tu luyen toan

NGUYỄN ð Ứ C TU Ấ N T Ự Ô N L UY Ệ N TH I M Ô N T O Á N Hà nộ i , 1 - 2005 1   2   Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán Ch ư ơ ng 1: Ph ư ơ ng t rì nh và b ấ t ph ư ơ ng t rì nh B ài 1 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I. Cách gi ả i 1) P h ư ơ ng t r ình b ậ c nh ấ t : ax + b = 0, a,b ∈ IR. • Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - b . a • Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x ∈ IR. 2) P h ư ơ ng t r ình b ậ c ha i : ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. • Nếu ∆ = b 2 – 4ac < 0 phương trình vô nghiệm. b • Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = - . 2a − b ± ∆ • Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt II. ð ịnh lí Viét và hệ qu ả về d ấ u các nghiệm x 1, 2 = . 2 a 1) ð ị nh lí Vié t : N ế u ph ươ ng t r ì nh a x 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 c ó h ai ngh iệ m x , x t h ì b S = x 1 + x 2 = - a c v à P = x 1 .x 2 = . a 2) Hệ qu ả : Ph ươ ng t r ì nh b ậc h ai a x 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 c ó h ai ngh iệ m :  ∆ ≥ 0 Tr ái d ấ u ⇔ c < 0 a C ùng d ấ u ⇔   c   a > 0   ∆ ≥ 0  Cùng dương ⇔  c > 0  a   ∆ ≥ 0  Cùng âm ⇔  c > 0  a  − b > 0  a  − b < 0  a III. ð ịnh lí về d ấ u c ủ a tam th ứ c b ậ c hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 ta có 1. ð ị nh l í thu ậ n: • Nếu ∆ = b 2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x. • Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - b . 2a • Nếu ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2 và a.f(x) > 0 với x ngoài [x 1 ; x 2 ] . a.f(x) < 0 với x 1 < x < x 2 . 2. ð ị nh l í ñ ả o : Nếu tồn tại số α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt và số α nằm trong khoảng hai nghiệm ñó: x 1 < α < x 2 . Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 1 Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán 1. ð iề u k iệ n ñể f(x ) = ax 2 + bx + c k hông ñổi d ấ u v ớ i m ọi x   a = b = 0     c > 0   a = b = 0     c ≥ 0 f(x) > 0 với ∀ x ⇔   a > 0      ∆ < 0 f(x) ≥ 0 với ∀ x ⇔   a > 0      ∆ ≤ 0   a = b = 0   f(x) < 0 với ∀ x ⇔   c < 0   a < 0      ∆ < 0   a = b = 0   f(x) ≤ 0 với ∀ x ⇔   c ≤ 0   a < 0      ∆ ≤ 0 2. So s ánh ngh i ệ m tam th ứ c b ậ c hai v ớ i s ố t h ự c α • ð iều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và x 1 < α < x 2 là: a.f( α ) < 0. • ð iều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và α nằm ngoài khoảng hai  ∆ > 0 nghiệm:   a.f ( α ) > 0   ∆ > 0  - Nếu α nằm bên phải hai nghiệm: x 1 < x 2 < α ⇒  a.f ( α ) > 0  S b  = − < a  2 2a  - Nếu α nằm bên trái hai nghiệm: α < x 1 < x 2  ∆ > 0  ⇒  a.f ( α ) > 0  S b  = − > a  2 2a • ð iều kiện ñể f(x) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm nằm trong, một nghiệm nằm ngoài ñoạn [ α; β ] là: f( α ).f( β ) < 0. 3. ð i ề u k i ệ n ñ ể f ( x ) c ó ng h i ệ m th ỏ a m ãn x > α : • Trường hợp 1: f(x) có nghiệm x 1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0.   ∆ ≥ 0  • Trường hợp 2: f(x) có nghiệm α < x 1 < x 2 ⇔  a.f ( α ) > 0  S  α <  2  f ( α ) = 0  • Trường hợp 3: f(x) có nghiệm α = x 1 < x 2 ⇔  S   α < 2 ( Làm tương tự với trường hợp x < α và khi xảy ra dấu bằng) Ngoài ra ta chú ý thêm ñịnh lí sau: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục. Khi ñó ñiều kiện ñể phương trình f(x) = m có nghiệm là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 2 1 Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán B ả ng tóm t ắ t ñ ịnh lý thu ậ n về d ấ u c ủ a tam th ứ c b ậ c hai Nếu ∆ < 0 N ế u ∆ = 0 N ế u ∆ > 0 a.f(x) > 0 v ới ∀ x a.f(x) > 0 v ới ∀ x ≠ - b a.f(x) > 0 v ới x ngoà i [x 1 ; x 2 ] 2a a.f(x) < 0 v ới x 1 < x < x 2 B ả ng tóm t ắ t so sánh nghiệm tam th ứ c b ậ c hai v ớ i số th ự c α ð iề u k iệ n ñể f (x) = ax 2 + bx + c có ha i ngh iệ m phân b iệt và α n ằ m g iữ a kho ả ng ha i ngh iệ m x 1 < α < x 2 α n ằ m ngoà i kho ả ng ha i ngh iệ m  ∆ > 0   a.f ( α ) > 0 a.f( α ) < 0 x 1 < x 2 < α  x 1 < x 2 < α   ∆ > 0   a.f ( α ) > 0  ∆ > 0   a.f ( α ) > 0  S b  = − < a  2 2a  S b  = − > a  2 2a Ví d ụ 1 . T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 − 2(m + 4)x + m 2 + 8 = 0 có 2 ngh iệ m d ươ ng. Ví d ụ 2 . Xác ñị nh a ñể b iể u t h ứ c (a + 1)x 2 − 2(a − 1)x + 3a − 3 l uôn d ươ ng Ví d ụ 3 . T ì m m ñể b ất ph ươ ng t r ì nh x 2 + x − 2 ≥ m ngh iệ m ñ úng v ới m ọi x. Ví d ụ 4 . T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 + mx + 2m = 0 có ha i ngh iệ m x 1 , x 2 t h ỏ a mãn -1< x 1 < x 2 Ví d ụ 5 . T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 có ngh iệ m t h ỏ a mãn − 2 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ 4 Ví d ụ 6 . Cho ph ươ ng t r ì nh x 2 + (m + 2)x + 3m − 2 =0 T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh có ha i ngh iệ m phân b iệt nh ỏ h ơ n 2 Ví d ụ 7 . T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có ngh iệ m lớ n h ơ n 1 Ví d ụ 8. T ì m m ñể ph ươ ng t r ì nh x 2 − 6mx + 9m 2 − 2m + 2 = 0 có ngh iệ m x ≤ x 2 ≤ 3 Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 3   Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán B ài 2 : PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ð ỐI I. Ph ư ơ ng trình trùng ph ư ơ ng ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0 (1) ð ặt t = x 2 ≥ 0 ph ươ ng t r ì nh (1) t r ở t hành : a t 2 + b t + c = 0 (2) • PT (1) có ngh iệ m kh i và ch ỉ kh i (2) có ít nh ất m ột ngh iệ m không âm. • PT (1) có ñ úng ha i ngh iệ m phân b iệt kh i và ch ỉ kh i (2) có ñ úng m ột ngh iệ m d ươ ng. • PT (1) có ñ úng 3 ngh iệ m phân b iệt kh i và ch ỉ kh i (2) có m ột ngh iệ m b ằ ng 0 và m ột ngh iệ m d ươ ng. • PT (1) có ñ úng 4 ngh iệ m phân b iệt kh i và ch ỉ kh i (2) có ha i ngh iệ m d ươ ng phân b iệt . Ví d ụ 1 . Cho ph ươ ng t r ì nh : x 4 + (1-2m)x 2 + m 2 – 1 = 0. a)T ì m các g i á t r ị c ủ a m ñể ph ươ ng t r ì nh vô ngh iệ m. b)T ì m các g i á t r ị c ủ a m ñể ph ươ ng t rr ì nh có 4 ngh iệ m phân b iệt . Ví d ụ 2. T ì m m sao cho ñồ t h ị hàm s ố y = x 4 -2(m+4)x 2 + m 2 + 8 c ắt t r ụ c hoành lầ n lượt tại 4 ñiể m phân b iệt A, B, C, D v ới AB = BC = CD. II. Ph ư ơ ng trình ch ứ a giá trị tuyệt ñ ối 1) C ác d ạ ng c ơ b ả n:  b ≥ 0 | a | = b ⇔   a = ± b  b ≥ 0 | a | = | b | ⇔ a = ±b  b < 0  | a | ≤ b ⇔ 2 2 | a | ≥ b ⇔   b ≥ 0  a ≤ b    a 2 ≥ b 2 | a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b 2 Ví d ụ 1. Giải phương trình | x 2 – 3x + 2 | - 2x = 1. Ví d ụ 2. Giải bất phương trình x 2 - | 4x – 5 | < 0. Ví d ụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x. Ví d ụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. Ví d ụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x 2 -3x – m | ≤ | x 2 – 4x + m |. 2)P h ươ ng pháp ñồ t h ị : a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x). - Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2). - Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị (3). vẽ. - ð ồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa b) ð ịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp dụng ñịnh lí trên ñể biện luận. Ví d ụ 6. Tìm m ñể phương trình | x 2 – 1 | = m 4 – m 2 +1 có 4 nghiệm phân biệt. Ví d ụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 4 Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán B ài 3 : PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I.Các d ạ ng c ơ b ả n Dạng 1: 2 n + 1 f (x) = ϕ(x) , n ∈ N * ⇔ f(x) = [ ϕ(x) ] 2n+1  ϕ (x) ≥ 0 Dạng 2: Dạng 3: 2 n f (x) = ϕ(x) , n ∈ N * ⇔  f (x) ≥ 0    f (x) = [ ϕ (x)] 2 n  f (x) ≥ 0  f (x) < ϕ (x) ⇔  ϕ (x) > 0 ,  2 f (x) ≤ ϕ (x) ⇔  ϕ (x) ≥ 0  2 Dạng 4:  f (x) < [ ϕ (x)]   f (x) ≥ 0   f (x) > ϕ (x) ⇔   ϕ (x) < 0 ,   ϕ (x) ≥ 0      f (x) > [ ϕ (x)] 2  f (x) ≤ [ ϕ (x)]   f (x) < 0   f (x) ≥ ϕ (x) ⇔   ϕ (x) ≥ 0   ϕ (x) ≥ 0      f (x) ≥ [ ϕ (x)] 2 Ví d ụ 1. Giải phương trình Ví d ụ 2. Giải bất phương trình Ví d ụ 3. Giải bất phương trình x 2 − 2x + 3 = 2x + 1 x 2 − x −12 < x 2x 2 + 5x − 6 > 2 − x Ví d ụ 4. Tìm m ñể phương trình có nghiệm x − m = 2x 2 + mx − 3 II. Các ph ư ơ ng pháp gi ả i ph ư ơ ng trình, b ấ t ph ư ơ ng trình vô tỷ không c ơ b ả n 1) P h ư ơ ng pháp l ũ y th ừ a hai v ế : - ð ặt ñiều kiện trước khi biến ñổi - Chỉ ñược bình phương hai vế của một phương trình ñể ñược phương trình tương ñương (hay bình phương hai vế của một bất phương trình và giữ nguyên chiều) nếu hai vế của chúng không âm. - Chú ý các phép biến ñổi căn thức A 2 = A . Ví d ụ 5. Giải phương trình x + 1 = 3 − x + 4 Ví d ụ 6. Giải bất phương trình x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x Ví d ụ 7. Giải bất phương trình 3 x − 5x + 5 > 1 Ví d ụ 8. Giải bất phương trình x + 2 − x + 1 ≤ x Ví d ụ 9.Giải phương trình Ví d ụ 10.Giải bất phương trình 2x 2 + 8x + 6 + x 2 − 4x + 3 − x 2 −1 = 2x + 2 2x 2 − 3x + 1 ≥ x −1 2)P h ươ ng pháp ñ ặ t ẩ n p h ụ : - Những bài toán có tham số khi ñặt ẩn phụ phải tìm tập xác ñịnh của ẩn mới. - Chú ý các hằng ñẳng thức Ví d ụ 11.Giải bất phương trình (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , … 5x 2 + 10x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2x Ví d ụ 12.iải phương trình x + 8 + 2 x + 7 + x + 1 − x + 7 = 4 Ví d ụ 13.Giải phương trình x + 2 + x − 2 = 4x −15 + 4 2 x 2 − 4 Ví d ụ 14.Giải phương trình Ví d ụ 15.Giải bất phương trình 9x 2 + 4 = 3x x 2 5 x + 5 + 2x − 2 x < 2x + 1 + 4 2 x 2x Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 5   3  Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán B ài 4 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ð ỐI XỨNG I. Hệ ph ư ơ ng trình ñ ối x ứ ng lo ạ i 1 1)Khái ni ệ m : Là hệ mà mỗi phương trình không ñổi khi ta thay x bởi y và thay y bởi x. 2 ) Tính c h ấ t : Nếu (x o , y o ) là một nghiệm của hệ thì (y o, x o ) cũng là nghiệm của hệ. 3 ) C á c h gi ả i :  x + y = S Biến ñổi hệ phương trình về dạng: Hệ ñã cho ⇔   x.y = P (1) Khi ñó x, y là nghiệm của phương trình: t 2 − St + P = 0 (2) Nếu ∆ = S 2 – 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghiệm t 1 ≠ t 2 nên hệ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (t 1, t 2 ), (t 2 , t 1 ). Nếu ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép t 1 = t 2 nên hệ (1) có nghiệm duy nhất (t 1, t 2 ). ð iều kiện ñể hệ (1) có ít nhất một cặp nghiệm (x, y) thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0  ∆ = S 2 − 4P ≥ 0   S ≥ 0  P ≥ 0  x + y = 2 Ví d ụ 1.Giải hệ phương trình   x 3 + y 3 = 26   x    x y + y x + y x = 30 y = 35  x − y − xy = 3   x 2 + y 2 + xy = 1 Ví d ụ 2.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm   x + 1 + y −1 = m  xy(x + 2)(y + 2) = 5m − 6  x + y = m 2 − 4m + 6  x 2 + y 2 + 2(x + y) = 2m II. Hệ ph ư ơ ng trình ñ ối x ứ ng lo ạ i 2 1 ) K hái ni ệ m : Là hệ phương trình mà trong hệ phương trình ta ñổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình nọ trở thành phương trình kia. 2 ) Tính c h ấ t : Nếu (x o , y o ) là một nghiệm của hệ thì (y o, x o ) cũng là nghiệm của hệ. 3 ) C á c h gi ả i : Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta ñược phương trình có dạng: (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 hoặc f(x,y) = 0.  2x 2 = y + 1 Ví d ụ 3.Giải các hệ phương trình    x + xy 2 = 40y   x  2 y − 4 = y 2  y  y 3 + x 2 y = 40x xy 2 − 4 = x 2  2y 2 = x + 1 x Ví d ụ 4.Tìm m ñể hệ sau có nghiệm:   2x + y −1 = m   x = y 2  − y + m 2y + x −1 = m y = x 2 − x + m Nguyễn ð ức Tuấn lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 6 [...]... sử tiếp tuyến tại M ∈ (C) cắt hai tiệm cận tại P và Q Chứng minh rằng MP=MQ 2 Ví dụ 9 Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số y = x − 4x + 5 biết rằng tiếp tuyến ñi x−2 qua ñiểm A(1;1) Ví dụ 10 Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị y = x 2 − x −1 biết tiếp tuyến song song với x+1 ñường thẳng y = − x Ví dụ 11 Cho hàm số y = x2 − x −1 có ñồ thị là (C) x+1 Tìm tất cả các ñiểm trên trục tung mà... f (x) = −x + 3x − 4x + 2 với ñồ thị hàm số 3 Ví dụ 3 Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) của hàm số y = −x + 3x + 1 biết tiếp tuyến ñó song song với ñường thẳng y = −9x + 1 Ví dụ 4 Từ gốc tọa ñộ có thể kẻ ñược bao nhiêu tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 3 2 y = x + 3x + 1 Viết phương trình các tiếp tuyến ñó Nguyễn ðức Tu n lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 18 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Ví... ñộ các tiếp ñiểm x o , x1 , x 2 , Từ ñó suy ra phương trình các tiếp tuyến phải tìm: y − y i = k(x − x i ( i = 0, 1, ) ) Bài toán : Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số khi biết phương của tiếp tuyến hoặc ñi qua một ñiểm cho trước nào ñó Ví dụ 1 Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) của hàm số 2 2 y = (2 − x ) biết tiếp tuyến ñó ñi qua ñiểm A(0 ; 4) Ví dụ 2 Viết phương trình các ñường thẳng... 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại các ñiểm uốn b) Tìm tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm A(0; 3 2 ) Ví dụ 6 Cho hàm số y= 3x + 2 có ñồ thị là (C) x+2 Chứng minh rằng, không có tiếp tuyến nào của ñồ thị (C) ñi qua giao ñiểm của hai tiệm cận của ñồ thị ñó Ví dụ 7 Cho hàm số y=x− 1 x+ 1 có ñồ thị là (C) Chứng minh rằng trên (C) tồn tại những cặp ñiểm mà tiếp tuyến tại ñó song song với nhau... 10 Tìm a ñể ñường thẳng y = a(x + 1) + 1 cắt ñồ thị hàm số y = x + 1 có hoành ñộ trái dấu 1 tại hai ñiểm x+2 Nguyễn ðức Tu n lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 17 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán II Viết phương trình tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x) có ñồ thị (C) a) Phương trình tiếp tuyến của ñường cong (C) tại ñiểm M o (x o ; f (x o )) y − y o = f ′(x o )(x − x o ) b) Phương trình ñường thẳng ñi qua... 2 tiếp tuyến với ñồ thị (C) Ví dụ 12 Tìm a ñể ñồ thị y = x 2 + 3x + a có tiếp tuyến vông góc với ñường thẳng y = x x+1 Ví dụ 13 Tìm m ñể ñồ thị y = 2mx 3 − (4m 2 + 1)x 2 + 4m 2 tiếp xúc với trục hoành Ví dụ 14 Tìm m ñể ñồ thị y = 2 mx + 3mx + 2m + 1 tiếp xúc với ñường thẳng y = m x+2 Ví dụ 15 Tìm a ñể tiệm cận xiên của ñồ thị 2 2x + (a + 1)x − 3 y= x+a tiếp xúc với parabôn 2 y=x +5 Nguyễn ðức Tu n lớp... trình sau ñây có hai nghiệm trái dấu: x x (m + 3)16 + (2m − 4)4 + m + 1 = 0 Nguyễn ðức Tu n lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 15 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Chương 3: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Sơ ñồ khảo sát hàm số 1) Tìm tập xác ñịnh của hàm số (Xét tính chẵn lẻ, tính tu n hoàn (nếu có)) 2) Khảo sát sự biến thiên hàm số a) Xét chiều biến thiên của hàm số... bảng biến thiên) 3)Vẽ ñồ thị • Chính xác hóa ñồ thị (tìm giao ñiểm của ñồ thị với các trục tọa ñộ và nên lấy thêm một số ñiểm của ñồ thị, nên vẽ tiếp tuyến ở một số ñiểm ñặc biệt) • Vẽ ñồ thị (ñọc lại các ví dụ mẫu SGK từ trang 80 ñến trang 97) Nguyễn ðức Tu n lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 16 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I Tìm giao ñiểm của hai... hàm số không có cực trị 3 2 2 Ví dụ 12 Cho hàm số y = x − 3mx + (m + 2m − 3)x + 4 Tìm m ñể ñồ thị hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm ở hai phía trục tung Ví dụ 13 Cho hàm số y = x2 + x + m x+1 Tìm m ñể ñồ thị hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm ở hai phía trục tung Ví dụ 14 Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số y = x 2 + (2m + 3)x +m 2 +4m x+m có hai cực trị và giá trị của ñiểm cực trị tương ứng... ( k ∈ Z ) ðơn vị góc thường dùng là radian ðể thuận lợi cho việc chọn α ta cần nhớ giá trị của hàm lượng giác tại các góc ñặc biệt ðường tròn lượng giác sẽ giúp ta nhớ một cách rõ ràng hơn Nguyễn ðức Tu n lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 8 Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Ví dụ 1 Giải phương trình: a) sin3x = 2 2 Ví dụ 2 Giải phương trình: a) cos2x = cos Ví dụ 3 Giải phương trình: Ví dụ 4 Giải phương . ức Tu n lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 3   Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán B ài 2 : PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT. biệt và số α nằm trong khoảng hai nghiệm ñó: x 1 < α < x 2 . Nguyễn ð ức Tu n lớp 44C1 ð ại học Thủy lợi Hà nội 1 Tự ôn luyện t hi ñại học môn t oán