C đại số

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Hà Thị Thu Hiền C*- ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Hà Thị Thu Hiền C*- ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Bùi Kiên Cường Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Hà Thị Thu Hiền i Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn thầy giáo TS Bùi Kiên Cường đề tài "C*-Đại số" hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong trình hoàn thành đề tài, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Hà Thị Thu Hiền ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Phổ đại số Banach 1.1 1.2 Đại số Banach, C*-Đại số 1.1.1 Một số kiến chuẩn bị 1.1.2 Đại số Banach, C*-Đại số Phổ phần tử đại số 12 Lý thuyết giao hoán 25 2.1 Đại số thương (A/I) 25 2.2 Biến đổi Gelfand 28 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Lời mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt với toán học toán học ứng dụng, nội dung rộng đa dạng Trong giải tích hàm, có lớp C*-Đại số lớp đặc biệt đại số Banach Nhưng thời gian học lớp hạn chế nên vấn đề liên quan đến C*-Đại số chưa sâu vào nghiên cứu cách cụ thể chi tiết, với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề góc độ sinh viên sư phạm toán với hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Bùi Kiên Cường em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết đề tài "C*-Đại số" Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài, giúp em bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu sắc môn giải tích hàm đặc biệt tìm hiểu sâu C*-Đại số Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phổ đại số Banach lý thuyết giao hoán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Một số vấn đề C*-Đại số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp: Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo đề tài Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền bao gồm chương: Chương 1: Phổ đại số Banach Chương 2: Lý thuyết giao hoán Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Phổ đại số Banach 1.1 1.1.1 Đại số Banach, C*-Đại số Một số kiến chuẩn bị Mục dành cho việc trình bày số khái niệm số kết có tài liệu tham khảo mà chúng cần dùng khóa luận Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường F (F = R F = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) x ≥ 0, ∀x, y ∈ X; x = ⇔ x = 2) ax = |a| x , ∀x, y ∈ X, ∀a ∈ F 3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X ( Bất đẳng thức tam giác) Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định lý 1.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền x, y ∈ X ta đặt d(x, y) = x − y (1.1) Khi d metric X Nhờ Định lý 1.1, không gian định chuẩn trở thành không gian metric với metric (1.1) Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, lim xn − x = Kí hiệu n→∞ lim xn = x hay xn → x (n → ∞) n→∞ Dựa vào định nghĩa dễ dàng chứng minh số tính chất đơn giản sau đây: 1) Nếu dãy (xn ) hội tụ tới x, dãy chuẩn xn hội tụ tới x Hay nói cách khác, chuẩn hàm giá trị thực liên tục theo biến x 2) Nếu dãy điểm (xn ) hội tụ không gian định chuẩn X, dãy chuẩn tương ứng ( xn ) bị chặn 3) Nếu dãy điểm (xn ) hội tụ tới x, dãy điểm (yn ) hội tụ tới y không gian định chuẩn X, dãy số (αn ) hội tụ tới α, xn + yn → x + y(n → ∞), αn xn → αx(n → ∞) Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy (dãy Cauchy), lim m,n→∞ Footer Page of 161 xn − xm = Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Nhờ định lí làm đầy không gian metric metric (1.1), không gian định chuẩn không không gian Banach làm đầy thành không gian Banach Ví dụ 1.1.1 1) C(X) không gian tất hàm liên tục X → F với X không gian compact Ta định nghĩa chuẩn hàm số sau: f = sup |f (x)| C(X) đầy đủ với chuẩn nên C(X) không x∈X gian Banach 2) Cho E tập đo Lebesgue độ đo µ σ − đại số F tập E Họ tất hàm số f (x) có lũy thừa bậc p(1 ≤ p < ∞) modun khả tích E, tức cho |f |p du < ∞ E gọi không gian Lp (E) Đây không gian Banach với chuẩn f = |f |p du p E Định nghĩa 1.5 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường F (F = R F = C) Ánh xạ A : X → Y gọi toán tử tuyến tính ánh xạ A thỏa mãn điều kiện: 1) (∀x, x ∈ X) A(x + x ) = Ax + Ax 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ F ) A(αx) = αAx Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện 1) A gọi toán tử cộng tính, A thỏa mãn điều kiện 2) A gọi toán tử Khi Y = F toán tử tuyến tính A thường gọi phiếm hàm tuyến tính Footer Page 10 of 161 Header Page 29 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Thay a aa∗ (1.3) sử dụng điều , ta có π(a) = νB (π(aa∗ )) ≤ aa∗ = a Hệ 1.5 Nếu π *-đẳng cấu, đẳng cự Đặc biệt, có nhiều chuẩn tạo đại số Banach với phép đối hợp đẳng cự thành C*-Đại số Định lý 1.13 Nếu B *-đại số đóng C*-Đại số với phần tử đơn vị, ∀b ∈ B, σA (b) = σB (b) Chứng minh Vì phổ phần tử tự liên hợp C*-Đại số thực, (Định lý 1.9, Hệ 1.4) phần tử tự liên hợp có phổ A B Bây giờ, λ ∈ ρA (b), λe − b liên hợp có nghịch đảo A Do ∈ / σA ((λe − b)(λe − b)∗ ) (λe − b)(λe − b)∗ tự liên hợp, có nghịch đảo B Viết x nghịch đảo, ta có e = (λe − b)(λe − b)∗ x (λe − b) có nghịch đảo B Tương tự, (λe − b) có nghịch đảo trái B thảo luận đại số đơn giản khả nghịch Vì vậy, σB (b) ⊆ σA (b), ∀b ∈ B σA (b) ⊆ σB (b) rõ ràng Vậy σA (b) = σB (b) Footer Page 29 of 161 24 Header Page 30 of 161 Chương Lý thuyết giao hoán Trong phần thấy đại số giao hoán có đơn vị ánh xạ vào đại số tất hàm liên tục không gian compact Trong trường hợp C*-Đại số, phép nhúng *-đẳng cấu đẳng cự 2.1 Đại số thương (A/I) Định nghĩa 2.1 Cho X không gian tuyến tính Y không gian X , ta định nghĩa quan hệ tương đương ∼ X x1 ∼ x2 ⇔ x1 − x2 ∈ Y Kí hiệu lớp tương đương x [x] (kí hiệu x + Y sử dụng) Không gian thương X /Y định nghĩa tập hợp lớp tương đương, với phép cộng phép nhân vô hướng định nghĩa cách tự nhiên Footer Page 30 of 161 25 Header Page 31 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Mệnh đề 2.1 Nếu X không gian Banach Y không gian đóng X /Y không gian Banach chuẩn [x] = inf x + y y∈Y Mệnh đề 2.2 Nếu A đại số I ⊆ A phép nhân [a] [b] = [a.b] xác định I idean Trong trường hợp đại số Banach A có idean đóng I, xây dựng làm A/I đại số Banach Hơn A C*-Đại số A/I C*-Đại số Từ phần này, ta giả sử A đại số giao hoán có đơn vị e Rõ ràng, idean I hai phía đại số thương A/I giao hoán Định lý 2.1 Nếu idean tối đại M A, A/M phép đẳng cấu đẳng cự tới C Chứng minh Từ Hệ 1.1, M đóng Ngoài ra, A/M idean thực I Z = ∪ {a : [a] ∈ I} idean thực A chứa M Bây giờ, [a] = (tức là, a ∈ / M ) (A/M ) [a] - idean tạo [a] khác không A/M Do đó, [e] ∈ (A/M ) [a] tồn [x] ∈ A/M cho [x] [a] phần tử đơn vị A/M Ta thấy rằng, A/M phép chia đại số theo định lí Footer Page 31 of 161 26 Header Page 32 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Gelfand-Mazur đẳng cấu đẳng cự lên C Hệ 2.1 Có song ánh tập hợp M idean thực tập Φ tất đồng cấu khác không A vào C Chứng minh Lấy M ∈ M, xét hợp thành ánh xạ tự nhiên A → A/M phép đồng cấu định lí Gelfand-Mazur A/M → C Đây phép đồng cấu φM khác không A vào C với hạch φ−1 M (0) = M Mặt khác, với φ ∈ Φ ta idean tối đại tương ứng hạch φ−1 (0) Lấy φ, ψ ∈ Φ với φ−1 (0) ⊆ ψ −1 (0) ∀a ∈ A, a − φ(a)e ∈ φ−1 (0) ⊆ ψ −1 (0) = ψ(a − φ(a)e) = ψ(a) − φ(a) Vì ψ(e) = nên φ = ψ Điều trước tiên φ ∈ Φ, φ−1 (0) tối đại, φ−1 (0) tập thực M ∈ M phép đồng cấu ψ = φM có hạch lớn Thứ hai, điều cho thấy φ ψ có hạch Do đó, ánh xạ φ → φ−1 (0) song ánh Φ → M Chúng ta gọi Φ (hoặc M) không gian giá A Các thuật ngữ khác thường sử dụng không gian idean tối đại phổ A Bây xây dựng phép toán tương tự nhúng không gian Banach vào song đối ngẫu Đối với φ ∈ Φ a ∈ A, ta có số phức φ(a) Đây thực ánh xạ từ Φ × A vào C Cho đến φ coi hàm cố định a biến Tuy nhiên, điều đảo ngược Footer Page 32 of 161 27 Header Page 33 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 Hà Thị Thu Hiền Biến đổi Gelfand Định nghĩa 2.2 Với a ∈ A hàm a : Φ → C xác định a(φ) = φ(a), φ ∈ Φ Hàm a gọi biến đổi Gelfand a Bây ta thiết lập tính chất Định lý 2.2 Ánh xạ a → a đồng cấu đại số A vào tập hợp hàm giá trị phức Φ Chứng minh Đây phép thử lại sử dụng kiện φ đồng cấu Ví dụ, để thấy ab = a.b, cần lưu ý (a.b)(φ) = φ(a).φ(b) = φ(ab) = ab(φ) Định lý 2.3 (i) e hàm đơn vị (tức e(φ) = 1, ∀φ) (ii) a = ⇔ a ∈ ∩ φ−1 (0) : φ ∈ Φ = ∩ {M : M ∈ M} (iii) σ(a) = {a(φ) : φ ∈ Φ} (iv) ν(a) = max {|a(φ)| : φ ∈ Φ} (v) Nếu φ1 = φ2 có phần tử a ∈ A cho a(φ1 ) = a(φ2 ) Chứng minh (i) Với φ ∈ Φ, φ(e) = e(φ) = (ii) Với a ∈ A, a = ⇔ a(φ) = 0, ∀φ ∈ Φ ⇔ φ(a) = 0, ∀φ ∈ Φ ⇔ a ∈ φ−1 (0), ∀φ ∈ Φ Footer Page 33 of 161 28 Header Page 34 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền (iii) Với φ ∈ Φ, φ(φ(a)e − a) = Do đó, φ(a)e − a hạch φ φ idean thực Do đó, nghịch đảo, tức φ(a) ∈ σ(a) Ngược lại, λ ∈ σ(a) λe − a nghịch đảo Do đó, idean idean thực tập số idean tối đại M , tức là, tập hạch số φ ∈ Φ Đặc biệt, φ(λe − a) = λ ∈ φ(a) (iv) Điều hiển nhiên từ (iii) (v) Nếu φ1 = φ2 hàm phải khác biệt phần tử a ∈ A Khi đó, φ1 (a) = φ2 (a), tức a(φ1 ) = a(φ2 ) Nhận xét 2.1 Hàm a (với a ∈ A) đại số B(φ) hàm bị chặn Φ, có chuẩn a = sup |a(φ)| φ∈Φ Do đó, từ định lý cho thấy a = ν(a) ≤ a Do đó, phép biến đổi Gelfand liên tục A → B(Φ) Phép biến đổi Gelfand 1-1 (tức đơn cấu ) A có tính chất mà ν(a) = ⇒ a = 0; Nó đẳng cự a = ν(a), ∀a ∈ A trường hợp A C*-Đại số giao hoán (Hệ 1.2), biến đổi Gelfand đẳng cự Một phần tử đại số Banach gọi tựa lũy linh phần tử phổ Do đó, theo (iii) chứng tỏ biến đổi Gelfand hàm số không a tựa lũy linh Footer Page 34 of 161 29 Header Page 35 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Định nghĩa 2.3 Căn Jacobson R đại số Banach A có phần tử đơn vị xác định R = ∩ tất idean tối đại trái A = ∩ tất idean tối đại phải A Khi A giao hoán R = tất idean tối đại hai phía A Nhận xét 2.2 Ta có: a = ⇔ a(φ) = 0, ∀φ ∈ Φ ⇔ a ∈ M, ∀M ∈ M ⇔ a ∈ R Do đó, hạch ánh xạ Gelfand Jacobson Bây giờ, tiếp tục định nghĩa topo không gian giá Nếu Φ không gian giá đại số Banach giao hoán A, topo Gelfand Φ topo yếu làm cho hàm số a : Φ → C liên tục Một sở cho lân cận φ topo Gelfand cho tất tập dạng {ψ ∈ Φ : |φ(ai ) − ψ(ai )| < , i = 1, 2, , n} Tức là, {ψ ∈ Φ : |ai (φ) − (ψ)| < , i = 1, 2, , n} với a1 , a2 , , an ∈ A, n số nguyên dương > lấy tùy ý Footer Page 35 of 161 30 Header Page 36 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Sự hội tụ chuỗi topo xác định φn → φ ⇔ a(φn ) → a(φ) ∈ C, ∀a ∈ A ⇔ φn (a) → φ(a), ∀a ∈ A Tức là, hội tụ chuỗi topo Gelfand hội tụ theo điểm Từ đây, đề cập đến "không gian giá" đại số Banach giao hoán, hiểu không gian Φ đồng cấu với topo Gelfand Lưu ý rằng, topo Gelfand Hausdorff, φ1 = φ2 tồn a ∈ A cho φ1 (a) = φ2 (a), δ = 21 |φ1 (a) − φ2 (a)| N1 = {φ : |φ1 (a) − φ(a)| < δ} N2 = {φ : |φ2 (a) − φ(a)| < δ} lân cận φ1 φ2 tương ứng tách rời Bổ đề sử dụng định lý Tychonoff để thấy tích không gian compact với topo tích compact Nhớ lại rằng, {Xγ : γ ∈ Γ} tập hợp tập không rỗng tích Descarts γ∈Γ Xγ có phần tử hàm γ → xγ xγ ∈ Xγ Chứng minh khai thác cách xác định phần tử không gian giá đại số A với phần tử phù hợp không gian tích Nó phương pháp tương tự thường sử dụng để chứng minh định lý Banach-Alaoglu tính compact yếu* hình cầu đơn vị đối ngẫu không gian Banach Thay (ngắn hơn) chứng minh suy kết từ định lý Banach-Alaoglu Bổ đề 2.1 Không gian giá đại số Banach giao hoán có đơn vị compact Footer Page 36 of 161 31 Header Page 37 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Chứng minh Cho Φ không gian giá A có φ ∈ Φ Từ Định lý 2.3 (iii), φ(a) ∈ σ(a) |φ(a)| ≤ ν(a) ≤ a Do đó, đĩa đóng Za C, tâm bán kính a compact chứa φ(a), ∀a ∈ A Đặt Z= Za a∈A Z với tích topo compact theo định lý Tychonoff Nhớ lại rằng, tích topo Z topo yếu làm cho ánh xạ chiếu pa tương ứng với phần tử tập số A liên tục Chú ý rằng, phần tử Z tất hàm f : A → C mà |f (a)| ≤ a pa (f ) = f (a) Bây giờ, phần tử Φ trường hợp đặc biệt hàm (tức là, phần tử Z) pa (φ) = φ(a) = a(φ) Do đó, topo Φ thừa hưởng từ tích topo Z giống topo Gelfand Do đó, đủ để chứng minh φ tập đóng Z Các phần tử Φ phần tử Z thỏa mãn tính chất đại số phép đồng cấu Vì vậy, φ ∈ Φ ∀a, b ∈ A, φ(a + b) = φ(a) + φ(b) Định nghĩa hàm La,b : Z → C La,b (f ) = f (a + b) − f (a) − f (b) = pa,b (f ) − pa (f ) − pb (f ) Khi đó, từ định nghĩa tích topo rõ ràng La,b liên tục hạch L−1 a,b (0) đóng Các điều kiện đại số φ đưa φ hạch La,b Tương tự ta xác định, Footer Page 37 of 161 32 Header Page 38 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền cho a, b ∈ A λ ∈ C, Ma,b (f ) = f (ab) − f (a).f (b) Sa,λ (f ) = f (λa) − λf (a) I(f ) = f (e) − tất hàm liên tục Dễ dàng thấy phần tử Z thuộc Φ thuộc giao hạch tất hàm La,b , Ma,b , Sa,λ , I với a, b, λ lấy tất giá trị Vì vậy, tập đóng Z compact Các lí thuyết khai triển kết trên, đặt chúng lại với tạo thành chứng minh định lý quan trọng sau Định lý 2.4 (Ánh xạ Gelfand) Cho đại số Banach A có đơn vị, có đồng cấu A vào C(Φ), đại số tất hàm giá trị phức liên tục không gian Hausdorff compact φ Hạch ánh xạ tập hợp tất phần tử tựa lũy linh A Không gian giá dường không gian topo trừu tượng Tuy nhiên, số trường hợp quan trọng thực không gian cụ thể Bổ đề sau đưa ví dụ đơn giản có ích tình Bổ đề 2.2 Nếu A tạo phần tử đơn vị e phần tử a không gian giá Φ A đồng phôi với σ(a) Chứng minh Ta thấy đồng phôi yêu cầu hàm a : Φ → σ(a) Thật vậy, theo định nghĩa topo Gelfand, a liên tục từ Footer Page 38 of 161 33 Header Page 39 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Định lý 2.3 (iii) ánh xạ lên σ(a) Để chứng minh a đơn ánh ta giả thiết phần tử {p(a)}, với p chạy khắp tất đa thức, tạo thành tập trù mật A Khi a(φ1 ) = a(φ2 ) ⇒ φ1 (a) = φ2 (a) ⇒ φ1 (p(a)) = φ2 (p(a)) với đa thức, φ1 , φ2 đồng cấu ⇒ φ1 (x) = φ2 (x) ∀x ∈ A, φ1 , φ2 liên tục ⇒ φ1 = φ2 nên a đơn ánh Vì vậy, a song ánh liên tục Bây áp dụng định lí tổng quát song ánh liên tục không gian Hausdorff compact đồng phôi Nếu X Y không gian topo h : X → Y đồng phôi chúng, ánh xạ f ↔ f cho bởi: f (h(x)) = f (x) tương đương f (y) = f (h−1 (y)) rõ ràng đẳng cấu không gian hàm C(X) C(Y ) Quan sát với Bổ đề 2.2 cho thấy rằng, với trường hợp đại số tạo phần tử đơn lẻ, hợp thành đẳng cấu với ánh xạ Gelfand để có ánh xạ A vào không gian C(σ), σ ⊆ C phổ phần tử sinh Hơn (theo ký hiệu Bổ đề 2.2), cách sử dụng hàm a đồng phôi, hàm fx C tương ứng với phần tử x ∈ A xác định fx (s) = x(a−1 (s)) Footer Page 39 of 161 34 Header Page 40 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Đối với trường hợp x = a điều trở thành fa (s) = s Điều rằng, sử dụng Bổ đề 2.2 biến đổi Gelfand để lập ánh xạ đại số tạo phần tử đơn lẻ A C(σ), ta thu ảnh phần tử sinh a hàm đồng f (s) = s Bên trên, kết trình bày đại số Banach giao hoán A Đối với trường hợp đặc biệt, C*-Đại số, kết mạnh thiết lập Ở đây, đại số không đơn ánh xạ lên đại số C(Φ) mà toàn C(Φ) Định lý 2.5 (Định lý giao hoán Gelfand-Naimark) Với C*-Đại số giao hoán A có phần tử đơn vị, tồn *đẳng cấu đẳng cự A lên C(Φ), đại số tất hàm giá trị phức liên tục không gian Hausdorff compact Φ Chứng minh Cho Φ không gian giá A cho a → a ánh xạ Gelfand Rõ ràng, phần tử C*-Đại số giao hoán chuẩn từ Hệ 1.2, chuẩn phần tử A bán kính phổ Như vậy, a = a Bây giờ, A không gian Banach đủ Vì vậy, từ ánh xạ Gelfand đẳng cự, {a : a ∈ A} tập hợp đóng C(Φ) đóng Ta sử dụng định lý Stone-Weierstrass thấy toàn C(Φ) Ta thấy ánh xạ Gelfand bảo toàn phép đối hợp (trong đó, phép đối hợp C(Φ) định nghĩa cách tự nhiên: f ∗ (φ) = f (φ)) Đối với, a ∈ A ta viết a = x + iy x = 21 (a + a∗ ), y = 2i (a − a∗ ) tự liên hợp Từ Định lý 1.8 (iii), x y có phổ thực vậy, Footer Page 40 of 161 35 Header Page 41 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền a(φ) ∈ σ(x), hàm x y có giá trị thực nên (a)∗ = x + yˆ = x − iy = x − iy = a∗ Điều cho thấy ảnh Aˆ C*-Đại số ánh xạ Gelfand bảo toàn phép đối hợp Các điều kiện còn lại cần phải áp dụng định lý Stone-Weierstrass để có chứng minh, cụ thể A tách rời điểm Φ chứa hàm đơn vị (Định lý 2.3 (i), (v)) Do đó, A = C(Φ) Footer Page 41 of 161 36 Header Page 42 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hà Thị Thu Hiền Kết luận Khóa luận "C*-Đại số" nghiên cứu tổng quan vấn đề: - Một số kiến thức C*-Đại số lý thuyết phổ - Đại số thương phép biến đổi Gelfand Qua khóa luận thân em không lĩnh hội thêm tri thức giải tích hàm C*-Đại số mà có hiểu biết định việc nghiên cứu khoa học Do thời gian nghiên cứu khả thân hạn chế nên đề tài không tránh khỏi có sai sót.Vì vậy, em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo cô giáo bạn sinh viên khoa để đề tài hoàn thiện Footer Page 42 of 161 37 Header Page 43 of 161 Tài liệu tham khảo [1] PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] J.A Erdos (2003), C*-algebras, King’s College London, England [4] G.J Murphy (1990), C*-algebras and operator theory, Academic Press, San Diego Footer Page 43 of 161 38 ... M c l c Lời mở đầu 1 Phổ đại số Banach 1.1 1.2 Đại số Banach, C* -Đại số 1.1.1 Một số kiến chuẩn bị 1.1.2 Đại số Banach, C* -Đại số Phổ phần tử đại số. .. gồm chương: Chương 1: Phổ đại số Banach Chương 2: Lý thuyết giao hoán Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Phổ đại số Banach 1.1 1.1.1 Đại số Banach, C* -Đại số Một số kiến chuẩn bị M c. .. ph c gọi đại số chia phần tử kh c không khả nghịch Định lý 1.7 (Gelfand-Mazur) Mỗi đại số chia đẳng c u đẳng c với C Phép đẳng c u Chứng minh Trong đại số chia A phần tử không khả nghịch Nếu a