CMR:∆ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định... viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường thẳng trên tại A, B sao cho M là trung điểm của AB.. Viết phương trình tiếp tuyến chun
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN TRONG TAM
GIÁC
Bài toán 1 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1,3) và
phương trình hai đường tuyến
(d1): x− 2y+ 1 = 0, (d2): y− 1 = 0
Cách 1
* Kiểm tra A không thuộc (d1), (d2)
* Tìm toạ độ trọng tâm
* Tìm toạ độ B, C
* Viết phương trình các cạnh
Cách 2
* Kiểm tra A không thuộc (d1), (d2)
* Tìm toạ độ trọng tâm G
* Tìm toạ độ A0 là điểm đối xứng với A qua G
* Viết phương trình đường thẳng (d3) qua A0 và song song với (d1), Viết phương trình đường thẳng (d4) qua A0 và song song với (d2)
* Tìm B, C
* Viết phương trình các cạnh của tam giác
Bài toán 2 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2,2) và
phương trình của hai đường cao
(d1): 9x− 3y− 4 = 0, (d2): x+y− 2 = 0
Cách 1
* Viết phương trình AB, AC
* Tìm toạ độ của B,C
* Viết phương trình BC
Cách 2 Sử dụng phương pháp tham số hoá toạ độ B, C
Bài toán 3 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2,-1) và
phương trình của hai đường phân giác trong
(d1): x− 2y+ 1 = 0, (d2): x+y+ 3 = 0
Cách giải
* Tìm toạ độ các điểm A1,A2 lần lượt đối xứng với A qua (d1), (d2)
* Viết phương trình A1A2 và tìm toạ độ của B, C
* Viết phương trình AB, AC
Bài toán 4.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(5,6) và
phương trình của trung tuyến (d1): 2x+ 3y− 12 = 0, phương trình của đường cao (d2): x− 1 = 0
Cách giải
* Viết phương trình AC và tìm toạ độ điểm A
* Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và song song với (d1)
* Tìm I là giao của (d) và (d2), tìm toạ độ của B
Trang 2Bài toán 5.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2,-1) và
phương trình của đường cao (d1): 3x− 4y+ 27 = 0, phương trình của phân giác trong (d2): x+ 2y− 5 = 0
Bài toán 6.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(4,3) và
phương trình của trung tuyến (d1): − 7x+ 11y− 5 = 0, phương trình của phân giác trong (d2): x+ 2y− 5 = 0
Bài toán 7.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(4,3) và
phương trình của trung tuyến (d1): − 7x+ 11y− 5 = 0, phương trình của phân giác trong (d2): x+ 2y− 5 = 0
Bài toán 8.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(4,-1) và (d1):
0 12
3
2x− y+ = , (d2): 2x+ 3y= 0 lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ B
Bài toán 9.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(4,3) và (d1):
0
5
2 − =
+ y
x , (d2): 4x+ 13y= 10 lần lượt là các đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ B
Bài toán 10.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trọng tâm
G(4,3) và AB: 4x+y+ 15 = 0, AC: 2x+ 5y+ 3 = 0
Bài toán 11.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm
H(0,0) và AB: 5x− 2y+ 6 = 0, AC: 4x+ 7y− 21 = 0
Bài toán 12.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết toạ độ các
trung điểm M(2,3), N(4,-1), P(-3,5)
Bài toán 13 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết toạ độ trọng
tâm G(4,-2), A(-1,-3) và phương trình trung trực của AB là 3x+ 2y− 4 = 0
Bài toán 14 Cho A(-1,3), B(1,1) và ∆ : 2x−y= 0
a Tìm C thuộc ∆ sao cho tam giác ABC cân
b Tìm C thuộc ∆ sao cho tam giác ABC đều
Bài toán 15.Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm
của BC là M(-2,2) và AB: x− 2y− 2 = 0, AC: 2x+ 5y+ 3 = 0
Bài toán 16 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 23 , A(2,-3), B(3,-2) và trọng tâm G thuộc ∆ : 3x−y− 8 = 0 Tìm toạ độ của C
Bài toán 17 Cho (d1): 2x−y+ 1 = 0, (d2): x+ 2y− 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng qua O(0,0) và tạo với (d1), (d2) một tam giác cân tại giao điểm của (d1), (d2) Hãy tính diện tích tam giác đó
Bài toán 18 Cho A(1,1) và B thuộc đường thẳng y = 3, C thuộc trục hoành Tìm toạ độ B,C để tam giác ABC đều
Bài toán 19 Cho A, B, C thuộc đường cong y =1x CMR: trực tâm của tam giác ABC cũng thuộc đường cong này
Bài toán 20 Cho A(1,2), B(3,4) Tìm M thuộc trục hoành sao cho MA+MB
nhỏ nhất
Bài toán 21 Cho đường thẳng ∆ : (x− 1 ) cos α + (y− 1 ) sin α − 4 = 0
a Tìm những điểm mà ∆ không đi qua với mọi α ∈R
b CMR:∆ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Trang 3PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HOÁ TRONG HÌNH
HỌC PHẲNG
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( ; 0
2
1
), phương trình AB:
0
2
2 + =
− y
x và AB = 2AD Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D biết A có toạ độ âm
Bài 2 Xét tam giác vuông ABC tại A có BC: 3x−y− 3 = 0 , A,B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm toạ độ trọng tâm
Bài 3 Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4, A(0,1), B(2,0) Biết
rằng tâm I thuộc đường thẳng y = x Tìm toạ độ C, D.
Bài 4 Cho hình thang cân ABCD có A(10,5), B(15,5), D(-20,0) Tìm toạ độ
C biết AB||CD
Bài 5 Cho ABCD là hình vuông biết A(-4,5) và phương trình một đường
chéo là 7x−y+ 8 = 0 Lập phương trình các cạnh và đường chéo của hình
vuông
Bài 6 Cho ∆ : 2x−y− 1 = 0, E(1,6), F(-3,-4) Tìm M thuộc ( ∆ ) sao cho
|
|EM+FM nhỏ nhất
Bài 7 Trên Parabol y =x2 lấy hai điểm A(-1,1), B(3,9) và điểm M thuộc cung AB Tìm M để tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Bài 8 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 23 Biết A(2,-3), B(3,-2) và trọng tâm cua tam giác thuộc đường thẳng 3x−y− 8 = 0 Tìm C
Bài 9 Cho M( , 2
2
5
) Các đường thẳng y =2x và y= 2x viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường thẳng trên tại A, B sao cho M là trung điểm của AB
Bài 10 Tìm C thuộc ∆ :x−y+ 2 = 0 sao cho tam giác ABC vuông biết A(1,-2), B(-3,3)
Bài 11 Cho tam giác ABC có các đỉnh thuộc Hypebol y=1x CMR trực tâm của tam giác cũng thuộc Hypebol
ĐƯỜNG TRÒN
Ι Các kiến thức cơ bản.
Trang 41 Phương trình đường tròn tâm I(a, b), bán kính R có dạng:
(x−a) 2 + (y−b) 2 =R2
2 Phương trình tổng quát của đường tròn là
x2 +y2 + 2ax+ 2by+c= 0 , (a2 +b2 −c> 0 )
Tâm của đường tròn là I(−a, −b)
Bán kính là R= a2 +b2 −c
3 Đường thẳng ∆ : αx+ βy+ γ = 0 tiếp xúc với đường tròn tâm I(a,b)
bán kính R khi và chỉ khi
d I R a b =R
+
+ +
⇔
=
∆
2 2
|
| )
, (
β α
γ β α
ΙΙ Các dạng bài tập
Dạng 1 Lập phương trình đường tròn
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết
a A(1,1), B(-1,2), C(0,-1)
b AB: x− 5y− 2 = 0, BC:x−y+ 2 = 0, CA:x+y− 8 = 0
c A(-1,-2), B,C là các giao điểm của đường thẳng ∆ :x+ 7y+ 10 = 0 với đường tròn (C) :x2 +y2 + 4x− 20 = 0
Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết
a A(4,0), B(0,3), C(0,0)
b AB:4x− 3y− 12 = 0, BC:4x+ 3y− 12 = 0, CA:x= 0
c A(-1,7), B(4,-3), C(-4,1)
Ví dụ 3.Lập phương trình đường tròn
a Đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với các trục toạ độ
b Có tâm thuộc đường thẳng ∆ :x− 6y− 10 = 0 và tiếp xúc với các đường thẳng ∆1: 3x+ 4y− 5 = 0 , ∆2 : 4x− 3y− 5 = 0
c Đi qua các điểm A(0,1), B(1,0) và có tâm thuộc đường thẳng
d:x+y+ 2 = 0
d Đi qua điểm A(4,2) và tiếp xúc với hai đường thẳng
∆1:x− 3y− 2 = 0 , ∆2 :x− 3y+ 18 = 0
d Có đường kính là AB với A(a1,b1), B(a2,b2)
Dạng 2.Tiếp tuyến của đường tròn
Ví dụ 4 Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
(C):x2 +y2 − 2x− 6y− 6 = 0 biết
a Tiếp tuyến đi qua điểm M(1,-1)
b Tiếp tuyến đi qua điểm M(4,-1)
Trang 5Ví dụ 5. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
(C):x2 +y2 − 2x− 2y+ 1 = 0 biết
a Tiếp tuyến song song với đường thẳng d:x+y= 0
b Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:x+y= 0
c Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x+y= 0 góc 60 0
Ví dụ 6. Cho đường tròn (C):x2 +y2 − 2x− 4y− 4 = 0 và điểm A(-2,2) Hãy viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) Giả sử các tiếp điểm là
M, N
Hãy tính diện tích tam giác AMN
Ví dụ 7. Cho A(3,5) và đường tròn (C): x2 +y2 + 2x− 4y− 4 = 0 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến (C).Giả sử các tiếp điểm là M, N Hãy tính MN
Ví dụ 8. Cho hai đường tròn (C1):x2 +y2 − 2x− 2y− 2 = 0 và
(C2): x2 +y2 − 8x− 2y+ 16 = 0
a Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau
b Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Ví dụ 9. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C1):x2 +y2 − 6x+ 5 = 0
(C2):x2 +y2 − 12x− 6y+ 44 = 0
Ví dụ 10 Cho hai đường tròn
(C):x2 +y2 − 1 = 0
(Cm):x2 +y2 − 2 (m+ 1 )x+ 4my− 5 = 0
a.Chứng minh rằng có 2 đường tròn (Cm1), (Cm2) tiếp xúc với (C) tương ứng với hai giá trị m1, m2
b Viết phương trình tiếp tuyến chung của (Cm1), (Cm2)
Ví dụ 11 Cho đường tròn (C): x2 +y2 =R2 và điểm M(x0, y0) nằm ngoài (C) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1, MT2 với đường tròn trong đó T1, T2 là các tiếp điểm
a Viết phương trình đường thẳng T1T2
b Giả sử M chạy trên đường thẳng (d) cố định và không cắt đường tròn CMR khi đó T1T2 luôn đi qua một điểm cố định
Dạng 3.Cát tuyến của đường tròn
Ví dụ 12 Viết phương trình đường thẳng qua diểm M( ,29
2
11
) và cắt đường tròn (C): x2 +y2 − 6x− 4y+ 8 = 0 tại hai điểm A,B sao cho AB= 10
Ví dụ 13. Viết phương trình đường thẳng qua diểm O(0 , 0) và cắt đường tròn (C): x2 +y2 − 2x+ 6y− 15 = 0 tại hai điểm A,B sao cho O là trung điểm của AB
Ví dụ 14. Cho A(4,5), B(5,1) Đường thẳng AB cắt đường tròn (C):
0 21 8 6
2
2 +y − x− y+ =
Trang 6Ví dụ 15. Tìm m để đường thẳng ∆ : 2x+my+ 1 − 2 = 0 cắt đường tròn (C): x2 +y2 − 2x+ 4y− 4 = 0 tại hai điểm A, B Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất với I là tâm của đường tròn
Ví dụ 16. Cho A(-1,0), B(2,4), C(4,1)
a Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thoả mãn
2 2
3MA +MB = MC là một đường tròn (C) Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của (C)
b Một đường thẳng thay đổi đi qua A và cắt (C) tại M,N Hãy viết phương trình của đường thẳng khi MN ngắn nhất
Ví dụ 17 Cho đường tròn (C):x2 +y2 − 8x− 6y+ 21 −m2 = 0 và điểm I(5,2)
a Chứng tỏ rằng I nằm trong đường tròn
b Viết phương trình đường thẳng qua I và cắt (C) tai hai điểm M,N sao cho I là trung điểm của MN
Ví dụ 18 Biện luận theo mvị trí tương đối của đường thẳng
0 3 2
∆m x my m và đường tròn (C): x2 +y2 + 2x− 2y− 2 = 0
Dạng 4.Vị trí tương đối của hai đường tròn
Ví dụ 19 Cho hai đường tròn
(C1):x2 +y2 − 4x− 8y+ 11 = 0, (C2):x2 +y2 − 2x− 2y− 2 = 0
a.Xét vị trí tương đối của hai đường tròn
b Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Ví dụ 20. Cho hai đường tròn
(C1):x2 +y2 −x− 6y+ 8 = 0, (C2):x2 +y2 − 2mx− 1 = 0
Tìm mđể (C1) tiếp xúc (C2)
Ví dụ 21. Cho đường cong (Cm) có phương trình :
x2 +y2 + (m+ 2 )x− (m+ 4 )y+m+ 1 = 0
a Chứng minh (Cm) luôn là đường tròn với mọi m
b Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) khi m thay đổi
c CMR (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định
d Tìm những điềm trong mặt phẳng toạ độ mà (Cm) không đi qua
dù m lấy bất kì giá trị nào
Ví dụ 22. Có bao nhiêu tiếp tuyến chung của hai đường tròn
a (C1):x2 +y2 − 7x−y= 0, (C2):x2 +y2 −x− 7y− 18 = 0
b (C1):x2 +y2 − 2y− 3 = 0, (C2):x2 +y2 − 8x− 8y+ 28 = 0
c (C1):x2 +y2 − 4x− 6y+ 8 = 0, (C2):x2 +y2 − 16x− 4 = 0
Trang 7Dạng 5 Họ đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng cố
định
Ví dụ 23 CMR:
a Họ đường tròn (Cm): x2 +y2 − 2 ( 1 −m)x− 2m2y+m4 = 0 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
b Họ đường tròn (Cm): x2 +y2 − 2mx+ 4my+ 5m2 − 1 = 0 luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định
Ví dụ 24. Cho họ đường tròn (Cm): x2 +y2 − (m− 2 )x+ 2my− 1 = 0
a Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn
b CMR: họ đường tròn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định
Ví dụ 25. Cho họ đường tròn (Cm): x2 +y2 − 4mx− 2 (m+ 1 )y− 1 = 0
a.CMR: (Cm) có 2 điểm cố định
b Tìm quỹ tích các tâm của họ đường tròn CMR quỹ tích đó tiếp xuc với (P): y = 2x
ELIP
Ι .Tóm tắt lí thuyết
1 Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2=2c (c>0) và số 2a (a>c) Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho
MF1 +MF2 = 2a
2
1, F
F gọi là các tiêu điểm, khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của (E)
2 Phương trình chính tắc của Elip
Trang 82 1
2 2
2
= +
b
y a
x
) ,
0 (a>b> a2 =b2 +c2
3 Bán kính qua tiêu:
x M
a
c a
a
c a
MF2 = −
4 Phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm M(x0, y0) là
20 1
2
0 + y=
b
y x a x
trong đó 2 1
2 0 2
2
0 + =
b
y a
x
5 Đường thẳng Ax+By+C = 0 tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi
C2 =a2A2 +b2B2
ΙΙ Các dạng toán cơ bản
Dạng 1 Lập phương trình của Elip
* Xác định dạng của Elip
* Tìm a, b
* Viết phương trình Elip
Ví dụ 1. Lập phương trình của Elip biết
a A(0,-2) là một đỉnh và F(1,0) là một tiêu điểm của (E)
b F1(-7,0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2,12)
c Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 53
d (E) đi qua hai điểm M(4 , 3) và N(2 2 , − 3)
e Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x = + 4 ,y = + 3
Ví dụ 2. Lập phương trình của Elip biết
a (E) có hai tiêu điểm là F1(-1,0), F2(5,0), tâm sai 53
b.(E) có tâm I(1,1), độ dài trục nhỏ bằng 6
Dạng 2 Tiếp tuyến của Elip
Ví dụ 3 Cho (E): 1
9 16
2 2
= + y
x
Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết
a Tiếp tuyến đi qua A(4,0)
b Tiếp tuyến đi qua B(2,4)
c Tiếp tuyến song song với đường thẳng x− 2y+ 6 = 0
d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x−y+ 3 = 0
Trang 9Ví dụ 4 Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 1
4 9
2 2
= + y
x biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng 2x−y+ 5 = 0 góc 45 0
Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai Elip:
(E1): 1
4 9
2 2
= + y
9 4
2 2
= + y
x
Ví dụ 6.Cho (E): 1
6 3
2 2
= + y
x Viết phương trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp Elip (E)
Ví dụ 7 Cho (E): 2 1
2 2
2
= +
b
y a
x
a Một đường kính bất kì của Elip cắt (E) tại M, N Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M song song với tiếp tuyến tại N
b CMR: tích các khoảng cách từ các tiêu điểm đến một tiếp tuyến bất kì là một hằng số
c Tìm a2, b2 biết (E) tiếp xúc với hai đường thẳng
3x− 2y− 20 = 0 ;x+ 6y− 20 = 0
d Cho hai điểm A,B lần lượt di động trên các trục Ox, Oy sao cho
AB luôn tiếp xúc với (E) Tìm toạ độ của A, B để AB nhỏ nhất
Ví dụ 8 Tìm tập hợp những điểm kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc tới Elip (E): 2 1
2 2
2
= +
b
y a
x
Dạng 3 Tính chất đặc trưng của Elip
Ví dụ 9 Cho Elip (E): 2 1 , ( 0 )
2 2
2
>
>
=
b
y a
x
a CMR: với mọi M thuộc (E), ta có b≤OM ≤a
b Gọi A là giao điểm của đường thẳng có phương trình αx+ βy= 0
với (E) Tính OA theo a , b, α , β
c Gọi B là điểm thuộc (E) sao cho OA ⊥ OB CMR: 2 2
1 1
OB
OA + có giá trị không đổi
d CMR: AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
e Tìm vị trí của A, B để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
f Tiếp tuyến của (E) tại M cắt các đường thẳng x =±a tại các điểm P,Q CMR: P,Q nhìn các tiêu điểm dưới một góc vuông
g Xác định P,Q để tam giác FPQ có diện tích nhỏ nhất trong đó F
là tiêu điểm
Dạng 4 Xác định điểm trên Elip
Ví dụ 10 Tìm những điểm trên (E): 1
1 9
2 2
= + y
Trang 10a Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng 2 lần bán kính qua tiêu điểm phải
b Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông
c Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60 0
d Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120 0
e Tìm B,C thuộc (E) sao cho tam giác ABC vuông cân biết
A(3,0)
f Tìm B,C thuộc (E) sao cho tam giác ABCđều biết A(3,0)
Ví dụ 11 Cho Elip (E): 1
4 9
2 2
= + y
a Tìm m để đường thẳng d:y=x+m và (E) có điểm chung
b Viết phương trình đường thẳng qua M(1,1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB
c Tìm điểm N thuộc (E) sao cho diện tích tam giác NAB là lớn nhất
HYPERBOL
Ι .Tóm tắt lí thuyết
1 Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2=2c (c>0) và số 2a (a<c) Hyperbol (H) là tập hợp các điểm M sao cho
|MF1 −MF2 | = 2a
2
1, F
F gọi là các tiêu điểm, khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của (E)
2 Phương trình chính tắc của Elip
2 1
2 2
2
=
−
b
y a
x
) ( 2 2 2
a c
b = −
3 Bán kính qua tiêu:
1 | x M |
a
c a
a
c a
4 Phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm M(x0, y0) là
20 1
2
0 − y=
b
y x a x
trong đó 2 1
2 0 2
2
0 − =
b
y a
x
5 Đường thẳng Ax+By+C = 0 tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi
C2 =a2A2 −b2B2