CÔNG THỨC TÍNH NHANH KHỐI TRÒN XOAY

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp: 2 2 SA R SO • ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao hai đường chéo.. Khi đó ta gọi R R1, 2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp c

S S

A

B

LỚP TOÁN THẦY DŨNG CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI

OFFLINE TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2017

CHUYÊN ĐỀ KHỐI TRÒN XOAY Môn: Toán

PHẦN 1: TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC MẶT CẦU

Loại 1: Cạnh bên SA vuông góc đáy và ABC 900 khi đó

2

SC

R  và tâm là trung điểm SC

Loại 2: Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần

tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là R D, khi đó ta có

công thức:

2

4

D

SA

•

4

D

abc R

p p a p b p c



   ( p là nửa chu vi)

S

A

B

C O

I K

• Nếu  ABC vuông tại A thì: 2 1 2 2 2

4

R  AB AC AS

• Đáy là hình vuông cạnh a thì 2

2

D

a

R  , nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì 3

3

D

a

R 

Loại 3: Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SASBSCSD

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

2

2

SA R SO

• ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao hai

đường chéo

• ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền

• ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm

S

Loại 4: Hai mặt phẳng SAB và ABC vuông góc với nhau và

có giao tuyến AB Khi đó ta gọi R R1, 2 lần lượt là bán kính đường

tròn ngoại tiếp các tam giác SAB và ABC Ta có công thức tính

bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

2

4

AB

O

K

S

A

B

C

J I

Loại 5 (Tổng quát): Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O Khi đó ta

giải phương trình:  2 2 2 2

D

SHx OH x R Với giá trị x tìm được ta có: R2 x2 R D2

Loại 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: 3

tp

V r S



M O A

D

B

C G

H

O'

O

D

C

r R

PHẦN 2: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ:

V R h S  Rh S  R hR

• Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R

• Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong đó AB2R và

AD Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì h h2R

• Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật

BGHC có khoảng cách tới trục là: d OO ';BGHC OM

• Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai đáy của hình trụ thì:

1

6

ABCD

V  AB CD OO AB CD

• Đặc biệt nếu AB và CD vuông góc nhau thì: 1 '

6

ABCD

V  AB CD OO

• Hình 1: Góc giữa AB và trục OO : ' AB OO; ' A AB'

• Hình 2: Khoảng cách giữa AB và trục OO : ' d AB OO ; 'O M'

• Hình 3: Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông

cũng bằng đường chéo của hình trụ Nghĩa là cạnh hình vuông: 2 2

AB  R h

I

M

O

O'

O

O'

O

O'

D

B A

B A'

A

A'

B

A

C

Hình 1 Hình 2 Hình 3 PHẦN 3: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓN, KHỐI NÓN, NÓN CỤT:

• Công thức hình nón cụt: 1  2 2    2 2   

V  h R Rrr S l Rr S  R r l Rr

V  R h S Rl S R lR

• Thiết diện vuông góc trục cách đỉnh một khoảng x cắt hình nón theo một đường

tròn có bán kính là r Khi đó nếu h là chiều cao của hình nón thì: r x

R h

• Thiết diện chứa trục là một tam giác cân Nếu tam giác đó vuông cân thì h R

còn nếu là một tam giác đều thì hR 3

M O S

A

• Thiết diện đi qua đỉnh mà không chứa trục cắt hình nón theo một tam giác cân

SAB Khi đó:

o Góc giữa SAB và SO là OSM

o Góc giữa SAB và ABC là SMO

o Nếu M là trung điểm của AB thì ABSMO

PHẦN 4: TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY:

Chỏm cầu:

2

3

xq

V







r h

Hình trụ cụt:

 1 2

2

xq











h2

h1

R

Hình nêm loại 1: 2 3tan

3

Hình nêm loại 2: 2 3tan

V   R 

Parabol bậc hai

Paraboloid tròn xoay

2

; 3

parabol

tru

     







R h R

• Elip:

elip

x

x

t

a







b a