hinh gt

Trờng THPT số 2 Bắc Hà Chuyên đề: Phơng pháp toạ độ trong không gian Đờng thẳng 1. Bài toán 1 ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và nhận ( , , )u a b c r 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + hoặc 0 0 0 x x y y z z a b c = = Chú ý // d d u u = uur uur ' , ' ; d d d d u u u = uur uur uur ( ) ( ) u n = uur r ( ) ( ) //( ),( ) ;u n n = uur r r VD 1. Vit ptts, ptct, pttq ca ng thng (d) bit : a) (d) i qua A(2 ;0 ;1) v cú vtcp (1; 1; 1)u = r b) (d) i qua hai im A(1 ;2 ;1) v B(-1 ;0 ;0). c) (d) i qua M(-2;1;0) v vuụng gúc vi mt phng (P) : x+2y-2z+1=0 d) (d) i qua N(-1;2;-3) v song song vi ng thng 3 0 : 2 5 4 0 x y z x y z + + = + = e) (d ) i qua M(2;-3;-5) v vuụng gúc vi (ABC), bit A(1;0;1),B(1;1;0),C(0;1;1). VD 2. Vit phng trỡnh ng thng (d) i qua A(2 ;-1 ;1) v vuụng gúc vi hai ng thng : 1 1 0 ( ) : 2 0 x y d x z + + = = V 2 2 1 0 ( ) : 0 x y d z + = = 2. Bài toán 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 ( ) : 0 A x B y C z D d A x B y C z D + + + = + + + = VD 3. Vit phng trỡnh hỡnh chiu (d) ca ng thng 2 5 ( ) : 2 3 0 x y z d x z + + + = lờn mt phng ( ) : 7 0x y z + + = VD 4. Vit phng trỡnh hỡnh chiu (d) ca 1 2 3 ( ) : 2 3 1 x y z d + = = lờn cỏc mt phng Oxy, Oyz. 3. Bài toán 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ; ; ) ( ) : ( ; ; ) A x y z x x y y z z d a b c u a b c = = ur 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ; ; ) ( ) : ( ; ; ) B x y z x x y y z z d a b c u a b c = = uur 1 2 ( ),( )d d chéo nhau 1 2 , . 0u u AB ur uur uuur 1 2 ( ),( )d d cắt nhau 1 1 1 2 2 2 1 2 : : : : , . 0 a b c a b c u u AB = ur uur uuur 1 2 ( ) //( )d d 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 : : : : : :a b c a b c x x y y z z= 1 2 ( ) ( )d d 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 : : : : : :a b c a b c x x y y z z= = VD 5. Xột v trớ tng i ca cỏc cp ng thng sau : 1 Trêng THPT sè 2 B¾c Hµ a) ( ) : 8 4 3 3 x t d y t z t =   = − −   = − −  Và 0 ( ') : 2 2 0 x y z d x y z + − =   − + =  b) 1 2 ( ) : 2 2 1 x y z d − − = = − Và 2 ( ') : 5 3 4 x t d y t z = −   = − +   =  VD 6. Chứng minh hai đường thẳng 2 1 ( ) : 3 2 1 x y z d + − = = − và 0 ( ') : 5 8 0 x y z d x y z + − =   − − − =  song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. VD 7. Chứng minh hai đường thẳng 1 2 ( ) : 3 2 3 x t d y t z t = −   = +   = − −  và 2 ( ') : 1 3 2 x t d y t z t =   = +   = −  chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chung của chúng. Híng dÉn: +,Gäi ( ) α lµ mp qua 1 1 1 ( , , )A x y z vµ cã VTPT 1 ,n u t   =   r ur r +,Gäi ( ) β lµ mp qua 2 2 2 ( , , )B x y z vµ cã VTPT 2 ,m u t   =   ur uur r +,§êng vu«ng gãc chung cña 1 ( )d vµ 2 ( )d lµ giao tuyÕn cña ( ) α vµ ( ) β VD 8. (Đường vuông góc chung) Xác định phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng : 7 3 9 ( ) : 1 2 1 x y z d − − − = = − và 3 1 1 ( ') : 7 2 3 x y z d − − − = = 4. Bµi to¸n 4 VD 9. Cho mặt phẳng ( ) : 2 1 0P x y z+ + − = và đường thẳng 1 2 ( ) : 2 1 3 x y z d − + = = − Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của (P) và (d), vuông góc với (d) và thuộc mặt phẳng (P). VD 10. Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-4 ;-5 ;3) và cắt cả hai đường thẳng : 1 1 3 2 ( ) : 3 2 1 x y z d + + − = = − − ; 2 2 1 1 ( ) : 2 3 5 x y z d − + − = = . VD 11. Lập phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ( ) : 2 0P y z+ = và cắt cả 2 đường thẳng 1 1 ( ) : 4 x t d y t z t = −   =   =  Và 2 2 ( ) : 4 2 1 x t d y t z = −   = +   =  VD 12. Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;1), vuông góc với đường thẳng 1 1 2 : 3 1 1 x y z d − + = = và cắt đường thẳng 2 2 0 : 1 0 x y z d x + − + =   + =  2 Trờng THPT số 2 Bắc Hà Chuyên đề: Phơng pháp toạ độ trong không gian Mặt Cầu 1. Bài toán 1 (Phơng trình mặt cầu) Mặt cầu (S) có phơng trình: 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + = điều kiện: 2 2 2 0A B C D+ + > Có tâm ( , , )I A B C và bán kính 2 2 2 R A B C D= + + VD1: Xác định tâm và bán kính cho bởi phơng trình sau: a. 2 2 2 2 2 4 3 0x y z x y z+ + + + = b. 2 2 2 2 4 6 67 0x y z x y z+ + = Chú ý: Mặt cầu (S) qua 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ; ; ) 2 2 2 0M x y z x y z Ax By Cz D + + + + + + = Mặt cầu đờng kính AB tâm I là trung điểm AB + Bán kính 2 AB R = Mặt cầu tâm nằm trên ( ) : 0 0Ax By Cz D Aa Bb Cc D+ + + = ị + + + = Mặt cầu tâm tiếp xúc với ( ) ( ,( ))d I R = VD 2: Viết phơng trình mặt cầu thoả mãn điều kiện sau: a. Mt cu (S) i qua bn im O, A, B, C, biết A(1 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 2 ; 0) b. Mt cu (S) đờng kính OG trong đố G là trọng tâm của tam giác ABC A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 3 ; 0), C(0 ; 0 ; 6). c. Mt cu ( ) S có tâm l g c to O v ti p xúc vi mt phng ( ) a 2 2 6 0x y z+ - + = d. Mt cu tâm I(1;-1;2) v ti p xúc vi ( ) : 3 4 - - 23 0 P x y z+ = . Tìm ta tip im. e. Mt cu (S) i qua 3 im A(1;1;0), B(-1;1;2), C(1;-1;2) v có tâm thu c mt phng (P): x+y+z-4=0 2. Bài toán 2(Đờng tròn) Phơng trình đờng tròn: 2 2 2 2 2 2 0 0 x y z Ax By Cz D Ax By Cz D + + + + + + = + + + = Bán kính 2 2 r R d= Tâm đờng tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu lên mặt phẳng ( ) Chú ý: (Cách tìm hình chiếu của điểm I lên mặt phẳng ( ) ) +. Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua I và vuông góc với ( ) +, Tâm đờng tròn là giao điểm của (d) và ( ) VD 3. Xác định tâm và bán kính của đờng tròn sau: 2 2 2 4 6 4 32 0 ( ) : 4 5 18 0 x y z x y z C x y z + + = + + + = VD 4. Cho mt phng( ) : x + y + z 1 = 0 v ng thng 1 1 1 1 x y z d = = ( ) : . Bit A, B, C l giao im tng ng ca mt phng ( ) vi cỏc trc to Ox, Oy, Oz, cũn D l giao im ca ng thng (d) vi mt phng to Oxy. Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua 4 im A, B, C, D. Xỏc nh to tõm v bỏn kớnh ca ng trũn l giao tuyn ca mt cu (S) vi mt phng (ACD). 3. Bài toán 3( tiếp diện) ( ) : 0Ax By Cz Da + + + = và (S) 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + = ( ) là tiếp diện của (S) ( ( ))I d R = Chú ý: B1: Xác định dạng phơng trình mặt phẳng (xem phần mặt phẳng) B2: áp dụng điều kiện tiếp xúc phơng trình mặt phẳng 3 Trờng THPT số 2 Bắc Hà Công thức khoảng cách 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d A B C + + + = + + VD 5: Trong khụng gian Oxyz cho 4 im A, B, C, D cú to xỏc nh bi cỏc h thc A = (2 ; 4 ; 1), 1 4 1B = ( ; ; ) ,C = (2 ; 4 ; 3), 2 2 1D ( ; ; ) . Vit phng trỡnh mt cu (S) ngoi tip t din ABCD. Vit phng trỡnh tip din ( ) ca (S) song song vi mt phng (ABD). VD 6: Cho 4 im A(1;1;2),B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;1;2). a. Gi A l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn mt phng Oxy, hóy vit phng trỡnh mt cu (S) i qua 4 im A, B, C, D. b. Vit phng trỡnh tip din ( ) ca mt cu (S) ti im A. VD 7:Cho ba im A(1 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 2 ; 0). Gi G l trng tõm tam giỏc ABC. a. Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua bn im O, A, B, C. b. Vit phng trỡnh cỏc mt phng vuụng gúc vi ng thng OG v tip xỳc vi mt cu (S). VD 8: Cho mt cu (S) : 2 2 2 2 2 4 3 0x y z x y z+ + + + = v hai ng thng 1 2 2 0 2 0 x y x z + = = ( ) : ; 2 1 1 1 1 x y z = = ( ) : . Vit phng trỡnh tip din ca mt cu (S), bit tip din ú song song vi hai ng thng ( 1 ) v ( 2 ). VD 9*. Lp phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng: 13 1 ( ) : 1 1 4 x y z d + = = V tip xỳc vi mt cu 2 2 2 ( ) : 2 4 6 67 0S x y z x y z+ + = VD 10.Cho mt cu 2 2 2 ( ) : 2 4 2 3 0S x y z x y z+ + + + = v mt phng ( ) : 2 2 14 0P x y z + = a) Vit pt mt phng (Q) cha trc Ox v ct (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 3. b) Tỡm M thuc mt cu (S) sao cho khong cỏch t M n mp(P) l ln nht. Chuyên đề: Phơng pháp toạ độ trong không gian 4 Trờng THPT số 2 Bắc Hà Mặt phẳng 1. Bài toán 1 ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z nhận ( , , )n A B C r là 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z + + = 0Ax By Cz D+ + + = Chú ý ( ) ( ) d d n u = uuur uur ( ) ( ) ( ) //( ) n n = uuur uuur VD 1. V it ph ng t r ỡ nh mp(P) b it a) (P) i qua A(1;0;-3) v cú vtpt (1; 3;5)n = r b) (P) l mp trung trc ca on MN vi M(-4 ;3 ;2), N(0 ;-1 ;4). c) (P) i qua B(3,-1,4) v song song vi mt phng x-2y+5z-1=0 d) (P) i qua C(1,-1,0) v song song vi mt phng yOz e, (P) i qua D(5,-1,-3) v vuông góc với đờng thẳng 1 3 1 2 1 3 x y z + = = f) (P) đi qua E(2,-2,4) và vuông góc với trục Oz 2. Bài toán 2 ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z nhận 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ), ( , , )u a b c u a b c ur uur ( ) 1 2 ;n u u = uuur ur uur Chú ý ( ) ' ( ) // , ' ; d d d d n u u = uuur uur uur ( nếu ( ) chứa d, d thực hiện tơng tự) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ;n n n = uuur r r VD 2. V it ph ng t r ỡ nh mp(P) b it a) (P) i qua M(2 ;3 ;2) v cú cp vtcp l (1;1; 2); ( 3;1;2)u v= = r r b) (P) i qua M(1 ;-1 ;1), N(0 ;2 ;0), P(-2 ;-3 ;-4). c) (P) i qua M(2 ;3 ;4) v song song vi trc Ox, Oz d) (P) i qua hai im M(1 ;-2 ;1), N(-1 ;1 ;3) v song song vi trc Oy e) (P) i qua im M(1 ;-1 ;2) v cha ng thng 2 1 3 ( ) : 2 1 1 x y z d + = = f) (P) i qua M(2 ;-1 ;1), N(-2 ;3 ;-1) v vuụng gúc vi mp (Q): 4x - y + 2z 1 = 0 g) (P) i qu a cỏc h ỡ nh c h i u c a i m M(4 ;-1 ;2) trờn cỏc mt phng ta . h) (P) i qua cỏc hỡnh chiu ca im M(4 ;-1 ;2) trờn cỏc trc ta . 3. Bài toán 3 ( ) qua 0 0 0 0 ( , , )M x y z và chứa (d) : 0 0 0 x x y y z z a b c = = ( ) 0 1 ; d n M M u = uuur uuuuuuuruur ( 1 M là điểm thuộc d) VD 3 Viết phơng trình mặt phẳng ( ) qua A(1,2,1) và chứa 1 ( ) : 3 3 4 x y d z = = + Chú ý : nếu (d) ở dạng tổng quát nên sử dụng phơng trình chùm mặt phẳng 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D+ + + + + + + = (*) với 2 2 0m n+ VD 4 Vit phng trỡnh mt phng i qua im M(1;0;3), cha ng thng giao tuyn ca hai mt phng (P):x-y+z-3=0 v (Q): 3x+y+2z-5=0. VD 5. Vit phng trỡnh mt phng (P): a) i qua im A(1;2;1) v cha trc Oy. b) i qua giao tuyn ca hai mt phng ( ) : 3 1 0x y + = v ( ) : 2 3 5 0y z + = ng thi vuụng gúc vi mt phng ( ) : 2 1 0x y = . c) i qua giao tuyn ca hai mt phng ( ) :3 3 8 0x y z + + = v ( ) : 2 2 0x y z + + = ng thi song song vi mt phng ( ) : 1 0x y = . 5 Trêng THPT sè 2 B¾c Hµ VD 6. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1;2;3) và cắt 3 trục tọa độ ở ba điểm cách đều gốc tọa độ. VD7. Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD. c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng (ABC). Chó ý ( ) α chøa 1 1 1 1 1 1 1 ( ) : x x y y z z d a b c − − − = = vµ ( ) α // 2 2 2 2 2 2 2 ( ) : x x y y z z d a b c − − − = = La mÆt ph¼ng qua 2 2 2 2 ( , , )M x y z hoÆc 1 1 1 1 ( , , )M x y z vµ 1 2 ; d d n u u   =   r uur uur 6 . 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + = điều kiện: 2 2 2 0A B C D+ + > Có tâm ( , , )I A B C và bán kính 2 2 2 R A B C D= + + VD1: Xác định