Ung dung toan hoc trong thuc tien

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM S GIO DC V O TO THI NGUYấN Nguyn Danh Nam Tài liệu Bồi d-ỡng giáo viên MôN: Toán học Chuyờn tng cng nng lc ng dng toỏn hc thc tin cho giỏo viờn toỏn trng THPT THI NGUYấN, 8-2010 MT S NG DNG CA TON HC TRONG THC TIN Trong lch s phỏt trin toỏn hc, ng i t lớ thuyt n ng dng khụng phi bao gi cng ging Thng thỡ cỏc kt qu lớ thuyt phi mt nhiu nm mi tỡm thy ng dng Nu khụng k nhng cụng trỡnh lớ thuyt cha c ng dng vo thc tin, cú l "k lc" v thi gian mt nghiờn cu toỏn hc vo c thc tin thuc v cụng trỡnh nghiờn cu ca Apolonius v cỏc ng cụnớc Khong cỏch thi gian ú l 2000 nm, t nh toỏn hc c Hy Lp "lm trũ chi" vi cỏc thit din ct t mt nún cho n nh thiờn hc Johan Kepler, v sau ú l Newton chng minh rng ho chuyn ng theo ng elớp Mt khong cỏch quỏ di, nhng bự li, mt ng dng cú l l v i nht lch s Cng chớnh vỡ thi gian mt kt qu toỏn hc lớ thuyt i vo thc tin quỏ lõu, nờn ngi ta thng xem toỏn hc l mt nhng ngnh khoa hc xa ri thc tin nht Cú th vỡ th m khụng my xem vic u t vo toỏn hc l mt nhu cu thit yu, cng khụng phi l mt nhu cu cp bỏch Nhng ngi ta ó phi nhỡn li, xut hin nhng nghiờn cu toỏn hc ht sc tru tng m li cú ng dng gn nh trc tip vo thc tin éú l nhng kt qu cú tớnh cỏch mng, nú xoỏ nho ranh gii gia "Toỏn hc lớ thuyt" v "Toỏn hc ng dng", thm chớ, gia Toỏn hc lớ thuyt v "ng dng toỏn hc" Ngy nay, nhng nghiờn cu tru tng v hin i nht ca hỡnh hc i s, s hc, lý thuyt phc cú th i vo cuc sng, phc v s phỏt trin ngy cng cao ca xó hi trao i thụng tin Di õy l mt s ng dng d thy nht ca toỏn hc thc tin: 1.1 Toỏn hc vi hi v kin trỳc 1.1.1 T l vng Khi v tranh ngi s thng ngn bỳt cun hỳt theo s rung ng tõm hn trc cnh vt, trc ngi Nhng nghiờn cu tranh, cỏc nh phờ bỡnh mi lm sỏng t cỏc dng b cc ca nú, qua ú hiu thờm nguyờn nhõn to sc truyn cm ca bc tranh Nhng cu trỳc hỡnh hc thng cú mt tỏc phm ca cỏc nh danh Cỏc biu vi cỏc mc hin din khỏc b cc bc tranh cng thng c xột n xem tranh, tựy thuc vo hỡnh dỏng ca hỡnh hỡnh hc c ly lm c s cho b cc bc tranh m ngi ta gi tờn cỏc loi b cc nh: b cc hỡnh chúp, b cc hỡnh trũn, b cc hỡnh xon c, Bi toỏn Chia mt on AB bi im M thnh hai phn khụng bng cho t s gia on nh Hỡnh im chia vng MB v on ln AM bng t s gia on ln v c on, ngha l MB MA AM T s ny xp x bng 0,618, gi l t l vng (hay s vng) M AB c gi l im chia vng Cỏch núi T l vng trờn nh danh ha, nh khoa hc ngi Italia Lộonard de Vinci (1452 - 1519) a Hỡnh T l vng trờn c th ngi Hỡnh Nng Mona Lisa Kin trỳc s La Mó Vitruve ó xut mt chun mc c Lộonard de Vinci biu th (H.2) trờn Theo kin trỳc s ny thỡ c th ngi ni tip c ng thi mt hỡnh trũn v mt hỡnh vuụng Bc trnh nng Mona Lisa (H.3) cng n cha nhiu t l vng Vi thc o tay, v giỏo s trit hc Adolf Zeising ó i kim tra nhng cụng trỡnh c in v i in Parthộnon Athốnes, nhng li vo thnh c Acropole Athốnes, n th Thộsộe, n th Jupiter Capilotin Rome, nhng tng Hi Lp Praxilốne v Phidias, v nhiu nh th ln Chõu u u cú cha t l vng Khụng bú hp vo cỏc tng i, Zeising tin xa hn na ễng tỡm tũi t l vng khoỏng vt, cõy c, sỳc vt v tt nhiờn trờn c th ngi ễng say sa thy t l vng dn tri tỏc dng tt p ca nú mi ni Hỡnh in Parthộnon Athốnes Cỏc bc thy v ngh thut c Ai Cp, c La Mó ó ý thc c t l p ny t lõu i T l vng thng tr ngh thut kin trỳc, iờu khc, hi t cỏc miu t thn Athen n cỏc thnh c La Mó, ri cỏc lng cụng nng n , cho ti thỏp Effel Paris, khp ni u vng: BC AB AB AC AC , 618 AD Hỡnh Hỡnh Trng phỏi Pythagoras c Hy Lp ó ly ngụi cỏnh lm biu trng ca mỡnh Bc tranh rng thụng ca Siskin: Nhng ngi yờu hi chc hn khụng th quờn mng tranh phong cnh Nga cui th k XIX vi nhng tờn tui lng danh th gii nh Shishkin, Vaxiliep, Aivazpxki, Kuinji, Lờvitan, ú l nhng bi th mu sc ca ngi thiờn nhiờn Nga ti p, tõm hn Nga cha chan vi nhng cõy i th sng sng, quờn thi gian, nhng súng bin tro dõng khỏt vng, nhng sui lang thang rúc rỏch, nhng ting vng xa xm t nhng cỏnh rng bch dng xanh ngt, Trong bc tranh Rng thụng ni ting ca Ivan Shishkin (1832 - 1898) cú th thy rừ t l vng Cõy thụng ng phớa trc bc tranh c mt tri chiu sỏng chia chiu di bc tranh theo t l vng Bờn phi cõy thụng ny mt gũ t rc nng chia mng bờn phi bc tranh theo t l vng Phớa trỏi cõy thụng ln li cú mt cõy na chia mng theo t l vng S cú mt ca cỏc nột dc v ngang bc tranh theo t l vng em n cm giỏc bỡnh n, yờn tnh Hỡnh Bc tranh Rng thụng 1.1.2 Hỡnh ch nht vng Hỡnh ch nht vng c ngi Hy Lp khỏm phỏ vo khong 500 nm trc Cụng nguyờn m du vt ngy cũn thy hi ha, iờu khc, kin trỳc Phộp dng loi hỡnh ch nht ny dn n s , s ny l chỡa khúa dng c ng giỏc u bng thc k v compa Ng giỏc u cng l mt tng phm na m thiờn nhiờn gi n cỏc nh toỏn hc Nú liờn quan gỡ n s vng m 0,618? T s ca di ng chộo trờn di mi cnh bng m Tht vy, xột mt ng giỏc u P1P2P3P4P5, gi s cỏc ng chộo bng v bng 1; cnh ca ng giỏc l x Gi E l giao im ca P1P3 v P2P4 D thy P4EP3 cõn P4 v P1P2P3 EP2P3 T ú: P1 P2 P1 P3 EP P2 P3 x x x Hỡnh Ng giỏc u x x Qu tht nghim dng ca phng trỡnh ny chớnh l m , 618 Khi nghiờn cu v ng giỏc u ngi Hy Lp ó thu c thờm hai tng phm quý giỏ na: ú l hai 12 mt u v 20 mt u Ng giỏc u ny li l mt ca 12 mt u v l a din ni tip 20 mt u, a din u ni ting nht s a din u Trong 12 mt u ta chng minh c ni tõm ca cỏc mt thớch hp ta s c hỡnh ch nht vng, cũn 20 mt u ta Hỡnh Khi 20 mt u cha hỡnh ch nht vng cng c hỡnh ch nht vng bng cỏch ni cỏc nh ca y Hỡnh ch nht vng c ngi Hy Lp ỏnh giỏ cao bi v p riờng ca nú v v p ca cỏc s kin toỏn hc cú liờn quan n nú Mi liờn h gia hỡnh ch nht vng v dóy s Fibonacci l ngun cm hng ca bao nhiờu khỏm phỏ toỏn hc Vo th k 18 ngi ta cũn tỡm thy rng hỡnh ch nht vng cú liờn h vi ng xon c lụgarớt m ng ny li cú liờn h vi th gii t nhiờn: cõy, c, sinh vt,(s c trỡnh by phn 1.2.2) (H.10) di õy cho ta thy mt hỡnh ch nht kớch thc x (mt th th vin chng hn) Nu ta gp th theo (H.11) thỡ mt hỡnh ch nht mi kớch thc hin T s cnh nh trờn cnh ln ca hai hỡnh ch nht y ln lt l: ,6 ; , 67 x xut Hỡnh 10 Hỡnh 11 Hai t s ny gn bng Hỡnh ch nht vng l hỡnh ch nht ng vi hai t s y bng iu ú cú ngha, hỡnh ch nht vng l hỡnh ch nht m ta ct i hỡnh vuụng cú cnh l cnh nh ca hỡnh ch nht thỡ ta c hỡnh ch nht mi ng dng vi hỡnh ch nht c Núi mt cỏch chớnh xỏc hn, hỡnh ch nht cú t l gia chiu rng v chiu di bng 0,618 (t s vng) c gi l hỡnh ch nht vng Gi chiu di v chiu rng ca hỡnh ch nht u tiờn ln lt l a v b vi iu kin b < a < 0,618b (*) Cỏc cp cnh ca cỏc hỡnh ch nht c thnh lp theo cỏch trờn l (cnh ln trờn, cnh nh di v u dng (*)): (a; b), (b; a b), (a b; 2b a), (2a 3b; 5b 3a), (5b 3a; 5a 8b), Qua ú ta thy cnh ln ca hỡnh ch nht bng tng ca hai cnh ca hỡnh ch nht k tip sau nú Ngoi ta cũn thy rng cỏc h s ca a v b cỏc biu thc cnh trờn cú mi liờn h mt thit vi cỏc s hng dóy Fibụnaxi Quỏ trỡnh thnh lp liờn tip cỏc cnh ca hỡnh ch nht ny khụng th kt thỳc c v iu ny núi lờn rng t s vng m ca s o hai cnh ca hỡnh ch nht th n n dn ti vụ hn, l s vụ t Paccioli (1502) gi s m l s thiờng liờng, s ca tri, chớnh Leonard de Vinci (1452 - 1519) gi nú l Hỡnh 12 s vng Chng minh s m l s vụ t c Campanus a vo nm 1260: Gi s m l s hu t ngha l t s ca hai s nguyờn dng Cỏc cnh ca cỏc hỡnh ch nht vng c vit liờn tip theo dóy sau: a, b, a b, 2b a, 2a 3b, 3a 5b, 5a 8b, Tt c u l s nguyờn dng tip din vụ tn v gim dn: iu ny khụng chp nhn c hp N Vy m l s vụ t Do tớnh cht ca hỡnh ch nht vng ta cú: b a a a b b a 1 b a hay l: m ta c: 1 m m m m Do m > nờn Nu ly ch s thp phõn thỡ ta cú: m , 618033989 Cú th dng on thng di m bng thc k v compa theo (H.13): Hỡnh 13 Cỏch dng s vng AE // IF, EF = FB = m 1.1.3 ng xon c vng Trc ht ta s dng mt ng gp khỳc m cỏc nh thuc mt ng xon c lụgarớt Bt u bng mt hỡnh ch nht vng ABDF chiu di l + m v chiu rng l T nh A thp nht ta dng ng thng to vi AF mt gúc 450 ng ny ct cnh trờn BD ti C H CH vuụng gúc vi AF ta c mt hỡnh ch nht vng mi CDFH T C v mt ng thng to vi cnh CH mt gúc 450; ng ny ct DF ti E H EJ vuụng gúc vi CH Ta li c mt hỡnh ch nht vng mi V c th tip tcta thu c ng gp khỳc ACEGI (H.14) Hỡnh ch nht vng th nht ABDF bin thnh hỡnh ch nht vng th hai CDFH bng mt phộp quay 900 tip theo l mt phộp co t s m (tc l mt phộp ng dng t s m) Cng nh vy t hỡnh ch nht th hai CDFH sang hỡnh ch nht th ba EFHJ Cỏc cnh ca hỡnh ch nht liờn tip ny l: + m, 1, m, m, 2m 1, Hỡnh 14 Do m 1 m ta cú th vit biu thc cỏc cnh trờn nh sau: m-1, m0, m1, m2, m3, Nh vy di cỏc cnh ca cỏc hỡnh ch nht to thnh mt cp s nhõn cụng bi q = m Ta chng minh ng gp khỳc ACEGI núi trờn hi t ti im T (H.15), giao im ca BF v DH, hai ng chộo tng ng hai hỡnh ch nht th nht v th hai T cng chớnh l tõm ng dng ó núi trờn Bõy gi ta s tỡm cỏc cụng thc n gin xỏc nh cỏc nh ca ng gp khỳc y Chn T l gc, r l khong cỏch t gc n cỏc nh Ta bit rng t nh ny sang nh k tip ta phi quay mt gúc 900 (chiu ACEGInh H.14) v cỏc khong cỏch t nh n gc T b co li theo t s m Gi t l s ln ca 900 quay, chng hn A ng vi t = 0; C ng vi t = 1; E ng vi t = 2,ta cú cụng thc nh cỏc nh ca ng gp khỳc l r = AT : mt cú cụng thc n gin hn na ta cú th t: R r (xem AT l n v) Th thỡ ta cú AT phng trỡnh xỏc nh cỏc nh l: R = mt, ú t ly cỏc giỏ tr nguyờn khụng õm: 0, 1, 2, 3, Bõy gi ta cho t ly cỏc giỏ tr thc khụng õm ta s c mt ng cong liờn tc nh hỡnh di õy gi l ng xon lụgarớt Hỡnh 15 ng xon lụgarớt Hỡnh 16 ng xon lụgarớt kin trỳc Bc tranh sn du ni ting Thiu n bờn hoa hu s Tụ Ngc Võn v nm 1943 Trong mu trng pht xanh, pht hng, cụ gỏi nhỡn hi nghiờng, u ng trờn cỏnh tay ang ngm hoa Dỏng mm mi ca cụ gỏi c tụn thờm bng t th c bit ca hai tay: cỏnh tay trỏi vũng qua u, t h lờn mỏi túc; cỏnh tay phi co t nhiờn, bn tay hi khum, ngún tay ly cỏnh hoa nõng niu, gng nh Gng mt cụ gỏi nh phng pht mt ni bun man mỏc Mu xanh cỏc sc cựng vi trng ng xanh gõy cho ngi xem cm giỏc hi bun, lnh Hai bụng hu to (hu tõy loa kốn), ni bt b mu trng tinh khit nh mang theo hng thm thoang thong cựng cỏi tao, huyn diu ca loi hoa ny Ton b Hỡnh 17 Thiu n bờn hoa hu bc tranh nh thm thỡ k vi ngi xem v mt cụ gỏi trng, th ngõy nhng cng y u t, day dt trc cuc sng Trc Tụ Ngc Võn, v c sau ny, cỏc s v thiu n vi hoa rt nhiu, nhiu bc rt p nh cỏc bc tranh ca Trn Vn Cn, Nguyn Sỏng, Mai Trung Th,nhng khụng cú mt thiu n tranh no cú t th l nh thiu n tranh bờn hoa hu ca Tụ Ngc Võn Hỡnh dỏng khỏc thng ny cú l liờn quan n ng xon c vng Hỡnh 18 ng xon c vng ng xon c l ng vch trờn mt phng ca mt cht im chuyn ng xa dn im gc trờn mt tia, theo mt quy tc nht nh, chớnh tia ny cng quay quanh im gc ú Nu cht im chuyn ng xa dn gc theo hm s m: r = k.es (k, s l tham s) thỡ ta s cú ng xon c lụgarớt ng xon c ny nh toỏn hc ngi Phỏp -Cỏc tỡm vo nm 1638, nú cú tớnh cht kỡ diu: Dự bn phúng to hay thu nh ng xon c lụgarớt thỡ hỡnh dng ca nú khụng h thay i cng nh ta khụng th phúng to hay thu nh mt gúc vy 10 hin vo th k th ba trc cụng nguyờn bi nh khoa hc Archimedes, ụng l ngi ó ghi li mt truyn thuyt, m tớnh chớnh xỏc ca nú cũn tranh cói v vic s dng cỏc tm gng parabụn bo v Syracuse ch La Mó, bng cỏch: hi t ỏnh sỏng mt tri v t thuyn chin ca La Mó Tớnh cht ny cng c ỏp dng to kớnh vin vng vo th k 17 Ngy nay, gng mang hỡnh parabụlụớt c s dng rt rng rói nh ng-ten vi súng v cho v tinh Cỏc hỡnh xoay parabụlụớt c quan sỏt thy ti mt cỏc cht lng c t mt vt cha xoay xung quanh mt trc trung tõm Trong trng hp ny, lc li tõm lm cho nc chm lờn thnh vt cha, to thnh mt parabụn õy l nguyờn tc ca gng cht lng Cỏc mỏy bay dựng to mụi trng phi trng lc cho mc ớch thớ nghim, vớ d nh cỏc Vomit Comet ca NASA bay theo mt qy o parabụn ng mt thi gian ngn, bng cỏch ú to mụi trng khụng trng lc Mt s chi, nh chi Halley, chuyn ng theo qu o elớp quanh mt tri nh mt v tinh Vỡ vy, chi Halley quay tr li tm nhỡn ca trỏi t theo mt chu kỡ no ú Tuy nhiờn, mt s chi ch xut hin mt ln vỡ qu o chuyn ng ca nú l hỡnh parabụn hoc hypebụn Chỳng ch chuyn ng qua mt tri mt ln v di h mt tri vnh vin Trong chng trỡnh THPT, khỏi nim cỏc ng cụnớc c gii thiu thụng qua qu tớch im Do vy, giỏo viờn cn dnh mt khong thi gian nht nh gii thiu v ng dng ca chỳng thc tin nhm cng c v dng cỏc khỏi nim ú 2.2 Khỏi nim tớch phõn xỏc nh Tớch phõn c s dng xỏc nh s lng phn t da trờn cỏc mụ hỡnh cú th d oỏn c quỏ trỡnh thay i ca nú, vớ d nh tng s dõn trờn c s bit t l sinh t Nú cng c dựng din t sc cha cỏc phn t no ú, vớ d nh din tớch hay th tớch Mt s ng dng ca tớch phõn khoa hc, k thut, thng mi v cụng nghip khụng th biu th bi cỏc phng trỡnh tuyn tớnh hoc cụng thc hỡnh hc Tớch phõn cú vai trũ vic tớnh chiu di, bi vỡ nú khụng ph thuc vo s thay i theo mt hng s no ú hay thm l cỏc hm n gin tỡm cõu tr li Vớ d, hc sinh c hc cụng thc S v t (khong cỏch bng tc nhõn vi thi gian) nhng 46 cụng thc ny ch ỳng nu vt cú tc u Trong thc t, tc ca vt cú th thay i, vớ d nh ụtụ chy trờn ng Nu tc ụtụ cú th c mụ t bi mt hm phi tuyn, thỡ tớch phõn cú th giỳp ta biu din quóng ng nh mt hm ca thi gian, v cho ta bit quóng ng m ụtụ i c cho dự tc cú thay i Tớch phõn xỏc nh ca hm s f(t) l tớch phõn m vic tớnh giỏ tr ca nú da trờn mt b chn no ú Tớch phõn xỏc nh cú th giỳp ta xỏc nh tng sn phm dt may mt giai on thi gian c th ngy Vớ d, gi s rng nh qun lý cụng ty may mc nhn rng cụng nhõn ca mỡnh may qun ỏo, tc lm vic ca h gim dn, cú l s mt mi hoc s nhm chỏn Sau thu thp cỏc s liu ca mt nhúm cụng nhõn, nh qun lý cú th xỏc nh c rng tc sn xut qun bũ ca cụng nhõn c biu din bi hm s f(t) = 6,37.e- 0,04t, ú t l s gi lm vic liờn tip i vi hai gi lm vic u tiờn, s lng sn phm mong i c xỏc nh bi tớch phõn xỏc nh sau: , 37 e , 04 t dt Trong hai gi u tiờn ca chu trỡnh sn xut qun bũ, din tớch (s lng) phn f t , 37 e gii hn bi hm s , 04 t v trc t trờn on [0, 2] xp x bng12,24 (cp qun bũ) Trong gi lm vic ca mt ngy, hai gi cui cựng sn phm ca mt cụng nhõn c biu din bi 6 , 37 e , 04 t dt , xp x bng 9,63 (cp qun bũ) Hỡnh 56 Hai gi lm vic u tiờn Hỡnh 57 So sỏnh vi hai gi lm vic cui 47 Trờn (H.57) ta thy rng din tớch ca phn din tớch gii hn bi th hm s f(t) vi trc honh trờn khong [6, 8] (phn en sm) nh hn nhiu so vi trờn khong [0, 2] (phn en nht) Thụng tin ny s giỳp cho ngi qun lý xỏc nh c no cụng nhõn nờn ngh gii lao h cú th lm tt hn cụng vic ca mỡnh Tớch phõn xỏc nh cng giỳp cỏc cụng ty cung cp nhit (giỳp tng hoc lm mỏt nhit phũng ca mi gia ỡnh) ỏnh giỏ c lng in hoc ga s phi tiờu th cho mi gia ỡnh Trong mt ngy bt kỡ, nhit cú th c biu din bng mt ng hỡnh sin vỡ nhit tng dn vo ban ngy v gim dn vo ban ờm v nú lp li iu ny c nm Vớ d, nhit cú th xung mc 500F vo lỳc gi sỏng v tng lờn 900F vo lỳc gi chiu Nu x biu din s gi mt ngy, ú nhit ( F) cú th c biu din bi phng trỡnh T 20 cos x 14 70 24 Gi s b phn iu chnh nhit phũng c thit lp l 800F mỏy iu hũa s t ng bt nu nhit ln hn hoc bng nhit ú S nng lng cung cp cho mỏy iu hũa ph thuc vo nhit bờn ngoi iu ú cú ngha rng mỏy iu hũa s s dng nhiu nng lng hn gi mỏt cho phũng nhit gn n 900F hn l nhit gn 800F Giỏ lm lnh cho phũng cú th l xu mt gi cho mi m nhit trờn 80 0F Nu nhit l 830F c mt gi, thỡ giỏ dựng iu hũa l 15 xu Tuy nhiờn, nhit thay i theo th hỡnh sin, giỏ qua tng phỳt thc s thay i Vỡ vy, tớch phõn xỏc nh gii hn bi thi gian nhit trờn 800F s giỳp ta d oỏn c giỏ s dng lm lnh phũng Nhit cú th t 800F lỳc x = 10 (10 gi sỏng) v x = 18 (6 gi chiu), vỡ vy giỏ s dng nng lng mt ngy xp x 2,62$ da trờn ỏnh giỏ biu thc sau: , 05 18 10 x 14 70 80 dx , 62 20 cos 24 $ Chỳ ý rng kt qu ny c biu din bng 0,05 ln din tớch gia ng cong T 80 T 20 cos x 14 70 24 , biu th hỡnh bờn (H.58) 48 v ng thng Hỡnh 58 Tớch phõn cng c s dng gii phng trỡnh vi phõn nhm thit lp mt phng trỡnh mi biu din mi quan h gia hai bin s Phng trỡnh vi phõn mụ t mi quan h gia mt mu vt vi mt tc phỏt trin no ú Vớ d, phng trỡnh vi phõn mụ t tc phỏt trin ca dõn s loi th: dP kP , ú P l s lng th, t l thi dt gian, v k l hng s phỏt trin Nu thỏng trc cú 200 th, v hin ti cú 500 thỡ tớch phõn s giỳp ta tỡm mt phng trỡnh biu th mi quan h gia s th qua mt khong thi gian no ú Trong trng hp ny, gii phng trỡnh vi phõn s cho ta kt qu l P 200 e ,131 t , ú t l s thỏng c tớnh t s th ban u c tớnh Thụng tin ny giỳp nụng dõn cú th bit c v ca h b nh hng th no qua thi gian v a bin phỏp phũng, bi vỡ h cú th d oỏn c s lng th sau mt khong thi gian no ú (gi s kt qu s khụng b nh hng bnh dch hoc b mt cp) Phng trỡnh d , gt v0t d thng c s dng Vt lý nghiờn cu v chuyn ng hc mụ t v trớ ca chuyn ng thng ng d ca mt vt da trờn thi gian t m vt ú chuyn ng Giỏ tr gia tc phng trỡnh trờn thng l 9,8 m/s 2, tc ban u ca vt v0, v v trớ chuyn ng ban u ca vt l d0 Vy phng trỡnh trờn c xỏc nh nh th no? Tớch phõn s giỳp ta gii thớch c biu thc ny c suy nh th no Gia tc ca mt vt chuyn ng theo chiu thng ng l mt hng s g, b qua sc cn ca khụng khớ Gia tc mụ t s thay i ca tc v, vỡ vy ta cú th biu din bng cụng thc phng trỡnh v gdt Vn tc ti thi im t = l v0, t d kin ny ta xỏc nh v gt v Vn tc biu th s thay i v trớ ca vt, vỡ vy d gt v dt Chuyn ng ri t ti thi im t = l d0, t ú xỏc nh c phng trỡnh: d , gt v0t d Nhiu cụng thc tớnh th tớch hỡnh hc cng s dng n khỏi nim tớch phõn Trong trng hp ny, tớch phõn úng vai trũ nh vt tớch tr cỏc phn th tớch nh cho ti no y ton b cn tớnh th tớch Vớ d, th tớch r ca hỡnh cu c biu 49 din bi cụng thc v r , ú r l bỏn kớnh hỡnh cu Phng trỡnh ny cú th c xỏc nh bng cỏch xoay na hỡnh trũn y r x 2 quanh trc honh Ta cú th tng tng hỡnh cu c ct thnh cỏc lỏt ct nh kiu hỡnh tr vi bỏn kớnh y v dy l x Th tớch ca lỏt ct hỡnh tr ny bng v y x Tớch phõn s tớnh th tớch ca tt c cỏc lỏt ct hỡnh tr ny khong t [-r, r] (H.59) Hỡnh 59 Vỡ vy th tớch ca hỡnh cu cú th c biu din bi cụng thc: v r r dx r x r 3 Cụng thc trờn cho bit nh sn xut cú th s dng bao nhiờu kim loi to mt cỏi tr hỡnh cu Cụng thc cng giỳp ch tim kem xỏc nh c s lng kem lm mt hp kem dng hỡnh cu Tuy nhiờn, mt t l lm th no d oỏn c lng kem, hoc nc hoa qu nu hp ng ca chỳng khụng phi hỡnh cu m l dng hỡnh qu tỏo, qu chanh hay qu lờ? Quỏ trỡnh tớnh th tớch cng c xỏc nh tng t nh i vi hỡnh cu, ngoi tr vic xỏc nh phng trỡnh biu din b mt ngoi ca hỡnh dng ú Vớ d, h trc ta -Cỏc, nu t lừi ca qu lờ dc theo trc honh, ly mt cỏi bỳt chỡ vch hỡnh dng ca qu lờ, bỳt chỡ li du vt ca hỡnh dng qu lờ hai gúc phn t u tiờn Mt phng trỡnh bc cú th c dựng miờu t du vt ghi li hỡnh dng ca qu lờ ú, vớ d nh hm s y , 016 x 50 , 094 x , 068 x , 242 x ,132 Sau ú xoay quanh trc honh to thnh mt hỡnh dng qu lờ (H.60) Tớch phõn c xõy dng tng t i vi hỡnh cu, v b gii hn bi cỏc giao im ca hm s vi trc honh, s xp x th tớch ca qu lờ Th tớch ca qu lờ trờn xp x 352 ml, ú l kt qu ca tớch phõn di õy (H.61): , 502 , 347 , 016 x , 094 x , 068 x , 242 x ,132 352 , 0372684 (ml) dx Hỡnh 60 Hỡnh dng qu lờ Hỡnh 61 Mụ hỡnh húa qu lờ bng phn mm Maple 51 2.3 Khỏi nim hm s Trc ht ta tỡm hiu khỏi nim v tim cn hm s Trong thc t, khỏi nim tim cn c s dng miờu t mt s hin tng nh: hin tng phõn ró phúng x ca mt phõn t Nu bin ph thuc y l s lng cỏc phõn t thỡ tim cn ngang y biu th quỏ trỡnh phõn ró phúng x trờn bi vỡ s lng phõn t tin dn n s Hu ht cỏc cht u cú quỏ trỡnh phõn hy, nh ngun nng lng pin hay cquy, tim cn y trờn th s biu th ngun nng lng nh mt hm ca thi gian Hin tng ngui i ca nc núng cc nh c phờ c minh s dng khỏi nim tim cn vỡ nc s ngui dn bng vi nhit phũng cỏi cc ú Hin tng núng lờn ca nc ỏ cc cng c din t tng t Trong c hai trng hp trờn, ng tim cn biu din nhit phũng Khi nghiờn cu v hm s, cỏc nh toỏn hc trung vo mt s dng hm s cú nhiu ng dng nht, vớ d nh hm s dng k y x , hm s tuyn tớnh, hm s bc hai, hm s lng giỏc, hm s m v hm s lụgarớt i vi hm s tuyn tớnh, ta cú th minh mt s quan h sau: ng i c bng tc nhõn thi gian), F C 32 y ax (quóng (cụng thc chuyn t F sang C), h 69 , 089 , 238 f (cụng thc tớnh l chiu cao ca nam gii da trờn chiu di xng ựi tớnh theo centimột), Trong thc tin, ta cú th mụ hỡnh húa mt s mi quan h bng toỏn hc, t ú a cỏc d oỏn tng lai Vớ d, ta xột bng thng kờ sau v k lc chy 100 (tớnh theo giõy) ca cỏc nam ng viờn ti cỏc th hi Olympic hố t nm 1900 n nm 2008: 11.0 11.0 10.8 10.08 10.06 10.08 10.03 10.03 10.03 10.04 10.05 10.02 1900 1904 1908 1912 1960 10.06 9.95 1964 1968 1924 1928 10.14 10.06 10.25 9.99 9.92 9.96 9.84 9.87 9.85 9.69 1972 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008 1976 1920 1980 52 1932 1948 1952 1956 Da trờn cỏc s liu trờn, ta dựng mỏy tớnh x lý v a c th hm s tuyn tớnh biu din xp x cỏc giỏ tr (s giõy) theo cỏc nm t chc th hi hố: Hỡnh 62 th biu din xp x thnh tớch ca cỏc nam ng viờn Hm s biu din mi quan h tuyn tớnh: t , 009942 N 29 , 65899484 , t l thi gian chy 100 một, N l s nm T ú, ta cú th d oỏn v thnh tớch ca nam ng viờn chy 100 ti Olympic London 2012 nh sau: t , 009942 2012 29 , 65899484 , 66 (giõy) Tng t nh trờn, chỳng ta cng cú th mụ hỡnh húa mi quan h gia s o ca ngi ph n sn xut qun ỏo cho a s ph n: C (C) Ngc (N) Eo (E) Hụng (H) 10 12 14 16 18 20 30.5 31.5 32.5 34 36 38 40 42 23 24 25 25.5 28 30 32 34 32.5 33.5 34.5 36 38 40 42 44 S o ca ph n theo vũng ngc, eo, hụng (tớnh theo n v inch) Dựng mỏy tớnh in t, ta cú th a cỏc quan h tuyn tớnh sau: N 1,1 E , H N 53 C 1, E 20 , Hỡnh 63 Mi quan h gia cỏc s o ca ph n 2.4 Khỏi nim chu vi Khỏi nim chu vi c s dng cho rt nhiu mc ớch K s xõy dng dựng xỏc nh on chia ct gia tng nh vi nn, tng nh vi trn cho mi phũng xõy dng mt ngụi nh Ha s s dng chu vi xỏc nh lng nguyờn vt liu dựng to khung cho bc tranh ca mỡnh Ch nụng tri dựng chu vi xỏc nh chiu di hng ro cho sõn sau nh mỡnh, Gi s bỏc nụng dõn cn xõy hng ro 80 quõy vt nuụi ca mỡnh cho hng ro to thnh hỡnh vuụng Nu quõy theo hỡnh ch nht, chiu di l l v chiu rng l w thỡ chu vi ca hng ro hỡnh ch nht s l: 80 l w hay l w 40 Trờn thc t bỏc nụng dõn cn xõy dng hng ro cho to c khụng gian rng rói cho vt nuụi Vỡ vy, bỏc nụng dõn cn xỏc nh chiu di v chiu rng ca hỡnh ch nht trờn tha iu kin din tớch hỡnh ch nht l ln nht Ta cú din tớch a lw 40 w w 40 w w th Hỡnh 64 54 ca hm s a 40 w w t giỏ tr ln nht chiu rng l 20 Nu chiu rng l 20 thỡ chiu di cng bng 20 Do ú, bỏc nụng dõn nờn xõy hng ro theo hỡnh vuụng Tuy nhiờn mt t l bỏc nụng dõn cn xõy dng hng ro chia hỡnh vuụng ú thnh cỏc phn khỏc dnh cho cỏc vt nuụi khỏc Do ú, cn c xem xột li Gi s, cú cỏc vt nuụi l g v ln, ch cn chia mt hng ro na Trong trng hp ny, cỏch chia tt nht l cỏch chia cho tha phng trỡnh w l 80 Din tớch lỳc ny l (H.65): a 40 , w w 40 , w Din tớch t giỏ tr ln nht w Hỡnh 65 40 Khi ú chiu di bng 20 Khi ú, vic chia hng ro l tt nht (H.66) Ln G Khỏi nim chu vi cng c s dng vic xõy dng ng chy cho cỏc ng viờn in kinh sõn ng Vớ d, Hỡnh 66 ng chy 400 biu din chu vi ca hai na ng trũn bng nhau, ú ti cỏc ch ngot, v chy thng cú di l 100 Xõy dng ng chy theo s chiu nh trờn ũi hi cỏc nh thit k phi xỏc nh chiu rng ca mi ng chy thng, ú l ng kớnh ca na ng trũn Vỡ chu vi ca ng trũn l d , ú d l ng kớnh ca ng trũn Khi ú d 2C , ú C l na chu vi ca ng trũn, chớnh l quóng ng 100 ngot ca ng chy Khong cỏch chiu ngang mt ng chy l d 100 63 , 662 ỏnh du im bt u chy ca mi ln chy theo quy tc xỏc nh chiu di ng chy Vớ d, nu chiu rng ca mi ln chy l 1,067 một, bỏn kớnh ca na ng trũn ch ngot l 63,662 Trong cựng mt ln chy, ng viờn chy ln 55 s s chy 400 một, nhng cỏc ng viờn cỏc ln chy khỏc s phi chy xa hn nu tt c cựng xut phỏt cỏc v trớ ging v phi chy c nh ln chy ca mỡnh Vn ng viờn chy ln th hai s chy ch ngot vi bỏn kớnh 64,729 một, ú phi chy thc t l 64 , 729 101 , 676 Vỡ vy, ng viờn ln th hai cn ng im chy v phớa trc ng viờn ln th nht l 1,676 vũng chy u tiờn Vỡ cỏc ln chy cú chiu rng bng nờn cỏc ln tip theo v trớ xut phỏt ca ng viờn ngn hn ln trc nú l 1,676 Hỡnh 67 Cỏc ln chy sõn ng Cng liờn quan n khỏi nim chu vi, ta hóy xột bi toỏn sau c cỏc nh toỏn hc quan tõm vỡ nú cú ng dng rt ln thc tin, c bit l Vit Nam, m s lng bom mỡn cũn sút li sau chin tranh l rt ln Bi toỏn dũ mỡn Mt ngi lớnh cn kim tra mỡn mt vựng to thnh mt tam giỏc u Bỏn kớnh hot ng ca mỏy dũ mỡn bng mt na ng cao ca tam giỏc Gi s ngi lớnh bt u t mt nh no ú ca tam giỏc Tỡm quóng ng i ngn nht ngi lớnh cú th thc hin c nhim v ca mỡnh Gii Gi h l di ng cao ca ABC u (H.68) Gi s ngi lớnh bt u dũ mỡn t v trớ im A Xột cỏc ng trũn k1 v k2 vi cỏc tõm tng ng l B v C, bỏn kớnh bng h/2 kim tra c cỏc im B v C, ng i ca ngi lớnh phi i qua giao im ca k1 v k2 Gi s rng tng quóng ng i ca ngi lớnh l t v ngi lớnh n v trớ im M nm trờn k2 trc v sau ú n v trớ im N nm trờn k1 Gi D l giao im ca k2 v ng cao i qua nh C ca ABC v gi l l ng thng i qua D, song song vi AB Cng thờm hng s h/2 vo i lng t v s dng bt ng thc tam giỏc, ta cú: 56 t h AM + MN + NB = AM + MP + PN + NB AP + PB, ú P l giao im ca MN v l Mt khỏc, ta li cú AP + PB AD + DB (trong cỏc tam giỏc cú cựng ỏy v cựng din tớch thỡ tam giỏc cõn cú chu vi nh nht), ng thc trờn xy P = D T ú ta suy t h AD + DB hay t AD DE , ú E l giao im ca DB v k1 (H.68) Lp lun trờn ch rng ng m ngi lớnh phi i xut phỏt t A, qua mt im nm trờn ng trũn k2, sau ú qua mt im khỏc nm trờn ng trũn k1 l ng gp khỳc Hỡnh 68 ADE iu ú cú ngha l nu di chuyn theo ng gp khỳc ny ngi lớnh s kim tra c mỡn nm vựng b gii hn bi ABC Gi F, Q v L l cỏc trung im ca AB, AC v BC Vỡ DL < h/2, nờn ta suy ng trũn vi tõm D, bỏn kớnh h/2 cha ton b QLC Mt khỏc, t v trớ im D ngi lớnh cú th kim tra ton b vựng mỡn b gii hn bi QLC Khi ngi lớnh di chuyn trờn on thng AD, s kim tra c cỏc im nm vựng b gii hn bi t giỏc AFDQ; di chuyn trờn on thng DE, cú th kim tra c tt c cỏc im vựng b gii hn bi t giỏc FBLD Nh vy, di chuyn theo ng gp khỳc ADE, ngi lớnh cú th kim tra c ton b mỡn nm vựng gii hn bi ABC Vỡ th, ng i ADE l mt gii phỏp cho ny Mt gii phỏp khỏc ú l ng gp khỳc i xng vi ADE qua ng thng CD Ngoi khụng cũn gii phỏp no tt hn cho ngi lớnh xut phỏt t im A Nh vy bỏi toỏn ó c gii quyt xong, cũn li l tựy theo a hỡnh thc t m ta ỏp dng kt qu ca bi toỏn ny vo tỡnh thớch hp Qua bi toỏn ny, giỏo viờn cú th cho hc sinh thy c nhng kin thc toỏn hc rt n gin c n cỏc c coi l cp bỏch ca xó hi 57 2.5 Khỏi nim v cỏc phộp bin hỡnh Phộp bin hỡnh c a vo sỏch giỏo khoa ph thụng khụng nhng giỳp phỏt trin t hm (phộp bin hỡnh l mt hm s), hiu bit v s bin i hỡnh dng khụng gian cuc sng m nú cũn giỳp cỏc em thy c nhng ng dng ca phộp bin hỡnh vic gii quyt cỏc bi toỏn thc t Bi toỏn Ngi dõn sng th trn A v lm vic cụng ty B Hng ngy, trc i lm h phi a n trng hc Hóy tỡm mt a im xõy dng trng T nm trờn tuyn ng d cho quóng ng i t nh n cụng ty ca ngi dõn l nh nht? Gii Dng nh B ca B qua phộp i xng trc d v ni on thng BA Giao im C ca BA v d chớnh l im cú th xõy dng trng hc T vỡ chỳng ta cú: CA + CB = CA + CB BA = CA + CB = CA + CB T ú ta cú iu phi chng minh Hỡnh 69 Bi toỏn Hai thnh ph A v B nm hai phớa ca mt dũng sụng Hóy chn mt a im xõy dng mt chic cu C bc qua sụng cho quóng ng i gia hai thnh ph l nh nht? (gi s hai b sụng song song vi v cu nm vuụng gúc vi b sụng) Gii Dng nh B ca B qua phộp tnh tin theo vộct ED (hng vuụng gúc vi b sụng) Ni on thng AB Giao im F ca AB vi ng thng b sụng phớa di l a im tt nht xõy chic cu vỡ ta cú: AD + DE + EB = (AD + DB) + BB AB + BB = AF + FG + GB Hỡnh 70 58 Bi toỏn Hai thnh ph A v B nm hai phớa ca hai nhỏnh hỡnh ch Y ca mt sụng Hóy chn a im xõy dng hai chic cu C1 v C2 cho quóng ng i gia hai thnh ph l nh nht? (gi s hai b sụng song song vi v cu nm vuụng gúc vi b sụng) Gii Dng nh A ca A qua phộp tnh tin theo vộct phộp tnh tin theo vộct MO LN v B l nh ca B qua (cỏc vộct cú hng vuụng gúc vi b sụng) v ni on thng AB Giao im N v O ca AB vi cỏc ng thng b sụng chớnh l cỏc a im tt nht xõy dng cu vỡ: AL + LN + NO + OM + MB = = AA + AN + NO + OB AA + AB + BB = AA + AN + NO + OB + BB Hỡnh 71 Bi toỏn Cho ba lng A, B, C to thnh mt tam giỏc Tỡm v trớ im O nm ABC xõy dng mt trm bin ỏp cho tng quóng ng n ba lng trờn (hay tng: OA + OB + OC) l nh nht Gii Dng tam giỏc u ACB' phớa ngoi ABC, dng tam giỏc u OO'C cho O' v B' cựng phớa b OC Hỡnh 72 nờn COA = CO'B' Suy OA = O'B'; OC = OO'; OB + OC + OA = OB + OO' + O'B' BB'; (OB + OA + OC)min B, O, O', B' thng hng; O2 = 1200 (vỡ O1 = 600) COA = 1200 (1); O2 = 1200 (vỡ O1 = 600) BOC = 1200 (2) T (1) v (2) AOB = 1200 O l im cn tỡm (im Tụrixenli) Nu A 1200 thỡ O A 59 Hỡnh 73 TI LIU THAM KHO [1] Amir D Aczel (2002), Cõu chuyn hp dn v bi toỏn Phộcma, Nh xut bn Giỏo dc [2] Lờ Hi Chõu (2000), Trm l mt chuyn lớ thỳ v toỏn, Nh xut bn Thnh ph H Chớ Minh [3] Lờ Hi Chõu (2007), Toỏn hc vi i sng, sn xut v quc phũng (Tp 1), Nh xut bn tr [4] Trng Quang (2004), Con s i sng quanh ta (Tp 2), Nh xut bn Giỏo dc [5] Nguyn Bỏ ụ, ng Hựng Thng, Hong Vn Trung (2005), Mt s toỏn hc cha gii quyt c, Nh xut bn Giỏo dc [6] John Fauvel, Raymond Flood & Robin Wilson (2006), Music and Mathematics From Pythagoras to Fractals, Oxford University Press [7] Matila Ghyka (1977), The Geometry of Art and Life, Dover Publications, Inc, New York [8] Evan M Glazer, John W McConnell (2002), Real-life Math: Everyday Use of Mathematical Concepts, Greenwood Press [9] Edward Kacki, Andzej Malolepszy, Nguyn Xuõn Qunh (2004), Th gii ca cỏc ng dng toỏn hc, Nh xut bn khoa hc v k thut [10] Nguyn Danh Nam (2010), Beweisen lernen Ein Hilfe-System mit Dynamischer Geometrie Software, Doktorandenkolloquium, Kloster Bronnbach, Germany [11] Jỹrgen Roth (2008), Wie parkt man richtig ein ?, Mathematik lehren, Heft 149 [12] Tuyn chn theo chuyờn toỏn hc v tui tr (Quyn 1) (2005), Nh xut bn Giỏo dc [13] ng dng toỏn hc mt s ngnh khoa hc v k thut quan trng (2002), Hi tho khoa hc, Hi ng dng toỏn hc Vit Nam, H Ni 60 ... chung: Góc tù 109026‟, góc nhọn 70032‟ Một nhà toán học Thụy sĩ, Viện sĩ Viện hàn lâm khoa học Pari, tính Hình 19 Cấu trúc tổ ong muốn tiết kiệm vật liệu dùng làm tổ ong (tức sáp ong) có dung. .. giác hài hòa, cân đối tranh tƣ cô gái nói thấy Chúng ta vẽ tranh này, họa sĩ Tô Ngọc Vân có hình dung đƣờng xoắn ốc vàng tranh không nhƣng đƣờng xoắn ốc vàng tranh giúp ta cảm thụ tranh cách đầy...1 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG THỰC TIỄN Trong lịch sử phát triển toán học, đƣờng từ lí thuyết đến ứng dụng giống Thƣờng kết lí thuyết