Toánthựctế12 Ngọc Huyền LB Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ứng dụng thực tiễn Chương I I, Cơ sở lý thuyết Ứng dụng đạo hàm thực tiễn Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định tập D a Số M gọi giá trị lớn hàm số y f x tập D f x M với x thuộc D tồn x0 D cho f x0 M Kí hiệu: M max f x D b Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y f x tập D f x m với x thuộc D tồn x0 D cho f x0 m Kí hiệu: m f x D Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn Nhận xét: Nếu hàm số đơn điệu ( đồng biến nghịch biến) đoạn a, b giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn a, b đạt điểm đầu mút đoạn ( kiến thức quan trọng để áp dụng quý độc giả giải nhanh toán trắc nghiệm, nhận hàm số đơn điệu đoạn a, b quý độc giả không cần tìm đạo hàm hàm số mà tìm giá trị hàm số hai điểm đầu mút luôn) Quy tắc: Bước 1: Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng a , b , f ' x f ' x không xác định Bước 2: Tính f a , f x1 , f x2 , , f xn , f b Bước 3: Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có M max f x , m f x a ,b a ,b Định lý: Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Ta có ví dụ sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x khoảng 0; 1 Chú ý: Hàm số liên tục khoảng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng Lời giải: Ta thấy rõ ràng y ' x 0, x 0;1 nên hàm số đồng biến 0; 1 , không tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng 0; 1 Do từ ta rút định lí không với khoảng mà với đoạn Trên nói không đúng, không dùng từ không Cũng có hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng, ví dụ sau đây: LOVEBOOK.VN | 13 Ngọc Huyền LB The best or nothing II, Áp dụng thựctế Ví dụ 1: Bác nông dân muốn làm hàng Hàng rào rào trồng rau hình chữ nhật có chiều dài song song với hàng tường gạch r Bác làm ba mặt hàng rào mặt thứ tư bác tận dụng bờ tường( hình vẽ 1) Bác dự tính Bờ tường dùng 200 m lưới sắt để làm nên toàn x Hình hàng rào Diện tích đất trồng rau lớn mà bác rào nên A 1500m B 10000m2 C 2500m2 D 5000m2 Phân tích: Chọn D Đề cho ta kiện chu vi hàng rào 200 m Từ ta tìm mối quan hệ x r, đến ta đưa hàm số biến theo l theo r sau: x Ta có x 2r 200 r 100 Từ ta có r x 200 x x2 Diện tích đất rào tính bởi: f x x 100 100 x 2 x 100 x khoảng 0; 200 Đến áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn phần lý thuyết ta có phương trình: f ' x x 100 x 100 Xét hàm số f x Từ ta có f 100 5000 giá trị lớn diện tích đất rào Trên cách làm áp dụng quy tắc vừa học, nhiên muốn phân tích thêm cho quý độc sau: Ta nhận thấy hàm số hàm số bậc hai có hệ số a , đồ thị hàm số có dạng parabol đạt giá trị b lớn x Vậy áp dụng vào hàm số đạt giá trị lớn 2a 100 100 Từ tìm f 100 mà không cần tính f ' x x 2 Ví dụ 2: Một ca sĩ có buổi diễn âm nhạc với giá vé thông báo 600 đô la có 1000 người đặt vé Tuy nhiên sau có 1000 người đặt vé với giá 600 đô la nhà quản lí kinh doanh ca sĩ nhận thấy, với 20 đô la giảm giá vé thu hút thêm 100 người mua vé nên ông định mở chương trình giảm giá vé Tìm giá vé phù hợp để có số tiền vé thu vào cao số tiền bao nhiêu? A 400 đô la/ vé, số tiền thu vào 800 000 đô la B 400 đô la/ vé, số tiền thu vào 640 000 đô la C 100 đô la/ vé, số tiền thu vào 11 000 đô la D 100 đô la/ vé, số tiền thu vào 110 000 đô la LOVEBOOK.VN | 14 Kết luận: Với hàm số bậc hai giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn a, b đạt x b 2a b a, b 2a Toánthựctế12 Ngọc Huyền LB Phân tích: Chọn A Gọi x số lần giảm bớt 20 đô la giá vé Khi giá vé 600 20x người Số người mua vé 1000 100x Tự luyện: Giải ví dụ việc thay số liệu sau: với giá 1650 đô có 900 người mua vé, 80 đô giảm giá thu hút thêm 80 người Khi số tiền thu là: f x 600 20 x 1000 100 x 2000 x 40 000 x 600 000 Tương tự Ví dụ hàm số hàm số bậc hai có hệ số a 2000 ta áp dụng kết đưa hàm số đạt giá trị lớn x 40000 b 10 2a 2000 Khi f 10 800 000 Giải thích thực tế: Nguyên lí toán giảm giá vé thu hút thêm nhiều người mua Ví dụ 3: Bác Tôm có ao có diện tích 50m để nuôi cá Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ 20 / m2 thu 1,5 cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, bác thấy thả giảm / m2 cá thành phẩm thu tăng thêm 0, kg Vậy vụ tới bác phải mua cá giống để đạt tổng suất cao nhất? ( Giả sử hao hụt trình nuôi) A 488 B 512 C 1000 D 215 Phân tích: Chọn B Số cá bác thả vụ vừa qua 20.50 1000 Tiếp đến ta phải tìm xem giảm x tăng thêm Trong hóa học quý độc giả học cách làm rồi, giới thiệu lại cho quý độc giả: Khi giảm suất tăng 0,5 kg / Khi giảm x suất tăng a kg / 0,5.x 0,0625x kg / Vậy sản lượng thu năm tới bác Tôm là: Đến ta tính theo cách nhân chéo: a f x 1000 x 1,5 0,0625x kg f x 0,0625x 1,5x 1500 62,5 x 0,0625x 61x 1500 Ấn MODE 5: EQN ấn để giải phương trình bậc 2 Lần lượt nhập hệ số vào ấn máy : Lúc ta nhận hàm số đạt GTLN x 488 Vậy số cá giảm 488 Đến nhiều độc giả chọn đáp án A Tuy nhiên đề hỏi “vụ tới bác phải mua cá giống” đáp án cần tìm phải 1000 488 512 LOVEBOOK.VN | 15 Ngọc Huyền LB The best or nothing Trên ba ví dụ tìm giá trị lớn nhất, ta có ví dụ tìm giá trị nhỏ hàm số bậc hai ứng dụng thực tiễn sau Ví dụ 4: Một công ty kinh doanh thực phẩm ước tính số tiền thu vào việc kinh doanh rau tính xấp xỉ công thức h x x 29 000 x 1000 100 000 tiền lãi tính công thức g x 1000 x 100 000 với x số tiền cho kg rau Tìm x để số tiền vốn bỏ A 15000 đồng Lời giải Chọn A f x ax b A B 30000 đồng C 10000 đồng D 20000 đồng Khi số tiền vốn bỏ tính công thức f x h x g x x 30 000 x 1000 000 000 x 15000 775 000 000 775 000 000 Dấu xảy x 15000 Ví dụ 5: Chủ nhà hàng muốn làm tường rào bao quanh 600 m2 đất để làm bãi đỗ xe Ba cạnh khu đất rào loại thép với chi phí 14 000 đồng mét, riêng mặt thứ tư tiếp giáp với mặt bên nhà hàng nên xây tường gạch xi măng với chi phí 28 000 đồng mét Biết cổng vào khu đỗ xe m Tìm chu vi khu đất cho chi phí nguyên liệu bỏ nhất, chi phí bao nhiêu? A 100 m, 610 000 đồng B 100 m, 680 000 đồng C 50 m, 610 000 đồng D 50 m, 680 000 đồng Phân tích: Chọn A Ta có kích thước kí hiệu sau x y 5m Do đề cho diện tích khu đất nên xy 600 y 600 x Chi phí nguyên liệu tính công thức 16 800 000 600 f x x 70 000 với x 14 000 28 000 x 42 000 x x x LOVEBOOK.VN | 16 Kết luận: Với hàm bậc hai tìm GTNN ta đưa dạng Dấu xảy b x a Toánthựctế12 Ngọc Huyền LB Nhận thấy x dương, ta nhận bất đẳng thức Cauchy với hai số dương Vậy f x 42000 x Dấu xảy 42000 x 16800000 70 000 1610 000 x 16800000 x 20 x 600 Vậy chu vi khu đất x y 20 100 m 20 Chú ý: Nhiều độc giả quên trừ đoạn cổng vào nên chọn nhầm phương án B D Ví dụ 6: Một công ty sản xuất khoai tây chiên giới hạn kích thước hộp cho tổng chiều dài l hộp khoai tây chiên chu vi đường tròn đáy không vượt 84 cm ( để phù hợp với phương thức vận chuyển chiều dài truyền thống dòng sản phẩm) Công ty tìm kích thước để thiết kế hộp cho thể tích đựng khoai tây chiên lớn nhất, thể tích là: 29152 A cm B 29152 cm C 14576 cm3 SNACK Để tìm GTLN-GTNN ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc Cauchy, Bunyakovsky để giải nhanh toán mà không cần tìm đạo hàm 14576 cm3 Phân tích: Chọn A D l r Do đề yêu cầu tìm thể tích lớn hộp khoai tây chiên tổng chiều dài l chu vi đường tròn đáy không vượt 84 cm nên: Nếu muốn thể tích lớn ta lấy giới hạn max tổng độ dài tức l P 84 l r 84 với r bán kính đường tròn đáy l 84 r Thể tích hộp khoai tây chiên tính công thức: V r l r 84 2r 84r 22 r f r 28 r 0 2 f ' r 168 r r r 28 r Ta có r Giống Bộ đề tinh túy ôn thi THPT quốc gia năm 2017 viết 28 quý độc giả nhận f giá trị cực tiểu hàm số, f giá trị cực đại hàm số Vậy đến ta tư nhanh 28 29152 Max f r f cm Ví dụ 7: Một người có dải băng dài 130 cm, người cần bọc dải băng đỏ quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10 cm dải băng để thắt nơ nắp hộp ( hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp quà tích lớn bao nhiêu? LOVEBOOK.VN | 17 Ngọc Huyền LB A 4000 cm3 The best or nothing C 1000 cm3 B 32000 cm3 D 16000 cm3 Đáp án Phân tích: chọn C Một toánthựctế hay ứng dụng việc tìm giá trị lớn hàm số Ta nhận thấy, dải băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh hộp, chiều dài dải băng tổng chu vi hai hình chữ nhật Tất nhiên chiều dài băng phải trừ phần băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: 2.2 2r h 120 h 30 2r Khi thể tích hộp quà tính công thức: V B.h .r 30 2r 2r 30r Xét hàm số f r 2r 30r 0;15 r l f ' r 6r 60r ; f ' r r 10 Khi vẽ BBT ta nhận Max f r f 10 Khi thể tích hộp quà 0;10 V B.h .10 2.10 1000 Trên toán có mức độ xử lý hàm số đơn giản bậc hai bậc ba, sau ta đến với ví dụ có hàm số phức tạp Ví dụ 8: Một người phải đến quí rừng nhanh tốt Con đường mòn mà người ta hay miêu tả sau: Từ vị trí người thẳng 300 m gặp ao nên không tiếp , sau rẽ trái thẳng 600 m đường rừng đến quí Biết đường mòn chạy với tốc độ 160 m / phút, qua rừng với tốc độ 70 m / phút 600 m ao 300 m LOVEBOOK.VN | 18 Giải thích thực tế: Việc đề cho độ dài dải băng cho tổng chiều cao đường kính đáy Toán thựctế12 Ngọc Huyền LB Đó đường truyền thống mà người ta hay đi, đường mà thời gian miêu tả A thẳng từ vị trí người đứng đến B theo đường mòn 292 m rẽ trái đến C theo cách truyền thống A thẳng m rẽ trái đến Phân tích:Chọn D Ta có hình vẽ: 600 m 300 –x x ao 300 m Giải thích thực tế: Ở ta sử dụng công thức tính thời gian chuyển động thẳng t s v Kí hiệu hình vẽ ta có Tổng thời gian người đến tính theo công thức: 300 x 600 x với x 300 160 70 Đến công việc ta tìm giá trị nhỏ hàm số f x f x 1 0; 300 Ta làm theo bước: f ' x 160 70 f ' x 16 x 600 x 256 x 49 600 x2 x2 2x 600 x2 207 x 49.600 49.6002 7.600 x 292 m 207 207 Đến nhiều độc giả vội chọn B Tuy nhiên nhìn kĩ thấy D đúng, theo miêu tả người 300 – x mét sau thẳng đến Ví dụ 9: Đường cao tốc xây nối hai thành phố A B, hai thành phố muốn xây trạm thu phí trạm xăng đường cao tốc hình vẽ Để tiết kiệm chi phí lại, hai thành phố định tính toán xem xây trạm thu phí vị trí để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc là 60 km 40 km khoảng cách hai trung tâm thành phố 120 km (được tính theo khoảng cách hình chiếu vuông góc hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức PQ kí hiệu hình vẽ) Tìm vị trí trạm thu phí trạm xăng? (Giả sử chiều rộng trạm thu phí không đáng kể ) LOVEBOOK.VN | 19 Ngọc Huyền LB The best or nothing A Trạm thu phí Trạm xăng B 60 P 40 Q 120 A 72 km kể từ P B 42 km kể từ Q C 48 km kể từ P D P Phân tích: Chọn A Vẽ lại hình vẽ ta có hình vẽ đơn giản hóa sau: A B 60 40 x P Q C Thực chất toán trở thành tìm x để AC BC nhỏ Theo định lí Pytago ta có AC 60 x ; BC 120 x 40 x 240 x 16000 Khi f x AC BC x 3600 x 240 x 16000 Ta cần tìm Min f x 0;12 Ta có f ' x x x 3600 x 120 x 240 x 16000 , bấm máy tính nhẩm nghiệm cách nhập vào hình biểu thức f ' x ấn SHIFT SOLVE chọn số nằm khoảng 0; 120 để dò nghiệm, nhập máy nhanh chóng nghiệm 72 sau: Chú ý: Với toán có biểu thức đạo hàm phức tạp, toán tìm GTLN, GTNN thường có nghiệm nằm khoảng xét, ta thử nghiệm để tiết kiệm thời gian Bấm máy tính sử dụng nút TABLE ta nhận thấy phương trình có nghiệm f ' x đổi dấu qua 72 Khi ta có BBT sau: Vậy từ ta kết luận CP 72 x f'(x) 72 f(x) Min LOVEBOOK.VN | 20 120 ... 70 m / phút 600 m ao 300 m LOVEBOOK.VN | 18 Giải thích thực tế: Việc đề cho độ dài dải băng cho tổng chiều cao đường kính đáy Toán thực tế 12 Ngọc Huyền LB Đó đường truyền thống mà người ta hay... x x LOVEBOOK.VN | 16 Kết luận: Với hàm bậc hai tìm GTNN ta đưa dạng Dấu xảy b x a Toán thực tế 12 Ngọc Huyền LB Nhận thấy x dương, ta nhận bất đẳng thức Cauchy với hai số dương Vậy f ... số bậc hai giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn a, b đạt x b 2a b a, b 2a Toán thực tế 12 Ngọc Huyền LB Phân tích: Chọn A Gọi x số lần giảm bớt 20 đô la giá vé Khi giá vé 600