BAI 1 GIOI HAN LIEN TUC

HỌC VIỆN HÀNG KHƠNG VIỆT NAM KHOA CƠ BẢN • MƠN HỌC: TỐN CAO CẤP A3 • SỐ TÍN CHỈ: 03 • GIẢNG VIÊN: ThS VÕ HỒNG TRƯỞNG BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN ĐT: 0.983.943.101 Email: vohoang@vaa.edu.vn NỘI DUNG CHƯƠNG 1: Hàm nhiều biến CHƯƠNG 2: Tích phân bội CHƯƠNG 3: Tích phân đường CHƯƠNG 4: Phương trình vi phân CHƯƠNG 1: Hàm nhiều biến BÀI GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM HAI BIẾN Hàm VíI.dụ hai biến Nhiệt độ T điểm bề mặt trái đất thời điểm t cho trước phụ thuộc vào kinh độ x vĩ độ y điểm Chúng ta coi T hàm theo hai biến x y, ký hiệu T = T(x,y) - Ví dụ Thể tích V bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r chiều cao h Khi V : hàm hai biến theo r h: V (r , h) = π r h 1.I.Định nghĩa hàm hai biến Hàm hai biến Cho D ⊆ R Hàm hai biến ánh xạ f : D → R Ký hiệu: f = f (x , y ) (x , y ) a f ( x , y ) D gọi miền xác định f Miền giá trị f E: = {a ∈ R | ∃( x, y ) ∈ D : a = f ( x, y )} Miền xác định : D = {( x, y ) ∈ R / f ( x, y )có nghia} Ví dụ x + y +1 f ( x, y ) = x− y D = {(x , y ) ∈ R | x + y + ≥ 0, x ≠ y } Ví dụ 2 f (x , y ) = x + y D =R 2 E = R+ = [0, +∞) f ( x, y ) = ln xy D = {( x, y ) ∈ R | xy > 0} Ví dụ Ví dụ f ( x , y) = x − y : Ví dụ D =R  e f ( x, y ) =  0 E f = [0,1) −1 x2 + y , ( x, y ) ≠ (0,0) , (x,y) = (0,0) Giớới hạạn lim ( x , y )→ ( x0 , y0 ) f ( x, y ) = L ∀ε > 0, ∃δ > 0: ( x, y) − ( x0 , y0 ) < δ ⇒ f ( x, y) − L < ε Ký hiệu khác lim f ( x, y ) = L M → M0 Tính chất Giới hạn : Tương tự hàm biến - Ví dụ Tìm 1  I= lim  x + y sin ÷ x ( x, y )→(0,0)  1 ≤| f ( x, y ) |= x + y sin ≤| x | + y sin ≤| x | + y x x 1  ⇒ I = lim  x + y sin ÷ = ( x , y )→(0,0)  x Ví dụ 2: I= lim 3x y 2 ( x, y )→(0,0) x + y 3x y x ≤| f ( x, y ) |= 2 ≤ | y |, 2 ≤ x +y x +y 3x y ⇒ I = lim = 2 ( x , y )→(0,0) x + y Ví dụ I= x + 2y lim ( x, y )→(0,0) x + y 2   n→+∞   Chọn dãy ( xn , yn ) =  ,0 ÷→(0,0) ⇒ f ( xn , yn ) = f  ,0 ÷ = n  n  Chọn dãy thứ hai  n→+∞  ' ' ( xn , yn ) =  0, ÷→(0,0)  n ⇒ ' ' f ( xn , yn ) = 1  f  0, ÷ =  n Vậy tồn hai dãy dần đến (0,0) giá trị f điểm tiến đến hai số khác nhau, suy I khơng tồn Ví dụ Chọn I= lim xy 2 ( x, y )→(0,0) x + y k y = kx ⇒ f ( x, kx) = 1+ k Ví dụ I= lim xy ( x, y )→(0,0) x + y Chọn dãy  n→+∞  ( xn , yn ) =  ,0 ÷→(0,0) ⇒ f ( xn , yn ) = n  Chọn dãy thứ hai ( xn' , yn' ) 1  n→+∞  =  , ÷→(0, 0) n n 1  f  , ÷= n n Khi Vậy I khơng tồn ' ' f ( xn , yn ) =   f  ,0 ÷ = n  Ví dụ xy I = lim ( x, y )→(0,0) − + xy Đặt t = xy Khi t I = lim t →0 − + t t →0 = −3 Ví dụ I= Đặt 2 x +y lim ( x, y )→(0,0) t=x +y Khi t I = lim t →0 t + − x + y +9 −3 t →0 =6 Hàm số liên tục Định nghĩa Hàm số f(x,y) gọi liên tục ( x0 , y0 ) , lim ( x , y )→( x0 , y0 ) f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) Hàm gọi liên tục liên tục điểm mà xác định Ví dụ Tìm điểm gián đoạn hàm sau xy f ( x, y ) = x+ y Đây hàm sơ cấp nên liên tục điểm mà xác định Suy điểm gián đoạn hàm số đường thẳng x + y =  x y  2 + m ( x, y ) ≠ (0,0) f ( x, y ) =  x + y  m − ( x, y ) = (0,0) Tìm m để hàm số liên tục Ví dụ Khảo sát tính liên tục hàm sau:  sin( x3 + y )  2 , ( x, y ) ≠ (0,0) f ( x, y ) =  x + y  0, ( x, y ) = (0,0)  3 3 3 3 sin( x + y ) sin( x + y ) x + y sin( x + y ) sin t t →0 = × =  → 2 3 2 3 x +y x +y x +y t x +y x +y ≤ 2 ≤| x | + | y | x +y ⇒ lim f ( x, y) = 1.0 = = f (0,0) ( x, y )→(0,0) Suy f liên tục (0,0) Vậy hàm cho liên tục điểm mặt phẳng Ví dụ Tìm tất giá trị a để hàm số liên tục điểm (0,0)  x2 − y , ( x , y ) ≠ (0,0)  f ( x, y ) =  x + y  ( x, y ) = (0,0)  a, Ta có lim ( x , y )→(0,0) f ( x, y ) không tồn Vậy hàm không liên tục (0,0) Không tồn a  ... - Ví dụ Tìm 1? ??  I= lim  x + y sin ÷ x ( x, y )→(0,0)  1 ≤| f ( x, y ) |= x + y sin ≤| x | + y sin ≤| x | + y x x 1? ??  ⇒ I = lim  x + y sin ÷ = ( x , y )→(0,0)... ) ∈ R | xy > 0} Ví dụ Ví dụ f ( x , y) = x − y : Ví dụ D =R  e f ( x, y ) =  0 E f = [0 ,1) ? ?1 x2 + y , ( x, y ) ≠ (0,0) , (x,y) = (0,0) Giớới hạạn lim ( x , y )→ ( x0 , y0 ) f ( x, y ) =...NỘI DUNG CHƯƠNG 1: Hàm nhiều biến CHƯƠNG 2: Tích phân bội CHƯƠNG 3: Tích phân đường CHƯƠNG 4: Phương trình vi phân CHƯƠNG 1: Hàm nhiều biến BÀI GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC