Đa tạp Afin

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đỗ Tuấn Anh ĐA TẠP AFIN TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đỗ Tuấn Anh ĐA TẠP AFIN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành đạo, hướng dẫn tận tình PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn tới thầy Nguyễn Việt Phương có nhận xét góp ý chỉnh sửa khóa luận giúp em Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ Đại số thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Đỗ Tuấn Anh Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu riêng thân, trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2016 Sinh viên Đỗ Tuấn Anh Footer Page of 161 i Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành giao hoán 1.2 Idean, idean nguyên tố idean cực đại 1.3 Vành đa thức trường đóng đại số 1.4 Phép toán với idean 12 1.5 Tích trực tiếp vành 16 TẬP ĐẠI SỐ AFIN 17 2.1 Không gian afin tập đại số 17 2.2 Idean tập điểm 23 2.3 Idean thức Nullstellensatz 27 2.4 Tập đại số tối giản 34 2.5 Tập đại số mặt phẳng 39 ĐA TẠP AFIN 43 3.1 Vành tọa độ 43 3.2 Ánh xạ đa thức 47 Footer Page of 161 ii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh 3.3 Phép biến đổi tọa độ 52 3.4 Hàm hữu tỷ vành địa phương 53 3.5 Vành định giá trị rời rạc 58 3.6 Idean với số không điểm hữu hạn 61 Tài liệu tham khảo 68 Footer Page of 161 iii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Lời mở đầu Lí chọn đề tài Hình học đại số lĩnh vực phát triển đạt nhiều thành tựu toán học Trong hình học đại số, đối tượng hình học mô tả ngôn ngữ đại số túy Bề hình học đại số hình thức đối lập, phát triển hình học kỉ 20 chứng minh điều ngược lại: ngôn ngữ đại số phù hợp có khả diễn đạt trực quan hình học cách xác Là sinh viên ngành sư phạm toán, sở trang bị kiến thức tảng đại số, hình học với mong muốn học hỏi trau dồi thêm vốn kiến thức toán học nói chung kiến thức sở hình học đại số nói riêng Chính vậy, lựa chọn đề tài : " Đa tạp afin " cho khóa luận tốt nghiệp Trong đề tài dự kiến hệ thống kiến thức hình học đại số làm sở lí luận để tìm hiểu đa tạp afin Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa cách khoa học khái niệm hình học đại số kèm theo ví dụ, nghiên cứu tính chất đa tạp afin Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng mà khóa luận nghiên cứu đa tạp afin, tập chung vào tính chất Bên cạnh khóa luận trình bày hệ thống khái niệm bổ trợ thể coi kiến thức chuẩn bị phục Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh vụ cho nghiên cứu đối tượng Phương pháp nghiên cứu khoa học Phương pháp nghiên cứu lí luận: trước hết đọc tài liệu liên quan đến lí thuyết sở đại số Sau đọc, nghiên cứu hiểu đa tạp afin Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học, đưa vào ví dụ minh họa chi tiết Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu hình học đạ số cụ thể đa tạp afin Bố cục khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm ba chương Chương : Kiến thức chuẩn bị Chương : Tập đại số afin Chương : Đa tạp afin Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành giao hoán Định nghĩa 1.1 Ta gọi vành tập hợp X với hai phép toán hai cho X, kí hiệu theo thứ tự dấu + gọi phép cộng phép nhân, cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) X với phép cộng nhóm aben (ii) X với phép nhân nửa nhóm (iii) Phép nhân phân phối phép cộng: với phần tử tùy ý x, y, z ∈ X ta có x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx Phần tử trung lập phép cộng gọi phần tử không, kí hiệu Nếu phép nhân có phần tử trung lập phần tử gọi đơn vị X thường kí hiệu e Nếu phép nhân giáo hoán ta nói vành X Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh giao hoán Định nghĩa 1.2 Phần tử a thuộc vành X gọi ước bên trái (bên phải) a = có phân tử b = X cho ab = (ba = 0) Phần tử a gọi ước vừa ước bên phải, vừa ước bên trái Định nghĩa 1.3 Miền nguyên vành có nhiều phần tử, giao hoán, có đơn vị phép nhân, ước Định nghĩa 1.4 Miền nguyên X trường phần tử khác X có nghịch đảo vị nhóm nhân X Định nghĩa 1.5 Phần tử a vành R gọi tối giản có phân tích a = bc b c khả nghịch Miền nguyên R gọi miền nguyên nhân tử hóa nhất, kí hiệu U F D, phần tử khác R phân tích cách (không kể đến phần tử khả nghịch, thứ tự phần tử) thành phần tử tối giản Định nghĩa 1.6 Một đồng cấu (vành) ánh xạ f từ vành X đến vành Y cho với a, b thuộc X ta có f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b) Nếu f đơn ánh đồng cấu f gọi đơn cấu Nếu f toàn ánh f gọi toàn cấu f song ánh f Footer Page 10 of 161 Header Page 60 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh triệt tiêu P Nếu Γ(V ) U F D f có cách biểu diễn a f = a, b nhân tử chung ( Tính chất 1.1) f b xác định P b(P ) = Định nghĩa 3.9 Điểm P ∈ V mà hàm hữu tỷ f ∈ k(V ) không xác định gọi cực điểm Tập tất điểm gọi tập cực điểm f Ví dụ 3.5 Cho V = V (y − x2 (x + 1)) ⊂ A2 x, y lớp thặng dư y modun I(V ) x, y Γ(V ) , hàm hữu tỷ f = x Tập cực điểm f ∅ có điểm V có tọa độ x = (0; 1), (0; −1) Mà f= y x(x + 1) = x y y(0; 1) = 0; y(0; −1) = Tập cực điểm hàm hữu tỷ f ∅ f2 = y2 = x+1 x2 Định nghĩa 3.10 Cho P ∈ V , ta kí hiệu ΘP (V ) tập tất hàm hữu tỷ V xác định P Dễ kiểm tra : ΘP (V ) vành k(V ) Ta có quan hệ sau: k ⊂ Γ(V ) ⊂ ΘP (V ) ⊂ k(V ) ΘP (V ) gọi vành địa phương V tai P Mệnh đề 3.5 Tập cực điểm hàm hữu tỷ V tập đại số V Footer Page 60 of 161 54 Header Page 61 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Γ(V ) = Đỗ Tuấn Anh ΘP (V ) P ∈V Chứng minh Giả sử V ⊂ An , với g ∈ k[x1 , , xn ] g lớp thặng dư modun I(V ) g Γ(V ) Ta lấy f ∈ k(V ) Đặt Jf = {g ∈ k[x1 , , xn ] | g.f ∈ Γ(V )} Với g ∈ I(V ) ta có g = ⇒ g.f ∈ Γ(V ) ⇒ g ∈ Jf ⇒ I(V ) ⊂ Jf Rõ ràng Jf idean k[x1 , , xn ] chứa I(V ) Ta thấy V (Jf ) tập điểm mà f không xác định Do khẳng định thứ chứng minh Nếu f ∈ ΘP (V ) V (Jf ) = ∅, theo Bổ đề 2.1 P ∈V Jf = k[x1 , , xn ] nên ∈ Jf Kéo theo 1.f = f ∈ Γ(V ) Do ΘP (V ) ⊂ Γ(V ), P ∈V mà Γ(V ) ⊂ ΘP (V ) P ∈V Vậy Γ(V ) = ΘP (V ) P ∈V Định nghĩa 3.11 Cho f ∈ ΘP (V ) Ta định nghĩa giá trị f a P , viết f (P ) xác định sau: biểu diễn f = với b a, b ∈ Γ(V ), b(P ) = Footer Page 61 of 161 55 Header Page 62 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh f (P ) = a(P ) b(P ) Chú ý f (P ) không phụ thuộc vào cách chọn a, b Định nghĩa 3.12 MP (V ) = {f ∈ ΘP (V ) | f (P ) = 0} gọi idean cực đại V P MP (V ) Ker toàn cấu ΘP (V ) −→ k, f −→ f (P ) Do đó: ΘP (V )/MP (V ) ∼ = k Phần tử f ∈ ΘP (V ) khả nghịch ΘP (V ) f (P ) = Vì MP (V ) = {f ∈ ΘP (V ) | f không khả nghịch ΘP (V )} Bổ đề 3.1 Các điều kiện sau vành R tương đương : Tập phần tử không khả nghịch R lập thành idean R có idean cực đại chứa idean thực R Chứng minh Đặt M = {a ∈ R | a không khả nghịch} Rõ ràng idean thực R chứa M trái lại tồn b | 1, kéo theo thuộc vào idean (mâu thuẫn với tính thực sự) Bổ đề hệ điều Định nghĩa 3.13 Vành thỏa mãn điều kiện bổ đề gọi vành địa phương Chú ý.Các phần tử khả nghịch không thuộc idean tối đại Như vậy, ΘP (V ) vành địa phương, MP (V ) tập phần tử không khả nghịch nên MP (V ) idean tối đại Footer Page 62 of 161 56 Header Page 63 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Mệnh đề 3.6 ΘP (V ) miền nguyên địa phương N oether Chứng minh Ta cần idean I ΘP (V ) idean hữu hạn sinh Thật vậy, rõ ràng Γ(V ) = k[x1 , , xn ]/I vành Noether (Mệnh đề 2.8) Vì I ∩ Γ(V ) idean Γ(V )(∗) nên I ∩ Γ(V ) idean hữu hạn sinh, sinh {f1 , , fr } Khi với f ∈ I ⊂ ΘP (V ) có a, b ∈ Γ(V ) b(P ) = 0, bf ∈ Γ(V ) Suy bf ∈ Γ(V ) ∩ I Do r f i , bf = i=1 với ∈ Γ(V ), i = 1, , r (do (∗)) Suy r f= fi i=1 b Dẫn tới {f1 , , fr } hệ sinh I Mệnh đề 3.7 Cho ΘP (V ) vành địa phương đa tạp V điểm P Khi có phép tương ứng tự nhiên 1-1 idean nguyên tố ΘP (V ) đa tạp V chứa P Footer Page 63 of 161 57 Header Page 64 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Chứng minh Giả sử I idean nguyên tố ΘP (V ) Suy I ∩Γ(V ) idean nguyên tố Γ(V ) với f, g ∈ Γ(V ) cho f.g ∈ I ∩ Γ(V ) suy f.g ∈ I, mà I idean nguyên tố nên f ∈ I g ∈ I kéo theo f ∈ I ∩ Γ(V ) g ∈ I ∩ Γ(V ) nên I ∩ Γ(V ) idean nguyên tố Theo chứng minh Mệnh đề 3.3 I sinh hệ sinh I ∩ Γ(V ) Theo Mệnh đề 3.1 ta có I ∩ Γ(V ) tương ứng 1-1 với đa tạp W V Do I tương ứng 1-1 với đa tạp V Mặt khác I idean nguyên tố nên I ΘP (V ) Do I ⊂ MP (V ) Như P ∈ W 3.5 Vành định giá trị rời rạc Mệnh đề 3.8 R miền nguyên, không trường Các điều kiện sau tương đương: R vành Noether, vành địa phương idean cực đại idean Có phần tử tối giản t ∈ R cho ∀z ∈ R∗ = R\{0} viết cách dạng z = u.tn u khả nghịch R, n số nguyên không âm Chứng minh 1⇒2 ] Do R vành địa phương nên ta giả sử M idean tối đại R Theo giả thiết M =< t > với t tối giản R ⇒ M tập phần tử không khả nghịch Giả sử ta có utn = vtm với u, v khả nghịch, n ≥ m Tương đương utn−m = v khả nghịch Suy n = m Kéo theo u = v Do biểu diễn z = utn Footer Page 64 of 161 58 Header Page 65 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Để chứng minh z có biểu diễn ta xét z không khả nghịch (vì với z khả nghịch ta có z = z.t0 , điều thỏa mãn yêu cầu) Kéo theo z ∈ M hay z = z1 t, z1 ∈ R Nếu z1 khả nghịch ta dừng lại yêu cầu toán Nếu z1 không khả nghịch tức z1 ∈ M ta lại có z1 = z2 t Cứ tiếp tục ta dãy vô hạn : z1 , z2 , với zi = zi+1 t Vì R vành Noether nên dãy idean: < z1 >⊂< z2 >⊂ dừng tức tồn n cho < zn >=< zn+1 > hay zn+1 = vzn , v ∈ R, mà zn = zn+1 t nên zn = vtzn kéo theo vt = Suy t khả nghịch (mâu thuẫn) Do trình dùng lại zn Ta z = u.tn với u khả nghịch n không âm 2⇒1 ] Xét idean M =< t > với t ∈ R tối giản với z ∈ R∗ z = utn với n số nguyên không âm Do M tập tất phần tử không khả nghịch R Suy tập phần tử không khả nghịch tạo thành idean Kéo theo R vành địa phương, M idean cực đại có dạng idean Vì với z ∈ R∗ z = u.tn nên idean R có dạng idean tức < tn >, n ≥ Do R P ID Kéo theo R Noether Footer Page 65 of 161 59 Header Page 66 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Định nghĩa 3.14 Vành R thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 3.8 gọi vành định giá trị rời rạc, kí hiệu DV R Phần tử t khẳng định Mệnh đề 3.8 gọi tham số đơn trị cho R Bất kì tham số đơn trị khác có dạng ut vớ u khả nghịch R Cho K trường thương R Khi t cố định, phần tử z ∈ K khác có biểu diễn z = utn với u khả nghịch R, n ∈ Z Số mũ n gọi cấp z viết n = ord(z), quy ước ord(0) = ∞; M ={z ∈ K | ord(z) > 0} idean cực đại R Ví dụ 3.6 Cho V = A1 , Γ(V ) = k[x], K = k(V ) = k(x) a) Với a ∈ k = V Θa (V ) DV R với tham số đơn trị t = X − a Thậy vậy, rõ ràng Θa (V ) miền nguyên, x − a tối giản Θa (V ) g ∀f = ∈ Θa (V )∗ ta xét trường hợp sau: h g Nếu f = không khả nghịch f (a) = Suy g(a) = dẫn đến h l g = l.(x−a)n với l ∈ k[x], l(a) = 0, n nguyên dương Do f = (x−a)n h l với khả nghịch Θa (V ) h g Nếu f = khả nghịch f (a) = Kéo theo g = g.(x − a)0 Suy h g g f = (x − a)0 với khả nghịch Θa (V ) h h Suy với f ∈ Θa (V )∗ f = u.(x − a)t với u khả nghịch Θa (V ), t nguyên không âm Theo ý Mệnh đề 3.8, Θa (V ) DV R f b) Θ∞ = ∈ k(x) | deg g ≥ deg f DV R với tham số đơn trị t = g x g Thật Θ∞ miền nguyên, tối giản Θ∞ Với f = ∈ Θ∗∞ x h bất kỳ, ta xét khả sau: Nếu deg(g) = deg(h) f khả nghịch Do f = f x Footer Page 66 of 161 60 Header Page 67 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Nếu deg(g) > deg(h) f không khả nghịch Θ∞ i i gxi m Suy f = = =v , với i = deg(h) − deg(g) v = h x x n gxi , khả nghịch deg(m) = deg(n) h i ∗ Do đó, với f ∈ Θ∞ f = u với u khả nghịch Θ∞ , t x nguyên không âm Vậy Θ∞ DV R Ví dụ 3.7 Cho p ∈ Z số nguyên tố, a M = {r ∈ Q | r = , a, b ∈ Z, p không chia hết b} b DV R trường thương Q với tham số đơn trị p Ví dụ 3.8 Hàm số thứ tự trường K toàn ánh ϕ : K −→ Z ∪ {∞} thỏa mãn: i) ϕ(a) = ∞ a = ii) ϕ(ab) = ϕ(a) + ϕ(b) iii) ϕ(a + b) ≥ {ϕ(a), ϕ(b)} Khi đó: R = {z ∈ K | ϕ(z) ≥ 0} DV R với idean cực đại M = {z | ϕ(z) > 0} 3.6 Idean với số không điểm hữu hạn Mệnh đề 3.9 Cho I idean k[x1 , , xn ] (k trường đóng đại số), giả sử V (I) = {P1 , , PN } hữu hạn Đặt Θi = ΘPi (An ) Khi có phép đẳng cấu tự nhiên k[x1 , , xn ]/I với ×N i=1 Θi /IΘi Footer Page 67 of 161 61 Header Page 68 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Chứng minh Đặt Ii = I({Pi }) ⊂ k[x1 , , xn ], i = 1, N idean cực đại phân biệt chứa I Đặt R = k[x1 , , xn ]/I ; Ri = Θi /IΘi ,i = 1, N Khi theo mệnh đề (1.5) có đồng cấu tự nhiên ϕi : R −→ Ri cảm sinh đồng cấu ϕ : R −→ ×N i=1 Ri Theo Nullstellensatz, N Rad(I) = I(V (I)) = I({P1 , , Pn }) = Ii i=1 Do theo Mệnh đề 2.6, N ( Ii )d ⊂ I, i=1 với d Mặt khác, V (Ii ) = Pi = Pj = V (Ij ) , ∀ i = j Suy V (Ii ) ∩ V (Ij ) = ∅ Theo Mệnh đề 2.9 Ii Ij đồng cực đại ∀ i = j Do đó, Ii Ij đồng cực đại trái lại tức Ii + j=i Ij idean j=i thực chứa idean cực đại m I1 Ii−1 Ii+1 IN ⊂ Ij j=i nên I1 Ii−1 Ii+1 IN ⊂ m, m cực đại nên m nguyên tố Footer Page 68 of 161 62 Header Page 69 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh ∃ j ∈ {1; ; i − 1; i + 1; ; N } cho Ij ⊂ m, suy Ii + Ij ⊂ m = k[x1 , , xn ] ⊂ m = k[x1 , , xn ]( mâu thuẫn với tính đồng cực đai Ii Ij ) Theo Mệnh đề 1.3 N (Ij )d = (I1 IN )d = ( i=1 N )d ⊂ I i=1 Bây ta chọn Fi ∈ k[x1 , , xn ] cho Fi (Pj ) = i = j Fi (Pi ) = với i = 1, n (theo mệnh đề (2.5)) Đặt Ei = − (1 − Fid )d Suy Ei = Fi Di Kéo theo Ei ∈ Ijd với i = j (do Fi ∈ Ij ) N 1− Ei = (1 − Ej ) − i=1 Ei ⊂ I i=j Đặt ei lớp thặng dư Ei R ta có e2i = ei ; ei ej = với i = j N ei = i=1 Thật vậy, (ei )2 = (1 − (1 − Fid )d + I)(1 − (1 − Fid )d + I) = (1 − (1 − Fid )d ) + ((1 − Fid )2d − (1 − Fid )d ) +I N ∈ = ei Tương tự với Footer Page 69 of 161 ⊂I i=1 63 Header Page 70 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh N ei ej = 0; ei = i=1 Để chứng minh ϕ đẳng cấu, ta cần cần chứng minh khẳng định sau: Khẳng định Nếu G ∈ k[x1 , , xn ] G(Pi )= ∃ t ∈ R cho tg = ei ; g lớp thặng dư modun I G Thật vậy, ta giả sử G(Pi ) = Đặt H = − G Ta có (1 − H)(Ei + H.Ei + + H d−1 Ei ) = Ei − H d Ei (∗) Vì H ∈ Ii nên H d Ei ∈ I nên (∗) ⇔ g(ei + h.ei + + hd−1 ei ) = ei ⇔ gti = ei Như khẳng định chứng minh Áp dụng khẳng định: +Đơn ánh: Nếu ϕ(f ) = với i có đa thức Gi , F ∈ k[x1 , , xn ] cho Gi (Pi ) = Gi F ∈ I(f lớp thặng dư modun I F) Đặt ti gi = ei Khi đó: N f= ei f = i=1 Footer Page 70 of 161 N ti gi f = i=1 64 Header Page 71 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh +Toàn ánh: Vì Ei (Pi ) = nên ϕi (ei ) đơn vị Ri Vì ϕi (ei )ϕi (ej ) = ϕi (ei ej ) = i = j nên ϕi (ej ) = ∀i = j Do N ϕi (ei ) = ϕi ( ei ) = ϕi (1) = i=1 Giả sử z= a1 aN , , s1 sN ∈ ×Ri Suy si (Pi ) = 0, i = 1, N Theo khẳng định tồn ti cho ti si = ei Suy = ti si Ri Do ϕ( Footer Page 71 of 161 tj aj ej ) = ϕi (ti ) = 65 si Header Page 72 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh Ta ϕ( tj aj ej ) = z N Hệ 3.1 dimk (k[x1 , , xn ]/I) = dimk (Θi /IΘi ) i=1 Hệ 3.2 Nếu V (I) = {P } k[x1 , , xn ]/I ∼ = ΘP (An )/IΘP (An ) Footer Page 72 of 161 66 Header Page 73 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Tuấn Anh KẾT LUẬN Trong luận văn tác giả bước đầu tìm hiểu số kiến thức Hình học đại số, kết luận văn sau: Trình bày có hệ thống tập đại số afin định lí quan trọng Nullstellensatz Kiến thức đa tạp afin với nội dung liên quan vành tọa độ, ánh xạ đa thức, phép biến đổi tọa độ, hàm hữu tỷ, vành địa phương, vành định giá trị rời rạc idean với số không điểm hữu hạn Đặc biệt, Mệnh đề 3.9 cho ta thấy mối liên hệ vành tọa độ với vành địa phương Footer Page 73 of 161 67 Header Page 74 of 161 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Xuân Sính (2010), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng ( 1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Chris Almost ( 2005 ), Algebraic Curves [4] Samuel Bloom, Basic theory of algebraic geometry [5] William Fulton ( 1969 ), Algebraic Curves: An introduction to algebraic geometry Footer Page 74 of 161 68 ... cụ thể đa tạp afin Bố cục khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm ba chương Chương : Kiến thức chuẩn bị Chương : Tập đại số afin Chương : Đa tạp afin Footer... niệm hình học đại số kèm theo ví dụ, nghiên cứu tính chất đa tạp afin Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng mà khóa luận nghiên cứu đa tạp afin, tập chung vào tính chất Bên cạnh khóa luận trình... Chính vậy, lựa chọn đề tài : " Đa tạp afin " cho khóa luận tốt nghiệp Trong đề tài dự kiến hệ thống kiến thức hình học đại số làm sở lí luận để tìm hiểu đa tạp afin Mục đích nghiên cứu Hệ thống