Dạng toàn phương hai biến xác định dương với hệ số nguyên

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Lê Thị Duyên DẠNG TOÀN PHƯƠNG HAI BIẾN XÁC ĐỊNH DƯƠNG VỚI HỆ SỐ NGUYÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Lê Thị Duyên DẠNG TOÀN PHƯƠNG HAI BIẾN XÁC ĐỊNH DƯƠNG VỚI HỆ SỐ NGUYÊN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Duy Tân Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung báo cáo thực tập chuyên ngành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Duy Tân tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn TS góp ý chi tiết cách trình bày số kết khóa luận Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Đại số, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Tác giả xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thị Duyên Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Duy Tân khóa luận "Dạng toàn phương hai biến xác định dương với hệ số nguyên" hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong trình hoàn thành khóa luận, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thị Duyên Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên 1.1 1.2 1.3 1.4 Các kiến thức 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Một số tính chất Dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên xác định dương 10 Dạng toàn phương xác định dương thu gọn 13 1.3.1 Dạng toàn phương xác định dương thu gọn 1.3.2 Thuật toán đưa dạng toàn phương dạng 14 rút gọn 24 Lý thuyết giống sơ cấp 27 1.4.1 Luật thuận nghịch toàn phương 27 1.4.2 Dạng toàn phương 33 Ứng dụng vào biểu diễn số nguyên tố dạng p = x2 + ny 40 2.1 2.2 Số nguyên tố dạng p = x2 + ny với n = 1, 2, 3, 4, 40 Số nguyên tố dạng p = x2 + ny với n = 5, 6, 10 47 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên Kết luận chung 56 Tài liệu tham khảo 56 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong hầu hết giáo trình lý thuyết số đại số đại có đề cập đến định lý Fermat phát biểu với số nguyên tố lẻ p, ta có: p = x2 + y , x, y ∈ Z ⇔ p ≡ 1(mod4) Đây định lý mở đầu cho số kết liên quan Fermat, chẳng hạn ông phát biểu p số nguyên tố lẻ ta có: p = x2 + 2y , x, y ∈ Z ⇔ p ≡ 1, 3(mod8) p = x2 + 3y , x, y ∈ Z ⇔ p = p ≡ 1(mod8) Các kết đặt cho câu hỏi số nguyên tố biểu diễn dạng p = x2 + 4y , p = x2 + 5y , p = x2 + 6y cần thỏa mãn điều kiện gì? Chúng dẫn đến vấn đề sau đây:"Cho số nguyên dương n, số nguyên tố p biểu diễn dạng p = x2 + ny , với x, y số nguyên" Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm tổng quan kết tác giả nghiên cứu dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên lý thuyết giống ứng dụng vào việc biểu diễn số nguyên tố dạng Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên p = x2 + ny Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên, luật thuận nghịch toàn phương lý thuyết giống sơ cấp, ứng dụng chúng vào biểu diễn số nguyên tố dạng p = x2 + ny Đề tài đề cập tới trường hợp đơn giản với n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, Phương pháp, phương tiện Nghiên cứu, thu thập tài liệu liên quan đến dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên, luật thuận nghịch toàn phương, lý thuyết giống sơ cấp ứng dụng chúng Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm hai chương Chương "Dạng toàn phương hai biến" trình bày số khái niệm định lý liên quan tới dạng toàn phương hai biến xác định dương với hệ số nguyên, luật thuận nghịch toàn phương lý thuyết giống sơ cấp Chương "Ứng dụng dạng toàn phương vào biểu diễn số nguyên tố dạng p = x2 + ny " trình bày số trường hợp cụ thể số nguyên tố dạng p = x2 + ny với n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thị Duyên Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên Trong chương trình bày số kiến thức dạng toàn phương hai biến, lý thuyết Lagrange rút gọn dạng toàn phương hai biến nguyên sơ xác định dương, luật thuận nghịch toàn phương, lý thuyết giống sơ cấp mối liên hệ toán biểu diễn số nguyên tố dạng toàn phương hai biến ký hiệu Legendre Tài liệu tham khảo sử dụng [1] 1.1 1.1.1 Các kiến thức Khái niệm Định nghĩa 1.1 Dạng tổng quát dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên: f (x, y) = ax2 + bxy + cy với a, b, c ∈ Z Khi a, b, c số nguyên tố ta gọi f (x, y) dạng nguyên sơ Định nghĩa 1.2 Ta nói số nguyên m biểu diễn dạng toàn phương hai biến f (x, y) phương trình m = f (x, y) có Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên nghiệm nguyên (x, y) Nếu phương trình có nghiệm nguyên (x, y) x, y hai số nguyên tố m gọi biểu diễn thực dạng toàn phương hai biến f (x, y) Định nghĩa 1.3 Ta nói hai dạng toàn phương f (x, y) g(x, y) tương đương tồn p, q, r, s ∈ Z ps − qr = ps − qr = −1 cho f (x, y) =g(px +qy, rx + sy) p q Kí hiệu P =   Khi det P = ±1 Do P nằm r s nhóm ma trận nguyên khả nghịch GL(2, Z) Hai dạng toàn phương f (x, y) g(x, y) gọi tương đương thực ps − qr = 1, f (x, y) g(x, y) gọi tương đương không thực ps − qr = −1 Chú ý: Gọi A ma trận dạng toàn  f (x, y) = ax + bxy +  phương b a   cy sở tắc, tức A =  b  Khi đó: c   f (x, y) = x y x A  y Ta có:   g(x, y) = f (px + qy, rx + sy) = x t x y P AP   y Do vậy, gọi B ma trận biểu diễn dạng toàn phương g(x, y) Footer Page 10 of 161 Header Page 49 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên Do −2 p = ⇔ p ≡ 1, 3(mod8) Giả sử dạng rút gọn với biệt thức D = −8 f (x, y) = ax2 + bxy + cy Ta có −D ⇔ |b| ≤ a ≤ |b| ≤ a ≤ c ⇔ |b| ≤ a ≤ −8 Chọn a = {0, 1} • Nếu a = suy b = (loại) • Nếu a = b = {0, 1}, mà −8 = b2 − 4c nên b chẵn Do b = 0, suy c = 2, f (x, y) = x2 + 2y Vậy p = x2 + 2y p = p ≡ 1, 3(mod8) Định lý 2.3 Cho p số nguyên tố, p có dạng p = x2 + 3y với x, y ∈ Z p = p ≡ 1(mod3) Chứng minh Xét p = 3, ta có = + 3.1, p = thỏa mãn Xét p = 3, theo Hệ 1.1 p biểu diễn dạng rút gọn −3 = Ta có có biệt thức D = −4.3 = −12 p Footer Page 49 of 161 43 Header Page 50 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học −3 p = p Lê Thị Duyên −1 Mặt khác p  p   =  p p − −3 p = p ≡ 1(mod4) p ≡ 3(mod4) Do p ⇒ p =1 ⇔ p ≡ x2 (mod3) ⇔ p ≡ 1(mod3) Giả sử dạng rút gọn có biệt thức D = −12 có dạng f (x, y) = ax2 + bxy + cy Ta có |b| ≤ a ≤ c ⇔ |b| ≤ a ≤ −D ⇔ |b| ≤ a ≤ Chọn a = {0, 1, 2} • Nếu a = suy b = (loại) • Nếu a = b = {0, 1}, mà −12 = b2 − 4c nên b chẵn Do b = Với b = 0, suy c = 3, f (x, y) = x2 + 3y • Nếu a = b = {0, 1, 2}, mà −12 = b2 − 8c nên b chẵn Do b = {0, 2} Với b = 0, suy c = (loại) Với b = 2, suy 2 c = 2, f (x, y) = 2x + 2xy + 2y dạng nguyên Footer Page 50 of 161 44 Header Page 51 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên sơ (loại) Vậy p = x2 + 3y với x, y ∈ Z p = p ≡ 1(mod3) Định lý 2.4 Cho p số nguyên tố, p có dạng p = x2 + 4y với x, y ∈ Z p ≡ 1(mod4) Chứng minh Xét p ≤ không thỏa mãn Xét p số nguyên tố lẻ, theo Hệ 1.1 p biểu diễn dạng −4 rút gọn có biệt thức D = −16 = Ta có p −4 p = = ⇒ −4 p =1⇔ p p −1 p −1 p −1 p = −1 p = ⇔ p ≡ 1(mod4) Giả sử dạng rút gọn có biệt thức D = −16 có dạng f (x, y) = ax2 + bxy + cy Ta có −D ⇔ |b| ≤ a ≤ |b| ≤ a ≤ c ⇔ |b| ≤ a ≤ 16 Chọn a = {0, 1, 2} • Nếu a = suy b = (loại) • Nếu a = b = {0, 1}, mà −16 = b2 − 4c nên b chẵn Do b = Với b = 0, suy c = 4, f (x, y) = x2 + 4y Footer Page 51 of 161 45 Header Page 52 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên • Nếu a = b = {0, 1, 2}, mà −16 = b2 − 8c nên b chẵn Do b = {0, 2} Với b = 0, suy c = 2, f (x, y) = 2x2 + 2y dạng nguyên sơ (loại) Với b = 2, suy c = (loại) Vậy p = x2 + 4y p ≡ 1(mod4) Định lý 2.5 Cho p số nguyên tố, p có dạng p = x2 + 7y với x, y ∈ Z p = p ≡ 1, 2, 4(mod7) Chứng minh Xét p ≤ không thỏa mãn Xét p = 7, ta có = + 7.1 (thỏa mãn) Xét p = 7, theo Hệ 1.1 p biểu diễn dạng rút gọn có −7 = Ta có biệt thức D = −28 p −7 p −1 p p = Mặt khác  p   =  p p − p ≡ 1(mod4) p ≡ 3(mod4) Do −7 p = p ⇒ p =1 ⇔ p ≡ x2 (mod7) ⇔ p ≡ 1, 2, 4(mod7) Footer Page 52 of 161 46 Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên Giả sử dạng rút gọn có biệt thức D = −28 có dạng f (x, y) = ax2 + bxy + cy Ta có −D ⇔ |b| ≤ a ≤ |b| ≤ a ≤ c ⇔ |b| ≤ a ≤ 28 Chọn a = {0, 1, 2, 3} • Nếu a = suy b = (loại) • Nếu a = b = {0, 1}, mà −28 = b2 − 4c nên b chẵn Do b = Với b = 0, suy c = 7, f (x, y) = x2 + 7y • Nếu a = b = {0, 1, 2}, mà −28 = b2 − 8c nên b chẵn Do b = {0, 2} Với b = 0, suy c = (loại) Với b = 2, suy c = 4, 2 f (x, y) = 2x + 2xy + 4y không dạng nguyên sơ (loại) • Nếu a = b = {0, 1, 2, 3}, mà −28 = b2 − 12c nên b chẵn Do b = {0, 2} Với b = 0, suy c = (loại) Với b = 2, suy c = (loại) Vậy p = x2 + 7y p = p ≡ 1, 2, 4(mod7) 2.2 Số nguyên tố dạng p = x2 + ny với n = 5, 6, 10 Định lý 2.6 Cho p số nguyên tố, p có dạng p = x2 + 5y với x, y ∈ Z p = p ≡ 1, 9(mod20) Chứng minh Footer Page 53 of 161 47 Header Page 54 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên Xét p ≤ không thỏa mãn Xét p = 5, ta có = + 5.1 (thỏa mãn) Xét p = 5, theo Định lý 1.7 p biểu diễn dạng rút gọn có −20 biệt thức D = −20 p ∈ kerχ hay = Ta có p −20 p = = = Do ≡ 1(mod4) ⇒ p =  ⇒ −5 p   =  −5 p p 2 −1 p p p −1 p p p p p − p ≡ 1(mod4) p ≡ 3(mod4) Ta xét hai khả năng: • −5 p = p p ≡ 1(mod4) Ta có p = ⇔ p ≡ x2 (mod5) ⇔ p ≡ 1, 4(mod5) ⇒ p ≡ 1, 9(mod20) Footer Page 54 of 161 48 Header Page 55 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học −5 p • =− p Lê Thị Duyên p ≡ 3(mod4) Ta có p = −1 ⇔ p ≡ x2 (mod5) ⇔ p ≡ 2, 3(mod5) ⇒ p ≡ 3, 7(mod20) Do kerχ = {1, 3, 7, 9} Giả sử dạng rút gọn có biệt thức D = −20 có dạng f (x, y) = ax2 + bxy + cy Ta có −D ⇔ |b| ≤ a ≤ |b| ≤ a ≤ c ⇔ |b| ≤ a ≤ 20 Chọn a = {0, 1, 2} • Nếu a = suy b = (loại) • Nếu a = b = {0, 1}, mà −20 = b2 − 4c nên b chẵn Do b = Với b = 0, suy c = 5, f (x, y) = x2 + 5y • Nếu a = b = {0, 1, 2}, mà −20 = b2 − 8c nên b chẵn Do b = {0, 2} Với b = 0, suy c = (loại) Với b = 2, suy 2 c = 3, f (x, y) = 2x + 2xy + 3y Do D = −20 nên ta có dạng x2 + 5y Theo Hệ 1.2 p Footer Page 55 of 161 49 Header Page 56 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên biểu diễn dạng x2 +5y p ≡ 1, 9( mod 20) Thử lại Xét f (x, y) = x2 + 5y Nếu (x, y) = (1, 2) f (x, y) = 21 ≡ 1(mod20) Nếu (x, y) = (2, 1) f (x, y) = ≡ 9(mod20) Xét f (x, y) = 2x2 + 2xy + 3y Nếu (x, y) = (0, 1) f (x, y) = ≡ 3(mod20) Nếu (x, y) = (1, 1) f (x, y) = ≡ 7(mod20) Vậy p có dạng p = x2 + 5y p ≡ 1, 9(mod20) p = 5, p = 2x2 + 2xy + 3y p ≡ 3, 7(mod20) Định lý 2.7 Cho p số nguyên tố, p có dạng p = x2 + 6y với x, y ∈ Z p ≡ 1, 7(mod24) Chứng minh Xét p ≤ không thỏa mãn Xét p > số nguyên tố, theo Định lý 1.7 p biểu diễn dạng rút gọn có biệt thức D = −24 p ∈ kerχ, suy −24 = Ta có p −24 p = = = Khi  −24 p Footer Page 56 of 161 −3 p p −3 p p −3 p p   =1⇔  p p 50 = = −3 =1 p −3 = −1 p Header Page 57 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên Ta xét hai trường hợp: • TH1: p = −3 p = Ta có p = ⇔ p ≡ 1, 7(mod8) −3 p = ⇔ p ≡ 1(mod3) Suy p ≡ 1, 7(mod24) • TH2: p = −3 p = −1 Ta có p −3 p = −1 ⇔ p ≡ 3, 5(mod8) = −1 ⇔ p ≡ 2(mod3) Suy p ≡ 5, 11(mod24) Do kerχ = {1, 5, 7, 11} Giả sử dạng rút gọn có biệt thức D = −24 có dạng f (x, y) = ax2 + bxy + cy Ta có |b| ≤ a ≤ c ⇔ |b| ≤ a ≤ Chọn a = {0, 1, 2} • Nếu a = suy b = (loại) Footer Page 57 of 161 51 √ −D ⇔ |b| ≤ a ≤ Header Page 58 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên • Nếu a = b = {0, 1}, mà −24 = b2 − 4c nên b chẵn Do b = Với b = 0, suy c = 6, f (x, y) = x2 + 6y • Nếu a = b = {0, 1, 2}, mà −24 = b2 − 8c nên b chẵn Do b = {0, 2} Với b = 0, suy c = 3, f (x, y) = 2x2 + 3y Với b = 2, suy c = (loại) Do D = −24 nên ta có dạng x2 + 6y Theo Hệ 1.2 p biểu diễn dạng x2 +6y p ≡ 1, 7( mod 24) Thử lại Xét f (x, y) = x2 + 6y Nếu (x, y) = (1, 0) f (x, y) = ≡ 1(mod24) Nếu (x, y) = (1, 1) f (x, y) = ≡ 7(mod24) Xét f (x, y) = 2x2 + 3y Nếu (x, y) = (1, 1) f (x, y) = ≡ 5(mod24) Nếu (x, y) = (2, 1) f (x, y) = 11 ≡ 11(mod24) Vậy p có dạng p = x2 + 6y p ≡ 1, 7(mod24), p = 2x2 + 3y p ≡ 5, 11(mod24) Định lý 2.8 Cho p số nguyên tố, p có dạng p = x2 + 10y với x, y ∈ Z p ≡ 1, 9, 11, 19(mod40) Chứng minh Xét p ≤ không thỏa mãn Xét p > 7, theo Định lý 1.7 p biểu diễn dạng rút gọn có Footer Page 58 of 161 52 Header Page 59 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên biệt thức D = −40 p ∈ kerχ hay −40 p p p p = = = Khi  −40 p • TH1: p =   =1⇔  −5 p p p = Ta có −5 p −5 p −5 p = = −40 p −5 =1 p −5 = −1 p = Ta có p −5 p = ⇔ p ≡ 1, 7(mod8) = ⇔ p ≡ 1, 3, 7, 9(mod20) Suy p ≡ 1, 7, 9, 23(mod40) • TH2: p = −5 p = −1 Ta có p −5 p = −1 ⇔ p ≡ 3, 5(mod8) = −1 ⇔ p ≡ 11, 13, 17, 19(mod20) Suy p ≡ 11, 13, 19, 37(mod40) Footer Page 59 of 161 53 Header Page 60 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên Do kerχ = {1, 7, 9, 11, 13, 19, 23, 37} Giả sử dạng rút gọn có biệt thức D = −40 có dạng f (x, y) = ax2 + bxy + cy Ta có −D ⇔ |b| ≤ a ≤ |b| ≤ a ≤ c ⇔ |b| ≤ a ≤ 40 Chọn a = {0, 1, 2, 3} • Nếu a = suy b = (loại) • Nếu a = b = {0, 1}, mà −40 = b2 − 4c nên b chẵn Do b = Với b = 0, suy c = 10, f (x, y) = x2 + 10y • Nếu a = b = {0, 1, 2}, mà −40 = b2 − 8c nên b chẵn Do b = {0, 2} Với b = 0, suy c = 5, f (x, y) = 2x2 + 5y 11 (loại) Với b = 2, suy c = • Nếu a = b = {0, 1, 2, 3}, mà −40 = b2 − 12c nên b chẵn Do 10 b = {0, 2} Với b = 0, suy c = (loại) Với b = 2, suy 11 c= (loại) Do D = −40 nên ta có dạng x2 +10y Theo Hệ 1.2 p biểu diễn dạng x2 + 10y p ≡ 1, 9, 11, 19(mod 40) Thử lại, ta xét trường hợp: Footer Page 60 of 161 54 Header Page 61 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên • Xét f (x, y) = x2 + 10y Nếu (x, y) = (1, 0) f (x, y) = ≡ 1(mod40) Nếu (x, y) = (3, 2) f (x, y) = 49 ≡ 9(mod40) Nếu (x, y) = (1, 1) f (x, y) = 11 ≡ 11(mod40) Nếu (x, y) = (3, 1) f (x, y) = 19 ≡ 19(mod40) • Xét f (x, y) = 2x2 + 5y Nếu (x, y) = (1, 1) f (x, y) = ≡ 7(mod40) Nếu (x, y) = (2, 1) f (x, y) = 13 ≡ 13(mod40) Nếu (x, y) = (3, 3) f (x, y) = 63 ≡ 23(mod40) Nếu (x, y) = (4, 3) f (x, y) = 77 ≡ 37(mod40) Vậy p có dạng p = x2 + 10y p ≡ 1, 9, 11, 19( mod 40), p = 2x2 + 5y p ≡ 7, 13, 23, 27(mod40) Footer Page 61 of 161 55 Header Page 62 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Duyên Kết luận chung Khóa luận nghiên cứu ứng dụng dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên, luật thuận nghịch toàn phương lý thuyết giống sơ cấp vào biểu diễn số nguyên tố dạng p = x2 + ny Cụ thể khóa luận đề cập tới vấn đề sau: i) Dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên tính chất liên quan ii) Luật thuận nghịch toàn phương ứng dụng vào biểu diễn số nguyên tố dạng p = x2 + ny với n = 1, 2, 3, 4, iii) Lý thuyết giống sơ cấp ứng dụng vào biểu diễn số nguyên tố dạng p = x2 + ny với n = 5, 6, 10 Mặc dù có nhiều cố gắng xong hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận đề cập tới biểu diễn số nguyên tố dạng p = x2 + ny trường hợp đơn giản với n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 Khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè để khóa luận hoàn thiện Trân trọng cám ơn Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2016 Footer Page 62 of 161 56 Header Page 63 of 161 Tài liệu tham khảo [1] David A Cox, Primes of the form p = x2 + ny : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, John Wiley and Sons, Inc, Canada, 1989 [2] Josh Kaplan, Binary Quadratic Froms, Genus Theory, and Primes of the Form p = x2 + ny , 2014 [3] Phan Hồng Trường, Giáo trình đại số tuyến tính, Đại học Sư phạm Hà Nội 2, 2001 Footer Page 63 of 161 57 ... Chương Dạng toàn phương hai biến với hệ số nguyên Trong chương trình bày số kiến thức dạng toàn phương hai biến, lý thuyết Lagrange rút gọn dạng toàn phương hai biến nguyên sơ xác định dương, ... luận gồm hai chương Chương "Dạng toàn phương hai biến" trình bày số khái niệm định lý liên quan tới dạng toàn phương hai biến xác định dương với hệ số nguyên, luật thuận nghịch toàn phương lý... với hệ số nguyên xác định dương 10 Dạng toàn phương xác định dương thu gọn 13 1.3.1 Dạng toàn phương xác định dương thu gọn 1.3.2 Thuật toán đưa dạng toàn phương