Hinh GTICH PHANG

Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC Bài toán 1. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1,3) và phương trình hai đường tuyến (d 1 ): 012 =+− yx , (d 2 ): 01 =− y . Cách 1. * Kiểm tra A không thuộc (d 1 ), (d 2 ). * Tìm toạ độ trọng tâm. * Tìm toạ độ B, C. * Viết phương trình các cạnh. Cách 2. * Kiểm tra A không thuộc (d 1 ), (d 2 ). * Tìm toạ độ trọng tâm G. * Tìm toạ độ A 0 là điểm đối xứng với A qua G. * Viết phương trình đường thẳng (d 3 ) qua A 0 và song song với (d 1 ), Viết phương trình đường thẳng (d 4 ) qua A 0 và song song với (d 2 ). * Tìm B, C. * Viết phương trình các cạnh của tam giác. Bài toán 2. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2,2) và phương trình của hai đường cao (d 1 ): 0439 =−− yx , (d 2 ): 02 =−+ yx . Cách 1. * Viết phương trình AB, AC. * Tìm toạ độ của B,C. * Viết phương trình BC Cách 2. Sử dụng phương pháp tham số hoá toạ độ B, C. Bài toán 3. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2,-1) và phương trình của hai đường phân giác trong (d 1 ): 012 =+− yx , (d 2 ): 03 =++ yx . Cách giải. * Tìm toạ độ các điểm A 1 ,A 2 lần lượt đối xứng với A qua (d 1 ), (d 2 ). * Viết phương trình A 1 A 2 và tìm toạ độ của B, C. * Viết phương trình AB, AC. Bài toán 4.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(5,6) và phương trình của trung tuyến (d 1 ): 01232 =−+ yx , phương trình của đường cao (d 2 ): 01 =− x . Cách giải. * Viết phương trình AC và tìm toạ độ điểm A. * Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và song song với (d 1 ). * Tìm I là giao của (d) và (d 2 ), tìm toạ độ của B. * Viết phương trình các cạnh. 1 Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 Bài toán 5.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2,-1) và phương trình của đường cao (d 1 ): 02743 =+− yx , phương trình của phân giác trong (d 2 ): 052 =−+ yx . Bài toán 6.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(4,3) và phương trình của trung tuyến (d 1 ): 05117 =−+− yx , phương trình của phân giác trong (d 2 ): 052 =−+ yx . Bài toán 7.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(4,3) và phương trình của trung tuyến (d 1 ): 05117 =−+− yx , phương trình của phân giác trong (d 2 ): 052 =−+ yx . Bài toán 8.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(4,-1) và (d 1 ): 01232 =+− yx , (d 2 ): 032 =+ yx lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ B. Bài toán 9.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(4,3) và (d 1 ): 052 =−+ yx , (d 2 ): 10134 =+ yx lần lượt là các đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ B. Bài toán 10.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trọng tâm G(4,3) và AB: 0154 =++ yx , AC: 0352 =++ yx . Bài toán 11.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H(0,0) và AB: 0625 =+− yx , AC: 02174 =−+ yx . Bài toán 12.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết toạ độ các trung điểm M(2,3), N(4,-1), P(-3,5). Bài toán 13. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết toạ độ trọng tâm G(4,-2), A(-1,-3) và phương trình trung trực của AB là 0423 =−+ yx . Bài toán 14. Cho A(-1,3), B(1,1) và 02: =−∆ yx a. Tìm C thuộc ∆ sao cho tam giác ABC cân. b. Tìm C thuộc ∆ sao cho tam giác ABC đều. Bài toán 15.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của BC là M(-2,2) và AB: 022 =−− yx , AC: 0352 =++ yx . Bài toán 16. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 3 , A(2,-3), B(3,-2) và trọng tâm G thuộc 083: =−−∆ yx . Tìm toạ độ của C. Bài toán 17. Cho (d 1 ): 012 =+− yx , (d 2 ): 072 =−+ yx . Lập phương trình đường thẳng qua O(0,0) và tạo với (d 1 ), (d 2 ) một tam giác cân tại giao điểm của (d 1 ), (d 2 ). Hãy tính diện tích tam giác đó. Bài toán 18. Cho A(1,1) và B thuộc đường thẳng 3 = y , C thuộc trục hoành. Tìm toạ độ B,C để tam giác ABC đều. Bài toán 19. Cho A, B, C thuộc đường cong x y 1 = . CMR: trực tâm của tam giác ABC cũng thuộc đường cong này. Bài toán 20. Cho A(1,2), B(3,4). Tìm M thuộc trục hoành sao cho MA+MB nhỏ nhất. Bài toán 21. Cho đường thẳng 04sin)1(cos)1(: =−−+−∆ αα yx . a. Tìm những điểm mà ∆ không đi qua với mọi R ∈ α . b. CMR: ∆ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 2 Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HOÁ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( 0; 2 1 ), phương trình AB: 022 =+− yx và AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D biết A có toạ độ âm. Bài 2. Xét tam giác vuông ABC tại A có BC: 033 =−− yx , A,B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm. Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4, A(0,1), B(2,0). Biết rằng tâm I thuộc đường thẳng xy = . Tìm toạ độ C, D. Bài 4. Cho hình thang cân ABCD có A(10,5), B(15,5), D(-20,0). Tìm toạ độ C biết AB||CD. Bài 5. Cho ABCD là hình vuông biết A(-4,5) và phương trình một đường chéo là 087 =+− yx . Lập phương trình các cạnh và đường chéo của hình vuông. Bài 6. Cho 012: =−−∆ yx , E(1,6), F(-3,-4). Tìm M thuộc )( ∆ sao cho || FMEM + nhỏ nhất. Bài 7. Trên Parabol 2 xy = lấy hai điểm A(-1,1), B(3,9) và điểm M thuộc cung AB. Tìm M để tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Bài 8. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 3 . Biết A(2,-3), B(3,-2) và trọng tâm cua tam giác thuộc đường thẳng 083 =−− yx . Tìm C. Bài 9. Cho M( 2, 2 5 ). Các đường thẳng 2 x y = và xy 2 = . viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường thẳng trên tại A, B sao cho M là trung điểm của AB. Bài 10. Tìm C thuộc 02: =+−∆ yx sao cho tam giác ABC vuông biết A(1,-2), B(-3,3). Bài 11. Cho tam giác ABC có các đỉnh thuộc Hypebol x y 1 = . CMR trực tâm của tam giác cũng thuộc Hypebol. ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG TRÒN Ι. Các kiến thức cơ bản. 3 Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 1. Phương trình đường tròn tâm I( ba, ), bán kính R có dạng: 222 )()( Rbyax =−+− 2. Phương trình tổng quát của đường tròn là )0(,022 2222 >−+=++++ cbacbyaxyx Tâm của đường tròn là I( ba −− , ). Bán kính là cbaR −+= 22 . 3. Đường thẳng 0: =++∆ γβα yx tiếp xúc với đường tròn tâm I(a,b) bán kính R khi và chỉ khi R ba RId = + ++ ⇔=∆ 22 || ),( βα γβα ΙΙ. Các dạng bài tập Dạng 1. Lập phương trình đường tròn Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết a. A(1,1), B(-1,2), C(0,-1). b. AB: 025 =−− yx , BC: 02 =+− yx , CA: 08 =−+ yx . c. A(-1,-2), B,C là các giao điểm của đường thẳng 0107: =++∆ yx với đường tròn 0204:)( 22 =−++ xyxC . Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết a. A(4,0), B(0,3), C(0,0). b. AB: 01234 =−− yx , BC: 01234 =−+ yx , CA: 0 = x . c. A(-1,7), B(4,-3), C(-4,1). Ví dụ 3.Lập phương trình đường tròn a. Đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với các trục toạ độ. b. Có tâm thuộc đường thẳng 0106: =−−∆ yx và tiếp xúc với các đường thẳng ,0543: 1 =−+∆ yx 0534: 2 =−−∆ yx . c. Đi qua các điểm A(0,1), B(1,0) và có tâm thuộc đường thẳng 02: =++ yxd d. Đi qua điểm A(4,2) và tiếp xúc với hai đường thẳng 0183:,023: 21 =+−∆=−−∆ yxyx d. Có đường kính là AB với A(a 1 ,b 1 ), B(a 2 ,b 2 ). Dạng 2.Tiếp tuyến của đường tròn Ví dụ 4. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): 0662 22 =−−−+ yxyx biết a. Tiếp tuyến đi qua điểm M(1,-1). b. Tiếp tuyến đi qua điểm M(4,-1). 4 Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 Ví dụ 5. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): 0122 22 =+−−+ yxyx biết a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng 0: =+ yxd . b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 0: =+ yxd . c. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng 0: =+ yxd góc 0 60 . Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): 0442 22 =−−−+ yxyx và điểm A(-2,2). Hãy viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến (C). Giả sử các tiếp điểm là M, N. Hãy tính diện tích tam giác AMN. Ví dụ 7. Cho A(3,5) và đường tròn (C): 0442 22 =−−++ yxyx . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến (C).Giả sử các tiếp điểm là M, N. Hãy tính MN. Ví dụ 8. Cho hai đường tròn (C 1 ): 0222 22 =−−−+ yxyx và (C 2 ): 01628 22 =+−−+ yxyx a. Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn Ví dụ 9. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C 1 ): 056 22 =+−+ xyx (C 2 ): 044612 22 =+−−+ yxyx . Ví dụ 10. Cho hai đường tròn (C): 01 22 =−+ yx (C m ): 054)1(2 22 =−++−+ myxmyx . a.Chứng minh rằng có 2 đường tròn (C 1 m ), (C 2 m ) tiếp xúc với (C) tương ứng với hai giá trị 21 , mm . b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C 1 m ), (C 2 m ). Ví dụ 11. Cho đường tròn (C): 222 Ryx =+ và điểm M( 00 , yx ) nằm ngoài (C). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT 1 , MT 2 với đường tròn trong đó T 1 , T 2 là các tiếp điểm. a. Viết phương trình đường thẳng T 1 T 2 . b. Giả sử M chạy trên đường thẳng (d) cố định và không cắt đường tròn. CMR khi đó T 1 T 2 luôn đi qua một điểm cố định. Dạng 3.Cát tuyến của đường tròn Ví dụ 12. Viết phương trình đường thẳng qua diểm M( 2 9 , 2 11 ) và cắt đường tròn (C): 0846 22 =+−−+ yxyx tại hai điểm A,B sao cho .10 = AB . Ví dụ 13. Viết phương trình đường thẳng qua diểm O( 0,0 ) và cắt đường tròn (C): 01562 22 =−+−+ yxyx tại hai điểm A,B sao cho O là trung điểm của AB. Ví dụ 14. Cho A(4,5), B(5,1). Đường thẳng AB cắt đường tròn (C): 02186 22 =+−−+ yxyx tại E, F. Tính EF. 5 Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 Ví dụ 15. Tìm m để đường thẳng 0212: =−++∆ myx cắt đường tròn (C): 0442 22 =−+−+ yxyx tại hai điểm A, B. Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất với I là tâm của đường tròn. Ví dụ 16. Cho A(-1,0), B(2,4), C(4,1). a. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thoả mãn 222 23 MCMBMA =+ là một đường tròn (C). Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của (C). b. Một đường thẳng thay đổi đi qua A và cắt (C) tại M,N. Hãy viết phương trình của đường thẳng khi MN ngắn nhất. Ví dụ 17. Cho đường tròn (C): 02168 222 =−+−−+ myxyx và điểm I(5,2). a. Chứng tỏ rằng I nằm trong đường tròn. b. Viết phương trình đường thẳng qua I và cắt (C) tai hai điểm M,N sao cho I là trung điểm của MN. Ví dụ 18. Biện luận theo m vị trí tương đối của đường thẳng 032: =++−∆ mmyx m và đường tròn (C): 0222 22 =−−++ yxyx . Dạng 4.Vị trí tương đối của hai đường tròn Ví dụ 19. Cho hai đường tròn (C 1 ): 01184 22 =+−−+ yxyx , (C 2 ): 0222 22 =−−−+ yxyx a.Xét vị trí tương đối của hai đường tròn. b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Ví dụ 20. Cho hai đường tròn (C 1 ): 086 22 =+−−+ yxyx , (C 2 ): 012 22 =−−+ mxyx Tìm m để (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ). Ví dụ 21. Cho đường cong (C m ) có phương trình : .01)4()2( 22 =+++−+++ mymxmyx a. Chứng minh (C m ) luôn là đường tròn với mọi m . b. Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C m ) khi m thay đổi. c. CMR (C m ) luôn đi qua hai điểm cố định. d. Tìm những điềm trong mặt phẳng toạ độ mà (C m ) không đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào. Ví dụ 22. Có bao nhiêu tiếp tuyến chung của hai đường tròn a. (C 1 ): 07 22 =−−+ yxyx , (C 2 ): 0187 22 =−−−+ yxyx . b. (C 1 ): 032 22 =−−+ yyx , (C 2 ): 02888 22 =+−−+ yxyx . c. (C 1 ): 0864 22 =+−−+ yxyx , (C 2 ): 0416 22 =−−+ xyx . 6 Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 Dạng 5. Họ đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng cố định Ví dụ 23. CMR: a. Họ đường tròn (C m ): 02)1(2 4222 =+−−−+ mymxmyx luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. b. Họ đường tròn (C m ): 01542 222 =−++−+ mmymxyx luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. Ví dụ 24. Cho họ đường tròn (C m ): 012)2( 22 =−+−−+ myxmyx . a. Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn. b. CMR: họ đường tròn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. Ví dụ 25. Cho họ đường tròn (C m ): 01)1(24 22 =−+−−+ ymmxyx . a.CMR: (C m ) có 2 điểm cố định. b. Tìm quỹ tích các tâm của họ đường tròn. CMR quỹ tích đó tiếp xuc với (P): xy 2 = . ELIP ELIP Ι.Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 =2c (c>0) và số 2a (a>c). Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho aMFMF 2 21 =+ 21 , FF gọi là các tiêu điểm, khoảng cách cFF 2 21 = gọi là tiêu cự của (E). 2. Phương trình chính tắc của Elip 7 Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 1 2 2 2 2 =+ b y a x ),0( 222 cbaba +=>> . 3. Bán kính qua tiêu: M x a c aMF += 1 , M x a c aMF −= 2 . 4. Phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm M( 00 , yx ) là 1 2 0 2 0 =+ y b y x a x trong đó 1 2 2 0 2 2 0 =+ b y a x . 5. Đường thẳng 0 =++ CByAx tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi 22222 BbAaC += . ΙΙ. Các dạng toán cơ bản Dạng 1. Lập phương trình của Elip * Xác định dạng của Elip. * Tìm a, b. * Viết phương trình Elip. Ví dụ 1. Lập phương trình của Elip biết a. A(0,-2) là một đỉnh và F(1,0) là một tiêu điểm của (E). b. F 1 (-7,0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2,12). c. Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 5 3 . d. (E) đi qua hai điểm M( 3,4 ) và N( 3,22 − ). e. Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là 3,4 +=+= yx . Ví dụ 2. Lập phương trình của Elip biết a. (E) có hai tiêu điểm là F 1 (-1,0), F 2 (5,0), tâm sai 5 3 . b.(E) có tâm I(1,1), độ dài trục nhỏ bằng 6. Dạng 2. Tiếp tuyến của Elip Ví dụ 3.Cho (E): 1 916 22 =+ yx . Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết a. Tiếp tuyến đi qua A(4,0). b. Tiếp tuyến đi qua B(2,4). c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng 062 =+− yx . d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 03 =+− yx . 8 Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 1 49 22 =+ yx biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng 052 =+− yx góc 0 45 . Ví dụ 5. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elip: (E 1 ): 1 49 22 =+ yx , (E 2 ): 1 94 22 =+ yx Ví dụ 6.Cho (E): 1 63 22 =+ yx . Viết phương trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp Elip (E). Ví dụ 7. Cho (E): 1 2 2 2 2 =+ b y a x . a. Một đường kính bất kì của Elip cắt (E) tại M, N. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M song song với tiếp tuyến tại N. b. CMR: tích các khoảng cách từ các tiêu điểm đến một tiếp tuyến bất kì là một hằng số. c. Tìm 22 ,ba biết (E) tiếp xúc với hai đường thẳng 0206;02023 =−+=−− yxyx . d. Cho hai điểm A,B lần lượt di động trên các trục Ox, Oy sao cho AB luôn tiếp xúc với (E). Tìm toạ độ của A, B để AB nhỏ nhất. Ví dụ 8. Tìm tập hợp những điểm kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc tới Elip (E): 1 2 2 2 2 =+ b y a x Dạng 3. Tính chất đặc trưng của Elip Ví dụ 9. Cho Elip (E): )0(,1 2 2 2 2 >>=+ ba b y a x . a. CMR: với mọi M thuộc (E), ta có aOMb ≤≤ . b. Gọi A là giao điểm của đường thẳng có phương trình 0 =+ yx βα với (E). Tính OA theo βα ,,,ba . c. Gọi B là điểm thuộc (E) sao cho OA ⊥ OB. CMR: 22 11 OBOA + có giá trị không đổi. d. CMR: AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. e. Tìm vị trí của A, B để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. f. Tiếp tuyến của (E) tại M cắt các đường thẳng = x ± a tại các điểm P,Q. CMR: P,Q nhìn các tiêu điểm dưới một góc vuông. g. Xác định P,Q để tam giác FPQ có diện tích nhỏ nhất trong đó F là tiêu điểm. Dạng 4. Xác định điểm trên Elip Ví dụ 10. Tìm những điểm trên (E): 1 19 22 =+ yx thoả mãn 9 Hình học giải tích Quach Duy Tuan-0914342498 a. Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng 2 lần bán kính qua tiêu điểm phải. b. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. c. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 0 60 . d. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 0 120 . e. Tìm B,C thuộc (E) sao cho tam giác ABC vuông cân biết A(3,0). f. Tìm B,C thuộc (E) sao cho tam giác ABCđều biết A(3,0). Ví dụ 11. Cho Elip (E): 1 49 22 =+ yx . a. Tìm m để đường thẳng mxyd += : và (E) có điểm chung. b. Viết phương trình đường thẳng qua M(1,1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. c. Tìm điểm N thuộc (E) sao cho diện tích tam giác NAB là lớn nhất. HYPERBOL Ι.Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 =2c (c>0) và số 2a (a<c). Hyperbol (H) là tập hợp các điểm M sao cho aMFMF 2|| 21 =− 21 , FF gọi là các tiêu điểm, khoảng cách cFF 2 21 = gọi là tiêu cự của (E). 2. Phương trình chính tắc của Elip 1 2 2 2 2 =− b y a x )( 222 acb −= . 3. Bán kính qua tiêu: || 1 M x a c aMF += , || 2 M x a c aMF −= . 4. Phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm M( 00 , yx ) là 1 2 0 2 0 =− y b y x a x trong đó 1 2 2 0 2 2 0 =− b y a x . 5. Đường thẳng 0 =++ CByAx tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi 22222 BbAaC −= . 10