ĐỀ KIỂM TRA 11 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: Cho dãy số tự nhiên được viết theo quy luật sau: u 1 = 14, u 2 = 144, , u n = 144 4 (n chữ số 4) Tìm các số hạng của dãy là số chính phương Bài 2: Cho 3 số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn: Chứng minh rằng: Bài 3: Tìm cặp số tự nhiên m, n thỏa mãn hệ thức: m 2 + n 2 = m + n + 8 Bài 4: Xác định các số nguyên tố p, q sao cho A = p 2 – pq + 2q 2 và B = 2p 2 + pq + q 2 là các số nguyên tố cùng nhau. Bài 5:Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt. Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1 Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác góc BAD cắt các đường thẳng BC, CD lần lượt tại M, N. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. a) Chứng minh rằng COBD là tứ giác nội tiếp b) Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN với đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD, K khác C. Chứng minh rằng tam giác AKC vuông tại K ĐÁP ÁN Đ Ề 11 Bài 1: Cho dãy số tự nhiên được viết theo quy luật sau: u 1 = 14, u 2 = 144, , u n = 144 4 (n chữ số 4) Tìm các số hạng của dãy là số chính phương Lời giải: Xét các trường hợp: a) n < 4 Dễ dàng nhận thấy u 1 =14 không phải là số chính phương và u 2 = 144 = 12 2 , u 3 = 1444 = 38 2 là các số chính phương. b) n ≥ 4 u n = 144 4 = 10000A + 4444 với A là một số nguyên nào đó Vì 10000 16 và 4444 chia 16 dư 12 nên u n chia 16 dư 12 Bây giờ giả sử u n là số chính phương, vì u n chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 16 nên u n = (4k + 2) 2 =16(k 2 + k) + 4 u n chia 16 dư 4. Vô lý Vậy u n không phải là số chính phương. Kết luận: Trong dãy số tự nhiên {u n } đã cho, chỉ có u 2 = 144 và u 3 = 1444 là các số chính phương. Bài 2: Cho 3 số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn: Chứng minh rằng: Lời giải: Bổ đề: Bài toán tổng quát: Cho dãy số {a n } là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn: Chứng minh rằng: Chứng minh bổ đề: Đặt . Từ giả thiết ban đầu của bổ đề, ta được: và x i là các số thực dương. Ta có: (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy số: và , ta được: (2) Từ (1) và (2) suy ra: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bổ đề được chứng minh. Áp dụng bổ đề với n = 3 ta được bài toán đã cho. Bài 3: Tìm cặp số tự nhiên m, n thỏa mãn hệ thức: m 2 + n 2 = m + n + 8 Lời giải: Ta có: m 2 + n 2 = m + n + 8 4m 2 + 4n 2 = 4m + 4n +32 (2m – 1) 2 + (2n –1) 2 = 34 (1) Vì 34 biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của hai bình phương 34 = 3 2 + 5 2 nên: (1) Vậy các cặp số (m, n) thỏa mãn bài toán là: (m; n) = (2;3), (3;2) Bài 4: Xác định các số nguyên tố p, q sao cho A = p 2 – pq + 2q 2 và B = 2p 2 + pq + q 2 là các số nguyên tố cùng nhau. Lời giải: Xét các trường hợp: a) p = q =2. Khi đó A = 8, B = 16 và như vậy (A, B) = 8. Loại b) p>2 và q>2. Khi đó p, q đều là số lẻ và do đó A, B đều chẳn A, B không nguyên tố cùng nhau. c) p = 2 và q>2.Khi đó q là số lẻ và A = 2q 2 – 2q + 4 và B = q 2 + 2q + 8 Ta có: (A, B) = (2q 2 – 2q + 4, q 2 + 2q + 8 ) = (q 2 – q + 2, q 2 + 2q + 8 ) = (q 2 + 2q + 8 –( q 2 – q + 2), q 2 + 2q + 8 ) = (3(q+2), q 2 + 2q + 8 ) Vì q 2 + 2q + 8 =(q+1) 2 + 7 chia cho 3 có số dư là 1 hoặc 2 nên: (3(q+2), q 2 + 2q + 8 ) =(q+2, q 2 + 2q + 8 ) = (q+2, 8 ) =1 Vậy (A, B) =1 d) p > 2 và q = 2. Khi đó p là số lẻ và A = p 2 – 2p + 8 và B = 2p 2 +2p + 4 Lý luận tương tự như trường hợp c), ta có: (A, B) = (p 2 – 2p + 8, 2p 2 +2p + 4) = (p 2 – 2p + 8, p 2 +p + 2) = (p 2 – 2p + 8, p 2 +p + 2 –( p 2 – 2p + 8)) = (p 2 – 2p + 8, 3(p – 2)) =( p 2 – 2p + 8, p – 2) =(8, p – 2) =1 Vậy (A, B) =1 Kết luận: A, B nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi trong hai số nguyên tố p, q có đúng 1 số bằng 2. Bài 5:Trong một tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt. Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1 Lời giải: Kẻ các đường trung bình của tam giác, các đường trung bình chia tam giác đã cho thành các tam giác con như hình vẽ. Dễ dàng nhận thấy: Độ dài cạnh lớn nhất của các tam giác con đều bằng 1 Gieo 5 điểm ban đầu vào tam giác lớn thì 5 đó sẽ nằm trong 4 tam giác con. Theo nguyên tắc Derichle, tồn tại hai điểm nằm trong cùng một tam giác con. Và do đó khoảng cách giữa hai điểm đó sẽ không lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất của tam giác, nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm đó không lớn hơn 1. ĐPCM. Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác góc BAD cắt các đường thẳng BC, CD lần lượt tại M, N. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. a) Chứng minh rằng COBD là tứ giác nội tiếp b) Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN với đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD, K khác C. Chứng minh rằng tam giác AKC vuông tại K Lời giải: a) Ta có: AMB = MAD = MAB ABM cân tại B MB = AB = CD Lại có: CNM = NAB = AMB = CMN CMN cân tại C. CN = CM CON = COM (cạnh, cạnh, cạnh) OCN = OMC OCD = OMB Xét BMO và DCO có: MB = CD, BMO = DCO, MO = CO Suy ra: BMO = DCO ( góc, cạnh, góc) MBO = CDO Tứ giác COBD là tứ giác nội tiếp. ĐPCM. b) Gọi I là giao điểm của AC và BD,K’ là điểm đối xứng của C qua OI, ta chứng minh K’ K,thật vậy: Vì K’ đối xứng với C qua OI nên OK’ = OC K’ nằm trên đường tròn (O) (1) Mặt khác, theo kết quả câu a) COD = MOB OD = OB OBD cân tại O Mặt khác vì I là giao điểm của AC và BD nên I là trung điểm của AC và của BD Như vậy: OBD cân, có OI là trung tuyến nên cũng là đường cao OI BD Xét trục đối xứng OI có: K’ đối xứng với C, B đối xứng với D OCD = OK’B OK’B = OCD Do đó: OK’B + OCB = OCD + OCN = 180 0 Tứ giác OK’BC là tứ giác nội tiếp K’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD (2) Từ (1) và (2) suy ra K’ là giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác CBD. Suy ra K’ K Vì OI là đường trung trực của CK nên OI đi qua trung điểm của CK và OI vuông góc với CK. Mặt khác I là trung điểm của AC nên OI là đường trung bình của tam giác ACK OI || AK Vì CK vuông góc với OI nên CK vuông góc với AK. Hay nói cách khác tam giác AKC vuông tại K. ĐPCM. . Bổ đề: Bài toán tổng quát: Cho dãy số {a n } là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn: Chứng minh rằng: Chứng minh bổ đề: Đặt . Từ giả thiết ban đầu của bổ đề, . ĐỀ KIỂM TRA 11 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: Cho dãy số tự nhiên được viết