1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Chuyen de HHKG tong hop

13 352 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 13
Dung lượng 266,5 KB

Nội dung

Hình học không gian: Trần Đình Nam Hình học không gian Bài 1.[Đại học Quốc Gia HCM D 2000]: Cho ABC đều cạnh a. Trên đờng thẳng (d) vuông góc (ABC) tại A, lấy điểm MA. Gọi H, K lần lợt là trực tâm các ABC, MBC. 1. Chứng minh rằng: MC(BHK). 2. Chứng minh rằng: HK(MBC). Lời giải 1. Chứng minh: MC(BHK): Có BHAC, BHAM. BH(MAC)BHMC. Mà MCBKMC(BHK). Vậy câu 1 đợc chứng minh. 2. Có MC(BHK)MCHK. Gọi N là trung điểm BCBCAN, BCMNBC(AMN). Mà HAN, KMNHK(AMN)HKBCHK(MBC). Vậy câu 2 đợc chứng minh. Bài 2.[Học viện Quân Y 2001]: Cho 2 nửa mp(P)(Q) theo (d). Trên tia Ax(d) ở trong (P), lấy điểm M mà AM=b>0. Trên tia Bt(d) ở trong (Q), lấy điểm N mà BN= b a 2 . 1. Tính d(A, (BMN)). 2. Tính MN theo a, b. Tìm b theo a để MN min. Lời giải 1. Tính khoảng cách d(A, (BMN)): 1 A B C M N H K Hình học không gian: Trần Đình Nam Kẻ AHBM. Có (P)(Q) theo giao tuyến (d), NB(d)NB(P). NBAH. Mà AHMBAH(BMN)AH=d(A, (BMN)). Trong AMN có: 22 22 22222 ba ba a 1 b 1 AB 1 AM 1 AH 1 + =+=+= . Vậy . ba ab ))BMN(,A(d 22 + = 2. Trong AMN: MN 2 =AM 2 +AN 2 = =AM 2 +AB 2 +BN 2 =a 2 +b 2 + . b a 2 4 Vậy 2 4 22 b a baMN ++= . Có .3aMNa3 b a .b2a) b a b(aMN 2 2 4 22 Cosi 2 4 222 =+++= 3aMinMN = , đạt tại abab b a b 0b,a 44 2 4 2 = == > . Vậy b=a thì MN đạt min và 3aMinMN = . Bài 3.[Đại học Thuỷ Sản 2001]: Cho tứ diện S.PQR có các góc ở S vuông. Gọi A, B, C lần lợt là trung điểm PQ, QR, RP. 1. CMR: các mặt của S.ABC là các tam giác bằng nhau. 2. Tính thể tích S.ABC khi SP=a, SQ=b, SR=c>0. Lời giải 1. Có AC=SB= 2 QR . BC=SA= 2 PQ . AB=SC= 2 PR . SAC=ASB=CBS=BCACâu 1 đợc chứng minh. 2. Tính V S.ABC : Có .V 4 1 VS 4 1 S PQR.SABC.SPQRABC == Mà . 24 abc V 6 abc SR.SQ. 2 1 .SP 3 1 S.SP 3 1 V ABC.SSQRPQR.S ==== 2 A N B M H Q P (d) S P Q R A B C Hình học không gian: Trần Đình Nam Bài 4.[Đại học Hồng Đức 2001]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=2a, SA(ABCD). 1. Chứng minh rằng: tgSBD=4tgBSD. 2. Kẻ AB SB, AD SD. Chứng minh rằng: SC(AB D ). Lời giải 1. Chứng minh: tgSBD=4tgBSD: Đặt =SBD, =BSD. Có SAB=SADSB=SD. SBD cân ở SBSO=/2. Trong BSO có: SO BO 2 tg, BO SO tg = = Có . 2 a OAOB2aBD === Trong SAO có: 2 a3 2 a a4OASASO 2 222 =+=+= 3 1 2 tg,3 a 2 . 2 a3 tg = == . === = = tg4tg 4 3 8 9 . 3 2 9 1 1 3 2 2 tg1 2 tg2 tg 2 đpcm. 2. Chứng minh rằng: SC(AB D ): Có BCAB, BCSABC(SAB)BCAB . Mà AB SBAB (SBC)AB SC. Tơng tự, ta có: AD SCSC(AB D )đpcm. Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, diện tích 3 , góc nhỏ 2 đờng chéo đáy là 60 0 , các cạnh bên nghiêng đều với đáy góc 45 0 , kẻ SH(ABCD). 1. CMR: H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCD. 3 S A B C D O B D Hình học không gian: Trần Đình Nam 2. Tính thể tích S.ABCD. Lời giải 1. CMR: H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCD: Có SH(ABCD)SAH=SBH=SCH=SDH=45 0 . SHA=SHB=SHC=SHDHA=HB=HC=HD. Vậy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABCD. 2. Có .SH 3 3 S.SH 3 1 V ABCDABCD.S == Có HBC đều S HBC = .HB 4 3 2 Mà 4 3 S 4 1 S ABCDHBC == . .1HB 4 3 HB 4 3 2 == Trong SHB có .1HBSH HB SH 45tg 0 === Vậy . 3 1 V ABCD.S = Bài 6.[Đại học Thuỷ Sản 2000]: Cho ABC vuông ở C. Trên đờng thẳng (d)(ABC) ở A, lấy điểm SA. Gọi AD, AE lần lợt là 2 đờng cao của SAB, SAC. 1. Chứng minh rằng: A, B, C, D, E thuộc 1 mặt cầu. 2. Chứng minh rằng: DESB, DEAE. Lời giải 1. Chứng minh rằng: A, B, C, D, E thuộc 1 mặt cầu: Có ACB=ADB=90 0 . Ta sẽ CM: AEB=90 0 . Có BCAC, BCSA. BC(SAC)BCAE. 4 S A B C D H 60 0 S A B D E Hình học không gian: Trần Đình Nam Mà AESCAE(SBC). AEBEAEB=90 0 . Do đó, 3 điểm C, D, E cùng nhìn AB dới góc vuông. Vậy A, B, C, D, E cùng thuộc mặt cầu đờng kính AB. 2. CMR: DESB, DEAE: Có AE(SBC)AEDE. Có SBAD, SBAESB(ADE)SBDE. Vậy bài toán đợc chứng minh. Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. 1. Tính thể tích ABCD. 2. Gọi O là trung điểm của đờng cao DH. Tính OA và Chứng minh rằng: OA, OB, OC đôi một vuông góc. 3. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD. Lời giải 1. Tính thể tích ABCD: Có ABCD là tứ diện đềuH là tâm tam giác đều ABC. Trong ABC có: . 3 a 2 3a . 3 2 AM 3 2 AH, 4 3a S 2 ABC ==== Trong ADH có: DH 2 =AD 2 -AH 2 =a 2 - . 3 2a DH 3 a2 3 a 22 == Vậy . 12 2a 4 3a . 3 2a . 3 1 S.DH 3 1 V 32 ABCABCD === 2. Tính OA và chứng minh: OA, OB, OC đôi một vuông góc: Trong AOH có OA 2 =OH 2 +AH 2 = . 2 a 3 a ) 3 2a . 2 1 ( 22 2 =+ . 2 a OA = Tơng tự: . 2 a OCOB == Trong OAB có: OA 2 +OB 2 =a 2 =AB 2 AOB=90 0 . Tơng tự: BOC=COA=90 0 đpcm. 3. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD: 5 C Hình học không gian: Trần Đình Nam Trong ADH kẻ trung trực (d) của AD và gọi I=(d)DH. Ta sẽ CM: I là tâm mặt cầu cần tìm. Có IDHIA=IB=IC. I(d)IA=IDIA=IB=IC=ID. Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD. Trong AIH có: R 2 =IA 2 =AH 2 +IH 2 =AH 2 +(DH-R) 2 . .R 3 2aR2 3 a2 3 a R)R 3 2a ( 3 a R 2 22 22 2 2 ++=+= Vậy bán kính: . 4 6a R = Bài 8.[Đại học Hải Phòng 2000]: Cho S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B, AB=3, BC=SA=4, SA(ABC). 1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. 2. Trên cạnh AB, lấy E mà AE=1. Gọi (P) qua E, // SA, SB. Thiết diện của (P) và S.ABC là hình gì?. Tính S thiết diện . Lời giải 1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC: Có BCAB, BCSABC(SAB)BCSB. Có SA(ABC)SAACA, B nhìn SC dới góc vuông. Vậy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC là trung điểm SC. Có . 2 41 2 BCABSA 2 ACSA 2 SC R 22222 = ++ = + == 2. Do (P) // BCEF // BC, MN // BC. Do (P) // SAEN // SA, FM // SA. EFMN là hình bình hành. Có EN // SA, SA(ABC). EN(ABC)ENEF. Vậy thiết diện EFMN là hình chữ nhật. 6 A B C D M H O I A S B C E F MZ ZZZ N Hình học không gian: Trần Đình Nam Trong SAB có: . 3 8 4. 3 2 EN BA BE SA EN === Trong ABC có: . 3 4 4. 3 1 EF AB AE BC EF === Vậy . 3 32 S EFMN = Bài 9. Cho S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=b, SA=h, SA(ABCD). Một mặt phẳng (P) qua C, D cắt SA, SB ở K, L. 1. Tính diện tích KLCD theo a, b, h, x=AK. 2. Tìm x để (P) chia chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Lời giải 1. Tính S KLCD theo a, b, h, x: Có AB // CDAB // (CDKL). AB // KLKL // CD. Có CD(SAD)KL(SAD)KLKD. KLCD là hình thang vuông. Trong SAB có: . h a)ah( KL SA SK AB KL == Trong AKD có: .bxADAKKD 2222 +=+= Vậy . h2 bx)xh2(a 2 KD).KLCD( S 22 KLCD + = + = 2. Có (CDKL)(SAD) theo giao tuyến KD nên ta kẻ SHKD. SH(CDKL). Có SHK~DAK nên: 22 bx )xh(b SH DK SK DA SH + == Do đó: CDKL.SABCD.SBCL.ADKCDKL.S V2VVV == 22 22 CDKLABCD bxh6 bx)xh2)(xh(ab2 3 hab S.SH 3 2 S.SA 3 1 + + == 7 S A B C D K L H Hình học không gian: Trần Đình Nam h 2 =(h-x)(2h-x)x 2 -3hx+h 2 =0 . 2 5hh3 x hx0 = << Vậy 2 h)53( x = là giá trị cần tìm. Bài 10.[Đại học Bách Khoa 2001]: Trong mp(P), cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các đờng thẳng vuông góc (P) tại B, C ở cùng phía (P), lấy .3aCE, 2 3a BD == 1. Tính độ dài: AD, AE, DE. 2. Gọi M=BCDE. Chứng minh rằng: AM(ACE) và tính góc giữa 2 mặt phẳng (ADE), (ABC). Lời giải 1. Trong ABD có: . 2 7a 4 a3 aBDABAD 2 222 =+=+= Trong ACE có: .a2a3aCEACAE 2222 =+=+= Kẻ DKCEDK=BC=a, EK= . 2 3a 2 EC = Trong DEK có: . 2 7a 4 a3 aKCDKDE 2 222 =+=+= Vậy . 2 7a DE,a2AE, 2 7a AD === 2. Có EC(ABC)ECAM. Trong ACM có trung tuyến: AB= 2 MC MAC=90 0 MAAC. Do đó: MA(ACE)đpcm. Có MA là giao tuyến của (ADE), (ABC). Mà AEMA, ACMAEAC là góc giữa (ADE), (ABC). Trong ACE có .60EAC3 AC EC EACtg 0 === Vậy góc giữa (ADE), (ABC) là: 60 0 . Bài 11.[S Phạm D 2000]: Cho S.ABCD là chóp đều có SA=AB=a. 8 M A B C D E K Hình học không gian: Trần Đình Nam 1. Tính diện tích toàn phần và thể tích của S.ABCD. 2. Tính cos của góc nhọn giữa (SAB), (SAD). Lời giải 1. Tính S tp và V S.ABCD : Do S.ABCD đềuSA=SB=SC=SD=a. mặt bên là các tam giác đều cạnh a, diện tích mỗi mặt là: . 4 3a 2 .a)31(a 4 3a .4S 22 2 tp +=+= Có SO. 3 a S.SO 3 1 V 2 ABCDABCD.S == . SOA có SO 2 =SA 2 -AO 2 =a 2 - . 2 a 2 a 22 = Vậy . 23 a 2 a . 3 a V 32 ABCD.S == 2. Tính cos của góc nhọn giữa (SAB), (SAD): Gọi M là trung điểm của SA. Do các SAB, SAD đều nên ta có: BMSA, DMSA. góc giữa (SAB), (SAD) bằng góc giữa 2 đờng BM, DM. Trong BDM có: BM=DM= .2aBD, 2 3a = 3 1 DM.BM2 BDDMBM BMDcos 222 = + = Vậy . 3 1 BMDcoscos == Bài 12.[Khối A 2003]: Cho hình lập phơng ABCD.A B C D cạnh a. Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A C, D]. Lời giải Kẻ BHA C, HA C. Ta sẽ chứng minh: DHA C: Có BDAC, BDAA . BD(AA C)BDA C. 9 S A B C D O M A D A B C D H Hình học không gian: Trần Đình Nam Mà A CBHA C(BHD). A CDH[B, A C, D]=BHD. Trong BA C có: 3 a2 BH a2 3 a2 1 a 1 BA 1 BC 1 BH 1 2 2 2222'22 ==+=+= . Tơng tự: . 2 1 DH.BH2 BDDHBH BHDcos 3 a2 DH 2222 2 = + == Vậy [B, A C, D]=BHD=120 0 . Bài 13. Cho S.ABC có 3 góc ở S vuông, SA=a, SB=b, SC=c>0. 1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. 2. Chứng minh rằng: ABC có 3 góc nhọn và: 2 CSA 2 BSC 2 ASB 2 ABC SSSS ++= Lời giải 1. Gọi (d) là đờng thẳng qua trung điểm M của AB và vuông góc với (SAB). Lấy điểm I ở trên (d), cùng phía C đối với (SAB) sao cho IM=SC/2. Ta sẽ chứng minh I là tâm mặt cầu: Có (d) là trục đờng tròn ngoại tiếp SAB, I(d)IA=IB=IS. Có IM=SC/2IS=ICIA=IB=IC=ISI là tâm mặt cầu. 2 SBSASC ) 2 AB () 2 SC (MAIMIAR 222 2222 ++ =+=+== Vậy bán kính mặt cầu là: . 2 cba R 222 ++ = 2. Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ, ta có toạ độ các đỉnh là: S(0, 0, 0) A(a, 0, 0) B(0, b, 0) C(0, 0, c) AB 2 =a 2 +b 2 , AB 2 =a 2 +c 2 , BC 2 =b 2 +c 2 . 10 B C x y z O A B C a b c M H I d S . B, C, D, E cùng thuộc mặt cầu đờng kính AB. 2. CMR: DESB, DEAE: Có AE(SBC)AEDE. Có SBAD, SBAESB(ADE)SBDE. Vậy bài toán đợc chứng minh. Bài 7. Cho tứ diện. .3aCE, 2 3a BD == 1. Tính độ dài: AD, AE, DE. 2. Gọi M=BCDE. Chứng minh rằng: AM(ACE) và tính góc giữa 2 mặt phẳng (ADE), (ABC). Lời giải 1. Trong ABD có:

Ngày đăng: 23/07/2013, 01:27

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Bài 4.[Đại học Hồng Đức 2001]: Cho hình chóp S.ABCD có         đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=2a, SA⊥(ABCD). - Chuyen de HHKG tong hop
i 4.[Đại học Hồng Đức 2001]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=2a, SA⊥(ABCD) (Trang 3)
2. Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ, ta có: S(a,  23a,2a) - Chuyen de HHKG tong hop
2. Chọn hệ trục Oxyz nh hình vẽ, ta có: S(a, 23a,2a) (Trang 12)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w