SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2011 -2012 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) a) Giải phương trình : x − x − = x + x − −1 x (2) 0,5 Mặt khác : x + > x với x > Và − x + 6x − −1 ≥ 0,5 Do (2) nghiệm Vậy BPT (1) nghiệm với < x < Cho tam giác……… 0,5 2,00 c mb c mb2 = ⇒ = Theo ra: b mc b mc2 áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có : a + c = 2mb2 + b2 c Nên: = b c2 a + b2 − a2 + c2 − 2 b c a + b = 2mc2 + 2 ( ) ( 0,5 ) 1 ⇔ a c + b c − c = a b + b c − b ⇔ a c − b − c −b = 2 ( ) ( ) ( ) 1 ⇔ c2 − b2 a2 − c2 + b2 = ⇔ a − c2 + b2 = 2 2 2 ⇔ 2a = b + c ⇔ 2a = a + 2bc cos A ⇔ a = 2bc cos A ⇔ ( R sin A) = 2( R sin B ).( R sin C ) cos A ⇔ sin A = sin B sin C cos A cos A sin A sin ( B + C ) sin B cos C + sin C cos B ⇔ = = ⇔ cot A = sin A sin B sin C sin B sin C sin B sin C cos C cos B = + ⇔ cot A = cot C + cot B sin C sin B Trong mp Oxy … x = 2t − y = t PT tham số đường thẳng (d) : Xét điểm B,C (d) đó: B(2t1 – ; t1) ; C(2t2 – ; t2) 0,5 0,5 0,5 2,00 0,5 Ta có : AB( 2t1 − 2; t1 − 2) , (d) có vtcp: u (2;1) AB = BC AB.u = (1) ⇔ Theo giả thiết ta có: ⇒ AB = BC (2) AB.BC = 0,5 2 6 Từ (1) ⇒ 2( 2t1 − 2) + ( t1 − 2) = ⇒ t1 = ⇒ B , 5 5 Từ (2) 2 2 12 6 2 6 ⇒ − + − = 4 2t − + t − ⇔ 2t 22 − 12t + = ⇔ 5 5 5 t = t = 0,5 t = ⇒ C ( 0,1) 4 7 t = ⇒ C ; Vậy có cặp điểm B,C thoả mãn ycbt 0,5 Cho tam giácABC……… Gọi M trung điểm AB , G trọng tâm tam giác ABC 2,00 Khi : GC = 2GM ⇔ 0,25 5 5 x C − xG = 2( xG − x M ) xC = x G − x M (1) ⇔ y C − y G = 2( y G − y M ) yC = yG − y M x A + xB =1 x M = ⇒ M (1;3) * Toạ độ điểm M cho bởi: y = y A + yB = M * Điểm G(x;y) thuộc đường thẳng (d) ⇒ x - 3y + = (2) 0,25 Gọi CH đường cao tam giác ABC hạ từ C, ta có: S ABC = 3 3 ⇔ AB.CH = ⇒ CH = = 2 4 ( − − 3) + ( − ) 0,5 Qua G dựng đường thẳng song song với AB cắt CH H1 , đó: HH MG 1 = = ⇔ HH = CH = CH MC 3 PT đường thẳng (AB): x - 2y + = Ta có: d ( G; ( AB ) ) = HH ⇔ x − 2y + 12 + 2 = ⇔ x − 2y + = ( 3) 0,5 Từ (2),(3) ta có hệ PT: 25 G − ;− 31 − G − ; 4 83 33 thay vào (1) ta C(- ; - ) 4 101 39 thay vào (1) ta C(;- ) 4 x − y + = x − y + = ⇔ 4( x − y + 5) = ⇔ 4 x − y + = 4( x − y + 5) = −1 25 Với G − ;− 4 31 Với G − ;− 4 0,5 Cho tam giác ABC ……… Biến đổi: ( ) P − r − Rr = P − 2,00 0,5 S2 S abc 2[ P ( P − a )( P − b )( P − c ) ] 2abc − = 2P − − P 4S P P P2 = a2 + b2 + c2 (1) ⇔ a + b + c = ab + bc + ca ⇔ [ ] ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) = ⇔a=b=c Suy tam giác ABC 2,00 2 x x 1 = ≤ + (1) Ta có: ≤ x y x y x +y x3 y ≤ + y + z 2 y z ( 2) ; 2 z ≤ + (3) z + x 2 z x Cộng vế với vế (1)(2)(3) ta đpc/m Cho hệ PT x ≥ y ≥ Điều kiện 0,5 0,5 C/m BĐT: ………… y 0,5 Đặt x = u ≥ ; 1,0 0,5 0,5 2,00 y =v≥0 0,5 Hệ phương trình cho có nghiệm hệ sau có nghiệm (1) u + v = 3 u + v = − 3m (2) u ≥ 0; v ≥ (3) Từ (1) (2) ta có [ ] u + v = (u + v )(u − uv + v ) = (u + v ) (u + v ) − 3uv = − 3uv u + v = Ta cần tìm m để hệ uv = m (I) có nghiệm u ≥ 0; v ≥ 0,5 0,5 Dễ thấy u; v nghiệm phương trình t − t + m = (*) Hệ (I) có nghiêm PT (*) có nghiệm không âm ∆ ≥ 1 − 4m ≥ ⇔ S ≥ ⇔ 1 ≥ ⇔0≤m≤ P ≥ m ≥ Vậy với ≤ m ≤ hệ phương trình cho có nghiệm 0,5 10 Tìm m để PT………… Đặt x + m = t ( *) PT cho trở thành: ( 2,00 ) m − − 2t m + t − 2t − t = (2) m = t + t Giải (2) theo m ⇒ m = t − t − Từ (*) ⇒ x = t − m ( t ≥ 0) 0,5 Do PT x − x − x + m = m có nghiệm m = t + t Thì PT có nghiệm t ∈ [ 0,+∞ ) m = t − t − Vẽ đồ thị hàm số y = t2 + t , y = t2 –t -1 [ 0,+∞ ) Căn đồ thị ta có: m = − 0,5 0,5 -1 < m < 0,5 Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta cú: = ab + bc + ca ≥ 3 (abc) ⇒ abc ≤ 1 2 Suy ra: + a (b + c) ≥ abc + a (b + c) = a(ab + bc + ca ) = 3a ⇒ + a (b + c) ≤ 3a (1) 1 1 Tương tự ta cú: + b (c + a) ≤ 3b (2), + c (a + b) ≤ 3c (3) Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta cú: 1 1 1 ab + bc + ca + + ≤ ( + + )= = 2 + a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy abc = 1, ab + bc + ca = ⇒ a = b = c = 1, (a, b, c > 0) ...TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2 010- 2011 - Điểm toàn không làm tròn - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Câu Nội... 4 x + 16 = y + 14 x (2) 2 HPT tương đương với: Cộng (1) (2) ta được: x + y + xy − y − 14 x + 10 = ⇔ ( x − 1) + ( x + y − 3) = x = x = ⇔ ⇔ 2 x + y = y = x = y = Vậy HPT có nghiệm 1,0... Ta có : AB( 2t1 − 2; t1 − 2) , (d) có vtcp: u (2;1) AB = BC AB.u = (1) ⇔ Theo giả thi t ta có: ⇒ AB = BC (2) AB.BC = 0,5 2 6 Từ (1) ⇒ 2( 2t1 − 2) + ( t1 − 2) = ⇒ t1