Bài toán hình học không gian

Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO VĂN PHÚC “BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC s HÀ NỘI – 2016 Footer Page of 126 Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO VĂN PHÚC “BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 Người hướng dẫn: PGS.TS Vũ Đỗ Long LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 Footer Page of 126 Header Page of 126 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành bảo hướng dẫn PGS TS Vũ Đỗ Long Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Từ tận đáy lòng em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy Mặc dù nghiêm túc trình tìm tòi, nghiên cứu chắcchắn nội dung trình bày luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Tác giả Đào Văn Phúc Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục lục Mở đầu Chương I: Bài toán góc khoảng cách không gian 1.1.Bài toán góc không gian……………………………………… 1.1.1.Góc hai đường thẳng không gian……………… ………….6 1.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng…………………….…………… 1.1.3 Góc hai mặt phẳng……………………………… …………… 11 1.2 Bài toán khoảng cách không gian………………….………… 15 1.2.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng……….…………… 15 1.2.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng……………….…… 17 1.2.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song…………………………………… ………………21 1.2.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau……….………………24 Chương II – Bài toán thể tích 2.1 Thể tích hình chóp……………………… ……… ………………… 34 2.1.1.Phương pháp tính trực tiếp thể tích…… ……….……………………34 2.1.2 Phương pháp sử dụng tỉ số thể tích………….……………………… 40 2.2 Thể tích lăng trụ……………………………………………… ……….47 2.2.1 Khối lăng trụ đứng lăng trụ đều………………………………… 47 Footer Page of 126 Header Page of 126 2.2.2 Lăng trụ xiên…… ………………………………………………… 55 2.3 Thể tích khối tròn xoay…………………………………………….… 60 Chương III – Bài toán phương pháp tọa độ không gian 3.1 Bài toán đường thẳng mặt phẳng………………… …………….68 3.1.1 Bài toán đường thẳng………………….………………………….68 3.1.2 Bài toán mặt phẳng………………….……………………… ….77 3.2 Bài toán mặt cầu………….………………………………… …… 97 Footer Page of 126 Header Page of 126 Mở đầu Hình học phần khó chương trình toán, đa số học sinh sợ học hình học không gian Trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng trước đây, phần Hình học không gian dạng mà học sinh giải phương pháp hình học túy phương pháp tọa độ Để giúp em học sinh thầy cô giáo có thêm tư liệu để dạy trường phổ thông, xin trình bày toán hình học không gian Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương I Bài toán góc khoảng cách không gian 1.1 Bài toán góc không gian 1.1.1 Góc hai đường thẳng không gian Định nghĩa:  Góc hai đường thẳng m n góc hai đường thẳng m1 n1 cắt nhau, song song (hoặc trùng) với m n Kí hiệu: (m,n) m, n  00   m, n   900  Hai đường thẳng vuông góc với góc chúng 900  Nếu hai đường thẳng song song góc chúng 00 Phương pháp: Để tính góc hai đường thẳng a b chéo không gian ta áp dụng hai cách sau: a Cách 1: Tìm góc hai đường thẳng cắt c d b song song với hai đường thẳng a b, đưa c α P Footer Page of 126 d Header Page of 126 vào tam giác, sử dụng hệ thức tam giác A Đặc biệt định lý hàm số cosin: b c b2  c2  a cos A  2bc B C a a Cách 2: Lấy hai vecto 𝑢 𝑣 phương với a b Tính góc b  𝑢 𝑣 góc a b u  u.v cos    u v v P Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a,  = 600, BAA  ’  DAA  ’ = 1200 Gọi O O’ tâm hai đáy hình hộp BAD Tính  A’B’, AC  ;  A’C , AC  ;  B’O, DC  ;  DO’, AC  Lời giải:  Ta có A’B’ // AB   A’B’, AC  =  AB, AO  Mà 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝑎 (gt) 𝐷𝐴𝐵 = 600   ∆ABD  OAB  300 Vậy (A’B’,AC) = 300  Vì D' 𝐴′ 𝐵 ′ = 𝐴𝐴′ = 𝑎  ' = 1200 (gt)  A’B  a , BAA C' A' O' B' D C A Footer Page of 126 O B Header Page of 126 Ta có AO  a , mặt khác ta có: A ' D  A ' B  a (∆A’BD cân), BD = a Suy A’O  A ' B  BO  2 a 3 2 a 11 a    2 2 a 3  a 11   a       AO  A ' A2  A ' O        cos A ' AO  , suy AO A ' A a a  3 A’C2 = A’A2+AC2– 2A’A.AC.cos  A ' AO  a  3a  2a  a      8a   A ' C  AC  A ' A2 8a  3a  a    cos  A ' CA  A ' C AC 12 2.2 2a.a  Từ O ta kẻ đường thẳng song song với DC cắt AD BC trung điểm đường K L, D' C'   B’O, DC    B’O, OL  , A' O' B'  A’K2=A’A2+AK2– 2A’A.AK.cos  A ' AK D K a   7a a ,  a     2a      2 2 2 A O L B a a 9a   A ' K  KO  A ' O 4    cos  A ' KO  A ' K KO a a 2  2 Footer Page of 126 C Header Page 10 of 126 ' LO  (Vì  ' LO bù nhau),  cos B A ' KO B  B’O2 = B’L2+OL2– 7a a a a 3a    2    2B’L.OL.cos B ' LO  4 2 3a a 7a   2 2  ' OL  B ' O  LO  B ' L   cos B 2.B ' O.LO a a 2  2 Vậy cos  B’O, DC  = D' O ' B ' // DO   Xét tứ giác DO’B’O có  a O ' B '  DO  C' O' A' B' D  DO’B’O hình bình hành  DO // B’O, C A O B Suy  DO’, AC    B’O, AC  ; 3a 3a   a2 2 OA  B ' O  B ' A ' OA   cos B   , 2OA.B ' O  3a  2     cos DO ', AC   1.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng a Định nghĩa:Góc đường thẳng a mặt phẳng (P) góc đường thẳng a hình chiếu vuông A P 10 Footer Page 10 of 126 a' Header Page 23 of 126  Khoảng cách từ đường thẳng a với mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P)  Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Phương pháp: Cho đường thẳng d // (P), để tính khoảng cách d (P) ta thực sau:  Bước 1: Chọn điểm A d, cho khoảng cách từ A đến (P) xác định dễ  Bước 2: d(d,(P)) = d(A,(P)) Cho hai mặt phẳng (P) (Q), để tính khỏng cách (P) (Q) ta thực bước sau:  Bước 1: Chọn điểm A (P) cho khoảng cách từ A đến (Q) xác định dễ  Bước 2: d((P),(Q)) = d(A,(Q)) Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có SA  a vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kínhAD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến (SBC) c) Tính diện tích thiết diện tạo hình chóp S.ABCD với mặt phẳng   song song với mặt phẳng (SAD) khoảng a Lời giải: 23 Footer Page 23 of 126 cách chúng Header Page 24 of 126 a) Ta thấy : S CD  AC  CD   SCD    SCD    SAC   CD  SA HạAH⊥SC  AH⊥ (SCD) H Q P Vậy AH khoảng cách từ điểm A tới (SCD) Trong ∆SAB vuông A, ta có : G A I D E 1 1  2  2 AH SA AC a     a   2a N M K B  AH  a Vậy d(A,(SCD))  a Gọi I trung điểm AD, suy ra: BI // CD  BI // (SCD)  d(B,(SCD)) =d(I,(SCD)) Mặt khác, Ta lại có AI  SCD  D nên: d ( I ,( SCD)) ID 1 a    d ( I ,( SCD))  d ( A,( SCD))  AH  d ( A,( SCD)) AD 2 2 b) Ta thấy AD // CB  AD // (SCB)  d(AD,(SCB))  d(A,(SCB)) Hạ AK⊥BC, ta được:  BC  AK  BC   SAK    SBC    SAK   SBC    SAK   SK  BC  SA  Hạ AG⊥SK, ta có AG⊥ (SBC) Vậy AG khoảng cách từ điểm A đến (SBC) Trong ∆SAK vuông A, ta có : 24 Footer Page 24 of 126 C Header Page 25 of 126 1 1    AG SA2 AK a    a 3      a  AG  2a  AK  AD c) Ta thấy :   AK   SAD   AK  SA Giả sử mặt phẳng   song song với (SAD) cắt AK tạ E, : d    ,  SAD    AE  a  AK  E trung điểm AK Ta xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng   sau : Kẻ đường thẳng qua E song song với AD cắt AB , CD theo thứ tự M , N trung điểm đoạn Trong (SAB) dựng MQ // SA cắt SB Q Trong (SCD) dựng NP // SD cắt SC P  PQ // AD // MN Vậy thiết diện tạo hình chóp   MNPQ,   MQ  MN  MNPQ hình thang vuông Ta có SMNPQ  Mà MN   MN  PQ  MQ 3a  AD  BC   MN đường trung bình hình thang cân 2 MNPQ PQ  a BC  PQ đường trung bình ∆SBC 2 25 Footer Page 25 of 126 Header Page 26 of 126 MQ  a SA  MQ đường trung bình ∆SAB 2 Vậy S MNPQ   3a a  a    2 2 1.2.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp : Để dựng đoạn thẳng vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b, ta lựa chọn cách sau : Cách 1: Ta thực theo bước :  Bước : Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a A  Bước : Chọn M a, dựng MH⊥(P) H M a  Bước : Từ H, dựng đường thẳng a’// a cắt b B a'  Bước : Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt atại A AB đoạn vuông góc chung a b P B b H Cách 2: Ta thực theo bước :  Bước : Dựng mặt phẳng (P) ⊥a O B A  Bước : Dựng hình chiếu vuông góc b’ b (P) Dựng hình chiếu vuông góc H O b’ b'  Bước : Từ H dựng đường thẳng song song với a, cắt b O H P B a b  Bước : Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A Đoạn AB đoạn vuông góc chung a b Cách 3: Trong trường hợp a ⊥ b ta thực bước sau: a  Bước : Dựng mặt phẳng (P) chứa b, vuông góc với a A A 26 Footer Page 26 of 126 B b Header Page 27 of 126  Bước : Dựng AB ⊥ b B, AB đoạn vuông góc chung a b Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, ta lựa chọn hai cách sau :  Cách : Tính độ dài đoạn vuông góc chung (nếu có)  Cách : Tính d(a,(P)) với (P) mặt phẳng chứa b song song với a  Cách 3: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a,  góc DAB  600 có đường cao SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SB Lời giải: a) HạIJ ⊥ BC I, IJ ⊥ AD J S  BC  OI Ta có   BC   SOI    SBC    SOI   BC  SO  SBC    SOI   SI O A từ O tới (SBC) Với hình thoi ABCD, ta có AD = a (∆ABD đều) a a  OB  , AC  AO    a 2 Trong ∆SOI vuông O, ta có: 27 C J Hạ OH  SI  OH  (SBC ) Vậy OH khoảng cách Footer Page 27 of 126 H D I B Header Page 28 of 126 1 1     2 2 OI OB OC a a   2    13 a 39  OI  3a 13 Trong ∆SAE vuông A, ta có: 1 1 16 a    2   OH  2 OH OS OI a  a 39  3a    13  Vậy d(O,(SBC))  a b) Ta thấy rằng: AD // BC  AD // (SBC)  d(AD,SB) = d(AD,(SBC)) = d(J,(SBC)) Mặt khác ta có JO   SBC   I nên: d  J ,  SBC   d  O,  SBC   Vậy d  AD, SB    IJ a   d ( J ,( SBC ))  2d  O,  SBC    2OH  OI a Ví dụ 11: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a a) Chứng minh BC’  (A’B’CD) b) Xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung AB’ BC’ Lời giải:  BC '  B ' C  BC '   A ' B ' CD  a) Ta có  BC '  CD CD  BCC ' B '      28 Footer Page 28 of 126 Header Page 29 of 126 b) Ta có BC '   A ' B ' CD  O C Ta có AD’ // BC’ d ( AB ', BC ')  d (C ',( AB ' D '))  d ( A',( AB ' D ')) B Q D A N Kẻ A ' H  B ' D ' , K C' A ' K  AH  d ( A ',( AB ' D '))  A ' K B' H Xét tam giác vuông ∆ AA ' H có: D' P A' 1 1 a       OK  A ' K A ' A2 A ' H a  a  a     Ta có:  AB ' D '   AA ' C ' Lại có  AB ' D '   AA ' C '  AH Vậy để xác định đường vuông góc chung, ta xác định sau: + Kẻ C’P  AH + Kẻ đường thẳng qua P song song với BC’ cắt AB’ N + Kẻ đường thẳng qua N vuông góc với BC’ Q + Đoạn thẳng QN đường vuông góc chung AB’ BC’ Ví dụ 12:(Đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Lời giải  Ta có: MAD  NCD   ADM  DCN 29 Footer Page 29 of 126 Header Page 30 of 126  MD  NC Do SH   ABCD   MD  SH MD   SHC  S Kẻ HK  SC  K  SC  Suy HK đoạn vuông góc chung DM SC nên d  DM , SC   HK M A K N Ta có: H HC  HK  CD 2a  CN D SH  HC SH  HC Vậy d  DM , SC    C 3a  19 3a 19 Bài toán tổng hợp Bài tập Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông C, CA  b, CB  a, cạnh SA  h vuông góc với đáy Gọi D trung điểm AB Tính a) Góc AC SD b) Khoảng cách AC SD Lời giải a) Từ D kẻ DE / / AC (E nằm BC) 30 Footer Page 30 of 126 B Header Page 31 of 126   SDE Suy  SD; AC    SD; DE       SDE Ta có DE  S b AC  2 h H SD  SA2  AD  h  a b  4h  a  b 2 A  BC  AC Lại có   BC  SC hay SBC vuông C  BC  SA B D E b a C 2 a SE  SC  EC  b     a  4b 2   cos SDE DE  DS  SE 2 DE.DS 2 b 1  1  4h  a  b    a  4b     2h  b 2  2      b b 4h  a  b 2  4h  a  b 2  2h  b arccos b 4h  a  b   Vậy  SD; AC    2h  b   arccos  b 4h  a  b b) Ta có d  AC; SD   d  AC;  SDE    d  A;  SDE    AH Với H hình chiếu vuông góc A lên DE Suy AH  BC a  2 31 Footer Page 31 of 126 Header Page 32 of 126 Bài tập Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AC  BC  2a Mặt phẳng  SAC  tạo với mặt phẳng  ABC  góc 600 Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AH SB S Lời giải: Ta có Từ H kẻ HE  AC Lại có  AC  HE  AC  SE   AC  AH K B 2a C 60° Suy SAC cân S SH  HE tan 600  H N AB 3a  3 2 E a A Từ B kẻ đường thẳng qua B song song với AH, hạ HN vuông góc với đường thẳng đó, hạ HK  SN (1) Ta có d  AH ; SB   d  AH ;  SBN    d  H ;  SBN    BN  HN  BN   SHN   BN  HK (2) Từ (1) (2) suy  BN  SH  d  H ;  SBN    HK a Xét tam giác vuông BHN có  NBH   AHC  600 Suy BN  BH  2 Nên HN  a  Vậy a2 a  1 SH HN 3a    HK   HK SH HN SH  HN 32 Footer Page 32 of 126 Header Page 33 of 126 Bài tập 3.(Đề thi tuyển sinh đại học cao, đẳng khối B 2002) Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b) Gọi M , N , P trung điểm cạnh BB1 , CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1 N Lời giải: H B C F a) Ta có N A  A1B  AB1  A1B   AB1C1D   A1B  B1D   A1B  AD D M I Tương tự AC  B1D  B1D   A1BC1  Do G B1 C1 B1 A1  B1B  B1C1  a nên GA1  GB  GC1  G trọng tâm tam giác A1BC1 có cạnh a A1 P D1 Gọi I trung điểm A1B IG đường vuông góc chung A1B B1D nên 1 a d  A1B, B1D   IG  C1I  A1B  3 b) Dễ thấy C1 N / / B1F mà B1F / / MH   MP, C1 N    MP, MH  1 a a Xét HMP có HM  B1F    a  2 2 2 a a MP  B1P  B1M     a     a 2 2 2 33 Footer Page 33 of 126 Header Page 34 of 126 2 29  3a  a HP  HA  AP     a     a   2 2 3a 5a 29a   MP  HM  PH 16 16    Suy cos PMH  2MP.HM a 2.a 2 Vậy  MP, C1N    MP, MH   900 Bài tập 4.(Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2008) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A, AB  a , AC  a hình chiếu vuông góc đỉnh A ' mặt phẳng  ABC  trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ACB tính cosin góc hai đường thẳng AA ', B ' C ' Lời giải: Gọi H trung điểm BC Suy A' C' A ' H   ABC  AH  1 BC  a  3a  a 2 B' Do A ' H  A ' A2  AH  3a  A ' H  a Vậy VA ' ABC  a3 A ' H SABC   đvtt  A C H B Trong tam giác vuông A’B’H có : HB '  A ' B '2  A ' H  2a Nên tam giác B’BH cân B’ 34 Footer Page 34 of 126 Header Page 35 of 126 ' BH Đặt  góc hai đường thẳng AA’ B’C’   B Vậy cos  a  2.2a Bài tập (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A,  ABC  300 , ∆SBC tam giác cạnh a,  SBC    ABC  Tính d  C,  SAB   Lời giải: Gọi H trung điểm BC, suy SH  BC mà  SBC    ABC  theo giao tuyến BC, nên SH   ABC  Ta có SH   ABC  , suy SH  a a a ; AC  BC sin 300  ; AB  BC cos300  2 a3 Do VS ABC  SH AB AC  16 Tam giác ABC vuông A H trung S điểm BC nên HA  HB Mà SH   ABC  Suy SA  SB  a Gọi I trung điểm AB suy SI  AB AB a 13 Do SI  SB   4 B H Suy d  C ,  SAB    C VS ABC 6VS ABC a 39   SSAB SI AH 13 35 Footer Page 35 of 126 A I Header Page 36 of 126 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Trần Thị Vân Anh, Lê Thị Hồng Liên (2010), “Phân dạng phương pháp giải toán hình học lớp 12” Lê Đức (2011), “Các dạng toán điển hình hình học 12” Nguyễn Bạo Phương, Phan Huy Khải (1999), "Các phương pháp giải toán hình học không gian 11" Lê Bích Ngọc, Lê Hồng Đức (2005), “Học ôn tập toán hình học 11” Nguyễn Văn Lộc, Hàn Minh Toàn, Nguyễn Văn Hoàng, Bùi Hiếu Đức (2010), “Các chuyên đề toán THPT hình học tự luận trắc nghiệm” 36 Footer Page 36 of 126 Header Page 37 of 126 Lê Hoàng Phò (2009), “Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 11” 37 Footer Page 37 of 126 ... phần Hình học không gian dạng mà học sinh giải phương pháp hình học túy phương pháp tọa độ Để giúp em học sinh thầy cô giáo có thêm tư liệu để dạy trường phổ thông, xin trình bày toán hình học không. .. toán mặt cầu………….………………………………… …… 97 Footer Page of 126 Header Page of 126 Mở đầu Hình học phần khó chương trình toán, đa số học sinh sợ học hình học không gian Trong đề thi tuyển sinh Đại học. .. – Bài toán phương pháp tọa độ không gian 3.1 Bài toán đường thẳng mặt phẳng………………… …………….68 3.1.1 Bài toán đường thẳng………………….………………………….68 3.1.2 Bài toán mặt phẳng………………….……………………… ….77 3.2 Bài