Phương pháp phức hóa

Đời phải trải qua giông tố không cúi đầu trước giông tố! Đừng bỏ EM nhé! Chị tin EM làm được! Ngọc Huyền Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim nữa! facebook.com/huyenvu2405 Phương pháp ảo hóa giải hệ phương trình Lovebook.vn PHƯƠNG PHÁP ẢO HÓA (PHỨC HÓA) BÙI VĂN CƯỜNG – tác giả Chinh phục hệ phương trình Chỉnh lý tài liệu: NGỌC HUYỀN Cái tên phương pháp bao trùm toàn nội dụng phương pháp Cũng tương tự việc tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mắt phẳng tọa độ Oxy, phương pháp có tư ngược lại; từ hệ hai đồ thị, ta tìm số phức z giao điểm hai đồ thị Tinh thần phương pháp sau:  Đặt z = x + yi (x; y ∈ ℝ) Hệ hai phương trình cho hai đồ thị biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng x=a  Tiến hành cộng – trừ phương trình để tìm z Giả sử z = a + bi ⇔ {y = b Một số biến đổi cần lưu ý sử dụng phương pháp: 1 x − yi i i(x − yi) xi + y = = ; = = 2 z x + yi (x + y ) z x + y x + y2 Không thiết lúc phải đặt z = x + yi, ta đặt cho giải đơn giản nhất, cụ thể đặt z = f(x) + g(y)i ⇒ Kỹ thuật khai bậc hai số phức z = a + bi: giả sử sau khai căn, ta kết số phức z ′ = x + yi Vậy ta có x2 − y2 = a z ′2 = z ⇔ (x − y ) + 2xyi = a + bi ⇔ { 2xy = b Hệ phương trình giải Do ta tìm kết Các bước làm tương tự với việc khai bậc ba số phức ⇒ Kỹ thuật khai bậc n số phức Như bạn biết, số phức bất kỳ, biểu diễn dạng tắc z = x + yi biểu diễn dạng lượng giác z = r(cos φ + i sin φ) Các phép lũy thừa khai số phức dạng lượng giác biểu diễn sau: z n = r n (cos nφ + i sin nφ) n n √z = √r (cos φ + k2π φ + k2π + i sin ) (k ∈ ℤ < n − 1) n n Nguồn gốc tạo hệ phương trình giống hệ bậc cao tổng quát Ta xuất phát từ phương trình số phức; sau nhóm hết phần thực phần ảo riêng thành hai nhóm; hai nhóm hai phương trình hệ cần tạo Đương nhiên trình tạo hình, ta phải tận dụng tính chất đặc biệt i2 = −1 Đọc Chinh phục hệ phương trình để làm tốt câu hệ đề thi THPT quốc gia môn Toán Vedu.vn Phương pháp ảo hóa giải hệ phương trình Giải hệ phương trình: 2x  5y  xy   2 x  4y  21  y  10x Hướng dẫn: Tinh thần ta phải tạo số phức z Công việc tất yếu ta chọn phương trình tiến hành nhân thêm vào hai vế phương trình với f(i) (thường nhân thêm i) Tuy nhiên, toán lại có hạng tử bậc hai, có 𝑧 hệ Mà 𝑧 = (𝑥 − 𝑦 ) + 2𝑥𝑦𝑖; phương trình có 𝑥 − 𝑦 , ta tạo thêm 2xyi từ phương trình Bài giải chi tiết: Hệ phương trình cho tương đương với: 2i(xy + − 2x − 5y) = hpt ⇔ { x − y − 10x + 4y + 21 = ⇔ x − y − 10x + 4y + 21 + 2i(xy + − 2x − 5y) = ⇔ (x + yi) − 10(x + yi) − 4i(x + yi) + 4i + 21 =0 Đặt z = x + yi ⇔ z − (10 + 4i)z + 4i + 21 = z = + 2√2 + (2√2 + 2)i ⇔[ z = − 2√2 + (2 − 2√2)i x = + 2√2; y = + 2√2 ⇔[ x = − 2√2; y = − 2√2 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: x = + 2√2 x = − 2√2 ;{ { y = + 2√2 y = − 2√2 Cách 2: Ngoài ra, bạn xử lý hệ phương trình cách rút x theo y từ phương trình đầu đem kết vào phương trình thứ hai Cụ thể sau: - Với y = không thỏa mãn hệ phương trình - Với y ≠ 2, hệ phương trình trở thành: − 5y x= 2−y { 2 y − 4y − x + 10x − 21 = − 5y x= 2−y ⇔ 2 − 5y − 5y y − 4y − ( ) + 10 ( ) − 21 = 2−y 2−y { − 5y x= ⇔{ 2−y y − 8y + 24y − 32y − 48 = Lovebook.vn − 5y ⇔{ 2−y 2 (y − 4y) + 8(y − 4y) − 48 = − 5y x= ⇔{ 2−y 2 (y − 4y − 4)(y − 4y + 12) = x= { ⇔ x = + 2√2 y = + 2√2 (thỏa mãn) x = − 2√2 { [ y = − 2√2 ⇒ Nhận thấy ngay, cách làm không an toàn cách giải phương pháp “Ảo hóa” Phương trình bậc bốn cách phân tích cách sử dụng phương pháp “Hệ số bất định” Giải hệ phương trình: x  3xy  x   x2  2xy  y  2 y  3x y  y   y  2xy  x Hướng dẫn: Nhận thấy phương trình bên phải nhân thêm i để ảo hóa, lý chứa (𝑦 − 3𝑥 𝑦), thành phần ảo khai triển mũ ba số phức z Bài giải chi tiết: Hệ phương trình cho tương đương với: x − 3xy − x + − x + 2xy + y = hpt ⇔ { i(y − 3x y + y − − y + 2xy + x ) = ⇔ x − 3xy − x + − x + 2xy + y −i(y − 3x y + y − − y + 2xy + x ) = ⇔ [x − 3xy + (3x y − y )i] − (x − y + 2xyi) −i(x − y ) + 2xy + − x − (y − 1)i = ⇔ z − z − i(x − y + 2xyi) − (x + yi) + i + =0 ⇔ z − (1 + i)z − z + + i = ⇔ (z − 1)(z − iz − − i) = z=1 ⇔ [ z = −1 z=1+i x = 1; y = ⇔ [x = −1; y = x = 1; y = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: x = −1 x = x = ;{ ;{ { y=0 y=0 y=1 Cách 2: Có thể gọi hướng xử lý cách mang tinh thần phương pháp “Đẳng cấp” Đọc Chinh phục hệ phương trình để làm tốt câu hệ đề thi THPT quốc gia môn Toán Vedu.vn Phương pháp ảo hóa giải hệ phương trình (x − 1)(x − − y ) = 2xy(y − 1) (y − 1)(y + − x ) = 2xy(x − 1) x=0  TH1: Nếu 2xy(x − 1) = ⇔ [y = x=1 Với x = 0; hệ phương trình trở thành: y2 + = (Hệ phương trình vô { (y − 1)(y + 1) = nghiệm) Với y = 0; hệ phương trình trở thành: x = −1 { (x − 1)(x − 1) = y=0 ⇔[ { 2) x=1 −(1 − x = { y=0 Với x = 1; hệ phương trình trở thành: x=1 { y=0 0=0 ⇔[ {(y − 1)y = x=1 { y=1  TH2: Nếu 2xy(x − 1) ≠ Chia theo vế hai phương trình hệ, ta được: (x − 1)(x − − y ) 2xy(y − 1) = (y − 1)(y + − x ) 2xy(x − 1) ⇔ (x − 1)2 + (y − 1)2 = x=1 ⇔{ (không thỏa mãn) y=1 Vậy Hệ phương trình có nghiệm: x = −1 x = x = ;{ ;{ { y=0 y=0 y=1 hpt ⇔ { Giải hệ phương trình:  2 xy 2x   2 0 2x    y x y 1   4x  y 2  x2y     𝐻ệ 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 2𝑥 2𝑥 − − (2 + √2)𝑥 − = −√2 − 𝑦 2𝑥 + 𝑦 ⇔ 4𝑥 + = + √2 2𝑥 + { 𝑦 { 𝑢=√2𝑥 √2 𝑣= 𝑦 𝑢2 − 𝑣 − (√2 + 1)𝑢 − ⇔  2 Dựa vào đặc điểm hiệu  2x -  y   phân số hai phương trình, ta thấy chia tử mẫu phân số cho y2 hệ phương trình cho nói chung chứa hai ẩn 2𝑢 + { 𝑢2 √2𝑢 = −√2 − + 𝑣2 𝑢2 √2 = √2 + + 𝑣2 Đến đây, ta nhận thấy có chút thiếu sót ngẫu nhiên trùng hợp thành phần hệ với Cụ thể ta có (𝑢2 − 𝑣 ) 𝑣à 2𝑢 mà 2uv; ta có u mà u +v u + v2 v Do đó, cần nhân u2 + v thêm lượng v vào phương trình bù đắp tất thiếu sót có hai thành phần 𝑢2 − 𝑣 − (√2 + 1)𝑢 − ⇔ 2𝑢𝑣 + { √2𝑢 = −√2 − + 𝑣2 𝑢2 √2𝑣 = (√2 + 1)𝑣 + 𝑣2 𝑢2 Bây ta nhận thành phần cần thiết để tạo phương trình số phức xuất đầy đủ Công việc giải phương trình số phức lại không vấn đề  Hướng dẫn:  1  x;   y Lovebook.vn Bài giải chi tiết: Điều kiện: y ≠ Hệ phương trình 2x 2x − − (2 + √2)x − = −√2 − y 2x + y ⇔ 4x + = + √2 2 2x + { y u = √2x Đặt { √2 (v ≠ 0) v= y Khi đó, ta thu hệ phương trình: u2 − v − (√2 + 1)u − { 2u + u2 √2u = −√2 − + v2 u2 √2 = √2 + + v2 Đọc Chinh phục hệ phương trình để làm tốt câu hệ đề thi THPT quốc gia môn Toán Vedu.vn Phương pháp ảo hóa giải hệ phương trình u2 − v − (√2 + 1)u − ⇔ √2u = −√2 − + v2 u2 √2vi = (√2 + 1)vi + v2 { Cộng theo vế hai phương trình cho nhau, ta được: √2(u − vi) (u2 + 2uvi − v ) − u + v2 −(√2 + 1)(u + vi) + √2 + = (∗) Đặt z = u + vi; (∗) trở thành: 2uvi + u2 √2 − (√2 + 1)z + √2 + = z ⇔ z − (√2 + 1)z + (√2 + 1)z − √2 = z2 − ⇔ (z − √2)(z − z + 1) = z = √2 u + vi = √2 √3 √3 ⇔ z = − i ⇔ u + vi = − i √3 √3 z = + i u + vi = + i [ [ 2 2 { u = √2 v = (loại) x= 2√2 u= 2√6 y=− √3 ⇔ ⇔ { (thỏa mãn) {v = − u= 2√2 u= 2√6 v= √3 [ { [ {v = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: 1 x u 2 2 ; 6 y v 3 Lovebook.vn 2√x =1 x+y 2√y 2√xy − =1 x+y { Cộng theo vế hai phương trình hệ với nhau, ta được: 2(√x − √yi) x − y + 2√xy + = 1+i x+y Đặt z = √x + √yi Khi đó, phương trình trở thành: z + = + i ⇔ z − (1 + i)z + = z (z ⇔ − − i)[z + (1 + i)z − + i] = z=1+i ⇔[ z + (1 + i)z − + i z=1+i −1 + √2 + √5 −1 + √√5 − z= − i ⇔ 2 −1 − √2 + √5 −1 + √√5 − z = + i [ 2 Mà ta lại thấy √x √y không âm, nên phần thực phần ảo z phải không âm x=1 √x = Nên z = + i ⇔ { ⇔{ y=1 √y = x=1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: { y=1 x−y+ Giải hệ phương trình:      2x  1 x2  y  2y    2   2y  3 x  y  2x  Bài giải chi tiết: Giải hệ phương trình:  x 1 y x   xy     x x  y y  Bài giải chi tiết: x; y ≥ Điều kiện: { x+y>0 Hệ phương trình cho tương đương với: x=0 Với { nghiệm hệ phương y=0 trình x≠0 - Với { Hệ phương trình cho trở y≠0 thành: 2x + 2y − = x + y2 2y + 2x − = {x + y 2xi + 2yi − 3i = x + y2 ⇔ 2y + 2x − = { x2 + y2 Cộng theo vế hai phương trình hệ với nhau, ta được: - Đọc Chinh phục hệ phương trình để làm tốt câu hệ đề thi THPT quốc gia môn Toán Vedu.vn Phương pháp ảo hóa giải hệ phương trình 2(xi + y) + 2(x + yi) = + 3i x2 + y2 Đặt z = x + yi (x; y ∈ ℝ) Khi ta hệ phương trình: 2i + 2z = + 3i ⇔ 2z − (1 + 3i)z + 2i = z Phương trình có Δ = (1 + 3i)2 − 16i = − 10i = (√√41 − − √√41 + 4i) z= ⇒ [z = + √√41 − + (3 − √√41 + 4) i − √√41 − + (3 + √√41 + 4) i x= √ + √41 − Lovebook.vn Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: + √√41 − − √√41 − x= 4 ; − √√41 + + √√41 + y= y= { { 4 x= ⇒ Để sử dụng hiệu phương pháp này, cần phải tinh ý để nhóm biểu thức khai triển số phức z Các toán giải phương pháp Ảo hóa thường nhiều, xuất thường giải phương pháp Ảo hóa, nên đa số không dễ √ − √41 + y= { (thỏa mãn) ⇔ √ − √41 − x= √ + √41 + [{y = Đọc Chinh phục hệ phương trình để làm tốt câu hệ đề thi THPT quốc gia môn Toán Vedu.vn Một lần nữa, anh chị Lovebook muốn lên: Đừng bỏ em Anh chị tin em làm được! .. .Phương pháp ảo hóa giải hệ phương trình Lovebook.vn PHƯƠNG PHÁP ẢO HÓA (PHỨC HÓA) BÙI VĂN CƯỜNG – tác giả Chinh phục hệ phương trình Chỉnh lý tài liệu: NGỌC HUYỀN Cái tên phương pháp bao... dụng phương pháp Cũng tương tự việc tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mắt phẳng tọa độ Oxy, phương pháp có tư ngược lại; từ hệ hai đồ thị, ta tìm số phức z giao điểm hai đồ thị Tinh thần phương. .. thấy ngay, cách làm không an toàn cách giải phương pháp “Ảo hóa Phương trình bậc bốn cách phân tích cách sử dụng phương pháp “Hệ số bất định” Giải hệ phương trình: x  3xy  x   x2  2xy 