Phương trình và hệ phương trình đại số

Đ I H C KHOA H C T NHIÊN TRƯ NG Đ I H C QU C GIA HÀ N I TR NH TH HI N VÀ H PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH Đ I S LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C HÀ N I - NĂM 2015 Đ I H C KHOA H C T NHIÊN TRƯ NG Đ I H C QU C GIA HÀ N I TR NH TH HI N VÀ H PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH Đ I S Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C Mã s : 60.46.01.13 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS TS VŨ Đ HÀ N I - NĂM 2015 LONG P M cl c M ĐU Đ i cương v phương trình h u t 1.1 Ki n th c b tr 1.1.1 Tính đơn u c a hàm s 71.1.2 Tính ch t c a hàm kh vi ng d ng 1.2 1.3 Phương pháp gi i phương trình b c ba 1.2.1 Phương pháp phân tích nhân t 1.2.2 Phương pháp Cardano Phương trình b c cao 10 1.3.1 Phương trình đ i x ng b c n 11 1.3.2 M t s toán b c cao 11 Phương pháp gi i phương trình vô t 2.1 2.2 14 Phương pháp bi n đ i tương đương 14 2.1.1 Phương pháp nâng lũy th a 14 2.1.2 Phương pháp phân tích thành nhân t 2.1.3 Phương pháp nhân liên h p 25 19 Phương pháp đ t n ph 39 2.2.1 M t s cách đ t n ph b n 40 2.2.2 Đ t n ph đưa v phương trình tích 41 2.2.3 Đ t n ph đưa v phương trình đ ng c p 45 2.2.4 Đ t n ph không hoàn toàn 48 2.2.5 Đ t n ph đưa v h 51 i 2.3 Phương pháp đánh giá 58 2.3.1 Phương pháp dùng h ng đ ng th c 58 2.3.2 Phương pháp dùng b t đ ng th c 59 2.4 Phương pháp hàm s 63 2.5 Phương pháp lư ng giác hóa 67 Phương trình có ch a tham s 70 3.1 Phương pháp s d ng đ o hàm 70 3.2 Phương pháp dùng u ki n c n đ 3.2.1 74 S d ng tính đ i x ng 74 3.2.2 S d ng đ c m thu n l i 76 H phương trình đ i s 4.1 79 Các lo i h phương trình b n 79 4.1.1 H phương trình đ i x ng lo i I 79 4.1.2 H phương trình đ i x ng lo i II 80 4.1.3 H phương trình đ ng c p 82 4.2 M t s phương pháp gi i h phương trình khác 83 4.2.1 Phương pháp đ t n ph 83 4.2.2 Phương pháp h s b t đ nh 86 Phương 4.2.3 pháp bi n đ i đ ng th c 91 Phương pháp 4.2.4 dùng tính đơn u 94 Phương pháp dùng b 4.2.5 t đ ng th c 101 K T LU N 105 Tài li u tham kh o 106 M ĐU Phương trình h phương trình m t nh ng phân môn quan tr ng nh t c a Đ i s có nh ng ng d ng l n ngành khoa h c lo i toán thư ng g p d ng toán sơ c p Ngay t đ u, s đ i phát tri n c a phương trình h phương trình đ i s đ t d u n quan tr ng, chúng có s c hút m nh m đ i v i ngư i yêu toán, không ch v đ p hình th c mà c nh ng bí n mang đ n thúc ngư i làm toán ph i tìm tòi, sáng t o Ngày nay, phương trình h phương trình đ i s v n chi m m t vai trò quan tr ng v n thư ng xuyên xu t hi n kì thi Qu c gia, Qu c t , Olympic Là m t giáo viên THPT, mu n nghiên c u sâu v phương trình h phương trình nh m nâng cao chuyên môn ph c v cho trình gi ng d y b i dư ng h c sinh gi i, v y nên ch n đ tài làm lu n văn th c sĩ c a là: "Phương trình h phương trình đ i s " M c đích c a lu n văn h th ng hóa phương pháp gi i phương trình h phương trình đ i s , giúp nh n d ng toán, đ xu t phương pháp gi i ch n phương án t i ưu B n lu n văn đư c chia làm chương: Chương 1: Đ i cương v phương trình h u t Trình bày ki n th c chu n b g m m t s cách gi i phương trình b c ba, m t vài t p phương trình b c cao m t s tính ch t c a hàm s Chương 2: Phương pháp gi i phương trình vô t Chương trình bày phương pháp thư ng g p ph m vi chương trình ph thông m i phương pháp, tác gi c g ng t ng quát hóa d ng t p mà có th s d ng phương pháp này, có kèm theo nh n xét, t ng quát hóa d ng toán đ ng th i cho m t s ví d minh h a v i m t s toán tham kh o Chương 3: Phương trình có tham s Đ c p đ n phương pháp gi i bi n lu n toán có tham s , m t s toán thư ng g p kỳ thi h c sinh gi i Chương 4: H phương trình đ i s Nh c l i h phương trình b n nêu m t s phương pháp gi i h phương trình d ng khác M c dù có nhi u c g ng, xong nhi u y u t khách quan ch quan, nên trình ch n l c tư li u trình bày n i dung khó tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y r t mong nh n đư c nh ng ý ki n ch b o c a th y cô, s góp ý chân thành c a b n h c viên đ lu n văn đư c hoàn thi n L i c m ơn Tôi xin đư c bày t lòng kính tr ng lòng bi t ơn sâu s c đ n PGS TS Vũ Đ Long, ngư i th y t n tình gi ng d y, truy n th nh ng ki n th c b ích t o u ki n đ hoàn thành lu n văn Th y dành nhi u th i gian hư ng d n gi i đáp th c m c c a su t trình th c hi n đ tài Tôi xin g i l i c m ơn chân thành t i th y cô Khoa Toán - Cơ Tin h c, Phòng sau đ i h c Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i; th y cô tham gia gi ng d y khóa cao h c 2013 -2015; Ban giám hi u đ ng nghi p trư ng THPT H ng Thái, Đan Phư ng, Hà N i t o u ki n thu n l i cho hoàn thành lu n văn c a Cu i cùng, xin chân thành c m ơn gia đình đ ng viên su t trình h c t p nghiên c u khoa h c Hà N i, tháng năm 2015 H c viên Tr nh Th Hi n Chương Đ i cương v phương trình h u t 1.1 Ki n th c b tr 1.1.1 Tính đơn u c a hàm s Đ nh nghĩa 1.1 Cho hàm s y = f(x) có đ o hàm (a; b) f (x) = ch v i m t s h u h n m Khi • f hàm s tăng (a; b) ⇔ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) • f hàm s gi m (a; b) ⇔ f (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) H qu 1.1 N u hàm s y = f(x) đơn u (a; b) phương trình f(x) = có t i đa m t nghi m 1.1.2 Tính ch t c a hàm kh vi ng d ng Đ nh lý Roll Gi s hàm f : [a; b] → R th a mãn + f liên t c [a; b] + f kh vi kho ng (a; b) + f(a) = f(b) Khi t n t i nh t m t m c ∈ (a; b) cho f (c) = H qu 1.2 Cho hàm s y = f(x) có đ o hàm đ n c p n phương trình f (n) (x) = có m nghi m kho ng (a; b), phương trình f (n−1) (x) = có nhi u nh t (m + 1) nghi m [a; b] Đ nh lý Lagrange Cho hàm s y = f(x) liên t c [a; b] f (x) t n t i (a; b) ∃c ∈ (a; b) cho: f (c) = f (b) − f (a) b−a 1.2 1.2.1 Phương pháp gi i phương trình b c ba Phương pháp phân tích nhân t Xét phương trình b c ba ax3 + bx2 + cx + d = (1.1) Gi s phương trình (1.1) có nghi m x = r Khi (1.1) ⇔ (x − r) ax2 + (b + ar) x + c + br + ar2 = T ta đưa v gi i phương trình b c hai, có nghi m √ x = −b − r a ± 1.2.2 b2 − 4ac − 2abr − 3a2r2 2a Phương pháp Cardano Xét phương trình b c ba x3 + ax2 + bx + c = (1.2) B ng cách đ t x = y − 3ba, phương trình (1.2) bi n đ i đư c v d ng tc (1.3) y3 + py + q = Trong p = b − a3 , q = c + 2a 27 9ab 3− Ta ch xét p, q = p = hay q = đưa v trư ng h p đơn gi n Đ t y = u + v thay vào (1.3), ta đư c (u + v)3 + p (u + v) + q = ⇔ u3 + v3 + (3uv + p) (u + v) + q = (∗) Ch n u, v cho: 3uv + p = (∗∗) T (∗) (∗∗) ta có h phương trình u3 + v3 = −q u3 v = − p 27 Theo đ nh lý Vi-et, u3, v3 hai nghi m c a phương trình X2 p3 = + qX − 27 (1.4) Đ t ∆ = q4 + p 27 * Khi ∆ > 0, (1.4) có nghi m u3 = − q + ∆ √ 2√ v3 = − q − ∆ Như v y, phương trình (1.3) s có nghi m th c nh t y= √ −q + ∆+ * Khi ∆ = 0,(1.4) có nghi m kép u = v = − q √ −q − ∆ Khi đó, phương trình (1.3)có hai nghi m th c, có m t nghi m kép y1 = − q , y2 = y3 = q2 * Khi ∆ < 0, (1.4) có nghi m ph c G i u03 m t nghi m ph c c a (1.4), v03 giá tr tương ng cho u0v0 = −p Khi đó, phương trình (1.3) có ba nghi m phân bi t y = u0 + v √ (u + v ) + i (u − v ) 0 y = − 20 √ 2 y3 = −1 (u0 + v0) − i 23 (u0 − v0) Ví d 1.1 Gi i phương trình: x3 + x2 + x = −1 Gi i Phương trình nghi m h u t nên không th phân tích nhân t Trư c nghĩ t i công th c Cardano, ta th quy đ ng phương trình 3x3 + 3x2 + 3x + = Hàm đ c trưng đư c xác đ nh sau th c hi n phép bi n đ i gi a phương trình Bài toán 4.22 Gi i h phương trình √ + x2 + x = + √y (1) √ + y2 + 2√y = + x (2) √ Đ nh hư ng Đ ý phương trình c a h có s đ i x ng c a n x y N u tr √ theo v ta nh n đư c hàm đ c trưng: √ + x2 + x = + y2 + 3√y Gi i Đi u ki n x, y ≥ Tr theo v (1) (2) ta có √ + x2 + x = Xét f (t) = t + + t2 có f (t) = √ + √ t √ √ + y + √y (3) + t2 > 0, ∀t > 2t Suy hàm s đ ng bi n [0; +∞) T (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y Thay vào (2) ta đư c √ √ + x2 + x = Xét f (x) = + x2 + √x có f (x) = √ x + 2√x > 0, ∀x ≥ √ 3+x Suy hàm s đ ng bi n (0; +∞) Mà f(1) = ⇒ x = 1; y = V y h phương trình có nghi m (x, y) = (1; 1) Bài toán 4.23 Gi i h phương trình (y + 1)2 + y y2 + = x + √ √2 x + x2 − 2x + = + 2x − 4y + (1) (2) Đ nh hư ng S d ng phương pháp th + Do t (1) không phán đoán đư c hàm đ c trưng t (2) s đ c l p gi a hai th c Gi i T (1) ⇒ 2x = 2y2 + 4y − + 2y y2 + 98 Thay vào (2) ta đư c x2 − 2x + = + x+ 2y2 + 2y ⇔x − + (x − 1)2 + = ⇔x − + (x − 1)2 + = y + √ t2 Xét f (t) = t + y2 + + y2 + y+ y2 + = 2y + 4y2 + (3) √2 t + + t > √t| − t ≥ 0, ∀t ∈ R | + có f (t) = + √ 2t = √2 t +4 t +4 t2 + Suy hàm s đ ng bi n R T (3) ta có f(x − 1) = f(2y) ⇔ x = 2y + Thay vào (1) ta đư c y   y2 ≤  y y = 3; x =  y2 = ⇒ y = − ; x = −  44 2 16 V y h phương trình có nghi m (x, y) = ; , −1 ; −3 24 24 Bài toán 4.24 Gi i h phương trình x5 + xy4 = y10 + y6 √ 4x + + y2 + = (1) (2) Đ nh hư ng M c dù hàm đ c trưng ph i có s đ c l p c a x y s mũ phương trình (1) cho suy nghĩ đ n vi c chia cho m t bi u th c Bi u th c x5 + xy4 d ng đ ng c p b c ⇒ chia hai v c a (1) cho y5 Gi i Đi u ki n x ≥ −5 D th y y = không nghi m c a h phương trình Chia hai v c a (1) cho y5 ta đư c x y + x = y5 + y y (3) Xét f (t) = t5 + t có f (t) = 5t4 + > 0, ∀t ∈ R ⇒ Hàm s đ ng bi n R T (3) ⇒ f x = f (y ) ⇔ x = y ⇔ x = y y y√ √ Thay vào (2) ⇒ 4x + + x + = Xét g (x) = 4x + + x + có g (x) = √ √ √ 99 +√ 4x + x + > 0, ∀x > −5 Suy hàm s đ ng bi n Mà g(1) = ⇒ x = 1; y = ±1 −5; +∞ V y h phương trình có nghi m (x, y) = {(1; −1) , (1; 1)} Nh n xét 4.4 V i nh ng phương trình b c cao vi c h b c đ t n ph r t h u í c h Bài toán 4.25 Gi i h phương trình ( x + y ) ( x − y ) Đi u + x ≥ 1; ki n y ≥ (*) = (x + y) (2x − y) + = −4 (x + y) − (2x − y) − √ x ⇔ (x + y + 1) (2x − y + 4) = ⇔ 2x − y + = (do đk(∗) → x + y + > 0) ⇔ y − = y √ 3x − + (2x + 1) = y − + 3y x ( ) + ( ) √ √ Đ nh hư ng Ta th y (2) có d ng đơn u không th tìm đư c hàm đ c 3x − + (2x + 1) = 2x + + (2x + 4) Thay vào (2) ⇒ √ ⇔ (3x − 1) + 3x − = (2x + 3) + 2x + (3) √ trưng Như v y rõ ràng ph i thay đ i x ho c y → phân tích (1) ( 1) ⇔ (x + y + 1)(2x − y + 4) = → Rút y theo x G i i √ Xét f(t) = 2t + t, t ≥ có f (t) = + √ > 0, ∀t > t Suy hàm s đ ng bi n [0; +∞) T (3) ta có f(3x − 1) = f(2x + 3) ⇔ 3x − = 2x − ⇔ x = 4; y = 12 V y h phương trình có nghi m ( g trình y3 + 3xy − 17x + 27 = x3 − 3x2 + 13y x , y ) (1) x2 + y2 + xy − 6y − 5x + 10 = = (2) Đ ( n h ; h n g ) + S xu t hi n c a xy hai phương trình làm m t s đ c l p c a hai n B i → t o n L G i y ( ) − i h p h n ( ) t a đ c y − 3y2 + 5y − = x3 + 2x (3) 0 + Ch n V P (3) hàm đ c trưng → Phân tích V T (3) = g3 (y) + 2g (y) Đ ng nh t h s → g(y) = y − Gi i H phương trình cho tương đương v i y3 − 13y + 3xy + 27 = x3 − 3x2 + 17x 3y2 − 18y + 3xy + 30 = −3x2 + 15x Tr theo v ta đư c y3 − 3y2 + 5y − = x3 + 2x ⇔ (y − 1)3 + (y − 1) = x3 + 2x (4) Xét f(t) = t3 + 2t, t ∈ R có f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R ⇒ Hàm s ĐB R T (4) ⇒ f(y − 1) = f(x) ⇔ x = y − ⇔ y = x + Thay vào (2) ta có x2 + (x + 1)2 + x (x + 1) − (x + 1) − 5x + 10 = x = 1; y = ⇔3x2 − 8x + = ⇒ x = ; y = V y h phương trình có nghi m (x, y) = (1; 2) , 5; 4.2.5 33 Phương pháp dùng b t đ ng th c V ý tư ng, dùng b t đ ng th c phương trình h phương trình tương t Nhưng nhi u h , vi c đánh giá n s ph c t p nhi u Bài toán 4.27 Gi i h phương trình x4 + y = x3 − 2x2 + 2x = y2 (1) (2) Gi i x4 + y = (x − 1) x2 − x + = y2 − + N u x > ⇒ (x − 1) x2 − x + > ⇒ y2 > H phương trình tương đương v i ⇒ y > ⇒ x4 + y > ⇒ H vô nghi m + N u < x < ⇒ (x − 1) x2 − x + < ⇒ y2 < 101 ⇒ y < ⇒ x4 + y < ⇒ H vô nghi m + N u x < ⇒ x3 − 2x2 + 2x < ⇒ y2 < 0: vô lý y4 = (vô nghi m) y2 = +T ix=0⇒ y4 = ⇒ y = ±1 y2 = V y h phương trình có nghi m (x, y) = {(1; 1) , (1; −1)} +T ix=1⇒ Bài toán 4.28 (Vô đ ch toán Bungari 1997) Gi i h phương trình   2x2 = y 2  x +1    2y2  y2 + = z  2z   2  z +1 =x Gi i + Ta th y x = y = z = nghi m c a h phương trình +N u x=0 y = ⇒ x, y, z > Khi nhân v c a h phương trình ta có z=0 8x2y2z2 (x + 1) (y2 + 1) (z2 + 1) = xyz ⇔ x + y2 + z2 + = 8xyz Áp d ng b t đ ng th c AM - GM ta có x2 + y2 + z2 + ≥ 2x.2y.2z = 8xyz (do x, y, z > 0) Đ ng th c x y ⇔ x = y = z = (th a mãn) V y h phương trình có nghi m (x, y, z) = {(0; 0; 0) , (1; 1; 1)} Bài toán 4.29 Gi i h phương trình √ x+ Gi i Đi u ki n ≤ x ≤ 32 C ng theo v ta đư c √4 32 − x + 6y = 24 √ x+ √ 32 − x + √4 x+ √4 32 − x = y2 − 6y + 21 (1) 102 y2 − 6y + 21 = (y − 3)2 + 12 ≥ 12 √ √ x + 32 − x ≤ (x + 32 − x) = √ √ √ √ √ x + 32 − x ≤ 2.8 = x + 32 − x ≤ √ T (∗), (∗∗) suy x + 32 − x + √x + 32 − x ≤ 12 √ √ Ta có (2) (∗) (∗∗) (3) K t h p (1), (2), (3) ta có đ ng th c x y ch √ x+ √ √4 32 − x + √4 x+ x = 16 y=3 32 − x = y2 − 6y + 21 = 12 ⇔ V y h phương trình có nghi m (x, y) = (16; 3) Bài toán 4.30 Gi i h phương trình   x + √ 2xy  x − 2x + 2xy  y2 − 2y + = x2 + y (1) = y2 + x (2)  y+ Đ nh hư ng Đây h phương trình đ i x ng lo i II n u làm theo cách thông thư ng s r t khó khăn có s xu t hi n c a b c ba + Đ ý r ng c ng hai v phương trình → VT xu t hi n 2xy → VP xu t hi n x2 + y2 + Do h phương trình đ i x ng lo i II → x = y T ta nghĩ t i vi c đánh giá 2xy x2 + y2 Gi i +N u x=0⇒y=0 + Xét x, y = C ng theo v (1) (2) ta đư c 2xy √3 x2 − 2x + + y2 − 2y + = x2 + y2 ⇒ xy > M t khác √3 x − 2x + = ≤√ =1 3 (x − 1)2 + = y2 − 2y + ⇒ x ≤√ =1 y       ⇒√  x − 2x +   + y2 − 2y + ≤1 √ ( y x2 − 2x +   − 1)2 + + y2 − 2y + ≤ 2xy ≤ x2 + y2 103 Đ ng th c x y ⇔ x = y = (th a mãn) V y h phương trình có nghi m (x, y) = {(0; 0) , (1; 1)} Bài toán 4.31 Gi i h phương trình √ √ + x2 + y + = x √ x + + y + = 13 (2) (1) Gi i Đi u ki n x ≥ 0; x2 + y + ≥ 0; y + ≥ T phương trình (2), s d ng b t đ ng th c Cauchy - Schawarz ta có √ 132 = x + + y+8 ≤ 13 (x + + y + 8) ⇒ x + y ≥ (3) T phương trình (1), bình phương hai v ta đươc x + y = − x2 − Đ ng th c t (3) (4) x y ⇔ x (x2 + y + 3) ⇒ x + y ≤ (4) x+y =1 √ √ x+4 = y+8 ⇔ V y h phương trình có nghi m (x, y) = (0; 1) 104 x = (th a mãn) y=1 K T LU N Ki n th c v phương trình h phương trình đ i s đư c r t nhi u ngư i nghiên c u sáng t o; toán liên quan đ n phương trình h phương trình r t đa d ng vô phong phú Lu n văn "Phương trình h phương trình đ i s " đ t đư c m t s k t qu sau: Trình bày m t cách h th ng phương pháp gi i t ng quát hóa m t s d ng v phương trình h phương trình đ i s Trình bày phương pháp gi i quy t toán v phương trình có ch a tham s ví d minh h a M t s hư ng phát tri n ti p theo: - Phương pháp sáng tác phương trình h phương trình - ng d ng phương pháp vào đ gi i phương trình, h phương trình nói chung M c dù r t c g ng, trình đ th i gian có h n, v y lu n văn không tránh kh i nh ng thi u sót Tác gi lu n văn mong mu n nh n đư c s góp ý c a th y cô b n đ ng nghi p đ lu n văn đư c hoàn ch nh 105 Tài li u tham kh o [1] H Văn Diên - Mai Văn Chinh,Chinh ph c phương trình, b t phương trình đ i s , Nhà xu t b n Đ i h c Qu c Gia Hà N i [2] Hoàng Kỳ (2001), Căn s toán vô t , Nhà xu t b n Giáo d c, Vi t Nam [3] Nguy n Vũ Lương - Ph m Văn Hùng - Nguy n Ng c Th ng, (2000),H phương trình phương trình vô t th c, NXB ĐHQG Hà N i [4] Nguy n Văn M u (2003), Phương pháp gi i phương trình b t phương trình, Nhà xu t b n Giáo d c, Vi t Nam [5] Nguy n Văn M u - Nguy n Văn Ti n (2009), M t s chuyên đ Đ i s b i dư ng h c sinh gi i THPT, Nhà xu t b n Giáo d c, Vi t Nam [6] T p chí toán h c tu i tr (2004), Tuy n t p 30 năm t p chí toán h c tu i tr , Nhà xu t b n Giáo d c, Vi t Nam [7] T ng t p đ thi Olympic 30 tháng l p 10, (2012), Nhà xu t b n ĐH Sư ph m Hà N i 106 ... h u t Trình bày ki n th c chu n b g m m t s cách gi i phương trình b c ba, m t vài t p phương trình b c cao m t s tính ch t c a hàm s Chương 2: Phương pháp gi i phương trình vô t Chương trình. .. hóa phương pháp gi i phương trình h phương trình đ i s , giúp nh n d ng toán, đ xu t phương pháp gi i ch n phương án t i ưu B n lu n văn đư c chia làm chương: Chương 1: Đ i cương v phương trình. .. √2 √ G v = n x é m t phương trình h qu nghi m c a phương trình (2.3) có th không th a mãn (2.1) nên đư c nghi m c a phương trình (2.3) ta ph i có bư c th l i vào phương trình cho t B 2i t o