Chuyên đề sử dụng đại lượng bất biến và đơn biến giải bài toán tổ hợp
A MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Bài toán tổ hợp là bài toán nằm trong cấu trúc bắt buộc của các đề thi học sinh giỏi Các vấn đềliên quan đến lí thuyết tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán học nóichung và toán rời rạc nói riêng, bởi vì nó có nội dung phong phú và được ứng dụng nhiều trongthực tiễn đời sống Trong chuyên đề này, tôi tập trung khai khác sử dụng đại lượng bất biến vàđại lượng đơn biến để giải bài toán tổ hợp nhằm giúp học sinh có thêm một công cụ khi đứng
trước một bài toán tổ hợp 2 Mục đích nghiên cứu:
Chuyên đề nhằm hệ thống kiến thức về đại lượng bất biến trong toán tổ hợp, trình bày cáckết quả qua quá trình nghiên cứu đại lượng bất biến Giúp học sinh có kiến thức nền tảng và cóthêm một định hướng cho các dạng bài toán tổ hợp
B NỘI DUNG
1.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong một loạt bài toán ta thường gặp tình huống sau : Một hệ thống nào đó thay đổi liêntục trạng thái của mình và cần phải chỉ ra một điều gì đó về trạng thái cuối cùng của nó Khảosát cục bộ sau đó tất cả các lần thay đổi như vậy là một việc làm rất phức tạp và khó khăn.Nhưng ta lại có thể trả lời câu hỏi mà bài toán yêu cầu nhờ tính một đại lượng đặc biệt nào đóđặc trưng cho tất cả các trạng thái của hệ thống đó Hai đại lượng thường được sử dụng là bấtbiến và đơn biến Bất biến là một đại lượng (hay tính chất) không thay đổi trong quá trình chúngta thực hiện các phép biến đổi Đơn biến là một đại lượng (hay tính chất) thay đổi, nhưng chỉtheo một chiều (tức là tăng lên hoặc giảm xuống) Dựa vào đại lượng bất biến hoặc đơn biến, tachỉ ra được một số tính chất của trạng thái cuối cùng, từ đó giải quyết được bài toán
Trên thực tế phương pháp sử dụng đại lượng đơn biến hoặc bất biến được tiến hành nhưsau : Tính một đại lượng nào đó bằng 2 cách: đầu tiên nó được tính ở trạng thái ban đầu và trạngthái cuối cùng, sau đó khảo sát sự thay đổi của nó qua một số lần thay đổi nhỏ liên tiếp.
Để thiết lập các bất biến hoặc đơn biến đôi khi người ta còn sử dụng sự tô màu, tức làchia các đối tượng đang xét ra làm các nhóm (mỗi nhóm gồm các đối tượng được đánh dấu cùngmột màu).
Trang 22 SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP2.1 Bất biến liên quan đến tính chia hết (hoặc số dư trong một phép chia)a) Bất biến là tính chẵn, lẻ
Ví dụ 1.1
Cho một bàn cờ kích thích 8 x 8, tô đen một ô bất kì Mỗi bước cho phép đổi màu tất cả các ôtrên cùng một hàng hoặc một cột ( ô đen thay bằng ô trắng và ngược lại) Hỏi có khi nào tất cảcác ô trên bàn cờ cùng màu không?
Kết thúc có 64 ô đen, 0 ô trắng (hoặc 64 ô trắng, 0 ô đen)
Mỗi bước thực hiện: sẽ đổi màu 8 ô (1 hàng hoặc 1 cột), giả sử trước bước đổi màu thứ k, có xk
ô đen, và 64 – xk ô trắng Bước đổi màu k biến a ô đen thành a ô trắng, 8 – a ô trắng thành 8 – aô đen Như vậy, sau bước đổi màu thứ k, số ô đen là xk – a + 8 – a = xk + (8 – 2a), số ô trắng 64– xk + (2a - 8)
Từ đó, ta có được nhận xét về sự thay đổi số lượng ô trắng, đen sau mỗi phép đổi màu.
Lời giải:
Mỗi bước thực hiện: sẽ đổi màu 8 ô (1 hàng hoặc 1 cột), giả sử trước bước đổi màu thứ k, có xk
ô đen, và 64 – xk ô trắng Bước đổi màu k biến a ô đen thành a ô trắng, 8 – a ô trắng thành 8 – aô đen Như vậy, sau bước đổi màu thứ k, số ô đen là xk – a + 8 – a = xk + (8 – 2a), số ô trắng 64– xk + (2a - 8)
Như vậy, sau mỗi lần thực hiện, thì số ô đen tăng hoặc giảm một số chẵn Ban đầu có 1 ô đen,như vậy, sau mỗi bước đổi màu, thì số lượng ô đen vẫn là một số lẻ Như vậy, không thể đạtđược trạng thái có 64 ô đen, 0 ô trắng hoặc 0 ô đen, 64 ô trắng.
Ví dụ 2.1: Cho một bàn cờ kích thước 9 x 9, gồm 1 ô đen và 80 ô trắng Thực hiện thuật toán :
mỗi lần thay đổi màu tất cả các ô trên cùng 1 hàng hoặc 1 cột (ô đen thay bằng ô trắng và ngượclại) Hỏi có khi nào tất cả các ô trên bàn cờ cùng màu đen không?
Nhận xét: Thuật toán tương tự như bài trước, tuy nhiên, mỗi lần thực hiện thuật toán sẽ đổi màu
9 ô , như vậy tính chẵn lẻ của số lượng ô đen không bất biến Tuy nhiên, để ý kĩ một chút, tahoàn toàn có thể đưa bài toán về bài toán 1: Xét hình vuông 8 x 8 ở 1 góc mà chứa ô đen Khiđó, việc thực hiện thuật toán của đề bài sẽ : hoặc không thay đổi hình vuông 8x 8 này, hoặc thaymàu tất cả các ô trên cùng một hàng hoặc một cột
Lời giải:
Trang 3Giả sử ô màu đen nằm ở phần hình vuông 8 x 8 được tô đậm trên hình vẽ
Khi đó, mỗi lần thực hiện thuật toán thì hoặc không làm thay đổi hình vuông 8 x8 này, hoặc sẽđổi màu 1 hàng hoặc 1 cột của hình vuông 8 x 8 này Như vậy, theo bài toán 1 thì số ô đen tronghình vuông 8 x 8 này luôn là số lẻ Tức là không xảy ra trường hợp cả 64 ô đều màu đen Vậykhông xảy ra trường hợp cả bàn cờ màu đen
Ví dụ 3.1.
Hai người chơi cờ Sau mỗi ván người thắng được 2 điểm, người thua được 0 điểm, nếu hòa thìmỗi người được 1 điểm Hỏi sau một số ván liệu có thể xảy ra trường hợp một người được 7điểm và người kia được 10 điểm được không?
Lời giải: Gọi S(n) là tổng số điểm của cả hai người sau ván thứ n
Ta có S(n + 1) = S(n) + 2,
Do đó, S(n) bất biến theo modun 2 Suy ra S(n)
Vậy không thể xảy ra trường hợp một người được 7 điểm, một người được 10 điểm.
Nhận xét: Tính bất biến ở đây là tính chẵn lẻ của tổng số điểm của hai ngươi chơi
Mặt khác S(0) = 1 + 2 + … + 2014 = 1007 2015 là số lẻNên S(n) là lẻ với mọi n.
Vậy số cuối cùng còn lại trên bảng là một số lẻ
Nhận xét: Tính bất biến ở đây là tính chẵn lẻ của tổng các số trên bảng
Trang 4Bài tập tương tự :
Bài 1.1: Trên bảng, người ta viết 2013 số 0 và 2013 số 1 Thực hiện thuật toán: Mỗi lần số đi 2
số bất kì: nếu hai số đó giống nhau thì viết thêm số 0, nếu 2 số đó khác nhau thì viết thêm số 1.Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng là số nào?
Bài 2.1: Trên bảng ta viết một số chữ số 0, một số chữ số 1 và một số chữ số 2 Sau đó ta cứ xóa
đi một cặp hai chữ số khác nhau và thay thế vào đó một chữ số khác với hai chữ số đã xóa.Chứng minh rằng : Nếu trong kết quả cuối cùng trên bảng chỉ còn một chữ số thì kết quả đókhông phụ thuộc vào thứ tự các cặp chữ số được xóa (Trích đề thi Vô địch Liên Xô - 1975)
Bài 3.1: Cho dãy số 1, 2, 3, 4, …, 2013 Mỗi lần thay hai số a , b bởi số a – b Hỏi có khi nào thu
được toàn số 0 hay không? Thay 2013 bằng số tự nhiên N, tìm điều kiện của N để kết quả cuốicùng thu được toàn số 0?
Bài 4.1: Cho một bàn cờ 7 x 7, tô đen 4 ô ở 4 góc Thực hiện thuật toán: mỗi lần thay đổi màu 1
hàng hoặc một cột (ô đen thay bằng ô trắng và ngược lại) Hỏi có khi nào tất các ô trên bàn cờcùng màu không?
b) Bất biến liên quan đến tính chia hết cho một số lớn hơn 2 hoặc số dư trong một phép chia chomột số lớn hơn 2
Ví dụ 5.1.
Cho 1000 số từ 1 đến 1000 trên bảng, mỗi lần thay 1 hoặc một vài số bởi tổng các chữ số củanó Hỏi cuối cùng có nhiều số 1 hay nhiều số 2 hơn?
Lời giải:
Một số chia cho 9 dư k thì tổng các chữ số của nó chia 9 cũng dư k.
Các số chia 9 dư 1 trong dãy từ 1 đến 1000 là : 1; 10; 19; 28; ….; 1000, như vậy có số
Các số chia 9 dư 2 trong dãy từ 1 đến 1000 là : 2; 11; 20; 29; ….; 992, như vậy có số
Vậy, cuối cùng có nhiều số 1 hơn số 2.
Nhận xét: trong lời giải trên ta sử dụng tính chất một số chia cho 9 dư k thì tổng các chữ số của
nó chia 9 cũng dư k Đây chính là đại lượng bất biến của bài toán.
Ví dụ 6.1 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG tỉnh Bắc Ninh , năm 2007)
Trên bàn có 2007 viên bi gồm 667 bi xanh, 669 bi đỏ, 671 bi vàng Thực hiện thuật toán như sau: Mỗi lần lấy đi 2 viên bi khác màu và đặt thêm 2 viên bi có màu còn lại Hỏi có thể nhận đượctrạng thái mà trên bàn chỉ còn lại các viên bi cùng màu được không?
Lời giải:
Trang 5Gọi X(n), D(n) và V(n) tương ứng là số bi màu xanh, số bi màu đỏ và số bi màu vàng sau bướcthứ n
Xét các đại lượng X(n) – D(n), D(n) – V(n) , V(n) – X(n)
Vì mỗi lần lấy đi 2 viên bi khác màu và đặt thêm 2 viên bi có màu còn lại nên các đại lượngX(n) – D(n), D(n) – V(n) , V(n) – X(n) bất biến theo mođun 3.
Ta có X(0) – D(0) = - 2 , D(0) – V(0) = 2; V(0) – X(0)= 4
Nên số dư của các đại lượng này khi chia cho 3 sau mỗi lần thực hiện thuật toán là 1; 2; 1.
Ta lại thấy, số bi ở trên bàn luôn không thay đổi (mỗi lần thực hiện, lấy đi 2 viên và đặt thêm 2viên khác), vậy nếu trên bàn chỉ còn các viên bi cùng màu tức là số viên bi đỏ, xanh, vàng cònlại là một hoán vị của tập {2007, 0, 0}, vậy các đại lượng X(n) – D(n), D(n) – V(n) , V(n) – X(n)đều chia hết cho 3 (mâu thuẫn)
Từ đó, suy ra không thể nhận được trạng thái mà trên bàn chỉ còn lại các viên bi cùng màu
Nhận xét: Việc lấy thêm đi 2 viên bi khác nhau và đặt thêm 2 viên bi có màu còn lại tạo ra bất
biến về hiệu số các viên bi khi chia cho 3 ở bài toán.
Ví dụ 7.1
Mỗi bước cho phép chọn 1 số a, phân tích a thành tích hai số m, n và viết lên bảng m 2, n 2tùy ý (ví dụ a = 99 = 9.11, 9 – 2 = 7, 11 + 2 = 13, như vậy có thể viết lên bảng số 7 và số 13 thaycho số 99) Hỏi sau một số bước như vậy,từ số 99… 99 (2012 chữ số 9) có thu được trên bảngmột dãy gồm toàn các số 9 không?
Một dãy gồm toàn số 9, tức là dãy gồm toàn số chia 4 dư 1.Vậy không thể thu được dãy số như trên.
Nhận xét: Bất biến trong bài toán là sự tồn tại một số chia 4 dư 3 trong dãy
Ví dụ 8.1.
Trên bảng có hai số 1 và 2 Thực hiện việc ghi số theo quy tắc sau: nếu trên bảng có hai số a, bthì được phép ghi thêm số c = a + b + ab Hỏi bằng cách đó, có thể ghi được các số 2010 và11111 hay không?
Trang 6không cho phép ta loại trừ số 11111 Ta đi tìm một bất biến khác Quan sát các số được viết vàquy tắc viết thêm số, ta có
Và nếu cộng thêm 1 vào các số thuộc dãy trên, ta có dãy mới2, 3, 6, 12, 18, …
Như vậy, nếu cộng thêm 1 vào các số viết thêm thì các số này đều có dạng với n,m Do 11111 + 1 = 11112 = 3 8 463 nên không thuộc dãy các số viết được.
Do đó không thể viết được các số 2010 và 11111.
Nhận xét: Bài toán trên sử dụng 2 bất biến
Bài tập tương tự
Bài 5.1: Các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, … được viết trong các ô của một bảng ô vuông kích thước
2003 x 2003 theo vòng xoáy trôn ốc (xoáy ngược chiều kim đồng hồ) sao cho số 0 nằm ở ôtrung tâm (tâm của bảng) Các dòng và cột của bảng được đánh số tăng dần từ dưới lên trên vàtừ trái sang phải (bắt đầu từ số 1).
a) Số 2004 nằm ở dòng nào, cột nào? Tại sao?
b) Thực hiện thuật toán sau : lần đầu tiên, thay số 0 ở ô trung tâm bởi 1998; mỗi lần tiếp theo,cho phép lấy ra 12 số trong 12 ô liên tiếp trong cùng một hàng hoặc trong cùng một cột hoặctrong cùng một hình chữ nhật 3 x 4 rồi tăng mỗi số đó lên một đơn vị Hỏi sau một số lần nhưvậy ta có thể làm cho tất cả các số trong bảng đều là bội của 2004 hay không? Tại sao?
Bài 6.1 : Ở xứ sở nọ, nàng công chúa bị một con rồng hung hãn 100 đầu bắt đi Chàng hoàng tử
lên đường đi cứu công chúa, chàng có 2 thanh kiếm, thanh 1 chặt được 21 đầu rồng, thanh 2 :chặt được 3 đầu rồng nhưng rồng lại mọc thêm 2012 đầu Nếu hoàng tử chặt được hết đầu củarồng thì cứu được công chúa Hỏi hoàng tử có cứu được công chúa không? Nếu số lượng đầurồng ban đầu là N, N thỏa mãn điều kiện gì thì hoàng tử cứu được công chúa?
2 2 Bất biến là công thức đại số
Ví dụ 1.2.
Trang 7Trên bảng người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2013 sau đó thực hiện trò chơi nhưsau: mỗi lần xóa hai số bất kì và viết một số mới bằng tổng hai số đã xóa Việc làm này thựchiện liên tục cho đến khi còn một số trên bảng Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu?Tại sao?
Lời giải: Vì mỗi lần thực hiện trò chơi thì thay hai số bằng tổng của chúng nên số lượng số trên
bảng giảm đi 1 và tổng các số trên bảng không thay đổi trong mọi thời điểm Như vậy, sau 2012lần thực hiện thì trên bảng còn 1 số
Tổng các số lúc đầu là:
Vậy số cuối cùng còn lại trên bảng là 2027091
Nhận xét: Bất biến trong bài toán trên là tổng của các số trên bảng không thay đổi sau thuật toán.
Ví dụ 2.2.
Một dãy gồm có 19 phòng Ban đầu mỗi phòng có một người Sau đó, cứ mỗi ngày có haingười nào đó chuyển sang hai phòng bên cạnh nhưng theo hai chiều ngược nhau, Hỏi sau một sốngày, có hay không trường hợp mà:
(a) Không có ai ở phòng có thứ tự chẵn(b) Có 10 người ở phòng cuối.
Lời giải:
Đánh số các phòng theo thứ tự từ 1 đến 19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Ta cho mỗi vị khách một thẻ ghi số phòng mình đang ở Gọi S(n) là tổng các số ghi trên thẻcủa tất cả các vị khách trong ngày thứ n Vì mỗi ngày có hai người nào đó chuyển sang haiphòng bên cạnh nhưng theo hai chiều ngược nhau nên S(n) không hề thay đổi.
Trang 8Lời giải:
Thay tất cả các dấu “+” bằng 1 và dấu “ - ” bằng – 1 Mỗi lần thực hiện đổi dấu tất cả các ô trêncùng 1 hàng hoặc 1 cột, tức là đổi dấu của 4 số nên tích của 16 số trên bảng là không thay đổi.Tích của 16 số ban đầu là – 1, sau mỗi lần biến đổi vẫn là -1.
Nếu bảng toàn dấu “+” tức là tích của 16 số trên bảng là 1.
Như vậy, dù có dù có thực hiện bao nhiêu lần thì từ bảng vuông ban đầu không thể đưa về bảngvuông toàn dấu “+”.
Nhận xét: Bất biến trong bài toán là tích tất cả các số trên các ô của bảng.
Khi đó, sau mỗi lần biến đổi, tích trên bị mất đi hai thừa số (2a - 1)(2b - 1) và được thêm vàothừa số 2(a + b – 2ab) – 1 = - (2a - 1)(2b – 1)
Tức là sau mỗi lần biến đổi giá trị tuyệt đối của tích P là không thay đổi
Vì tích ban đầu bằng 0 (do bảng ban đầu có chứa số ) nên sau mỗi lần biến đổi thì tíchnày luôn bằng 0
Vậy số còn lại cuối cùng trên bảng là s thỏa mãn 2s – 1 = 0, hay s =
Nhận xét: Bất biến trong bài toán là tích tất cả các giá trị của hàm số y = 2x – 1 tại các số trên
Ví dụ 5.2.
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c, có thể thực hiện một trong hai phép biến đổi:a) Đổi chỗ a và c
b) Đổi biến x bởi x + t với t R.
Hỏi từ x 2 – 31x - 3 có thể thu được x2 – 20x – 12 không? Tìm mối liên hệ của hai đa thức P(x)và Q(x) sao cho từ đa thức này có thể thu được đa thức kia bởi hai phép biến đổi nói trên.
Lời giải.
Xét biểu thức P(x+t) = a(x + t)2 + b(x + t) + c = ax2 + (2at + b) x + at2 + c
Trang 9có = (2at + b)2 – 4a(at2 + c) = 4a2t2 + 4abt + b2 – 4a2t2 – 4ac = b2 – 4acXét biểu thức P1(x) = cx2 + bx + a có = b2 – 4ac
Như vậy, cả 2 phép biến đổi trên không làm thay đổi đại lượng ( bất biến với hai phép biếnđổi)
Xét P(x) = x 2 – 31x – 3 có = 312 + 4 3 = 973 Q(x) = x2 – 20x – 12 có = 202 + 4 12 = 448
Vậy từ P(x) ta không thể thu được Q(x) thông qua hai phép biến đổi trên.
Hai đa thức P(x) và Q(x) mà từ đa thức này có thể thu được đa thức kia bởi hai phép biến đổinói trên khi chúng có giá trị của biệt thức bằng nhau.
Nhận xét: đại lượng bất biến là biệt thức
Bài tập tương tự:
Bài 1.2: Tại mỗi đỉnh của đa giác lồi A1A2…A1993 ta ghi một dấu “+” hoặc một dấu “-”sao chotrong 1993 dấu đó có cả dấu “+” và dấu “-” Thực hiện việc thay dấu như sau: mỗi lần, thay dấuđồng thời tại tất cả các đỉnh của đa giác theo quy tắc:
- Nếu dấu tại Ai và Ai+1là như nhau thì dấu tại Ai được thay là dấu “+”- Nếu dấu tại Ai và Ai+1là khác nhau thì dấu tại Ai được thay là dấu “+”(Quy ước A1994 là A1)
Chứng minh rằng, tồn tại số nguyên k sao cho khi thực hiện liên tiếp k lần phép thay dấunói trên, ta được đa giác A1A2…A1993 mà dấu tại mỗi đỉnh Ai ( ) trùng với dấu của đỉnhđó ngay sau lần thay dấu thứ nhất
Bài 2.2: Trên bảng cho đa thức Thực hiện trò chơi sau, nếu trên bảng đã cóđa thức P(x) thì được phép viết thêm lên bảng một trong hai đa thức sau
Hỏi sau một số bước ta có thể viết được đa thức
Bài 3.2: Cho n cái cây, mỗi cây có một con chim đậu Thực hiện thuật toán: Mỗi lần, một con
bay theo chiều xuôi qua a cây thì sẽ có một con bay theo chiều ngược qua a cây Hỏi có khi nàocả n con chim đều đậu trên 1 cây không?
Bài 4.2: Cho dãy số : 1, 2, 3, …, 2013 Mỗi bước thay hai số a, b bởi a.b + a + b Hỏi sau 2012
bước, số còn lại là số nào?
2 3 Bài toán tô màu
Ví dụ 1.3.
Trang 10Bàn cờ vua 8 x 8 bị mất hai ô ở hai góc đối diện Hỏi có thể lát phần còn lại của bàn cờ bởi cácquân Domino 2 x 1 được không?
Lời giải:
Mỗi quân Domino lát vào bàn cờ luôn chiếm một ô trắng và một ô đen Do đó, nếu lát đượcphần còn lại của bàn cờ thì số ô trắng và số ô đen bằng nhau Nhưng do hai ô ở đối diện của bàncờ là hai ô cùng màu nên số ô màu trắng và số ô màu đen trong phần còn lại của bàn cờ khôngbằng nhau Vậy không lát được phần còn lại của bàn cờ bằng các quân Domino.
Nhận xét: Tô các ô của bàn cờ đan xen bằng 2 màu, xét số lượng các ô của từng màu
Ví dụ 2.3 : Cho bàn cờ 10 x 10 Có thể sử dụng các quân 1 x 4 để lát kín bàn cờ được không?
Khi lát mỗi quân 1 x 4 lên bàn cờ thì mỗi quân ấy sẽ chiếm 1 ô đỏ, 1 ô xanh, 1 ô vàng và 1 ôđen Như vậy số lượng các ô đỏ, xanh, vàng, đen sau khi phủ bởi các quân 1 x 4 lên bàn cờ làbằng nhau Do đó, không thể phủ kín được bàn cờ.