Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình

Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động thông qua dạy học giải phương trình và bất phương trình ....

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÂM THỊ THU HƯỜNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH

THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÂM THỊ THU HƯỜNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH

THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số:60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH VŨ ĐÌNH HÒA

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy cô Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi

và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn

Đặc biệt tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn của mình là PGS.TSKH.VŨ ĐÌNH HÒA, người thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn

Xin chân thành cám ơn các anh chị, các bạn học viên cùng học tại lớp LL&PP dạy học Bộ môn Toán K8, Trường Đại học Giáo Dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã

dành sự quan tâm và tham gia đóng góp ý kiến cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin được cám ơn gia đình, người thân đã động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận văn này

Mặc dù bản thân tác giả đã cố gắng nghiên cứu và thực hiện luận văn này song vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế vào thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp các ý kiến quý báu của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và những người quan tâm đến các vấn đề được trình bày trong luận văn để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2014

Người thực hiện

Lâm Thị Thu Hường

i

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 5

1.1 Cơ sở lý luận 5

1.1.1.Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học 5

1.1.2 Tư duy và đặc điểm của tư duy 6

1.2 Khái niệm thuật toán 7

1.2.1 Khái niệm thuật toán 7

1.2.2 Các đặc trưng của thuật toán 8

1.2.3 Các phương pháp biểu diễn thuật toán 9

1.2.4 Độ phức tạp của thuật toán 15

1.3 Tư duy thuật giải 15

1.3.1 Khái niệm thuật giải 15

1.3.2 Tư duy thuật giải 16

1.3.3 Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội dung phương trình 17

1.4 Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán 21

1.4.1 Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán ở trường phổ thông 21

1.4.2 Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán 22

1.5 Kết luận chương 1 24

iii

CHƯƠNG 2:MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI

CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 25

2.1 Nội dung dạy học phương trình và bất phương trình trong chương trình sách giáo khoa trung học phổ thông (nâng cao) 25

2.2 Một số nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh 27 2.3 Một số định hướng sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương trình và bất phương trình 30

2.3.1 Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng thành phần khi giải phương trình và bất phương trình 30

2.3.2 Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động thông qua dạy học giải phương trình và bất phương trình 40

2.3.3 Xây dựng quy trình dạy học phương trình, bất phương trình theo hướng phát triển tư duy thuật giải 46

2.3.4 Luyện tập cho học sinh giải các phương trình và bất phương trình đã biết thuật giải 56

2.4 Xây dựng thuật giải cho một số dạng phương trình, bất phương trình 61

2.5 Ứng dụng của ngôn ngữ lập trình trong viêc dạy học giải phương trình, bất phương trình 76

2.6 Kết luận chương 2 82

CHƯƠNG 3:THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84

3.1 Mục đích, nhiệm vụ, kế hoạch thực nghiệm sư phạm 84

3.1.1 Mục đích 84

3.1.2 Nhiệm vụ 84

3.1.3 Kế hoạch thực nghiệm sư phạm 84

3.2 Nội dung thực nghiệm 85

iv

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 85

3.3.1 Đáp án đề kiểm tra 85

3.3.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm 88

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 89

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 90

1 Kết luận 90

2 Khuyến nghị 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

PHỤ LỤC 93

v

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu của giáo dục phổ thông hiện nay là: "Giúp học sinh phát triển toàn diện

về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia và xây dựng bảo vệ tổ quốc" Và để bắt kịp sự phát triển của xã hội ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo ra những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc

Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể hiện trong các văn kiện Đại hội Đảng như: Cương lĩnh xây dựng đất nước trong thời kỳ quá độ lên chủ

nghĩa xã hội ( Bổ sung, phát triển năm 2011) nêu rõ: "Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội, nâng cao chất lượng theo yêu cầu chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế, phục vụ đắc

lực sự nghiệp xây dựng và bảo vệ tổ quốc"

Về phương pháp giáo dục đào tạo, Báo cáo chính trị của Ban chấp hành Trung ươngĐảng khóa X tại Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ XI của Đảng cũng nêu rõ:

"Đổi mới chương trình, nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra theo hướng hiện đại; nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, giáo dục truyền thống lịch sử cách mạng, đạo đức, lối sống, năng lực

sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội"

Điều 5, luật giáo dục (2010) quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên"

Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá trình dạy học là rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh

1

Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc biệt trong dạy học toán Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có thuật giải, có qui tắc, có

sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh dễ tiếp thu lĩnh hội Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu của bài toán được giảm dần phù hợp với khả năng của học

sinh, nó là định hướng để học sinh giải bài toán đó

Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán, từng dạng toán, nó thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, hơn nữa nó còn hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: tính cẩn thận chi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn khám phá, các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: tính ngăn nắp, tính cẩn thận, tính kỷ luật, ý thức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết

công việc Mặt khác qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được các yêu cầu của

xã hội, của đất nước đang trên con đường công nghiệp hóa, hiện đại hóa đáp ứng yêu của của con người trong nền sản xuất tự động hóa và bối cảnh công nghệ, thông tin, tin học đang có ảnh hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống

Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó có thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dương Vương Minh: "Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông" (1998) Luận án này đã xem xét việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số chứ chưa đi sâu vào việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy học nội dung phương trình

Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lượng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy nội dung lượng giác 11

Phương trình và bất phương trình là hai nội dung có vị trí quan trọng trong chương trình môn Toán THPT Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt

từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức về phương trình và bất phương trình còn là

2

chìa khóa để giải quyết những vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học Vì vậy, bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ để phương trình, bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc bồi dưỡng kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh còn có ý nghĩa trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường

THPT

Vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:" Rèn

tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy học nội dung phương trình và

bất phương trình"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống hóa một số vấn đề về tư duy thuật giải,

về kỹ năng và kỹ năng giải Toán của học sinh và đề ra một số biện pháp góp phần rèn luyện

tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy học phương trình và bất

phương trình

3 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nếu giáo viên xây dựng được một số kỹ thuật và biện pháp thích hợp trong quá trình dạy học phương trình và bất phương trình, thì có thể rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau: 4.1.Tư duy thuật giải là gì ? Vì sao cần phát triển tư duy thuật giải cho học

sinh trong dạy học môn Toán?

4.2.Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần có những định hướng sư phạm vi nào?

4.3 Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh

4.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực và tính hiệu quả của đề tài

3

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu toán học, các tài liệu về lý luận và phương pháp dạy học, tài liệu về lý luận dạy học bộ môn Toán, các tài liệu về tâm lý học

- Các bài báo, các bài viết phục vụ đề tài

5.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Dự giờ quan sát hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò trong các lớp học Quan sát ngay trong giờ học của mình và rút ra các kết luận trong quá trình giảng dạy

- Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên khác về việc sử dụng các phản ví dụ trong dạy học nhằm rèn luyện tư duy phê phán cho sinh viên

- Dùng các thống kê toán học để xử lý các số liệu thống kê

5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm một số nội dung của luận văn tại trường Trung tâm giáo dục thường xuyên thành phố Cao Bằng, kiểm chứng tính khả thi của đề tài qua các lớp học thực nghiệm và đối chứng trên cùng một lớp đối tượng

6 Đóng góp của luận văn

6.1 Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật giải và vị trí của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học toán

6.2 Xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

6.3 Khai thác được một số dạng bài toán phương trình và bất phương trình có thể giúp học sinh xây dựng được thuật toán hay quy trình tựa thuật toán

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo luận văn dự kiến được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài nghiên cứu

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải Toán theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học phương trình và bất phương trình

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC

SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với

nó, căn cứ vào mục đích dạy học sau đó lựa chọn phương pháp để tập luyện cho học sinh Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần sẽ giúp ta tổ

chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức với học sinh

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền đề

để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học Nội dung của quan điểm này được thể hiện một cách tóm tắt qua những tư tưởng chủ đạo sau:

* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học

* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động

5

* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện

và kết quả của hoạt động

* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học

Như vậy, nếu phân tích rõ được tư tưởng và phương pháp dạy học dựa trên quan điểm hoạt động sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

1.1.2 Tư duy và đặc điểm của tư duy

a Tư duy

Theo [16]: "Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta đã biết"

Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Trong đó nhận thức lý tính là một quá trình mà chủ thể nhận thức, khái quát hoá từ các dữ kiện mà họ có một cách cảm tính bằng cách

hệ thống hoá chúng rồi đi đến thiết lập mối liên hệ giữa chúng và hiểu được mối quan

hệ bản chất giữa các hiện tượng nghiên cứu Từ đó phát biểu thành các tri thức và được kiểm tra lại bằng thực nghiệm

Tư duy là giai đoạn cao nhất của nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật hiện tượng bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy nghĩ

b Đặc điểm của tư duy

Với tư cách là một mức độ mới thuộc nhận thức lý tính, khác xa về chất so với nhận thức cảm tính, tư duy do con người là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau đây:

* Tính "có vấn đề": Đứng trước những hoàn cảnh, những tình huống mà vốn hiểu biết cũ, phương pháp hành động đã biết của con người không đủ để giải quyết, khi

đó con người rơi vào hoàn cảnh "có vấn đề", lúc này con người phải vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết và đi tìm những cái mới, hay nói cách khác đi con người phải tư duy

6

* Tính gián tiếp: tư duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tượng và quy luật giữa chúng nhờ sử dụng công cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy vi tính…) Ngôn ngữ là một phương tiện rất quan trọng của tư duy Con người luôn dùng ngôn ngữ để tư duy Nhờ đặc điểm gián tiếp này mà tư duy đã mở rộng không giới hạn những khả năng nhận thức của con người

* Tính trừu tượng và khái quát: Tư duy phản ánh cái bản chất nhất, chung cho nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại, một phạm trù (khái quát), đồng thời loại bỏ khỏi những sự vật đó, những cái cụ thể, cá biệt Nói một cách khác, tư duy đồng thời mang tính chất trừu tượng và khái quát

* Tư duy của con người có sự liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ: Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy Nếu không có ngôn ngữ thì bản thân quá trình tư duy không diễn ra được, đồng thời tạo ra các sản phẩm của tư duy cũng không được chủ thể

và người khác tiếp nhận

* Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy phải dựa trên những tài liệu cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động Tư duy và nhận thức cảm tính là hai mức độ nhận thức khác nhau, nhưng không thể tách rời nhau, có quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt động nhận thức thống nhất và biện chứng Như F.Anghen đã nói: "Nhập vào với con mắt của chúng ta chẳng những có những cảm giác khác, mà còn có cả hoạt động tư duy của ta nữa"

1.2.Khái niệm thuật toán

1.2.1 Khái niệm thuật toán

Khái niệm tư duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán, do đó trước khi đưa ra khái niệm thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán

Thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ rang các quy tắc nhằm xác định một dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các

thao tác ta đạt được mục tiêu định trước[6, tr.13]

Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau:

* Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác

7

* Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo

* Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người, thực hiện trên nhiều máy tình vẫn phải cho kết quả như nhau

* Tính phổ dụng: áp dụng được cho nhiều bài toán khác có cùng cấu trúc, với các dữ liệu khác nhau

* Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được kết quả cần tìm 1.2.2 Các đặc trưng của thuật toán

a Tính đơn trị

Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả

Ví dụ: Quy trình 4 bước để giải một bài toán của Polya [11]

Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2 Tìm đường lối giải toán

Bước 3 Thực hiện chương trình giải toán

Bước 4 Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải

Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau

Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán Bất kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ

đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm một số công việc thay thế cho con người

b Tính hiệu quả

Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như: khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn

8

đề - bài toán trên thực tế Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của thuật toán Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi

c Tính tổng quát

Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào

đó

1.2.3 Các phương pháp biểu diễn thuật toán

Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thường dùng những ngôn ngữ toán học như: "ta có", "điều phải chứng minh", "giả thiết",…và sử dụng các phép suy luận toán học như phép kéo theo, phép tương đương,…

Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng phải tuân theo một số quy tắc nhất định Để có thể truyền đạt thuật toán cho người khác hay

chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có phương pháp biểu diễn thuật

toán Có 4 phương pháp biểu diễn thuật toán:[6]

1 Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học (natural languages)

2 Dạng lưu đồ - sơ đồ khối (flowcharts)

3 Dạng mã giả (pseudocode)

4 Dạng ngôn ngữ lập trình (programming languages)

 Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, người ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của thuật toán Các thuật toán ở mục 1 đều được viết dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

Phương pháp biểu diễn này có ưu điểm là đợn giản, không yêu cầu người viết cũng như người đọc thuật toán phải nắm các quy tắc, các kiến thức nền tảng Nhưng cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc của thuật toán, đôi lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho người đọc và khó biển diễn được những bài toán phức tạp

9

Ví dụ: Thuật toán xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

ax2 + bx + c = 0 (với giả thiết abc ≠ 0)

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c

Bước 2: Kiểm tra điều kiện ac < 0

+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 3 + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 4 Bước 3: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Chuyển sang bước 14 Bước 4: Tính  = b2 - 4ac

Bước 5: Kiểm tra điều kiện > 0

+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 9 + Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 6 Bước 6: Kiểm tra điều kiện ab > 0

+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 7 + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 8 Bước 7: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm dương

Chuyển sang bước 14 Bước 8: Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm âm

Chuyển sang bước 14 Bước 9: kiểm tra điều kiện  = 0

+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 10 + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 13 Bước 10 Kiểm tra điều kiện ab > 0

+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 11 + Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bước 12 Bước 12 Kết luận: Phương trình có nghiệm kép dương

Chuyển sang bước 14 Bước 13: Kết luận: phương trình vô nghiệm

Bước 14: Kết thúc

10

 Lưu đồ - Sơ đồ khối (flowcharts)

Lưu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán Biểu diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợp

và quá trình xử lý của thuật toán Phương pháp lưu đồ thường được dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý

Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động

Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiện đúng, một hướng ứng với điều kiện sai

PT có hai nghiệm phân biệt

* Hình ô van thể hiện các thao tác nhập, xuất dữ liệu, khởi đầu hoặc kết thúc của một thuật toán

(Có thể thay chữ Bắt đầu bởi Start (hoặc Begin), thay Kết thúc bởi End)

Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật toán có lưu đồ lớn

Ví dụ: Lưu đồ thuật toán giải phương trình bậc hai

12

Lưu đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi phải

mô tả những thuật toán phức tạp Một phương pháp khác để biểu diễn thuật toán khắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình

 Dạng mã giả (pseudocode)

Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và phân cấp các trường hợp của thuật toán nhưng lại cồng kềnh, đặc biệt đối với những bài toán phức tạp Để mô tả thuật toán nhỏ ta phải dùng một không gian rất lớn Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong thực tế, các thuật toán còn có các lặp

13

Biểu diễn thuật toán bằng dạng mã giả là cách biểu diễn sự vay mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, C, C++, …) để thể hiện thuật toán Ngôn ngữ dạng mã giả, gần gũi với mọi người, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào những quy ước chi tiết Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hoá

Else (trường hợp Delta < 0)

Inra: phương trình vô nghiệm;

End

Trên đây, ta đã chỉ ra 3 cách để biểu diễn một thuật toán Trong trường hợp thuật toán viết bằng ngôn ngữ máy tính, ta có một chương trình

 Dạng ngôn ngữ lập trình (programming languages)

Có nhiều ngôn ngữ lập trình như Pascal, Basic, C, C++, Asembly,…Sau đây là

ví dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán

Ví dụ Tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai:

ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) Input: Các hệ số a, b, c nhập từ bàn phím

Outpt: Đưa ra màn hình các nghiệm thực hoặc thông báo "Phương trình vô nghiệm" Thuật toán: Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ lập trình Pascal

14

Program Giai-pt bậc hai;

1.2.4 Độ phức tạp của thuật toán

Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu hạn bước, tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vượt quá khả năng làm việc của chúng ta Do đó để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải chú ý đến độ phức tạp của các thuật toán Độ phức tạp của thuật toán có thể đo bằng không gian, tức là dung lượng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực hiện thuật toán; và bằng thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc Trong luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức tạp thời gian Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại bài toán giải được hay không giải được

1.3 Tư duy thuật giải

1.3.1 Khái niệm thuật giải

Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, người ta đã đưa ra nhận xét sau:

+ Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theo kiểu thuật toán và cũng không biết có tồn tại thuật toán hay không

15

+ Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhưng không chấp nhận được vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật toán đó khó đáp ứng

+ Có những bài toán được giải theo cách giải vi phạm thuật toán nhưng vẫn chấp nhận được

Như vậy, không phải cách giải nào, thuật toán nào cũng đều đạt được các tiêu chí nêu trên

Do vậy, các cách giải chấp nhận được nhưng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ

các tiêu chuẩn của thuật toán được gọi là các thuật giải

Khái niệm mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm phương pháp để giải quyết các bài toán được đặt ra Ngoài việc mở rộng tính đúng của thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất như thuật toán Nó cũng có các hình thức biểu diễn phong phú như thuật toán Tuy nhiên, đối với một cơ cấu nhất định chỉ tương ứng với một hình thức biểu diễn nhất định Đặc biệt trong dạy học cần chú ý lựa chọn phương tiện biểu diễn phù hợp với trình độ và kiến thức của học sinh Sự hiểu biết về thuật giải, các tính chất và phương tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hoá của

thuật giải Ngôn ngữ lập trình là bước phát triển cao của văn hoá thuật giải

1.3.2 Tư duy thuật giải

Tư duy thuật giải (thể hiện trong Toán học) là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức

áp dụng toán học vào các khoa học khác [8]

Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học Nó là phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:

T 1 : Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải

T 2 : Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo những

trình tự xác định

T 3 : Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành

một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng

16

T 4 : Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

T 5 : Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán

Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T2 - T5 ) thể hiện năng lực xây dựng thuật giải

Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phù hợp với những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải Trong [9] tác giả Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm:

- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó, hiểu bản chất ngôn ngữ

là phương tiện biểu diễn thuật giải

- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải

- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứng dụng của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông

- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử

Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh

Từ khái niệm về tư duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt động tư duy thuật giải Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Sau đây là một số ví dụ về phát

triển tư duy thuật giải trong môn toán khi dạy nội dung phương trình, bất phương trình

+ Bước 1: Kiểm tra: a2 b2  c2

Nếu sai, kết luận phương trình vô nghiệm

Chuyển sang bước 5

Nếu đúng, chuyển sang bước 2

17

+ Bước 2: Chia cả hai vế cho a2 b2





c o s

a  b2

 sin

sau:

Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau

Bài tập: áp dụng quy tắc giải phương trình bậc hai, hãy giải các phương trình

Ví dụ 2

Khi dạy luyện tập giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ta có thể đưa

ra cho học sinh thêm bài tập sau:

Giải phương trình: sin 2 x  3 sin x cos x  2 cos 2 x  1

Đứng trước bài toán này học sinh phải biết các công thức nhân đôi và công thức

hạ bậc, từ đó áp dụng các công thức này để biến đổi Ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán này theo các bước sau:

+ Bước 1: Tính sin2x, cos2x theo cos2x

18

+ Bước 3: Giải phương trình: Asin2x + Bcos2x = C

Một điều cần lưu ý là khi phân tích bài toán để học sinh định hướng phương pháp giải, chúng ta cần cố gắng phân tích làm nổi lên những tri thức phương pháp tiến hành hoạt động này Sự phân tích trên đây có ý làm nổi bật tri thức phương pháp: quy

+ Xét xem x = 0 có là nghiệm của phương trình không?

+ Hãy chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0 Nêu đặc điểm của phương trình mới nhận được?

32 (1) ⇔ 2x 2 3x 16  2 0

Đặt t  x  x  x 2  2 t 2 2

x

19

Cuối cùng giáo viên cho học sinh tiếp tục giải phương trình và các phương trình còn lại khi học sinh giải xong giáo viên có thể nêu câu hỏi nhằm giúp học sinh giải bài toán tổng quát như sau:

+ Phương trình (1) các hệ số đối xứng qua hệ số (-16),

+ Từ đặc điểm đó nêu phương trình dạng tổng quát:

ax4 bx3 cx2 bx  a  0 , với a ≠ 0

+ Từ cách giải các phương trình (1) nêu thuật giải giải phương trình trên

Bước 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho x2≠ 0 và biến đổi phương trình về dạng

Các ví dụ trên đã minh họa cho việc tập luyện một số hoạt động của tư duy thuật giải Trong thực tế, việc tập luyện các hoạt động này sẽ không được tách ra một cách rành mạch, khi tập luyện hoạt động này có sự tham gia của các hoạt động khác Nói tới tập luyện hoạt động tư duy thuật giải nào đó trong khi giải một bài toán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi

20

1.4 Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán

1.4.1 Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán ở trường

phổ thông

Sau khi nghiên cứu khái niệm tư duy thuật giải và một số ví dụ về phát triển tư duy thuật giải trong môn toán, chúng ta nhận thấy rằng vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong môn toán là một việc cần thiết Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải đối với học sinh trong dạy học môn Toán là quan trọng Cấu trúc của tư duy thuật giải gắn liền với 5 hoạt động (T1 - T5), việc phát triển các hoạt động tư duy thuật giải sẽ góp phần phát triển các hoạt động khác của toán học Điều này cũng đã được tác giả Vương Dương Minh nói đến trong [8]

* Tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải là một phương tiện, một điều kiện

để chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng

Thật vậy, để nắm vững khái niệm toán học, học sinh phải tiến hành các hoạt động nhận dạng và thể hiện một khái niệm Trong nhiều trường hợp, những hoạt động này diễn ra dưới dạng những hoạt động tư duy thuật giải

Nói đến kỹ năng là phải nói đến hoạt động, kỹ năng được hình thành và phát triển nhờ các hoạt động tư duy thuật giải

* Các hoạt động tư duy thuật giải đòi hỏi và thúc đẩy các hoạt động trí tuệ

- Các thao tác tư duy như phân tích và tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa được phát triển khi tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải

- Các phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính độc lập cũng được phát triển trong các hoạt động tư duy thuật giải

- Khả năng tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cũng được rèn luyện qua các hoạt động tư duy thuật giải

* Phát triển tư duy thuật giải góp phần giáo dục những đức tính tốt đẹp của người lao động mới và giáo dục thế giới quan duy vật biện chứng

Thật vậy:

- Hoạt động (T1) cho khả năng hình thành, củng cố những đức tính tốt như tính

kỷ luật, ngăn nắp, cẩn thận, thói quen tự kiểm tra

21

- Hoạt động (T4) rèn luyện khả năng diễn đạt chính xác Nó cũng có thể cho ta những minh hoạ về mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức Một nội dung

có thể tồn tại dưới nhiều hình thức Nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại nội dung

- Hoạt động (T5) góp phần hình thành ý thức tìm phương án tối ưu khi giải quyết công việc

- Các hoạt động (T1- T5) dẫn tới việc hiểu đúng bản chất của quá trình tự động hóa và vai trò quyết định của con người trong quá trình đó

- Một thuật giải có cấu trúc đẹp, trình bày sáng sủa, chính xác có thể xem là sản phẩm của lao động trí óc, có tác dụng giáo dục thẩm mỹ cho học sinh

* Phát triển tư duy thuật giải gắn liền với phát triển tư duy sáng tạo

Trong số những mục đích của giáo dục thì việc phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tự giải quyết vấn đề, cho học sinh là những mục đích rất quan trọng Tuy nhiên, các năng lực trên chỉ được phát triển nếu liên hệ với một thuật giải, một quy trình nào đó quen thuộc Tính sáng tạo "nằm ngay trong" tính thuật giải Nếu hiểu thuật giải là thực hiện tổ hợp các thao tác (T1 - Tn) theo một trình tự logic xác định để đi đến kết quả (Tn) thì tính sáng tạo thể hiện ở những bước chuyển tiếp (Ti - Ti+1) và ở việc từ algorit tổng quát để lựa chọn một algorit cụ thể Đây là mối liên hệ biện chứng thể hiện quy luật tính thống nhất trong các mặt đối lập trong tiến trình đi đến kết quả tối ưu

1.4.2 Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán

Phương hướng chung để phát triển tư duy thuật giải là tổ chức, điều khiển học sinh tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải Muốn vậy, trước hết giáo viên cần phải thiết kế và xây dựng các bài dạy theo một quy trình có tính chất thuật giải đối với các tình huống điển hình trong dạy học toán Nghĩa là phải xây dựng một hệ thống quy

định nghiêm ngặt được thể hiện theo một quá trình chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn

Trong [7] tác giả Vương Dương Minh đã đưa ra hệthống các tư tưởng chủ đạo về phát triển tư duy thuật giải trong môn toán như sau:

22

* Rèn luyện cho học sinh các hoạt động tư duy thuật giải trong khi và nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học

* Gợi động cơ và hướng đích cho các hoạt động tư duy thuật giải bao gồm:

- Gợi động cơ và hướng đích mở đầu các hoạt động tư duy thuật giải

- Gợi động cơ và hướng đích trong khi tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải

- Gợi động cơ kết thúc hoạt động tư duy thuật giải

* Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải

* Phân bậc các hoạt động

Những tư tưởng chủ đạo trên đã quán triệt những yêu cầu đầu tiên của việc khai thác hoạt động trong nội dung dạy học toán Thật vậy, các hoạt động tư duy thuật giải nhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học có nghĩa là các hoạt động này phải tương thích với nội dung đó Các hoạt động tư duy thuật giải xuất hiện trước hết như phương tiện chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng Sau đó, do có vai trò quan trọng trong học tập và đời sống đã trở thành mục đích dạy học Vì vậy, các hoạt động tư duy thuật giải mang hai chức năng Chức năng phương tiện và chức năng mục đích Tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải trong khi và nhằm vào thực hiện các yêu cầu toán học chính là nhằm phối hợp hai chức năng này

Những tư tưởng chủ đạo này còn mang ý nghĩa nền tảng cho việc phát triển tư duy thuật giải trong môn toán Trong dạy học toán, không có những hoạt động tư duy thuật giải chỉ nhằm một mục đích duy nhất là phát triển tư duy thuật giải mà chỉ có những hoạt động tư duy thuật giải được tíên hành trong khi tiến hành các hoạt động toán học Đồng thời các hoạt động tư duy thuật giải phải nhằm vào các yêu cầu toán học Hiệu quả tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải thể hiện bằng hiệu quả thực hiện những yêu cầu toán học

Trên tinh thần các tư tưởng chủ đạo đó, luận văn sẽ đưa ra một số định hướng nhằm góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong quá trình dạy học một số nội dung phương trình trong chương trình toán phổ thông

23

1.5 Kết luận chương 1

Chương này đã trình bày được những quan điểm chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh, đã đưa ra được khái niệm thuật toán và các đặc trưng của thuật toán Dựa trên khái niệm thuật toán và quan điểm dạy học theo lý thuyết hoạt động, luận văn đã đưa ra khái niệm tư duy thuật giải

Luận văn cũng đưa ra được một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải trong khi dạy học một số nội dung phương trình, bất phương trình và nêu lên vấn đề cần phải phát triển tư duy thuật giải cho học sinh như thế nào cũng như vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

24

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI

CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Nội dung dạy học phương trình và bất phương trình trong chương trình sách

giáo khoa trung học phổ thông (nâng cao)

 Lớp 11



Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Phương trình và bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong căn thức bậc hai Phương trình và bất phương trình trùng phương

ax4 bx2 c 0 ; ax4 bx2 c 0 (hoặc ax4 bx2 c

0 )

Phương trình lượng giác cơ bản:

+ sin x  m;cos x  m; tan x  m;cot x  m ,

25

+ sin f (x)  m;cos f (x)  m; tan f (x)  m;cot f (x)  m…

 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

+ a s i n x  b  0 ( a ≠ 0) + a cos x  b  0 (a ≠ 0) + a tan x  b  0 (a ≠ 0) + a cot x  b  0 (a ≠ 0)

 Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác:

+ a s i n 2 x  b s i n x  c  0 ( a ≠ 0) + a cos2 x  b cos x  c  0 (a ≠ 0) + a tan2 x  b tan x  c  0 (a ≠ 0) + a cot2 x  b cot x  c  0 (a ≠ 0)

 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

a sin x  b cos x 0

 Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx

a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  0

 Phương trình dạng: F (sin x, cos x, tan x, cot x)  0

 Phương trình dạng: R(sin x, cos x, )  0 ( Trong đó R là hàm hữu tỷ đối với sinx, cosx, tanx, cotx)

 Phương trình dạng:

R(sin x, cos x, tan x, cot x, sin 2x, cos 2x, tan 2x, cot 2x )  0

 Một số phương trình lượng giác đối xứng đối với à ,

à , chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa căn thức…

26

Trên đây chúng tôi đưa ra một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp ở chương trình toán SGK THPT (nâng cao) Trong chương trình Toán ở trường phổ thông, bài tập về phương trình và bất phương trình có thể đưa về 2 dạng cơ bản: bài tập có thể giải bằng cách dựa vào các thuật giải đã biết hoặc bài tập nhằm hình thành kiến thức mới cho học sinh ( thông qua giải bài tập giúp học sinh có thể tiếp thu những kiến thức chưa biết: có thể là những tính chất, qui tắc…) Vì nội dung về phương trình và bất phương trình vô cùng đa dạng và phong phú, do đó trong luận văn này, chúng tôi không nghiên cứu tất cả các dạng toán về phương trình và bất phương trình mà chỉ nghiên cứu một số dạng cơ bản nhất (việc giải các bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững thuật giải của một số dạng phương trình và bất phương trình cũng như một số phép biến đôi tương đương một cách linh hoạt)

2.2 Một số nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học

sinh

Nhiệm vụ phát triển tư duy thuật giải cho học sinh không thể thay thế nhiệm vụ đào tạo con người đáp ứng được sự đòi hòi của xã hội hiện đại, đảm bảo chất lượng và đạt hiệu quả dạy học theo chuẩn kiến thức, kỹ năng đề ra của Bộ Giáo Dục và Đào tạo Bởi vậy dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải nhằm đảm bảo chất lượng và đạt hiệu quả cần phải dựa trên một số nguyên tắc sau: [1]

27

Nguyên tắc 1 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải đáp ứng được mục đích của việc dạy, học toán ở nhà trường phổ thông

Mục đích của việc dạy học toán trong nhà trường phổ thông là: giúp học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thói quen cần thiết cho cuộc sống, cho học tập; hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy (tư duy logic, tư duy thuật giải, tư duy trừu tượng ) cần thiết của một con người có học vấn trong xã hội hiện đại, góp phần quan trọng trong việc hình thành thế giới quan khoa học toán học, hiểu được nguồn gốc thực tiễn của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển văn hóa văn minh nhân loại cũng như những tiến bộ của khoa học kỹ thuật

Để đạt được những mục đích to lớn đó, những năm gần đây, ngành giáo dục đào tạo liên tục đổi mới chương trình sách giáo khoa, phương pháp dạy học Do đó, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải là một trong những phương pháp dạy học đáp ứng được mong muốn đó

Nguyên tắc 2 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho người học được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động: tự giác, tích cực, sáng tạo ("hoạt động hóa người học") Phù hợp với định hướng đổi mới đó có thể trình bày một số xu hướng dạy học không truyền thống như: dạy học giải quyết vấn đề, dạy học dựa vào lý thuyết tình huống, dạy học theo thuyết kiến tạo, dạy học chương trình hóa, dạy học với công cụ máy tính điện tử, dạy học theo lý thuyết hoạt động

Vì vậy, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

Nguyên tắc 3 Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển tối ưu chương trình sách giáo khoa hiện hành

Chương trình và sách giáo khoa môn toán được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phương diện toán học cũng như về phương diện sư phạm, đã thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nội dung cũng như

28

chương trình nhiều lần sao cho phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nước ta Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải của học sinh phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát triển một cách tối ưu chương trình sách giáo khoa hiện hành

Xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi con người phải năng động, tự chủ, sáng tạo,

kỷ luật, biết tôn trọng pháp luật và các quy tắc của xã hội Do đó, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải góp phần quan trọng trong việc phát triển nhân cách người học Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng toán học, dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá và những phẩm chất của người lao động mới.như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ cho học sinh

Nguyên tắc 5.Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải phải phát huy tính tính cực nhận thức của học sinh phù hợp với thực tiễn hoàn cảnh, môi trường giáo dục và thực tiễn học sinh

Quá trình dạy học chỉ thực sự đạt hiệu quả khi quá trình dạy học bảo đảm sự thống nhất giữa tính vừa sức với yêu cầu phát triển có thể được thực hiện dựa trên lý thuyết về vùng phát triển gần nhất của Lev Semënovich Vygotskij

Tính vừa sức để học sinh có thể chiếm lĩnh được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, kỹ xảo nhưng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của học sinh Hơn nữa, trong quá trình dạy học, những yêu cầu phải hướng vào vùng phát triển gần nhất, tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới ở thời

29