Phương trình đồng dư

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒNG THỊ HUYỀN TRANG PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒNG THỊ HUYỀN TRANG PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i LỜI NÓI ĐẦU Nội dung Lý thuyết đồng dư 1.1 Phép chia vành Z 1.2 Quan hệ đồng dư tính chất 1.3 Vành Zm lớp thặng dư môđun m 11 1.4 Định lý Euler Định lý Fermat 14 1.5 Một vài ví dụ tổng hợp 15 Phương trình đồng dư 20 2.1 Phương trình đồng dư ẩn 20 2.2 Phương trình đồng dư bậc 2.3 Hệ phương trình đồng dư ẩn 24 2.4 Phương trình đồng dư ẩn bậc cao 26 2.5 Phương trình đồng dư bậc cao theo môdun p 31 2.6 Thặng dư bậc hai 33 22 Phương trình Mordell 38 √ 3.1 Chuẩn vành Z[ d] số học 38 3.2 Phương trình Mordell 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Trong số học, thường ta phải xác định tất số với tính chất p cho trước Có thể có số thỏa mãn tính chất p, có nhiều Nếu ta xét tất số thuộc tập Z công việc thực Nhưng ta xét tập hữu hạn việc kiểm tra thực Lý thuyết đồng dư việc chuyển toán xét tập vô hạn Z tập hữu hạn lớp đồng dư theo môđun m Chẳng hạn: Xác định x, y nguyên thỏa mãn: x2 + = 3y Giả sử phương trình có nghiệm nguyên Lấy mođun ta có x2 + ≡ 0(mod 3) Biểu diễn x = 3k x = 3k ± x2 + = 3h + 3h + Vậy x2 + ≡ (mod 3): Mâu thuẫn Tóm lại phương trình vô nghiệm Xác định x, y nguyên thỏa mãn: x2 + = 5y Giả sử phương trình có nghiệm nguyên Lấy mođun ta có x2 + ≡ 0(mod 5) Biểu diễn x = 5k x = 5k ± 1hoặc x = 5k ± Khi x2 + = 5h + 5h + 5h + Vậy x2 + ≡ (mod 5): Mâu thuẫn Tóm lại phương trình vô nghiệm Qua ví dụ thay cho việc x, y thuộc tập Z vô hạn ta việc kiểm tra x nhận 0, 1, 2, 3, Nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương “ Lý thuyết đồng dư” bao gồm mục Mục 1.1 dành trình bày Phép chia vành Z, kết trình bày lại thuật toán Euclid dể tìm ƯCLN định lý số học Mục 1.2 dành trình bày Quan hệ đồng dư tính chất kết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tính chất quan hệ đồng dư Mục 1.3 Vành Zm lớp thặng dư môđun m chứng minh Z vành giao hoán, chứng minh Z∗m nhóm nhân Mục 1.4 Định lý Euler Định lý Fermat Mục 1.5 Một số ví dụ tổng hợp Chương “Phương trình đồng dư” bao gồm mục Mục 2.1 Phương trình đồng dư ẩn Mục 2.2 Phương trình dồng dư bậc Mục 2.3 Hệ phương trình đồng dư ẩn Mục 2.4 Phương trình đồng dư ẩn bậc cao Mục 2.5 Phương trình đồng dư ẩn bậc cao theo môđun p Mục 2.6 Phương trình đồng dư bậc hai Kết chương trình bày chi tiết việc giải số dạng phương trình đồng dư trình bày lại chứng minh định lý Wilson Chương “ Phương trình Mordell” bao gồm mục Mục 3.1 Chuẩn √ vành Z[ d] số học Mục 3.2 Khái niệm phương trình Mordell Mục 3.3 Một vài phương trình có nghiệm Mục 3.4 Một vài phương trình vô nghiệm Mục 3.5 Ứng dụng thặng dư bậc Kết chương trình bày phương trình Mordell Đã số dạng phương trình có nghiệm vô nghiệm Trình bày thặng dư bậc ba Do thời gian kiến thức hạn chế nên trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS.TS Đàm Văn Nhỉ tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Tác giả luận văn Đồng Thị Huyền Trang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Lý thuyết đồng dư Phương pháp đồng dư Gauss đề xuất phương pháp hữu ích việc giải nhiều vấn đề có liên quan đến tính chia hết số nguyên 1.1 Phép chia vành Z Định lý 1.1.1 Với cặp số nguyên a b = 0, tồn cặp số nguyên q, r với ≤ r < |b| để a = qb + r Chứng minh: Sự tồn tại: Đặt T = {n |b| cho n |b| ≤ a, n ∈ Z,} Vì |b| ≥ nên − |a| |b| ≤ − |a| ≤ a Do − |a| |b| ∈ T Vậy T = Vì T tập bị chặn triên T có số lớn m |b| Từ m |b| ≤ a ta suy r = a − m |b| ≥ Ta lại có (m + 1) |b| = m |b| + |b| > m |b| Do m |b| lớn T nên (m + 1) |b| Như |b| > a − m |b| = r ta có a = qb + r với ≤ r < |b| Bây ta chứng minh tính Giả sử có hai biểu diễn a = qb + r với ≤ r < |b| a = q1 b + r1 với ≤ r1 < |b| Trừ vế, ta có r − r1 = b(q1 − q) Từ |r − r1 | < |b| ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn suy |q1 − q| |b| < |b| Vậy q = q1 r = r1 Giả sử a = qb + r, ≤ r < |b| Khi r = q gọi thườn phép chia a cho b , r ≤ q gọi thương hụt, gọi r số dư phép chia a cho b Định lý 1.1.2 [Định lý số học] Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích hữu hạn thừa số nguyên tố, phân tích không kể đến thứ tự thừa số Chứng minh: Xét tập F gồm tất số nguyên lớn không biểu diễn thành tích số hữu hạn thừ số nguyên tố Ta cần F = φ Thật vậ, giả sử F = φ Khi có hai sô nguyên dương q1 , q2 > để m = q1 q2 Vì q1 , q2 < m nên q1 , q2 ∈ / F Như ta có phân tích q1 = t1 , t2 , , th q2 = u1 , u2 , , uk , ti , uj số nguyên tố Khi m = q1 q2 = t1 t2 th u1 u2 uk Điều mâu thuẫn với giả thiết m ∈ F Như F tập rỗng Do số tự nhiên lớn phân tích thành tích hữu hạn thừa số nguyên tốt Bây giả sử số phân tích thành hai tích dạng A B thừa số nguyên tố Khi A = B Bằng cách lược bỏ tất thừa số nguyên tố xuất A B, ta nhận đẳng thức tương đương C = D Ta cần phải chứng minh C = D = Thật giả sử trái lại C = D ≤ Gọi p thừa số nguyên tố xuất C Khi p thừa số xuất biểu thức tích D Có nghĩa D không bội p, C không bội p (mâu thuẫn!) Vậy C = D = Điều chứng tỏ phân tích thừa số nguyên tố số nguyên >1 không kể đến thứ tự thừa số Khi phân tích số tự nhiên q > thành tích thừa số nguyên tố, số nguyên tố xuất nhiều lần Nếu số nguyên tố p1 , , ps Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xuất theo thứ tự α1 , , αs lần, ta viết q = pα1 pα2 pαs s ta gọi tích dạng phân tích tiêu chuẩn hay dạng phân tích tắc q Khi hai số nguyên dương a, b dạng phân tích tiêu chuẩn, có thừa số nguyên tố pcủa a không b, ta bổ sung vào phân tích b thừa số p0 (và ngược lại) Khi ta viết a = pu1 pu2 pus s b = pv11 pv22 pvss , có số mũ Như với hai số nguyên dương a, b tồn số nguyên tố p1 , p2 , , ps để a = pu1 pu2 pus s b = pv11 pv22 pvss , với số mũ nguyên không âm Khi dễ thấy rằng: min(u1 ,v1 ) min(u2 ,v2 ) p2 psmin(us ,vs ) (a, b) = p1 max(u1 ,v1 ) max(u2 ,v2 ) p2 psmax(us ,vs ) [a, b] = p1 Thuật toán Euclid: Giả sử a b hai số nguyên dương với a ≥ b đặt r0 = a, r1 = b Bằng cách áp dụng liên tiếp thuật toán chia, ta được: r0 = r1 q0 + r2 , r1 = r2 q2 + r3 , , rn−2 = rn−1 qn−1 + r2 , rn−1 = rn qn Với r1 > r2 > > r0 > Cuối cùng, số xuất dãy phép chia liên tiếp, dãy số dư b = r1 > r2 > ≥ không chứa b số Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 15 Phương trình đồng dư 20 2.1 Phương trình đồng dư ẩn 20 2.2 Phương trình đồng dư bậc 2.3 Hệ phương trình đồng dư ẩn 24 2.4 Phương trình đồng dư ẩn bậc... đồng dư bao gồm mục Mục 2.1 Phương trình đồng dư ẩn Mục 2.2 Phương trình dồng dư bậc Mục 2.3 Hệ phương trình đồng dư ẩn Mục 2.4 Phương trình đồng dư ẩn bậc cao Mục 2.5 Phương trình đồng dư ẩn... theo môđun p Mục 2.6 Phương trình đồng dư bậc hai Kết chương trình bày chi tiết việc giải số dạng phương trình đồng dư trình bày lại chứng minh định lý Wilson Chương “ Phương trình Mordell” bao