Ứng dụng dãy fibonacci trong toán sơ cấp

Ông nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở Châu Âu và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn sách Liber Abaci – sách v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ THANH HIỀN

ỨNG DỤNG DÃY FIBONACCI

TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2 : TS Trịnh Đào Chiến

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170 – 1250), còn được biết với tên Leonardo của Pisa, hay phổ biến nhất dưới cái tên Fibonacci,

là một nhà toán học người Ý và ông còn được một số người xem là

“nhà toán học tài ba nhất thời Trung Cổ” Ông nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở Châu Âu

và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn sách Liber Abaci – sách về toán đố năm 1202 Liber Abaci cũng

đề ra và giải quyết bài toán liên quan đến sự phát triển dân số của thỏ dựa trên giả thiết lý tưởng Phép giải theo từng thế hệ là một chuỗi các con số sau này được biết với tên dãy Fibonacci Dãy số này được các nhà toán học Ấn Độ biết đến từ thế kỷ thứ 6, nhưng chỉ đến khi cuốn Liber Abaci của Fibonacci ra đời, mới được giới thiệu đến phương Tây

Dãy Fibonacci được coi là một dãy số kỳ diệu, nó xuất hiện một cách tự nhiên ở hầu hết mọi sự vật, hiện tượng từ thiên nhiên đến nhân tạo, chúng ta có thể bắt gặp sự hiện diện của nó ở thực vật cho đến hệ động vật rất đẹp và đa dạng Dãy Fibonacci và các tỉ lệ của nó

có vẻ rất lẻ và ngẫu nhiên, nhưng kỳ lạ là nó đem lại sự cân bằng hoàn hảo Hơn nữa, ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán học lại rất phong phú Vì vậy việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci

và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp là rất thú vị và cần thiết cho học tập giảng dạy Toán, cũng như sự hiểu biết của con người

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

- Giới thiệu dãy Fibonacci, công thức tổng quát của dãy Fibonacci

- Giới thiệu các tính chất và các hệ thức của dãy Fibonacci

- Trình bày ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Giới thiệu dãy Fibonacci

- Ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu, đọc hiểu để trình bày một có hệ thống lý thuyết và bài tập

- Tham gia các buổi seminar với thầy hướng dẫn để hiểu rõ hơn về nội dung đề tài nghiên cứu

Góp phần làm sáng tỏ các định lý, tính chất của dãy Fibonacci

và ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp

 Ý nghĩa thực tiễn

Góp phần làm tài liệu tham khảo cho những người yêu thích dãy Fibonacci và tìm hiểu về ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn dự kiến được chia thành ba chương

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Chương 2 Dãy Fibonacci và các tính chất

Chương 3 Ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán sơ cấp

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 NGUYÊN LÝ QUY NẠP TOÁN HỌC

Giả sử rằng với mỗi số nguyên dương n ta có mệnh đề logic

( )

S n Ta chứng minh mệnh đề ( ) S n đúng như sau

a Bước cơ sở: (1) S đúng

b Bước quy nạp:  n , nếu ( )S n đúng thì ( S n1) đúng Khi đó, ( )S n đúng  n 

1.2 DÃY SỐ

Định nghĩa 1.1 Một hàm số ( ) u n xác định trên tập hợp các

số tự nhiên ,được gọi là một dãy số vô hạn, mỗi giá trị của hàm số ( )

u n gọi là một số hạng của dãy

Ta thường ký hiệu dãy ( )u n bởi (u n), ký hiệu các giá trị u(0),(1)

u … tương ứng bởi u0,u1… và un là số hạng tổng quát của dãy

Định nghĩa 1.2 Công thức truy hồi của dãy số ( ) sn là phương trình xác định sn bằng các phần tử s0, s1, …, sn1 trước nó:

gọi là công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất tương ứng với ( )S

Nếu c n i( ) với i1,…, k là các hằng số c k 0, và thì ( )S gọi

là công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc k và (S0) gọi là công

thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc k

1.3 LÝ THUYẾT CHIA HẾT

Định nghĩa 1.4 Cho a, b là các số nguyên Ta nói a chia hết b

(hay b chia hết cho a) nếu tồn tại số nguyên c sao cho bac. Nếu a chia hết b, ta ký hiệu | a b hoặc b a Khi | , a b ta nói a là ước của b

Định nghĩa 1.6 Ước chung lớn nhất của hai số a và b không

đồng thời bằng 0 là số nguyên dương lớn nhất chia hết cả a và b

Ta dùng ký hiệu ( , )a b để chỉ ước chung lớn nhất của a và b

Định nghĩa 1.7 Các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố

cùng nhau nếu ( , ) 1.a b 

Thuật toán ơ-clit

Giả sử r0 a, r1b là các số nguyên không âm và b0

Ta thực hiện phép chia

r q r r q1 r r0 1,0 r2 r1,dừng lại khi r20 Nếu r20, ta tiếp tục

r q r r q2 r r1 2, 0 r3 r2,dừng lại khi r3 0 Nếu r30, ta tiếp tục …

1.4 LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ

Định nghĩa 1.8 Cho a và b là các số nguyên, m là số nguyên

dương Ta nói rằng a đồng dư b môđulô m nếu | ( m a b ). Khi a đồng dư b môđulô m, ta viết

n C

k n k



k n

C là số tổ hợp chập

k của n

1.7 TỈ LỆ VÀNG

Định nghĩa 1.12 Chia một đoạn thẳng thành hai phần sao cho

tỉ số giữa đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỉ số giữa đoạn lớn và

2.1 ĐỊNH NGHĨA DÃY FIBONACCI

Bài toán mở đầu Mỗi cặp thỏ mỗi tháng sinh một lần, cho

một cặp thỏ con Cặp thỏ mới sinh ra sau hai tháng lại bắt đầu sinh một cặp mới Hỏi sau một năm sẽ có bao nhiêu cặp thỏ, nếu đầu năm

ta có một cặp thỏ?

Lời giải

Nhƣ vậy từ giả thiết suy ra rằng, sau 1 tháng ta sẽ có 2 cặp thỏ, sau hai tháng cặp thứ nhất sinh một cặp nữa ta có 3 cặp thỏ Sau 3 tháng cặp thứ 2 cũng sinh ra một cặp mới, vậy ta có 5 cặp thỏ Ký hiệu F n

là số cặp thỏ có đƣợc sau tháng thứ n kể từ đầu năm, ta có sau tháng

thứ n1 thì sẽ cóF cặp ban đầu, cộng thêm số cặp do các cặp đã có n

sau tháng thứ n1 sinh ra, số này gọi là F n1, do đó

Định nghĩa 2.1 Dãy Fibonacci là dãy số vô hạn các số tự

nhiên bắt đầu bởi số 0 và 1, kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng

của dãy được tính bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó

Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là

{

(2.1)

Định nghĩa 2.2 (dãy Lucas)

Dãy Lucas được định nghĩa là dãy ( )L mà các số hạng của dãy được n

tính bởi hệ thức truy hồi sau

{

2.2 MỞ RỘNG DÃY SỐ FIBONACCI VỚI CHỈ SỐ ÂM

Với n là số nguyên dương, ta có

1

( 1)n

F    F và Ln ( 1)n L n.Hai công thức trên được chứng minh bằng phương pháp quy nạp

2.3 CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY FIBONACCI

Công thức của số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là

, .

n n n

2.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY FIBONACCI

Với n và i là hai số nguyên dương, ta có

Định lý 2.4.1 FF F   F F 1. (2.10)

Định lý 2.4.2 F1F3F5  F2n1F2n. (2.11)

Hệ quả 2.4.1 F2F4F6  F2n F2n11. (2.12)

Định lý 2.4.3. 1 1

1 1

1 1

[1 ( 1) ]2

k k

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG DÃY FIBONACCI TRONG TOÁN SƠ CẤP

3.1 SỐ FIBONACCI VÀ TỔ HỢP

3.1.1 Số Fibonacci và tam giác Pascal

Với n là số nguyên không âm, ta có

Bổ đề 3.1.1.1

2 1 0

n i

ta chứng minh (3.2) đúng khin m 1,tức là chứng minh

3.1.3 Số Fibonacci và một số bài toán tổ hợp khác

Bài toán 5 Có bao nhiêu cách lát sàn nhà hình chữ nhật kích

thước 1 n bởi các viên gạch có kích thước 1 1 và 1 2.

Lời giải Gọi a ( n n )là số cách lát sàn nhà cần tìm vàA là n

tập các cách lát sàn nhà thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có a n  A n

1 1 cuối cùng Nói cách khác, số phần tử của B1 chính bằng số cách lát sàn nhà hình chữ nhật có kích thước 1 ( n 1), suy ra B1 a n1.Lập luận tương tự như trên, ta có B2 a n2.

1 1 1 1 2 1 2

3A n 2(A n A) 2(A n A ) 2(A n A n )

2 1 1

Bài toán 13 Cho tam giác ABC, đặt BCa, ABc, ACb,

S là diện tích tam giác ACB Với n  Chứng minh rằng

3.4 SỐ FIBONACCI VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài toán 15 Chứng minh rằng nlà số Fibonacci khi và chỉ khi

2

5n 4 là số chính phương

Lời giải Theo (2.21), ta có 5F n2 4( 1)n L2n, nên 5F n24

làsố chính phương Vậy nếu n là một số Fibonacci thì 5n24 là số

chính phương

F và Fn cũng là hai số nguyên tố cùng nhau

Bổ đề 3.5.4 Cho p là số nguyên tố, khi đó L p1(mod ).p

Bài toán 23 Nếu số Fibonacci có chỉ số lẻ thì tất cả các ƣớc

hay F n p11  ( 1)(p1) 2(mod ).p

Lại có ( Fn1, Fn) 1  (theo bổ đề 3.6.1), nên Fn1không chia hết cho

p, suy ra F n p111(mod )p (theo định lý phecma bé)

Nên ( 1)  (p1) 2  1(mod ), p suy ra ( 1)  (p1) 2 1 vậyp4m1.

Bài toán 25 Chứng minh rằng

p

p i C

(mod )2

p p

Bài toán 26 Cho m và n là hai số nguyên dương Chứng minh

1 1 3

(F k nF n k F n k) F n.Thật vậy, theo (2.22), ta có

F F F

(F npF n p F n p) F n F n.Theo (3.11) , ta có F np F n

Nếu gọi q là ƣớc nguyên tố của F và khác số nguyên tố p thì n

p F, n không chia hết cho q Do đó np, n

n

F F F

m m n

m n n

n

F

x n

F x n

kích thước Fn Fn với n lẻ Fn1 Fn1với n lẻ

Trong năm 1962, A F Horadam của Đại học New England,

Úc, tìm đƣợc một công thức cho tan n, trong đó n biểu thị góc hẹp

giữa hai cạnh bên liền kề của hình bình hành nhƣ sau:

Trường hợp 1 n chẵn và n  4.Dựa vào hình 3.11 ta thấy:

Như trường hợp 1, điều này dẫn đến các phương trình

Luận văn đã trình bày được một số vấn đề như sau

1 Nguồn gốc xuất hiện và định nghĩa dãy Fibonacci, bên cạnh

đó giới thiệu định nghĩa Lucas, là một dãy có quy luật giống với quy luật của dãy Fibonacci

2 Giới thiệu tỉ lệ vàng rất đặc biệt được sử dụng để mô tả tính cân đối của vạn vật

3 Một số tính chất của dãy Fibonacci và chứng minh các tính chất đó một cách đơn giản và dễ hiểu nhất, đồng thời chứng minh được tỉ số của hai số liên tiếp nhau trong dãy Fibonacci ngày càng tiến đến tỉ số vàng

4 Các ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán sơ cấp, thông qua các tính chất của dãy để giải các bài tập ứng dụng một cách có hệ thống