Thiết kế trên máy tính Giáo trình, bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng ngành kỹ thuật

Thiết kế trên máy tính Giáo trình, bài giảng dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng ngành kỹ thuật là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ

-o0o -

BÀI GIẢNG

THIẾT KẾ TRÊN MÁY VI TÍNH

Bậc: Đại học – Ngành: Công nghệ kỹ thuật cơ khí

Nguyễn Quận (Chủ biên) – Trần Văn Thùy

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

LỜI NÓI ĐẦU v

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH 1

1.1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH 1

1.2 CÁC BÀI TOÁN TRONG KỸ THUẬT 2

1.2.1 Khái niệm chung 2

1.2.2 Một số ví dụ về các bài toán trong kỹ thuật 3

1.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) 4

1.3.1 Tổng Quan 4

1.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite elemetn method - FEM) 5

1.3.3 Các bước tổng quát trong FEM 6

1.3.4 Ứng dụng của FEM 13

1.3.5 Ưu điểm của FEM 16

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 16

1.5 CÂU HỎI ÔN TẬP 16

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG 17

2.1 GIỚI THIỆU 17

2.2 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN ĐỘ CỨNG 17

2.3 XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO PHẦN TỬ LÒ XO 18

2.4 LẮP GHÉP MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHO HỆ LÒ XO 24

2.4.1 Lắp ghép ma trận độ cứng bằng quan hệ lực-biến dạng, quan hệ tương thích, và sự cân bằng lực nút 24

2.4.2 Lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục bằng nguyên lý chồng chất 26

2.5 ĐIỀU KIỆN BIÊN 27

2.5.1 Điều kiện biên thuần nhất 28

2.5.2 Điều kiện biên không thuần nhất 29

2.6 MỘT SỐ VÍ DỤ 30

2.6.1 Ví dụ 1 30

2.6.2 Ví dụ 2 33

2.7 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 2 36

2.8 BÀI TẬP 37

Chương 3 BÀI TOÁN KHUNG GIÀN 39

3.1 GIỚI THIỆU 39

3.2 THIẾT LẬP MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ THANH TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỤC BỘ 39

3.3 VÍ DỤ BÀI TOÁN THANH 41

3.4 CHUYỂN VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ 2 CHIỀU 43

3.5 MA TRẬN ĐÔ CỨNG PHẦN TỬ TRONG HỆ TỌA ĐỘ TOÀN CỤC OXY 46

3.6 TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT PHẦN TỬ THANH TRONG MẶT PHẲNG OXY 51

3.7 CÁCH GIẢI GIÀN PHẲNG BẰNG FEM 52

3.8 PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ THANH 56

3.9 PHƯƠNG PHÁP GALERKIN TRONG XÂY DỰNG PHẦN TỬ THANH 65

3.10 TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 3 68

3.11 BÀI TẬP 69

Chương 4 BÀI TOÁN DẦM 72

4.1 GIỚI THIỆU 72

4.2 MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM 72

4.2.1 Ma trận độ cứng phần tử dầm theo lý thuyết Euler-Bernoulli 74

4.2.2 Ma trận độ cứng theo lý thuyết Timoshenko 80

4.3 VÍ DỤ LẮP GHÉP MA TRÂN ĐỘ CỨNG CỦA DẦM 81

4.4 GIẢI BÀI TOÁN DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG TRỰC TIẾP 83

4.5 NGOẠI LỰC PHÂN BỐ 86

4.5.1 Phương pháp công tương đương (Work-equavalence method) 87

4.5.2 Ví dụ về thay thế lực phân bố 87

4.5.3 Công thức tổng quát cho lực phân bố 89

4.6 PHẦN TỬ DẦM VỚI KHỚP XOAY BÊN TRONG 94

4.7 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ NĂNG 97

4.8 TÓM TẮT CÔNG THỨC 100

4.9 BÀI TẬP 101

Chương 5 PHẦN MỀM RDM 104

5.1 GIỚI THIỆU VỀ RDM 104

5.2 MÔĐUN FLEXION 104

5.2.1 Một số qui ước 104

5.2.2 Ứng Dụng 105

5.2.3 Các nguyên tác mô hình hóa 105

5.2.4 Thực đơn chính của RDM – FLEXION 106

5.2.5 Ví dụ 111

5.3 MÔĐUN OSSATURES 116

5.3.1 Giới thiệu 116

5.3.2 Phân loại hệ thang 116

5.3.3 Nguyên tắc mô hình hóa 117

5.3.4 Hệ tọa độ cục bộ 119

5.3.5 Thực đơn chính của RDM - OSSATURES 119

5.3.6 Ví dụ 128

5.4 MÔĐUN ELEMENTS FINIS 136

5.4.1 Ví dụ 136

5.5 TỔNG KẾT CƯƠNG 5 143

5.6 BÀI TẬP 143

TÀI LIỆU THAM KHẢO 144

LỜI NÓI ĐẦU

Trong thời đại hiện nay, với sự phát triển của khoa học máy tính, hầu hết các vấn đề trong cuộc sống của chúng được giải quyết dưới sự trợ giúp của máy tính Trong đó, giải quyết những vấn đề cơ khí cũng không ngoại lệ Điều này được thể hiện rất rõ với sự hiện diện một số lượng lớn phần mềm hỗ trợ trong thiết kế, tính toán, và chế tạo trong kỹ thuật Ví dụ như: các phần mềm AutoCad, Inventor,

và Solid Edge… giúp chúng ta vẽ những bản vẽ kỹ thuật nhanh chóng và chính xác trong thiết kế; các phần mềm Maltab, Ansys, Comsol, và Sap… giúp kĩ sư thiết kế phân tích và tối ưu thiết kế của mình; và các phần mềm Pro Creo, Uni Graphic, MasterCAM… hỗ trợ lập trình công nghệ gia công tự động và chính xác Với sự trợ giúp của máy tính trong thiết kế và tính toán trong cuộc sống nói chung và trong ngành cơ khí chế tạo nói riêng, thời gian và chi phí thiết kế và sản xuất sản phẩm liên quan giảm đáng kể, đồng thời chất lượng của chi tiết cũng được nâng cao

Học phần “Thiết kế trên máy vi tính” là học phần khối kiến thức cơ sở, học phần này trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về thiết kế và tính toán trên máy vi tính

Cụ thể, học phần sẽ giới thiệu về tổng quan về thiết kế trên máy vi tính, phương pháp phần tữ hữu hạn: ưu điểm, phạm vi ứng dụng và cơ sở lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn Sau đó, sinh viên sẽ được giới thiệu và hướng dẫn

sử dụng phầm mềm tính toán RDM để giải quyết một số bài toán trong ngành cơ khí

Quảng Ngãi, 12/2016 Nhóm biên soạn

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TRÊN MÁY TÍNH

NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG

Tổng quan về thiết kế và tính toán trên máy vi tính

Khái niệm về thiết kế trên máy vi tính và tính toán trên máy vi tính

Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn

Các bước thực hiện trên phương pháp phần tử hữu hạn

Giới thiệu ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn

Thiết kế trên máy tính là một khoa học sử dụng máy tính để giải quyết một

số công việc trong quá trình tính toán, thiết kế sản phẩm Cụ thể hơn, thiết kế trên máy vi tính là việc sử dụng các thiết bị phần cứng như máy vi tính, máy in, máy scan… và phần mềm thích hợp như: Ansys, Comsol, Maltab… trong thiết kế và tính toán sản phẩm

Ngày nay, với sự phát triển vượt bậc và phổ biến của các máy tính và hệ thống máy tính tốc độ cao, những bài toán từ đơn giản như: các phép cộng, trừ, nhân, chia… đến các bài toán phức tạp như: dự báo thời tiết, tính toán dân số…,

đã có thể giải bởi những máy tính và hệ thống máy tính tốc độ cao này Trong đó, hầu hết những vấn đề (bài toán) trong ngành cơ khí được giải quyết bằng sự trở

giúp của máy tính trong thời đại hiện nay Như một kết quả, cụm từ CA (Computer

Aided: Trợ giúp bằng máy tính) trở thành thuật ngữ quên thuộc trong lĩnh vực tin học ứng dụng Trong ngành cơ khí, cụm từ CA thường được biết đến với những thuật ngữ sau:

CAD (Computer Aided Design): Thiết kế với sự trợ giúp của máy tính CAM (Computer Aided Manufacturing): Sản xuất với sự trợ giúp của máy

CAPP (Computer Aided Process planning): Lập qui trình chế tạo

Với sự trợ giúp của máy tính, qui trình sản xuất được cải tiến rõ rệt như: cho phép rút ngắn qui trình thiết kế và chế tạo; có khả năng thích ứng linh hoạt với

sự thay đổi mẫu mã và chủng loại sản phẩm; cho phép thiết kế và chế tạo những sản phẩm công nghiệp phức tạp nhất với tính năng tối ưu nhất…

CAD/CAM không chỉ là cơ sở dữ liệu để thực hiện phân tích kỹ thuật, lập qui trình chế tạo, gia công điều khiển số mà còn là dữ liệu để điều khiển thiết bị sản suất điều khiển số (CNC) như: các loại máy công cụ, máy gia công, người máy/tay máy công nghiệp và các thiết bị phụ trợ khác Dữ liệu từ quá trình CAD

là cơ sở để hoạch định sản xuất và điều khiển quá trình kiểm soát chất lượng sản phẩm CAD được biết đến với những phần mềm thiết kế thông dụng như: AutoCAD, Solid Edge, Solid Work, Inventor… Trong đó, các sinh viên ngành Kỹ thuật cơ khí trường đại học Phạm Văn Đồng đã tiếp cận với phần mềm AutoCAD thông qua môn học AutoCAD Đối với CAM, những phần mềm thông dụng như: MasterCAM, Emco, Pro Creo, SSCNC… cũng được giới thiệu cho sinh viên ngành này thông qua môn học Công nghệ CAD/CAM/CNC

Trong môn học này, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách khái quát đến sinh viên ngành Kỹ thuật cơ khí tại trường ĐH Phạm Văn Đồng về CAE, cơ sở lý thuyết phần tử hữu hạn được sử dụng trong các phần mềm CAE Từ đó, chúng tôi cũng giới thiệu và hướng đẫn sinh viên phần mềm RDM để tính toán một số bài toán thanh đầm trong cơ khí

1.2.1 Khái niệm chung

Bài toán kỹ thuật là một mô hình toán học: khi xây dựng mô hình toán học cho kết cấu thực tế thường nhận được một hay hệ phương trình vi phân và được ràng buộc bởi các điều kiện biên

Trong một bài toán kỹ thuật có hai tập hợp các thông số ảnh hưởng đến hệ thống: thứ nhất là thông số đặc trưng cho hệ thống, và thứ hai là thông số tác động vào hệ thống

1.2.2 Một số ví dụ về các bài toán trong kỹ thuật

Bài toán cơ học vật rắn

Bài toán hệ thanh

Bài toán cơ lưu chất

Hình 1.1 Sơ đồ nguyên lý tính toán

Từ sơ đồ này, chúng ta thấy rằng để giải một mô hình thực tế, chúng ta cần phải xây dựng mô hình toán học thông qua mô hình vật lý của mô hình thực tế dựa trên các định luật vật lý và những nguyên lý về năng lượng Mô hình toán học thường ở dạng các phương trình vi phân và tích phân Để giải những mô hình toán học này, hai phương pháp gồm phương pháp giải tích và phương pháp số được sử dụng

Mô hình

Thực tế

Mô hình Vật lý

Mô hình Toán học Kết quả

Định luật vật lý Nguyên lý năng lượng

Phương pháp giải tích

Phương pháp số

Phương pháp giải tích cho lời giải được thể hiện bởi những biểu thức (phương trình) toán học Vì vậy, phương pháp giải tích tạo ra những giá trị của những đại lượng cần tìm chính xác tại bất kì vị trí nào trong miền tính toán Tuy nhiên, mô hình toán học của những vấn đề thực tế rất phức tạp do tính phức tạp của miền tính toán, tải trọng, đặc tính vật liệu Do vậy, phương pháp giải tích không thể thực hiện trong những vấn đề này Khi đó, chúng ta cần phải dựa vào những phương pháp số Nhược điểm của phương pháp số đó là kết quả không chính xác (tồn tại sai số) và kết quả chỉ đạt được trên các điểm rời rác trong miền tính toán Tuy nhiên, nó có thể giải quyết được những vấn đề rất phức tạp tồn tại trong thực tế Do vậy, ngày nay phương pháp số được sử dụng rộng rãi để giải quyết các vấn đề vật lý nói chung cũng như những vấn đề trong ngành kỹ thuật nói riêng

Một số phương pháp số được sử dụng rộng rãi như:

+ Phương pháp phần tử biên (finite boundary method)

+ Phương pháp sai phân hữu hạn (finite differential method)

+ Phương pháp thể tích hữu hạn (finite volume method)

+ Phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method)

1.3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite elemetn method - FEM)

Trong những phương pháp số, FEM là công cụ số rất mạnh Nó có thể giải được hầu hết các bài toán trong kỹ thuật như: phân tích cấu trúc (structural analysis), truyền nhiệt (heat transfer), cơ chất lỏng (fluid flow), truyền chất (mass transport), thế năng điện từ (electromagnetic potential)

FEM tạo ra những giá trị xấp xỉ của những đại lượng cần tìm tại một số các điểm rời rạc trong miền tính toán Do vậy, trong quá trình mô hình hóa, một miền tính toán được chia thành một hệ thống những miền nhỏ tương đương như Hình 1.2 Những miền nhỏ tương đương này được liên kết với nhau tại những điểm chung của hai hay nhiều phần tử và/hoặc những đường biên và/hoặc những bề mặt Quá trình chia nhỏ này được gọi là “rời rạc hóa (discretization)” và những miền nhỏ tương đượng gọi là “phần từ (element)” Những điểm liên kết giữa các phần

từ gọi là “điểm nút (nodal points)” hay “nút (nodes)”

Hình 1.2 Rời rạc miền tính toán

Trong FEM, thay vì tìm lời giải trên toàn miền tính toán, chúng ta sẽ xây dựng những phương trình cho mỗi phần tử và kết hợp những phương trình này lại

để đạt được lời giải của toàn miền tính toán

Một cách ngắn gọn, lời giải của những vấn đề kết cấu là việc xác định những chuyển vị tại mỗi nút và ứng suất bên trong mỗi phần tử dưới tác dụng của tải trọng Trong những vấn đề phi kết cấu, những đại lượng chưa biết tại các nút cần tìm có thể là nhiệt độ (temperature), áp suất chất lỏng (fluid pressure), thông tượng nhiệt (heat flux) hoặc lưu lượng (fluid flux)

Trong tài liệu này, lý thuyết về FEM đa phần được trích dẫn từ cuốn sách

“The first course in the Finite Element Method” của Dary [1] Các bạn cũng có thể tham khảo tài liệu về FEM của PGS TS Nguyễn Hoài Sơn [2, 3]

1.3.3 Các bước tổng quát trong FEM

Trong phần này, chúng tôi xin trình này những bước tổng quát liên quan đến lập công thức và lời giải của FEM trong những vấn đề kỹ thuật Chúng tôi sử dụng những bước này để phát triển lời giải của FEM cho những bài toán trong môn học này gồm: bài toán lò xo, bài toán thanh kéo nén, và bài toán dầm

Để dễ hiểu, chúng tôi sẽ sử dụng bài toán kết cấu để trình diễn những bước trong FEM Điển hình như vấn đề phân tích ứng suất trong kết cấu, người kỹ sư cần xác định chuyển vị và ứng suất trong kết cấu ở trạng thái cân bằng khi chịu tải trọng Đối với nhiều cấu trúc, khó để xác định sự phân bố biến dạng bằng những phương pháp truyền thống Vì vậy, FEM là cần thiết được sử dụng trong trường hợp này

Có hai cách tiếp cận liên quan đến FEM khi áp dụng cho những vấn đề cơ kết cấu (structural mechanics problem) Cách tiếp cận thứ nhất, được gọi là phương pháp lực (force method) hay phương pháp đàn hồi (flexibility method), sử dụng lực bên trong như những đại lượng chưa biết của vấn đề Để đạt được phương trình chủ đạo (governing equations), phương trình cân bằng (equilibrium equations) được sử dụng trước Những phương trình cần thiết thêm vào được tìm ra bằng cách xem xét những phương trình tương thích (coimpatibility equations) Kết quả là một

hệ phương trình cho việc xác định những phản lực và lực chưa biết

Cách tiếp cận thứ hai, gọi là phương pháp chuyển vị (displacement method) hay phương pháp độ cứng (stiffness method), giả sử chuyển vị ở các nút là những đại lượng chưa biết của vấn đề Trong cách tiếp cận này yêu cầu những phần tử được liên kết tại những nút chung, dọc trên cạnh chung, hoặc nằm trên bề mặt chung, phải được giữ liên kết này trước và sau khi biến dạng Nói một cách khác, điều kiện tương thích phải được thỏa mãn ngay từ đầu trong cách tiếp cận này Sau

đó, phương trình chủ đạo được sử dụng để diễn tả trong những đại lượng chuyển

vị nút Việc diễn tả này sử dụng phương trình cân bằng và một số qui luật liên quan giữa lực và chuyển vị

Hai cách tiếp cận này cho ra kết quả của những đại lượng chưa biết khác nhau Trong cách tiếp cận một, đại lượng chưa biết là lực bên trong kết cấu và trong cách tiếp cận thứ hai đó là chuyển vị tại các nút phần tử Nhiều nghiên cứu

đã chứng minh rằng, đối với mục đích tính toán, phương pháp chuyển vị mong đợi nhiều hơn vì công thức của nó đơn giản trong hầu hết các vấn đề phân tích kết cấu

Do đó, hầu hết các chương trình (phần mềm) như COMSOL, ANSYS, ABACUS… đã xây dựng dựa trên phương pháp chuyển vị để giải những vấn đề phân tích kết cấu Vì vậy, trong tài liệu này, chúng tôi chỉ giới thiệu FEM theo phương pháp chuyển vị

Bên cạnh hai phương pháp trên, một phương pháp khác được sử dụng để thiết lập công thức FEM cho cả những vấn đề cấu trúc và không cấu trúc Đó là phương pháp biến phân (variational method) Phương pháp này cũng sẽ được giới

thiệu một các ngắn gọn trong tài liệu này để giải quyết những bài toán lực mặt và lực khối trong các vấn đề kết cấu cơ khí ở Chương 3

Trong một cách tổng quát, FEM liên quan đến mô hình hóa kết cấu bằng việc sử dụng những phần tử được liên kết bên trong với nhau, được gọi là phần tử hữu hạn (finite element) Một hàm chuyển vị liên quan đến mỗi phần tử Mỗi phần

tử được liên kết bên trong này liên kết trực tiếp hoặc gián tiếp đến những phần tử khác thông qua những phân giới chung bao gồm những nút, đường biên, hoặc mặt biên Bằng cách sử dụng những đặc tính biến dạng-ứng suất đã biết đối với vật liệu của kết cấu, chúng ta có thể xác định đặc tính của một nút trong mối quan hệ với tính chất của phần tử trong cấu trúc Hệ phương trình toàn cục mô tả đặc tính của mỗi nút là kết quả trong một hệ phương trình đại số (set of algegraic equation) Hệ phương trình đại số này thường được diễn tả trong dạng ma trận

Từ những nội dụng trình bày ở trên, sau đây chúng tôi trình bày những bước trong xây dựng công thức và giải quyết một vấn đề kết cấu bằng phương pháp phần

tử hữu hạn như sau:

Bước 1: Chọn phần tử và rời rạc miền tính toán

Bước này liên quan đến việc chia nhỏ miền tính toán thành một hệ phần tử tương đương với số lượng hữu hạn Loại phần tử phải được chọn sao cho hợp lý cho từng vấn đề cụ thể Tổng số phần tử được sử dụng và sự biến đổi của chúng trong kích thước và loại phần tử là những vấn đề lớn trong trong phân tích kĩ thuật bằng FEM Phần tử phải đủ nhỏ để cho kết quả đủ chính xác và không quá lớn đủ

để giảm chi phí tính toán Nói chúng, những phần tử nhỏ được sử dụng ở những vị trí mà kết quả thay đổi nhanh, ví dụ như tại nơi hình học của miền tính toán thay đổi, phần tử có kích thước lớn có thể sử dụng ở những vị trí mà kết quả thay đổi

ít

Chọn loại phần tử sử dụng trong FEM phụ thuộc vào tính chất vật lý và phải phù hợp với vấn đề đang xem xét Những loại phần tử thông dụng được sử dụng trong FEM được thể hiện ở Hình 1.3 Chúng bao gồm phần tử 1 chiều, 2 chiều, và

3 chiều với loại tuyến tính và loại bậc cao

(a) Phần tử thanh 1 chiều: phần tử tuyến tính 2 nút (hình trái) và phần tử bậc cao 3 nút

(hình phải)

(b) Các loại phần tử hai chiều (thường sử dụng trong những vấn đề phân tích kết cấu 2 chiều: bài toán biến dạng phẳng và bài toán ứng suất phẳng): phần tử tam giác

(triangulars) và phần tử tứ giác (quadrilaterals)

(c) Phần tử ba chiều (thường sử dụng trong các bái toán phân tứ ứng suất không gian 3 chiều) gồm: Phần tử tứ diện (Tetrahedral), Phần tử lục diện đều (regular hexahedral), và

phần tử lục diện không đều (irregular hexahedral)

(d) Phần tử đối xứng trục được sử dụng trong những vấn đề đối xứng trục

Hình 1.3 Những loại phần tử khác nhau từ phần tử bậc thấp nhất với nút ở góc đến

những phần tử bậc cao với những nút ở góc và bên trong

tử 2 chiều, hàm chuyển vị là hàm của hệ tọa độ trong mặt phẳng của nó (thường là

mặt x-y) Những hàm này được mô tả trong những đại lượng chưa biết tại nút phần

tử Hàm chuyển vị tổng quát giống nhau có thể được sử dụng lặp đi lặp lại cho mỗi phần tử FEM là một phương pháp mà trong phương pháp này, một đại lượng liên tục, như là đại lượng chuyển vị trong miền tính toán, được xấp xỉ bởi một mô hình rời rạc được kết hợp bởi một hệ các hàm liên tục từng đoạn (picewise-continuous functions) Hệ hàm liên tục từng đoạn này được định nghĩa bên trong mỗi phần tử hoặc một số hữu hạn phần tử

Bước 3: Định nghĩa mối quan hệ biến dạng-chuyển vị và ứng suất-biến dạng

Những quan hệ biến dạng-chuyển vị và ứng suất-biến dạng là cần thiết để xây dựng phương trình cho mỗi phần tử Trong trường hợp biến dạng 1 chiều,

chẳng hạn biến dạng trong hướng x, chúng ta có mối quan hệ ứng suất-chuyển vị

trong trường hợp biến dạng nhỏ như sau:

x

du dx

Hơn nữa, ứng suất liên quan đến biến dạng thông qua qui luật ứng suất-biến dạng, hay gọi là qui luật cấu thành (constitutive law) Quan hệ ứng suất-biến dạng đơn giản nhất là qui luật Hook được cho như sau:

x E x

trong đó, x là ứng suất trong hướng x và E là modul đàn hồi

Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử (Element Stiffness Matrix) và phương trình phần tử (Element Equation)

Việc xây dựng ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử được xây dựng bằng nhiều cách khác nhau như:

Phương pháp độ cứng trực tiếp (hay phương pháp cân bằng trực tiếp): trong

phương pháp này, ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử liên quan giữa lực nút và chuyển vị nút được thiết lập thông qua việc sử dụng những điều kiện cân bằng cho một phần tử cơ bản Phương pháp này rất phù hợp cho những phần

tử thanh 1 chiều Phương pháp này sẽ được trình bày chi tiết trong những chương tiếp theo

Phương pháp năng lượng hoặc công (Work and Engergy Methods): trong

phương pháp này, ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử được xây dựng dựa trên nguyên lý công ảo (the principle of virtual work), nguyên lý cực tiểu hóa năng lượng thế năng (the principl of minimum potential engergy), hay lý thuyết Castigliano…

Phương pháp dư thừa trọng số (Methods of Weighted Residuals): những phương

pháp này rất hữu ích trong việc pháp triển những phương trình phần tử, đặc biệt, thông dụng là phương pháp Galerkin Điểm mạnh của phương pháp dư thừa trọng

số là cho phép FEM được ứng dụng trực tiếp đến bất kỳ phương trình vi phân nào

Sử dụng một trong những phương pháp được liệt kê ở trên, phương trình phần tử mô tả đặc tính của một phần tử có thể đạt được Những phương trình này được viết ở dạng ma trân như sau:

trong đó, {f}tơ là véc tơ lực nút, [k] là ma trận độ cứng phần tử, và {d} là véc tơ

chuyển vị nút chưa biết hay còn gọi là bậc tự do chưa xác định (unknown degrees

of freedom) Ở đây, đối với một vấn đề cơ học kết cấu nào đó, véc tơ chuyển vị bao gồm những đại lượng cần xác định như: chuyển vị, độ võng và góc xoay…

Bước 5: Lắp ghép ma trận phần tử thành ma trận toàn cục và đưa vào những điều kiện biên

Trong bước này, những phương trình phần tử độc lập được tạo ra trong Bước 4 được lắp ghép vào trong phương trình toàn cục tương đương Việc lắp ghép này thường được thực hiện dựa vào nguyên lý chồng chất hay còn gọi là nguyên

lý cộng dồn Ma trận toàn cục sau khi được lắp ghép có dạng ma trận như sau:

những điều kiện biên của vấn đề), ma trận [K] bị suy biến vì định thức của nó bằng

không Để loại bỏ vấn đề suy biến này, chúng ta phải “khẩn cầu” những điều kiện biên nào đó (hoặc những ràng buộc hoặc những liên kết ngoài) Khi đó, phải chú

ý rằng, việc “khẩn cầu” các điều kiện biên của kết cấu sẽ dẫn đến sử thay đổi trong phương trình toàn cục (1.5) Chúng tôi cũng nhấn mạnh rằng những lực tải trọng

đã biết áp trên kết cấu cũng đã được đưa vào trong véc tơ tải toàn cục {F}

Bước 6: Giải và tìm giá trị cho những bậc tự do chưa biết trong trong véc tơ chuyển vị {d}

Hệ phương trình (1.5), đã hiệu chỉnh khi đưa các điều kiện biên vào, là một

hệ phương trình đại số có dạng như sau:

Ở đây, n là tổng số bậc tự do nút chưa biết Hệ phương trình này có thể giải

bằng những phương pháp chính xác như: phương pháp lược bỏ (ví dụ như: phương pháp Gauss) hoặc những phương pháp lặp (phương pháp gần đúng, ví dụ như: phương pháp Gauss-Seidel, Phương pháp Newton-Raphson)

Bước 7: Xác định các đại lượng khác trong phần tử

Đối với vấn đề phân tích ứng suất của kết cấu, đại lượng quan trọng thứ hai sau chuyển vị là ứng suất và biến dạng Những đại lượng này trong phần tử có thể đạt được bằng cách sử dụng những biểu thức mối quan hệ biến dạng-chuyển vị và

ứng suất-biến dạng được định nghĩa trong Bước 3 và giá trị chuyển vị được xác định trong Bước 6

Bước 8: Điều tra kết quả

Mục tiêu trong phân tích kết cấu là xem xét, điều ra quá trình ứng xử của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng Vì vậy, dựa vào kết quả từ Bước 6 và Bước 7, chúng ta có thể xác định được vị trí trong kết cấu nơi xuất hiện biến dạng và ứng xuất lớn nhất Việc xác định này là rất quan trọng để đưa ra những quyết định trong phân tích và thiết kế

Bên cạnh đó, những chương trình được xây dựng trên FEM sẽ thể hiện những kết quả này ở dạng đồ họa trực quan Việc này rất hữu ích cho chúng ta trong việc điều ra và phân tích kết quả

1.3.4 Ứng dụng của FEM

FEM có thể được sử dụng để phân tích cả những vấn đề cấu trúc và phi cấu trúc

Những lĩnh vực trong cơ kết cấu như:

 Phân tích ứng suất trên những vấn đề khung dầm như: cầu, khung nhà cao tầng, các tòa tháp…

 Phân tích các hệ thanh như cột, khung, giàn

 Phân tích dao động

 Những vấn đề liên quan đến va đập như: phân tích tai nạn oto, các vật thể va vào nhau…

Những vấn đề phi cấu trúc như:

 Truyền nhiệt như: chip điện tử, động cơ, cánh tản nhiệt…

 Cơ chất lỏng như: động lực học xe, chuyển động dòng chảy, sự tự đối lưu…

 Phân bố trường điện từ như: anten, transistor…

Một số vấn đề kỹ thuật cơ sinh học cũng được giải quyết bằng FM như: phân tích cột sống, hộp sọ, khớp hông, cấy ghép răng, xương hàm tim và mắt…

Một số mô hình phần tử sử dụng FEM được thể hiện trong Hình 4

(a) Mô hình tháp bằng kết cấu khung

(b) Mô hình phần tử 2D ở đầu cuối của pistion thủy lực

(c) Mô hình phần tử 3D của một cơ cấu cơ khí

(d) Mô hình phần tử 3D của xương khung chậu

Hình 1.4 Các mô hình tính toán bằng FEM

1.3.5 Ưu điểm của FEM

Như đã đề cập trên, FEM được ứng dụng trong một số lượng lớn những vấn

đề cả cấu trúc và phi cấu trúc là do phương pháp này có một số ưu điểm như sau:

 Có thể mô hình dễ dàng những vấn đề có biên dạng phức tạp

 Thực hiện những điều kiện tải trọng không khó khăn

 Mô hình được nhiều miền tính toán kết hợp nhiều loại vật liệu khác nhau

 Thay đổi kích thước phần tử dễ dàng

 Có thể ứng dụng cho những vấn đề phi tuyến do biến dạng lớn và vật liệu phi tuyến

Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu một cách khác quát về thiết kế

và tính toán trên máy vi tính bao gồm những khái niệm, sức mạnh và ưu điểm của việc thiết kế, tính toán, và phân tích những vấn đề vật lý nhờ vào máy tính

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày sơ lượt về FEM Phương pháp được

sử rộng rãi trong các phần mềm phân tích tính toán CAE Chúng tôi cũng trình bày

8 bước cơ bản trong phân tích FEM Hơn nữa, những ứng dụng và ưu điểm của FEM cũng được trình bày trong chương này

1 FEM là phương pháp gì? Dùng để làm gì?

2 Nghĩa của từ “rời rạc hóa” trong FEM?

3 Liệt kê và trình bày ngắn ngọn những bước (thực hiện) trong FEM?

4 Liệt kê những loại phần tử?

5 Bật tự do (degree of freedom) để chỉ cho cái gì trong phân tích kết cấu?

6 Chỉ ra một số lĩnh vực mà FEM được áp dụng

7 Liệt kê 4 ưu điểm của FEM?

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG

NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHƯƠNG

Định nghĩa ma trận độ cứng

Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử lo xo

Trình bày cách lắp ghép ma trân độ cứng phần tử vào ma trận độ cứng toàn cục

Mô tả và trình bày những loại khác nhau của điều kiện biên liên quan đến

hệ lò xo

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về phương pháp độ cứng (stiffness method) trong xây dựng FEM Bài toán lò xo tuyến tính được đưa ra bởi vì tính đơn giản của nó để mô tả những khái niệm cơ bản này Chúng tôi bắt đầu với những định nghĩa chung của ma trận độ cứng và sau đó xem xét việc xây dựng ma trận độ cứng cho phân tử lò xo biến dạng tuyến tính Kế tiếp, chúng tôi trình bày cách lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục cho một hệ lò xo sử dụng những khái niệm cơ bản về cân bằng (equilibrium) và tương thích (compability) Chúng tôi cũng trình bày cách lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục

từ các ma trận độ cứng phần tử lò xo dựa trên nguyên lý chồng chất

Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày cách áp đặt các điều kiện biên cho cả điều kiện biên thuần nhất (homogeneous) và điều kiện biên không thuần nhất (nonhomogeneous) Lời giải bao gồm chuyển vị nút và phản lực cũng được thể hiện trong chương này

trong đó, [k] liên kết véc tơ chuyển vị nút {d} với véc tơ tải {f} của một phần tử, ví

dụ như lò xo trong Hình 2.1a

Hình 2.1 Phần từ một lò xo (a), hệ ba lò xo (b)

Đối với một môi trường liên tục hoặc môi trường kết cấu bao gồm một

chuỗi các phần tử, như hệ lò xo trong Hình 2.1b, ma trận độ cứng [K] liên kết véc

tơ chuyển vị trong hệ tọa độ toàn cục (x, y, z) với véc tơ tải trọng toàn cục {F}

trong toàn miền tính toán để:

Hình 2.2 Phần từ lo xo tuyến tính với những qui ước lực và chuyển vị dương

Xem xét một phần tử lò xo như Hình 2.2 Những điểm tham chiếu 1 và 2 được đặt ở hai điểm cuối của lò xo Những điểm tham chiếu này được gọi là nút

của phần tử lò xo Lực nút cục bộ f 1x và f 2x của lò xo nằm trong hệ tọa độ cục bộ x Chuyển vị nút cục bộ của lò xo là u 1 và u 2 Những chuyển vị nút này được gọi là

bậc tự do của mỗi nút Chiều dương của lực và chuyển vị lại mỗi điểm nút được

xác định theo chiều dương của x Kí hiệu k được gọi là hệ số lò xo (spring constant)

hoặc độ cứng của lò xo (spring stiffness)

Chúng ta muốn phát triển mối quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút của phần tử lò xo Mối quan hệ này sẽ là ma trận độ cứng Do vậy, chúng ta muốn mối liên quan giữa véc tơ tải nút và véc tơ chuyển vị nút như sau:

trong đó, những phần tử trong ma trận [k] của phương trình (2.3) là cần xác định

Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng những bước tổng quát như trình bày

ở Chương 1 trong việc xây dựng và giải bài toán bằng FEM

Bước 1: Chọn loại phần tử

Đối với vấn đề này, phần tử được chọn là phần tử lò xo tuyến tính Phần tử

lò xo này chịu một lực kéo T và di chuyển theo hướng x dọc trục lò xo, như Hình 2.3, đến khi cân bằng Chiều dương của hệ tọa độ cục bộ x hướng từ nút 1 đến nút

2 Chiều dài gốc (chưa tác dụng lực) của lò xo là L và đặc tính vật liệu (hệ số lò xò) của lò xo là k

Hình 2.3 Lò xo tuyến tính chịu một lực kéo T

Bước 2: Chọn hàm chuyển vị

Trong bước tiếp theo, chúng ta phải chọn một hàm toán học để trình diễn dạng biến dạng của phần tử lò xo dưới tải tác dụng Bởi vì rất khó để đạt được lời giải chính xác, chúng ta giả sử rằng dạng lời giải hoặc sự phân bố chuyển vị bên trong phần tử lò xo bằng cách sử dụng một hàm toán học Hàm thông dụng nhất là hàm đa thức

Bởi vì phần tử lò xo có những bậc tự do nút cục bộ là chuyển vị u 1 và u 2 dọc theo trục x, chúng ta chọn hàm chuyển vị u để trình diễn chuyển vị theo hướng

trục trong toàn phần tử lò xo Ở đây, sự biến đổi chuyển vị tuyến tính dọc theo trục

x của lò xo được giả sử Do hàm tuyến tính đi qua hai điểm cho trước là duy nhất

hệ giữa chuyển vị nút và lực tải nút trong Bước 4 Việc biểu diễn u theo u 1 và u 2

có thể đạt được thông qua việc giải các hệ số a 1 và a 2 trong phương trình (2.5) như sau:

1 1 x and N 2 x

N

Các biểu thức trong phương trình (2.12) được gọi là “hàm dạng (shape

function)”, bởi vì N i mô tả dạng của hàm chuyển vị được giả định trên toàn miền của phần tử lò xo Chúng ta thấy rằng một tính chất đặc biệt của hàm dạng này đó

là: ở bậc tự do thứ i của phần tử, hàm dạng có giá trị là một đơn vị và tất cả các bật

tự do khác của phần tử đó, hàm dạng bằng không Điều này được thể hiện trong Hình 2.4

Hình 2.4 Hàm chuyển vị u (b) của phần tử

lò xo (a), giá trị hàm dạng N 1 (c) và N 2 (d)

Trong trường hợp này, N 1 và N 2 là những hàm (dạng) tuyến tính Chúng có

đặc tính là N 1 =1 tại nút 1 và N 1 = 0 tại nút 2, trong khi, N 2 =1 tại nút 2 và N 2 =0 tại

nút 1 Hình 2.4(c) và (d) mô tả hàm dạng trên toàn miền của phần tử lò xo (Hình 2.4(a)) Ta thấy rằng, N 1 +N 2 = 1 tại bất kỳ vì trí nào dọc theo trục x trong miền

của lò xo Bên cạnh đó, những hàm dạng N i thường được gọi là hàm nội suy (interpolation function), bởi vì chúng ta sử dụng những hàm dạng này để nội suy tìm giá trị của một hàm nào đó giữa những giá trị đã cho tại các nút Về mặt lý thuyết, hàm nội suy có thể khác với hàm thực thế, nhưng hàm nội suy và hàm thực

tế phải bằng nhau về giá trị tại những nút đã cho Điều này nói lên tính xấp xỉ

“approximation” trong FEM cũng như một số phương pháp số khác, cái mà lời giải của những phương pháp này luôn luôn có sai số so với kết quả thực tế (chính xác)

Bước 3: Định nghĩa mối quan hệ biến dạng – chuyển vị và ứng suất – biến dạng trong phần từ xo lo

Lực kéo T sinh ra sự biến dạng dài  của lò xo Sự dãn dài (toàn phần) của

lò xo dưới tác dụng của ngoại lực kéo T được thể hiện ở Hình 2.5

Hình 2.5 Biến dạng của lò xo

Ở đây, u 1 có giá trị âm bởi vì chiều chuyển vị ngược chiều với chiều dương

của trục x, trong khi u 2 có giá trị dương Như vậy, biến dạng của lò xo được mô tả

Từ phương trình (2.13), chúng ta thấy rằng tổng biến dạng của lò xo khác

với chuyển vị ở các nút trong phương x

Đối với lò xo, chúng ta có thể đưa ra mối quan hệ giữa lực (trong hướng lò xo) và biến dạng Do vậy, mối quan hệ biến dạng – chuyển vị không cần thiết trong trường hợp này Hơn nữa, mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng có thể được mô

tả trong mối quan hệ giữa lực – biến dạng như sau:

Từ phương trình (2.13) và (2.14), chúng ta được mối quan hệ sau:

 2 1

Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử và phương trình phần tử

Dựa trên qui ước về dấu cho lực tại các nút và trạng thái cân bằng, (xem Hình 2.2 và Hình 2.3), chúng ta có:

1x

Sử dụng phương trình (2.15) và (2.16), chúng ta thu được phương trình sau:

T f k u u

T f k u u

Lượt bỏ T, khai triển, và sắp xếp lại các số hạn (các vế) trong phương trình

(2.17), dạng ma trận của nó được viết như sau:

x x

Mối quan hệ này thỏa mãn cho lo xò theo hướng dọc trục của lò xo (hướng

x) Dựa vào định nghĩa cơ bản về ma trận độ cứng được trình bày ở Mục 2.2 và sử

dụng phương trình (2.1), (2.3) và (2.18), chúng ta thu được ma trận độ cứng của phần tử lò xo tuyến tính như sau:

ma trận) Những tính chất đặc biêt của ma trận đối xứng vuông được trình bày chi tiết trong học phần toán cao cấp hay tài liệu của Kreyszig [4]

Bước 5: Lắp ghép phương trình phần tử vào phương trình toàn cục và đưa vào các điều kiện biên

Ma trận độ cứng toàn cục [K] và véc tơ tải toàn cục {F} được lắp ghép bởi

sử dụng những phương trình cân bằng lực, phương trình tương thích, và mối quan

hệ lực – biến dạng của lò xo, và bởi sử dụng phương pháp ma trận độ cứng trực tiếp sẽ được giới thiệu ở Mục 2.4 Bước này áp dụng cho các bài toán có nhiều hơn

1 phần tử để mà:

1

N e e

Sau khi áp các điều kiện biên vào bài toán, chuyển vị tại các nút có thể xác định bởi giải hệ phương trình sau:

Bước 7: Xác định lực phần tử

Cuối cùng, lực phần tử cho từng phần tử lò xo được xác định bằng cách thế giá trị chuyển vị nút, được xác định từ việc giải hệ phương trình toàn cục (2.21), vào trong phương trình (2.17) hoặc (2.18)

Để dễ hiểu, trước khi xem xét những kết cấu này, chúng ta sẽ xem một kết cấu gồm hệ lò xo Hơn nữa, trong phần trước, chúng ta đã xây dựng FEM cho phần tử

lò xo bằng phương pháp ma trân độ cứng Do các bước trước, chúng ta chỉ xem xét duy nhất một phần tử lò xo nên Bước 5 (lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục, phương trình toàn cục và áp điều kiện biên) không thực hiện Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày cách xác định ma trận độ cứng toàn cục của hệ lò xo dựa trên mối quan hệ lực-chuyển vị cùng với những khái niệm cơ bản về sự cân bằng

và tương thích nút (nodal equilibrium and compability)

Hình 2.6 Hệ hai lò xo

Chúng ta xem một ví dụ cụ thể của một hệ gồm hai lò xo ghép nối tiếp như Hình 2.6 Ví dụ này đủ để mô tả cách tiếp cận cân bằng trực tiếp (direct equilibrium approach), hay phương pháp ma trận độ cứng để đạt được ma trận độ cứng toàn cục của hệ lò xo Trong ví dụ này (Hình 2.6), chúng ta có nút 1 được giữ cố định,

nút 2 và nút 3 được đặt hai ngoại lực theo chiều dương tương ứng là F 2x và F 3x Hệ

tọa độ một chiều toàn cục của hệ là x Trong ví dụ này, trục x của mỗi phần từ lò

xo trùng với hệ tọa độ x toàn cục

Đối với phần tử 1, sử dụng phương trình (2.18), chúng ta có:

(1) (1)

3

x x

k k u f

Hình 2.7 Cân bằng lực tại nút và phần tử

Dựa trên giản đồ lực này (Hình 2.7), chúng ta thấy rằng ngoại lực phải cân bằng với nội lực tại mỗi nút Vì vậy, chúng ta dễ dàng xác định được phương trình cân bằng lực tại nút 1, 2, và 3 như sau:

trong đó, F 1x là phản lực tại liên kết ngàm

Sử dụng các phương trình (2.22) – (2.27), chúng ta thu được:

x x x

k k k k u F

ở đây, {F} được gọi là véc tơ tải nút toàn cục (the global nodal force vector), {d}

được gọi là véc tơ chuyển vị nút toàn cục (the global nodal displacement vector),

và

00

được gọi là ma trận độ cứng toàn cục (the global or total or system nodal stiffness)

Tóm tại, để thiết lập phương trình độ cứng và ma trận độ cứng cho hệ lò xo, chúng ta sử dụng mối quan hệ lực – biến dạng (phương trình (2.22) và (2.23)), quan hệ tương thích (phương trình (2.24)), và phương trình cân bằng lực nút (phương trình (2.25) - (2.26)) Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một phương pháp đơn giản hơn để lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục

2.4.2 Lắp ghép ma trận độ cứng toàn cục bằng nguyên lý chồng chất

Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận một phương pháp dễ hơn để xây dựng ma trận toàn cục Phương pháp này dựa trên nguyên lý chồng chất hay nguyên lý cộng dồn của những ma trận độ cứng phần tử riêng lẻ

Xem xét hệ hai lò xo như trong Mục 2.4.1, ma trận độ cứng của phần tử 1

và 2 được cho trong phương trình (2.22) và (2.23) như sau:

Trong những phương trình (2.32) và (2.33), chúng ta đã đánh dấu bậc tự do

tương ứng trên các hàng và cột của ma trận độ cứng phần tử Từ việc này, [K] có

thể xây dựng đơn giản bằng cách thêm và cộng những số hạng trong k(1) và

(2)

k

 

 vào vị trí có bậc tự do tương ứng trong [K] Cụ thể, hàng u 1 , cột u 1 của ma

trận [K] chỉ được phân bố bởi phần tử 1 bởi vì chỉ có phần tử 1 có bậc tự do u 1 (phương trình (2.32)), nghĩa là (1)

11 11

K k Hàng u 3 , cột u 3 của ma trận [K] có sự phân bố từ cả phần tử 1 và 2 bởi vì bậc tự do u 3 bao gồm cả phần tử 1 và phần tử

2 Do vậy, K33k22(1)k11(2) Tương tự cho các hàng, cột khác của [K], chúng ta đạt được [K] như sau:

Như vậy, chúng tôi vừa giới thiệu đến các bạn hai phương pháp xây dựng

ma trận độ cứng toàn cục Trong hai phương pháp, phương pháp thứ 2 thường được áp dung trong việc xây dựng ma trận độ cứng toàn cục cho các bài toán lớn

và trong những phần mềm tính toán vì nó dễ thực hiện do tính hệ thống hóa theo bậc tự do Việc xây dựng trực tiếp ma trận độ cứng bằng phương pháp thứ 2 này còn được gọi là phương pháp độ cứng trực tiếp (the direct stiffness method)

Chúng ta cần phải chỉ ra những điều kiện biên hoặc liên kết (boundary or support conditions) cho bài toán (kết cấu) như hệ lò xo ở Hình 2.6 Nếu không, ma

trận [K] sẽ suy biến Một cách tổng quát, số điều kiện biên cần thiết để [K] không

bị suy biến phải bằng với số ràng buộc trong kết cấu (the number of rigid body modes)

Đối với hệ lò xo, điều kiện biên liên quan đến chuyển vị nút Những điều kiện biên này có hai loại Điều kiện biên thuần nhất (homogeneous boundary conditions) Điều kiện này là phổ biến, tại những vị trí “chống” lại sự duy chuyển của hệ Cụ thể, điều kiện biên thuần nhất là điều kiện biên mà chuyển vị tại biên

đó bằng không Ngược lại, điều kiện biên không thuần nhất (nonhomogeneous boundary conditions) xuất hiện tại biên mà có chuyển vị đã được cho trước

Trong ý nghĩa về toán học liên quan đến giải những vấn đề giá trị biên (boundary value problems), điều kiện biên trong những phương trình vi phân thường (ordinary differential problems), và phương trình đạo hàm riêng (partial differential problems) được phân thành 2 loại:

Loại 1: điều kiện biên chính, hay điều kiện biên cần thiết, hay điều kiện

biên Dirichlet (Dirichlet là tên của nhà khoa học Johann Dirichlet (1805-1859)) Điều kiện biên này là những giá trị cho (biết) trước của lời giải, như là chuyển vị

và phải thỏa mãn trên biên của miền tính toán

Loại 2: điều kiện biên tự nhiên hoặc điều kiện biên Neumann (Neumann là

tên của nhà khoa học Carl Neumann (1832 – 1925)) Điều kiện biên này là biết được giá trị của đạo hàm của lời giải và phải thỏa mãn trên biên của miền tính toán

2.5.1 Điều kiện biên thuần nhất

Đối với điều kiện biên thuần nhất, biết giá trị chuyển vị bằng không tại biên (nút) Trong trường hợp hệ hai lò xo như Hình 2.6, ta thấy nút 1 bị ngàm cố định,

tức là u 1 =0 Khi đó, phương tình toàn cục (2.29) có thể viết lại như sau:

1 1

00

0

x x x

F u

Về mặc toán học, để giải phương trình (2.35), chúng ta lượt bỏ hàng tương

ứng với nút trùng với điều kiện biên thuần nhất cho cả {d}, và {f} Đối với [K],

chúng ta lượt bỏ cả cột và hàng tương ứng Như vây, đối với phương trình (2.35),

chúng ta lượt bỏ hàng 1 của {d}, và {f}, tiếp theo, lượt hàng 1 cột 1 của [K] Như

vậy, chúng ta thu được:

2 2

x x

F u

Sau khi tìm được giá trị các chuyển vị nút, chúng ta có thể tìm được các

phản lực F 1x và các phản lực phần tử f ix

2.5.2 Điều kiện biên không thuần nhất

Hình 2.8 Hệ hai lò xo với chuyển vị cho trước tại nút 1

Bây giờ, chúng ta xem xét điều kiện biên không thuần nhất Ở đây, một hoặc nhiều chuyển vị nút được cho trước với giá trị khác không Để dễ hiểu, chúng

ta giả sử rằng u 1 = trong hệ 2 lò xo như Hình 2.8, trong đó,  là chuyển vị cho

trước Như vậy, phương trình toàn cục (2.29) được viết như sau:

1 1

00

x x x

F u

ứng trong {F}, và [K] Khi đó, chúng ta được:

Sau đó, chúng ta chuyển các số hạng trong ma trận [K] nhân với  sang vào

vị trí hàng tương ứng trong véc tơ tải {F} (xin nhớ rằng khi chuyển vế chúng ta

cần phải đổi dấu của số hạng), trong trường hợp này là “0” chuyển vào hàng 1

của {F} và “-k 1 ” vào hàng 2 của {F} Chúng ta được:

2 2

F u

x x

F u

Giải phương trình (2.40), chúng ta tìm được giá trị chuyển vị của các nút

còn lại Sau đó, chúng ta tìm được các phản lực F 1x và các phản lực phần tử f ix

(b) Ma trận độ cứng trong phương trình (2.42) quan hệ với lực toàn cục và chuyển

vị toàn cục như sau:

1 và 2 Nghĩa là, u1u2  0 Đồng thời, chúng ta cũng áp ngoại lực tác động vào

hệ lò xo tại nút 4 Lượt bỏ hàng và cột trong ma trận độ cứng toàn cục và hàng trong véc tơ tải và véc tơ chuyển vị Cuối cùng, chúng ta được:

3 4

5000 2000 5000

u u

1 1

2 2

3 3

u

F

u F

1000011450001105500011

x x x x

F F F F

Chúng ta thấy rằng, tổng phản lực F 1x và F 2x có cường độ bằng nhau nhưng

ngược hướng với lực tác dụng tại nút F 4x Kết quả này xác nhận rằng sự cân bằng lực của hệ lò xo trên

(d) Tiếp theo chúng ta sẽ tìm lực trong mỗi phần tử Chúng ta sử dụng phương trình (2.18) để tính lực phần tử

Phần tử 1

(1) 1 (1) 3

10000 0

f f

(2) 3 (2) 4

f f

45000 15

f f

Sơ đồ lực phần tử 3 được thể hiện ở Hình 2.12(a) Như Hình 2.12(a), chúng

ta thấy rằng lò xo bị nén với giá trị được cho ở phương trình (2.50) (3)