phương pháp sử dụng phép tính nhẩm

Trong khi đại đa số các em khác dùng máy tính để tính giá trị của biểu thức A .Tôi quan sát không thấy em Kiên làm bài mà chỉ ngồi suy ngẫm , sau đó em hỏitôi ngay : " Thưa cô A = 1 "..

A ĐẶT VẤN ĐỀ :

Trong thời đại công nghiệp hoá , hiện đại hoá ngày nay , một trong

những điểm đáng chú ý của cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật đang

diễn ra nhanh như vũ bão hiện nay là sự thâm nhập ngày càng nhiều của máy tínhđiện tử , của công nghệ thông tin vào các ngành khoa học khác mà chìa khoá của

kỹ năng tính toán hợp lý , trình bày bài khoa học , rõ ràng Tuy nhiên trong cáctrường THCS hiện nay , đặc biệt là các vùng nông thôn tình trạng các em học yếutoán , sợ toán không phải là ít , kiến thức toán học hời hợt , thiếu vững chắc Nhiều em nghĩ toán học khô khan , hóc búa , học toán đau đầu Trước một bàitoán nhiều em không biết bắt đầu từ đâu ? Làm thế nào ? Nếu giáo viên càngthuyết trình thì học sinh càng thụ động Do đó các em càng sợ , càng yếu , khôngnắm được các kiến thức cơ bản

Trước yêu cầu của đổi mới phương pháp : " Thầy chủ đạo , trò chủ động " ,làm thế nào để củng cố đào sâu suy nghĩ và rèn luyện tư duy toán học Làm thếnào để giúp các em độc lập suy nghĩ , xây dựng ý thức tự giác trong học tập ? Câuhỏi này luôn làm tôi băn khoăn suy nghĩ để rồi qua đó tự tìm hiểu , nghiên cứu

cách thức phương pháp , trong đó tôi thấy phương pháp sử dụng phép tính nhẩm là tâm đắc Tôi đem trao đổi cùng anh chị em đồng nghiệp , cùng họ mang

đi thực nghiệm trong thực tế giảng dạy Và chúng tôi đều thấy kết quả thu đượcrất khả quan

2211 04 ,

20

-959 : 03 , 20

9 , 95 : 003 ,

2

Trong khi đại đa số các em khác dùng máy tính để tính giá trị của biểu thức A Tôi quan sát không thấy em Kiên làm bài mà chỉ ngồi suy ngẫm , sau đó em hỏitôi ngay : " Thưa cô A = 1 " Nhiều em ngỡ ngàng không tin vì em nói ngay đáp

số mà không cần dùng máy tính , không làm nháp Em trình bày nhận xét củamình :

5

4 => 0 8

2211 04

20

,

20

9 95 003

2

: ,

, :

+ Quan hệ giữa các thừa số với kết quả của phép nhân ( chia )

+ Quy tắc biểu diễn hỗn số bằng phân số

1) Tìm a ∈ N biết :

2

1) - ( a a

= 36

2) Tìm x biết :

15 x

150

150 = 1 3) Tính tích : +/ ( a2+ a + 1 ) ( a2 - a - 1 )

+/ ( a + 1 )(

1 -

y 2 xy - x 3

y 3 + xy + x 2

5) Tính giá trị của biểu thức :

+ Ở nhà : Cá nhân tự nghiên cứu , đề xuất cách giải

+ Đến lớp : Tiết 1 : Thảo luận cách giải trong từng nhóm

Tiết 2 : Thảo luận cách giải hay của từng nhóm Tiết 3 : Áp dụng cách giải hay đó vào các bài toán khác

Chẳng hạn vào ba ví dụ sau đây

* Ví dụ 1 : Tính nhẩm nghiệm nguyên , dương của phương trình có dạng x ( x + 1

hướng các em vào mục tiêu do mình đề ra Qua nghiên cứu và thực nghiệm, tôi đãlựa chọn phương pháp dạy như sau :

+ Để các em đào sâu suy nghĩ, tự giác học tập, người thầy cần dạy, đúng trọngtâm , kiến thức chính xác , ngôn ngữ truyền đạt trong sáng , có sức thuyết phục ,phải xây dựng được không khí thầy trò cùng làm việc " Thầy chủ đạo , trò chủđộng "

+ Thầy trò cùng mạn đàm trao đổi để rồi thực hiện theo đúng quy trình đã đượcthống nhất trong tập thể Cụ thể :

a) Khi được cung cấp bài toán , trò cần tạo thói quen suy nghĩ :

bắt đầu từ đâu ? (với đề bài toán) Phải làm gì ? (Thấy được bài

toán càng rõ ràng , càng sáng sủa càng tốt) Làm như thế tiện lợi

gì ? (quen với bài toán)

b) Khi hiểu rồi , cần đi sâu nghiên cứu xây dựng chương trình

(Thầy dùng lời nhắc nhở , kiên nhẫn)

c) Thực hiện chương trình

d) Nhìn lại cách giải

e) Tìm cách giải khác Các em cần luôn đặt câu hỏi : " Còn cách

nào hợp lý hơn không ? Cách nào ngắn hơn ? "

Với bài 1 ở phần 1(b) :

2

) 1 ( a −

a

= 36 => a( a - 1 ) = 72 => a2 - a - 72 = 0

+ Ta có thể dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn này + Tôi cho các em nhận xét a và a - 1 là hai số nguyên dương Đó là hai số tựnhiên liên tiếp nhau và trong bảng nhân 9 ta có 9.8 = 72

=> a = 9

* Từ nhận xét này cá em có thể dễ dàng giải phương trình dạng

( x - n )( x + m) = q

Với bài 3 ở phần 1 (b) :

Tính ( a2 + a + 1 ) ( a2 - a - 1 ) Vận dụng nhân hai đa thức các em có thể tínhđược kết quả Nhưng nếu quan sát giữa các hạng tử ở hai đa thức đó ta có thể tínhnhanh hơn

2

a

3 +

1+2a+

3 +

1

+

a

2 =

1 -

2

1 5

a

a +

với a ≠ 1 Thông qua bài tập ta thấy được tác dụng của phép tính nhẩm trong việc giúpcác em đào sâu suy nghĩ , rèn luyện tư duy toán học Làm thế nào để các em tự đềsuất cách giải nhanh ? Đây là vấn đề nan giải , nó tuỳ thuộc vào sự linh hoạt ,nhanh nhẹn , sáng tạo của trò Tuy vậy để phần nào tạo ra sự linh hoạt , sự hứngthú với môn toán tôi đã cung cấp cho các em một số thủ thuật để các em có thểtính nhẩm được Các thủ thuật đó được rút ra dưới một số dạng sau đây :

+ Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị bao giờ cũng là 25

+ Các chữ số còn lại là tích của các số đó với số tự nhiên liên

Tại sao làm được như vậy ?

Sở dĩ ta làm được như vậy vì ta đã áp dụng :

( ab )2 = ( 10a + b)2 = 100a2 + 10 2ab + b2

Như vậy ta có b2 đơn vị , 2ab chục , a2 trăm các dấu cộng mà ta xoá đichính là vì ta đã biết nó thuộc hàng nào rồi

2) Ví dụ 2 :

a) Tính 232

Ta có ( 2 + 3 )2 = 4 + 12 + 9 Nếu cứ máy móc ghi 232 = 4129 là sai ? Tại sao sai?

Ta đã biết trong tập hợp các số tự nhiên , các chữ số thuộc một hàng nào đóphải nguyên dương , nhỏ hơn hoặc bằng 9 Nếu nó lớn hơn hoặc bằng 10 thì phảichuyển lên hàng đứng trước nó Với ví dụ ở trên thì 12 là 1 trăm và 2 chục nên 1

Lấy 1+ 4 + 6 = 11 chỉ giữ lại 1 chuyển 1 lên hàng trên 1+1= 2 Vậy

+ Lấy hiệu của số đó với 25

+ Viết tiếp vào kết quả 2 chữ số cuối cùng của bình phương của hiệugiữa số đó và 50

Với ví dụ trên ta làm như sau : 58 - 25 = 33 ( 58 - 50 )2 = 82 = 64 Viết tiếp 64 vào sau 33 => 582=3364

Ta lấy 39 + 1 = 40 Rồi viết tiếp 96 vào bên phải số 40

Vậy 642 = 4096

Dạng 4 : Nhẩm căn bậc hai của một số chính phương

Để tính nhẩm căn bậc hai của một số chính phương , vận dụng tính Δ trongviệc giải bài toán bằng cách lập phương trình Tôi hướng dẫn các em vận dụngngay chữ số hàng đơn vị để tính nhẩm sơ bộ ban đầu Sau đó vận dụng ngược lại

ba dạng trên vào tính nhẩm các chữ số còn lại Cụ thể như sau :

a Một số là số chính phương thì chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là các số 0 ,1 ,

4 , 5 , 6 , 9

* Với chữ số hàng đơn vị là 0 và 5 thì chỉ có thể là số có chữ số tận cùng là 0hoặc 5 bình phương

* Chữ số hàng đơn vị là 1 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 9 đem bìnhphương

* Chữ số hàng đơn vị là 4 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 8 đem bìnhphương

* Chữ số hàng đơn vị là 6 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 đem bìnhphương

* Chữ số hàng đơn vị là 9 thì do số có chữ số hàng đơn vị là 3 hoặc 7 đem bìnhphương

b Các chữ số thuộc các hàng còn lại ta vận dụng ngược lại của ba dạng nhẩmtrên

Ví dụ 1 : Tính 15625 = 125

Nhận xét : Chữ số hàng đơn vị là 5 , chữ số hàng chục là 2 chắc chắn kếtquả là số có chữ số hàng đơn vị là 5 ;156 = 12 13

Vậy 15625 = 125

Ví dụ 2 : Tính 3844 = 62

Nhận xét : Chữ số 4 do 22 hoặc 82 Ta thử các chữ số hàng chục để

ghép với 2 hoặc 8 Ta thấy nếu lấy 52 = 25 < 38 quá nhiều

72 = 49 > 38 cũng không được Do vậy ta thử 62 = 36 gần 38

Vậy được 622 hoặc 682

bù Muốn nhân nhẩm hai số nhỏ hơn 100 một chút ta lấy số này trừ đi phần bùcủa số kia rồi viết tiếp vào sau tích của hai phần bù bằng (hai chữ số).

Ta viết hai số 2 ; 7 dưới số 98 ; 93 Gọi 2 là phần bù của 98 ; 7 là phần bù của

93 với 100 Ta lấy một số ( 98 ) trừ đi phần bù của số kia ( 93 ) với 100 là 7 tađược kết quả 98 - 7 = 91 Cuối cùng viết tích của hai phần bù vào bên phải kếtquả vừa thu được ( 91)

Có 7 2 =14 Vậy 93 98 = 9114

b) Nếu tích của phần bù là một số có một chữ số thì phải viết chữ số 0 đứng trước

100

Ví dụ : Tính nhẩm 2976 2924

Xét xem hai thừa số có liên quan đến nhau hay không ?

- Cả hai thừa số đều có hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm là 29

- Hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của mỗi thừa số có tổng là 100

Vậy nếu đặt a = 29 , b = 76 , c = 24 thì tích trên có dạng như thế nào? Hãy nêucách giải ?

2 Nếu gặp những tổng gồm nhiều số chẵn liên tiếp hoặc lẻ liên tiếp thì lưu ýhiệu hai số liên tiếp nhau luôn bằng 2

Ngoài ra muốn tínhxem có bao nhiêu số lẻ ( hay chẵn ) chẳng hạn từ 1 đến 99

có bao nhiêu số lẻ ta làm như sau :

Ví dụ 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức :

2 2

75 125 150 125

220

780

+ +

125

220780

++

−

7575.125.2125

)220780

)(

220 -780(

++

+

75 + 125

1000 560

) (

g)

21 14 7 + 12 8 4 + 6 4 2 + 3 2 1

42 21 7 + 24 12 4 + 12 6 2 + 6 3 1

.

.

.

.

.

.

.

.

h)

35 21 7 + 20 12 4 + 10 6 2 + 5 3 1

21 14 7 + 12 8 4 + 6 4 2 + 3 2

1

.

.

.

.

.

.

.

.

Tìm tòi lời giải :

a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng ta có thể viết : 36( 143 + 57 ) + 64 ( 143 + 57 ) = ( 143 + 57 ) ( 36 +64 )

= 200 100 = 20 000 b) Áp dụng tương tự a có 28 101 = 28 ( 100 +1 ) = 2800 + 28

= 2828

c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 ) = 491 ( 263 + 57 - 153 - 67 )

= 49 100 d) Nhận xét các số hạng trong dấu ngoặc :

234234 233 - 233233 234 = 234 101 233 - 233 101 234 = 0 Vậy 12345 678910 ( 234234 233 - 233233 234 ) = 0

e) So sánh các hạng tử ở tử và mẫu :

2003

1928 + 75

2004.

=

2003

1928 + 75 1

2003.

=

2003

2003 +

75

2003.

= 2003

76

2003.

= 76 g) Nhận xét mỗi số hạng của tử đều gấp 3 lần số hạng tương ứng ở mẫu:

21 14 7 + 12 8 4 + 6 4 2

.

.

.

.

.

.

3 21 14 7 3 12 8 4 3 6 4 2 3 3 2

1

+ +

+

+ +

=

21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1

) 21 14 7 12 8 4 6 4 2 3 2 1 (

3

+ +

+

+ +

21 14 7 + 12 8 4 + 6 4 2 + 3 2 1

.

.

.

.

.

.

.

.

3

7 5 3 1 + 64 5 3 1 + 8 5 3 1 + 5 3 1

7 3 2 1 + 64 3 2 1 + 8 3 2 1 + 3 2 1

.

.

.

.

=

) (

.

) (

7 + 64 + 8 + 1 3 2 1

=

5 3 1

3 2 1

.

.

=5

2

Dạng 9 : Dãy các phân thức viết theo quy luật

Đây là dạng bài khó với các dãy phân thức có thể rút gọn phân thức , cũng cókhi chứng minh hằng đẳng thức Với dạng này tôi yêu cầu các em nhận xét để tìmmối liên quan giữa các thành phần tham gia phép tính để tìm ra quy luật chunggiữa chúng Qua đó có cách giải cho phù hợp

Ví dụ 1 : Rút gọn các biểu thức sau đây :

1 3

2

4

1 4 1

) (

.

.

4 3 2

1 4

) 1 (

5 4

1 + n

1

- 3

1 + … +

n

1 -1 + n

1 = 1 -

1 + n

1 =

1 + n

n

Ví dụ 2 : Chứng minh các đẳng thức sau :

a)

3 1

b)

3 2 1

1

. 2 3 4

1

. + … + n - 1)n(n + 1)

1) + 1)(2n -

n 2

2

Đặt A =

3 1

=> 2A =

3 1

1 + 3

1

- 5

1 + 5

1

- 7

1 + … +

1 - n 2 1

= 1 -

1 + n 2

1 =

1 + n 2

n 2 => A =

1 + n 2

n (n ≥ 1)

1

. + 2 3 4

1

. + … + n - 1)n(n + 1)

1

(

=> 2B =

321

2

. + 2 3 4

2

. + 3 4 5

2

. + … + n - 1)n(n + 1)

n

n

( 2

2

2

=

1) (

) )(

n

n

2

2 1

n

n

( 4

) 2 )(

1 (

Vế trái bằng vế phải Vậy đẳng thức được chứng minh

Dạng 10 : Nhận xét , đề xuất cách giải quyết một số dạng khác ;

Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau :

a)

2004

1 + x + 2002

3 + x

= 2000

5 + x + 1998

7 + x

+ 105

+ 107

1896 - x

+ 4 = 0 Với các phương trình dạng này ta nhân hai vế của phương trình với mẫu sốchung theo đúng thứ tự các bước giải phương trình thì rất phức tạp Nên với cácphương trình dạng nầy nếu cộng hoặc trừ số1 vào mỗi phân thức thì các phân thức

+ 1 ) = (

2000

5 + x

+ 1) + (

1998

7 + x

+ 1 )

2004

2005 +

x

+ 2002

2005 +

x

= 2000

2005 +

x

+ 1998

2005 +

1

- 2000

1

- 1998

1 ) = 0

Vì

2004

1

+ 2002

1

- 2000

1

- 1998

x

-1) = (

61

1943 -

x

-1 ) + (

62

1942 -

1

- 61

1

- 62

1 ) = 0

1

- 62

1

≠ 0 => x - 2004 = 0 ⇒ x = 2004

= >

101

+ 103

+ 105

+ 107

1 + 105

1 +107

1 ) = 0

Vì

101

1 + 103

1 + 105

1 +107

1

≠ 0 => 2003 - x = 0

Ví dụ 4 : Tìm hai chữ số tận cùng của biểu thức :

1094

và

9

8 +

1094

là số nguyên

94 chữ số 0 93 chữ số 0

93 chữ số 0

Ví dụ 6 : So sánh các số :

a) A = 2003 2005 Và B = 20042

b) A =

y x

y x

y

x

+

Với x > y > 0 c) A = ( 3 + 1 ) (32+ 1 ) (34+ 1 ) (38 + 1 )( 316 + 1) Và B = 332- 1

Giải : a) Đặt x = 2004 , => B = x2

A = ( x - 1) ( x + 1 ) = x2 -1

Vậy A < B

b) A =

y x

) )(

(

y x

y x y

< 2 2

2 2

y x

C KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Để giúp các em có hứng thú học bộ môn Toán, xây dựng ý thức tự giác tronghọc tập, củng cố đào sâu suy nghĩ, rèn luyện tư duy toán học tôi đã sử dụng và kếthợp nhiều phương pháp khác nhau trong giảng dạy Với việc sử dụng phép tínhnhẩm, phân dạng bài tập, tôi đã giúp các em thấy được các bài toán tưởng chừngphức tạp nhưng nếu biết quan sát, nhận xét sử dụng linh hoạt các kiến thức cơ bảnthì sẽ trở nên dễ dàng hơn Nội dung trong bài viết tôi đã sử dụng trong nhiều nămvới nhiều lớp được phân công giảng dạy: Qua thực nghiệm đều thấy rằng chất

lượng học tập của các em được nâng lên rõ rệt Không những các em vận dụngtính nhẩm trong Toán mà còn ở cả các môn : Lý, Hoá,… Do vậy thi học sinh giỏicủa các khối, lớp trường Kim Nỗ trong nhiều năm gần đây đạt được kết quả tươngđối khả quan tỷ lệ học sinh giỏi Toán được nâng lên, ý thức học tập được nângcao, không khí lớp học sôi nổi, các em không còn thụ động nghe giảng mà đã chủđộng học tập nghiên cứu dưới sự dẫn dắt của thầy Sau đây là kết quả cụ thể bộmôn Toán trong một số năm gần đây :

Nội dung bài viết chỉ là một số thủ pháp áp dụng cho một số dạng bài tập Để

áp dụng nội dung bài viết vào bài học, các em cần nắm vững nội dung kiến thứctoán học cơ bản, có ý thức tự giác học tập, linh hoạt, tư duy tốt Đôi khi có nhữngbài toán không theo quy luật nào cả nên không thể áp dụng nội dung bài viết.Song với nội dung đề tài tôi đã nghiên cứu và thực nghiệm đặc biệt là sử dụngphép tính nhẩm tôi thấy có tác dụng rất nhiều đến việc phát huy trí lực cho các

em, là nền tảng giúp các em trở thành nhân tài cho đất nước

Mỗi phép tính nhẩm đều tạo cho các em một điều mới lạ, giúp các em cóhứng thứ đi sâu tìm hiểu môn toán và dần dần thấy toán học là thú vị không khôkhan Toán học là sáng tạo, mới lạ và hấp dẫn Mỗi dạng nhẩm khác nhau đềukích thích các em đi sâu tìm hiểu xem còn dạng nào nữa không, rồi các em đốnhau, cùng nhau sưu tầm, tự tìm ra các giải độc đáo khác Như vậy chỉ với phéptính nhẩm giáo viên đã thúc đẩy ý thức tự giác học tập trong các em, giúp các emđào sâu suy nghĩ sau mỗi bài học, mỗi môn học

Trên đây là một số nội dung được tích luỹ và kiểm nghiệm thông qua giảngdạy của bản thân tôi và anh, chị em trong trường THCS Kim Nỗ

Những điều nêu trong bài viết chưa thể gọi là tổng quát, là duy nhất khi rènluyện tư duy toán học cho các em cấp II Và trong nội dung bài viết không thểtránh khỏi những điểm khiếm khuyết Mong được sự chỉ giáo của các anh, chị emđồng nghiệp.

Xin chân thành cảm ơn !

Kim Nỗ , ngày 2.4.2004

NGƯỜI VIẾT

Lê Văn Lộc