho 2 đường thẳng đồng quy ox; oy và hai điểm A, B không nằm trong mp’ (oxy). Một mp’ di động (α) qua AB luôn luôn cắt ox; oy tại M, N. Chứng minh MN luôn đi qua 1 điểm cố định. 3. Cho tam giác ABC ở ngoài mp’ (P). Giả sử AB; BC; CA lần lượt cắt (P) tại D, E, F a) Chứng minh D, E, F thẳng hàng b) Gọi M là 1 điểm di động không ở trong mp’ (P) và mp’(ABC); MA, MB, MC cắt (P) tại G, H, I. Chứng minh mỗi đường thẳng GI, IH, GH qua 1 điểm cố định. 4. Cho hình chóp S.ABCD với AB, CD không song song, M là một điểm di động trên SA, mp’ (CMD) cắt SB tại N. Chứng minh MN đi qua một điểm cố định. Vấn đề 5: Chứng minh ba đường thẳng trong không gian đồng quy. Phương pháp: Để chứng minh 3 đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 trong không gian đồng quy ta cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau và đôi một nằm trong 3 mp’ phân biệt (α), (β), (γ). Phương pháp này cơ bản cần thực hiện qua 2 bước: 3 . một giao tuyến của 2 mp’ nào đó. Ví dụ 1: Cho ∆ ABC và ∆ DEF không nằm trong cùng một mp’. AB cắt DE ở M; BC cắt EF ở N; AC cắt DF ở K. Chứng minh rằng M,