Trường Qp và phân thức liên tục

đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn thị vân Hệ ph-ơng trình toán tử loại đơn điệu luận văn thạc sĩ toán học thái nguyên 2012 đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn thị vân Hệ ph-ơng trình toán tử loại đơn điệu Chuyên ngành: Toán ứng Dụng Mã số: 60.46.0112 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: Ts nguyễn thị thu thủy thái nguyên 2012 Mc lc Mc lc M u H phng trỡnh vi toỏn t ngc n iu mnh 1.1 Toỏn t n iu 1.1.1 Khụng gian Banach 1.1.2 Toỏn t n iu, ỏnh x i ngu chun tc 1.1.3 nh x n iu cc i 1.2 Hiu chnh h phng trỡnh toỏn t ngc n iu mnh 1.2.1 S hi t ca nghim hiu chnh 1.2.2 Tc hi t ca nghim hiu chnh 6 11 13 13 19 H phng trỡnh vi toỏn t accretive 2.1 Toỏn t accretive 2.1.1 Toỏn t accretive 2.1.2 Mt s b b tr 2.2 H phng trỡnh toỏn t accretive 2.2.1 Phng phỏp hiu chnh Tikhonov 2.2.2 Thut toỏn im gn k quỏn tớnh 2.2.3 Tớnh n nh ca phng phỏp hiu chnh Tikhonov Kt lun 22 22 22 24 26 26 29 33 39 M u Cho E l mt khụng gian Banach thc phn x, E l khụng gian liờn hp ca E, c hai cú chun u c kớ hiu l , A : E E l toỏn t n iu n tr Vi f E , tỡm x0 E cho A(x0 ) = f (0.1) Mt nhng hng nghiờn cu quan trng ca bi toỏn (0.1) l vic xõy dng cỏc phng phỏp gii Bi toỏn (0.1), toỏn t A khụng cú tớnh cht n iu u hoc n iu mnh, núi chung l bi toỏn t khụng chnh (ill-posed) theo ngha nghim ca nú khụng ph thuc liờn tc vo d liu ban u Nm 1963 A.N Tikhonov [7] a phng phỏp hiu chnh ni ting v k t ú lý thuyt cỏc bi toỏn t khụng chnh c phỏt trin ht sc sụi ng v cú mt hu ht cỏc bi toỏn thc t Ni dung ch yu ca phng phỏp ny l xõy dng nghim hiu chnh cho phng trỡnh toỏn t (0.1) khụng gian Hilbert thc H da trờn vic tỡm phn t cc tiu xh, ca phim hm Tikhonov Fh, (x) = Ah (x) f + x x (0.2) ú > l tham s hiu chnh ph thuc vo h v , x l phn t cho trc úng vai trũ l tiờu chun chn v (Ah , f ) l xp x ca (A, f ) Hai cn c gii quyt õy l tỡm phn t cc tiu ca phim hm Tikhonov v chn tham s hiu chnh = (h, ) thớch hp phn t cc tiu xh, (h,) dn ti nghim chớnh xỏc ca bi toỏn (0.1) h v dn ti khụng Vic tỡm phn t cc tiu ca phim hm Tikhonov s gp nhiu khú khn trng hp bi toỏn phi tuyn i vi bi toỏn phi tuyn vi toỏn t n iu A : E E , F Browder [5] a mt dng khỏc ca phng phỏp hiu chnh Tikhonov T tng ch yu ca phng phỏp F Browder xut l s dng mt toỏn t M : E E cú tớnh cht hemi-liờn tc, n iu mnh lm thnh phn hiu chnh J s , ỏnh x i ngu tng quỏt ca E, l mt toỏn t cú tớnh cht nh vy Bng phng phỏp ny Ya.I Alber [2] nghiờn cu phng trỡnh hiu chnh Ah (x) + J s (x x ) = f (0.3) cho bi toỏn (0.1) Mt m rng ca bi toỏn (0.1) l bi toỏn tỡm nghim chung cho h phng trỡnh toỏn t Aj (x) = fj j = 1, , N, (0.4) õy Aj : E E , l cỏc toỏn t loi n iu, n tr v fj E Da trờn vic s dng phng trỡnh (0.3) hiu chnh cho mi phng trỡnh (0.4), nm 2006 Nguyn Bng [4] ó kt hp cỏc phng trỡnh dng ny hiu chnh cho h phng trỡnh toỏn t (0.4) trờn c s xõy dng mt phng trỡnh ph thuc tham s N àj Ahj (x) + J s (x x ) = , j=1 à1 = < àj < àj+1 < 1, j = 2, , N 1, (0.5) trng hp fj = , õy Ahj l xp x ca Aj Mc ớch ca lun nhm trỡnh by li cỏc kt qu v phng phỏp hiu chnh Tikhonov v thut toỏn im gn k quỏn tớnh hiu chnh h phng trỡnh toỏn t (0.4) vi toỏn t n iu v toỏn t accretive trờn c s cỏc nghiờn cu ca Nguyn Bng, Nguyn Th Thu Thy v Trng Minh Tuyờn cỏc ti liu [4], [6], [8] v [9] Ni dung ca lun c trỡnh by hai chng Chng trỡnh by s hi t ca phng phỏp hiu chnh Tikhonov hiu chnh h phng trỡnh vi toỏn t n iu ng thi trỡnh by nh lý v tc hi t ca nghim hiu chnh vi tham s hiu chnh c chn tiờn nghim Trong chng s trỡnh by phng phỏp hiu chnh Tikhonov v thut toỏn im gn k quỏn tớnh hiu chnh h phng trỡnh vi toỏn t accretive, ng thi trỡnh by s n nh ca phng phỏp hiu chnh Tikhonov trng hp ny Tụi xin by t lũng cm n sõu sc ti TS Nguyn Th Thu Thy, trng khoa Toỏn - Tin, trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn, ngi ó hng dn, ch dy tn tỡnh tụi hon thnh lun ny Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy, cụ cụng tỏc ti trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn, trng i hc Khoa hc t nhiờn i hc Quc gia H Ni, Vin Toỏn hc, Vin Cụng ngh Thụng tin thuc Vin Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam ó truyn th kin thc cho tụi sut quỏ trỡnh hc va qua Tụi cng xin cm n c quan, bn bố, gia ỡnh ó chia s, giỳp , ng viờn, to mi iu kin thun li tụi hon thnh lun ny Thỏi Nguyờn, ngy 15 thỏng 10 nm 2012 Tỏc gi Nguyn Th Võn Chng H phng trỡnh vi toỏn t ngc n iu mnh Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s kt qu nghiờn cu [4] v [6] v s hi t v tc hi t ca nghim hiu chnh ca phng phỏp hiu chnh Tikhonov hiu chnh h phng trỡnh toỏn t ngc n iu mnh khụng gian Banach phn x thc 1.1 Toỏn t n iu Cỏc khỏi nim v kt qu mc ny c tham kho cỏc ti liu [1], [3] v [10] 1.1.1 Khụng gian Banach Cho E l mt khụng gian Banach v E l khụng gian i ngu ca E, tc l khụng gian cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn E S hi t mnh v hi t yu ca dóy {xn } E v phn t x E ln lt c kớ hiu l xn x v xn x tng ng Khụng gian Banach E c gi l khụng gian phn x, nu vi mi phn t x ca khụng gian liờn hp th hai E ca E, u tn ti phn t x E cho x (x) = x (x ) vi mi x E Sau õy l mt tớnh cht ca khụng gian phn x: Mnh 1.1.1 Cho E l mt khụng gian Banach Khi ú, cỏc khng nh sau l tng ng: i) E l khụng gian phn x; ii) Mi li, úng v b chn ca E u l compact yu; iii) Mi dóy b chn E u cú mt dóy hi t yu nh ngha 1.1.1 Khụng gian Banach E c gi l li cht nu mt cu n v S = {x E : x = 1} ca E l li cht, tc l t x, y S kộo theo x + y < (núi cỏch khỏc biờn ca S khụng cha bt kỡ mt on thng no) nh ngha 1.1.2 Khụng gian Banach E c gi l li u nu vi mi > 0, tn ti () > cho vi mi x, y E m x 1, y 1, x y ta luụn cú x+y () D thy rng nu E l mt khụng gian Banach li u thỡ nú l khụng gian Banach li cht Tuy nhiờn iu ngc li khụng ỳng, ta xột vớ d sau Vớ d 1.1.1 Xột E = c0 (khụng gian cỏc dóy s hi t v khụng) vi chun xỏc nh bi x = x c0 + i=1 |xi |2 i2 , x = (xi ) c0 Khi ú, (X, ), > l mt khụng gian li cht nhng khụng l khụng gian li u o tớnh li ca khụng gian Banach E ngi ta a vo khỏi nim mụ un li E ( ) = inf 21 x + y : x = 1, y = 1, x y = Mụ un li ca khụng gian Banach E l mt hm s xỏc nh, liờn tc v tng trờn on [0, 2] Khụng gian Banach E li cht v ch E (2) = Khụng gian Banach E li u v ch E () > vi mi > Mnh 1.1.2 Mi khụng gian Banach li u u l khụng gian phn x Mụ un trn ca khụng gian Banach E l mt hm s xỏc nh bi E ( ) = sup 21 ( x + y + x y ) : x = 1, y = Mụ un trn ca khụng gian Banach E l mt hm s xỏc nh, liờn tc v tng trờn khong [0, +) nh ngha 1.1.3 Khụng gian Banach E c gi l trn u nu E ( ) = lim Vớ d 1.1.2 Mi khụng gian Hilbert v khụng gian lp (1 < p < +) u l khụng gian Banach li u v trn u nh lý 1.1.1 Cho E l mt khụng gian Banach Khi ú cỏc khng nh sau l tng ng: i) Nu E l khụng gian trn u thỡ E l khụng gian li u; ii) Nu E l khụng gian li u thỡ E l khụng gian trn u data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read