Nội dung sáng kiến kinh nghiệm1

MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý đặt đề tài Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4.Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học đề tài Cấu trúc đề tài PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Kiến thức lý thuyết Các công thức lượng giác suy rộng tốn áp dụng 2.1 Các cơng thức lượng giác suy rộng từ cơng thức sẵn có tốn áp dụng 2.2 Tìm cơng thức lượng giác phù hợp giải phương trình lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ) toán áp dụng PHẦN III KẾT LUẬN Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 3 3 6 11 15 15 17 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Căn vào nhiệm vụ mục tiêu giáo dục phổ thông nước ta thực bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học, để thực điều người giáo viên phải tích cực đổi phương pháp dạy học từ PPDH theo lối “Truyền thụ chiều” sang dạy cách học, cách tiếp cận vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, phải hình thành lực phẩm chất, từ dần thay đổi cách kiểm tra đánh giá từ kiểm tra trí nhớ sang kiểm tra, đánh giá lực vận dụng kiến thức giải vấn đề để tác động kịp thời nhằm thúc đẩy học sinh ham học hỏi, khám phá rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo nâng cao chất lượng hoạt động dạy học giáo dục Chương trình tốn THPT nay, cụ thể chương trình lượng giác Lớp 11 phương trình lượng giác đòi hỏi lực sáng tạo học sinh xuất không nhiều sách giáo khoa, sách tập Trong nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến tập nâng cao giải phương trình lượng giác tơi thấy có tốn vận dụng cơng thức lượng giác sẵn có SGK kỹ thêm bớt, kỹ phân tích nhân tử, tập dạng cần kỹ túy hướng học sinh vào tư đường mịn mà khơng địi hỏi tính sáng tạo, tạo hứng thú nghiên cứu cho học sinh Hơn xu hướng dạy học đổi phương pháp dạy học nhằm mục đích phát huy lực cho học sinh, tạo cho người học hứng thú học tập, nghiên cứu khoa học áp dụng vào thực tiễn sống không túy học để thi Dựa tài liệu tham khảo thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy kinh nghiệm tơi chọn tìm hiểu nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để phát phương pháp giải nhanh số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11” Tơi tập hợp tốn địi hỏi lực sáng tạo suy rộng cơng thức lượng giác sẵn có tìm cơng thức lượng giác phù hợp để giải lớp phương trình từ cho học sinh tự rút học kinh nghiệm nhóm tự biên soạn tập vận dụng tượng tự nộp sản phẩm, thông qua tiết học tự chọn phân phối chương trình buổi hội thảo chuyên đề nâng cao ban chuyên môn nhà trường tổ chức Đồng thời tạo cho em có cách nhìn tổng qt sâu sắc vấn đề vừa học Bồi dưỡng lực tư sáng tạo, qui lạ quen, lực biến đổi lượng giác, lực nghiên cứu tổng hợp vấn đề cần nghiên cứu Tôi hi vọng đề tài em học sinh tích cực hợp tác đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ để giúp tơi bổ sung hồn thiện tốt đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm 15 cơng thức lượng giác suy rộng từ vận dụng vào giải nhanh phương trình lượng giác - Từ tập thực toán tổng quát, lớp toán vận dụng nhằm hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu - Kết thúc dạng tập nhóm đưa hệ thống tập tự luyện mở rộng dạng tập Mục đích nghiên cứu - Giúp cho thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao lực chuyên môn phục vụ cho công tác dạy học - Bồi dưỡng cho học lực tư sáng tao, tư phân tích, tổng hợp từ dạng tốn, từ phát triển lực tư lơgic, khái quát hoá vấn đề - Bồi dưỡng cho học sinh phát triển lực hoạt động trí tuệ, rèn luyện đức tính cần cù, cẩn thận, góp phần hình thành phẩm chất đạo đức, lực làm việc cần thiết người công dân sau Phạm vi, giới hạn, vấn đề nghiên cứu 4.1 Phạm vi nghiên cứu Học sinh học lớp 11, 12; học sinh dự thi học sinh giỏi Tỉnh, học sinh ôn thi THPT Quốc gia 4.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu: Hoạt động dạy học sinh hoạt chuyên đề bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để giải nhanh số dạng phương trình lượng giác 4.3 Vấn đề nghiên cứu đề tài: Sử dụng phương pháp dạy học để nâng cao lực tư sáng tạo học tập mơn tốn cho học sinh THPT phần Giải phương trình lượng giác Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết công thức lượng giác, phương pháp giải phương trình lượng giác chương trình SGK Đại số giải tích 11 - Nghiên cứu phương pháp dạy học đặc biệt phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực học sinh mơn tốn - Nghiên cứu thực tế giảng dạy mơn tốn trường THPT Đức Hợp, khảo sát học sinh, qua sách báo tài liệu tham khảo mơn tốn, học hỏi tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp qua tiết dự Giả thuyết khoa học đề tài Trên sơ lý luận phương pháp dạy học môn tốn thực tiễn dạy học phương trình lượng giác biết khai thác, vận dụng thành thạo công thức lượng giác sẵn có, biết phân tích đề bài, học sinh phát huy lực suy rộng, phát công thức lượng giác phù hợp để áp dụng vào giải số dạng phương trình lượng giác khó, địi hỏi tính sáng tạo Từ học sinh rút cho thân học kinh nghiệm, hệ thống hóa dạng tốn, tích cực, chủ động, sáng tạo việc học tập nghiên cứu Cấu trúc đề tài Phần I: Tổng quan vấn đề nghiên cứu Phần II: Nội dung Kiến thức lý thuyết Các công thức lượng giác suy rộng tốn áp dụng cơng thức, sản phẩm nhóm học sinh tự tập tương tự Phần III: Kết luận khuyến nghị PHẦN II NỘI DUNG Kiến thức lý thuyết Các phương trình lượng giác bản: µ Phương trình: sin x =a (1) Nếu a > phương trình (1) vơ nghiệm  x = α + k 2π Nếu a ≤ đặt sin α = a phương trình (1) có nghiệm   x = π − α + k 2π (k ∈ Z) u ( x) = v( x) + k 2π Phương trình: sin u(x)=sinv(x) ⇔  u ( x) = π − v( x) + k 2π , (k ∈ Z) Phương trình: sin x = ⇔ x = kπ π sin x = ⇔ x = + k 2π π sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π (k ∈ Z) µ Phương trình: cosx =a (2) Nếu a > phương trình (2) vơ nghiệm  x = α + k 2π Nếu a ≤ đặt cos α = a phương trình (1) có nghiệm   x = −α + k 2π (k ∈ Z) u ( x) = v( x) + k 2π Phương trình: cos u(x)=cosv(x) ⇔  u ( x) = −v( x) + k 2π , (k ∈ Z) Phương trình: π + kπ cos x = ⇔ x = k 2π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z) cos x = ⇔ x = µ Phương trình: tanx =a (3) π + kπ (k ∈ Z) Với giá trị thực a tan α =a phương trình (3) có nghiệm x = α + kπ (k ∈Z) Điều kiện xác định: x ≠ Phương trình: tanu(x)=tanv(x) ⇔ u ( x) = v( x) + kπ , (k ∈ Z) với π π + kπ , v( x ) ≠ + kπ 2 π Với x ≠ + kπ , k ∈ Z ta có phương trình: tan x = ⇔ x = kπ π tan x = ⇔ x = + kπ −π tan x = −1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z) u ( x) ≠ µ Phương trình: cotx =a (4) Điều kiện xác định: x ≠ π + kπ (k ∈Z) Với giá trị thực a cot α =a phương trình (4) có nghiệm x = α + kπ (k ∈ Z) Phương trình: cotu(x)=cotv(x) ⇔ u ( x) = v( x) + kπ , (k ∈ Z) với u ( x) ≠ kπ , v( x ) ≠ kπ Với x ≠ π + kπ (k ∈ Z) ta có phương trình: π cot x = ⇔ x = + kπ π cot x = ⇔ x = + kπ −π cot x = −1 ⇔ x = + kπ (k ∈ Z) Các công thức lượng giác suy rộng tốn áp dụng 2.1 Các cơng thức lượng giác suy rộng từ cơng thức sẵn có tốn áp dụng Hướng dẫn nhóm học sinh công thức lượng giác suy rộng từ công thức lượng giác sẵn, phát phương pháp giải nhanh xác số dạng phương trình lượng giác Từ rút học kinh nghiệm cách tổng quát hóa dạng phương trình lượng chứa cung nx ( n ∈ N* ) µ Công thức gốc 1: sin 3a=3sina- 4sin3a sin 3a = − sin a (1.1) sin a ( 4sin a − 3) = sin 3a (1.2) sin a sin 3a 4sin a = + cos 2a (1.3) = − Hoặc: Hoặc (1.4) sin a + cos 2a sin 3a sin a Công thức suy rộng: Vận dụng: VD1: Giải phương trình sau: cos3x=1+8sin2x.cos3x Lời giải: cos3x=1+8sin2x.cos3x (1) Vì x= kπ (k ∈ Z) khơng nghiệm phương trình (1) nên áp dụng cơng thức (1.1) ta có: (1) ⇔ cos x ( − 4sin x ) = ⇔ cos x sin 3x = ⇔ sin x = sin x sin x 2π  x=k ( 2k ≠ 5m, k , m ∈ Z)  6 x = x + k 2π ⇔ ⇔ 6 x = π − x + k 2π  x = π + k 2π ( 2k ≠ m − 1, k , m ∈ Z)  7 2 VD2: Giải phương trình ( − 4sin x ) ( − 4sin 3x ) = (2) Lời giải: Vì x= kπ (k ∈ Z) khơng nghiệm phương trình (2) nên áp dụng cơng thức (1.2) ta có: (2) ⇔ sin x ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) = sin x ⇔ sin x ( − 4sin x ) = sin x π  x = k  9 x = x + k 2π ⇔ sin x = sin x ⇔  ⇔ 9 x = π − x + k 2π x = π + k π  10 (k ∈ Z) Bài học kinh nghiệm: 2 n Phương trình: ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) ( − sin x ) = ⇔ sin(3n +1 x) = sin x Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: 2 1) ( − sin x ) ( − 4sin x ) ( − 4sin x ) = 2 2) 2cos 9x ( − 4sin x ) ( − sin x ) = 3) ( ⇔ sin 27 x = sin x ) ( ⇔ cos x.sin x = sin x ⇔ sin18 x = sin x ) 4sin x 12sin x 36sin x 27 + + = −1 + cos x + cos x + cos18 x sin 27 x ( ⇔ sin x = áp dụng cơng thức 1.4) µ Công thức gốc 2: cos 3x= 4cos3x- 3cosx Công thức suy rộng: cos x = cos x − (2.1) cos x ( cos x − ) = cos x (2.2) cos x Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 1+ sin3x = cos2x.sin3x Lời giải: 1+ sin3x = cos2x.sin3x (3) Vì x= π + kπ (k ∈ Z ) khơng nghiệm phương trình (3) nên áp dụng CT (2.1) ta có: (3) ⇔ 2sin x ( cos x − 3) = ⇔ 2sin x cos 3x π  = ⇔ sin x = cos x ⇔ sin x = sin  − x ÷ cos x 2  π 2π π    x = 14 + k  x = − x + k 2π ⇔ ⇔  x = π + k 2π  x = π + x + k 2π   10 (k ∈ Z) 2 Ví dụ 4: Giải phương trình ( cos x − 3) ( cos x − 3) = 2 Lời giải: ( cos x − 3) ( cos x − 3) = (4) Vì x= π + kπ (k ∈ Z) khơng nghiệm phương trình (4) nên áp dụng CT (2.2) ta có: (4) ⇔ cos x ( cos x − ) ( cos x − ) = cos x ⇔ cos x ( cos x − ) = cos x π  x = k 9 x = x + k 2π ⇔ cos x = cos x ⇔  ⇔ 9 x = − x + k 2π 9 x = k π (k ∈ Z)  2 Ví dụ 5: Giải phương trình 2sin x ( cos x − ) ( cos x − 3) = 2 Lời giải: 2sin x ( cos x − ) ( cos x − ) = (5) Vì x= π + kπ (k ∈ Z) khơng nghiệm phương trình (5) nên áp dụng CT (3.2)ta có: (5) ⇔ 2sin x.cos x ( cos x − ) ( cos x − ) = cos x π sin18 x = cos x ⇔ sin18 x = sin( − x) π 2π π   x = + k 18 x = − x + k π   38 19 ⇔ ⇔  x = π + k 2π 18 x = π + x + k 2π   34 17 (k ∈ Z) Bài học kinh nghiệm: 2 n Phương trình: ( cos x − 3) ( cos x − ) ( cos x − ) = ⇔ cos(3n +1 x) = cos x Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng Giải phương trình sau: 2 1) ( cos x − 3) ( cos x − ) ( cos x − ) = ( ⇔ cos 27 x = cos x ) cos x ( cos x − 3) ( cos x − 3) = ( ⇔ cos 27 x = cos x ) cos x tan x µ Cơng thức gốc 3: tan x = − tan x tan x tan x = Công thức suy rộng : − tan x = (3.1) (3.2) tan x − tan x tan x 2) π π π    x ≠ + kπ , x ≠ + k , (k ∈ Z) ÷   2 Ví dụ 6: Giải phương trình sau: ( − tan x ) ( − tan x ) ( − tan x ) = Lời giải: ĐK : cos x ≠ 0, cos2 x ≠ 0, cos4x ≠ , áp dụng CT (3.1) ta có: 1 1 = 2 − tan x − tan x − tan x tan x tan x tan x ⇔ = tan x tan x tan x π ⇔ tan x = tan x ⇔ x = x + kπ ⇔ x = k (k ∈ Z) (6) ⇔ 2 Ví dụ 7: Giải phương trình sau: cot x ( − tan x ) ( − tan x ) ( − tan x ) = (7) Lời giải: ĐK: sin x ≠ , áp dụng CT (3.2) ta có: 2 2 − tan x − tan x − tan x tan x tan x tan x ⇔ cot x = tan x tan x tan x tan x ⇔ cot x = ⇔ tan x = tan x π π π ⇔ x = + kπ ⇔ x = +k (k ∈ Z) 32 π π (k ∈ Z) thỏa mãn điều kiện Ta có x = + k 32 ( ) ⇔ cot x = Bài học kinh nghiệm: Với ĐK : sin 2n +1 x ≠ ta có: ( − tan x ) ( − tan 2 x ) ( − tan 2 x ) (1 − tan 2n x) = 2n +1 tan x tan 2n +1 x 2 2 n n +1 Phương trình : cot x ( − tan x ) ( − tan x ) ( − tan x ) (1 − tan x) = ⇔ tan 2n +1 x = Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: 2 ( − tan x ) ( − tan x ) ( − tan x ) = 8.cot x ( tan x = 1) 2 2 2 cot x ( − tan x ) ( − tan x ) ( − tan x ) (1 − tan x) = 16 ( tan16 x = 1) Ví dụ 8: Bài tập kết hợp công thức suy rộng từ công thức gốc 1,2,3 Giải phương trình sau: 1) (cot x − cot x).(4 cos x − 3) = (8.1) Lời giải: ĐK: sin3x ≠ cos x cos x cos x cos x − 3) = ⇔ = ⇔ cot x = ( sin 3x sin x cos x π π π ⇔ x = + kπ ⇔ x = + k (k ∈ Z) (t/m) 12 (8.1) ⇔   − 2)  ÷ ( cos x − ) = (8.2)  sin x sin x  1 Lời giải: ĐK: sin3x ≠ cos x ( cos 2 x − ) = sin x cos x cos x π  ⇔ = ⇔ cos x = sin 3x = cos  − 3x ÷ sin x cos x 2  (8.2) ⇔ π 2π π    x = 18 + k 6 x = − x + k 2π ⇔ ⇔  x = −π + k 2π 6 x = − π + x + k 2π   (k ∈ Z) Bài học kinh nghiệm: Giải phương trình sử dụng đồng thời nhiều cơng thức khó giải học sinh phải lựa chọn vận dụng công thức phù hợp cho bước giải phương trình Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: (tan 3x − tan x).(3 − 4sin x) = ( ⇔ tan 3x = 1) (tan x − tan x) = 1 − tan x ) ( ( ⇔ sin 2 x + sin x − = ) sin( a − b) sin( a − b) , tan a − tan b = sin a.sin b cos a.cos b tan a − tan b tan(a − b) = + tan a.tan b cot a − cot b tan a − tan b = = Công thức suy rộng: (4.1) , (4.2), sin a.sin b sin( a − b) cos a.cos b sin(a − b) µ Công thức gốc 4: cot a − cot b = tan a.tan b = tan a − tan b − (4.3) tan(a − b) 1 + + = (9) sin x.sin x sin x.sin x sin x.sin x Lời giải: ĐK: sin x ≠ 0, sin x ≠ , Áp dụng CT (4.1) ta có: Ví dụ 9: Giải phương trình sau: cot x − cot x cot x − cot x cot x − cot x + + =0 sin x sin x sin x π ⇔ cot x = cot x ⇔ x = k (k ∈ Z) 1 + + + = (n ∈ N, n ≥ 3) sin( n − 1) x.sin nx Baì học kinh nghiệm: sin x.sin x sin x.sin x ⇔ cotx=cot(nx) (9) ⇔ Ví dụ 10: Giải phương trình sau: tan x.tan x + tan x.tan x + tan 3x.tan x + = (10) Lời giải: ĐK: cos 3x ≠ 0, cos4 x ≠ 0, cosx ≠ 0, cos2x ≠ , áp dụng CT (4.3) ta có: tan x − tan x tan x − tan x tan x − tan x −1 + −1+ −1 + = tan(2 x − x) tan(3 x − x) tan(4 x − x) tan x − tan x + tan x − tan x + tan x − tan x ⇔ =0 tan x tan x − tan x ⇔ = ⇔ tan x = tan x ⇔ x = x + kπ tan x π ⇔ x=k (k ∈ Z) (10) ⇔ Baì học kinh nghiệm: tan x.tan x + tan x.tan x + + tan( n −1) x.tan nx + ( n − 1) = (n ∈ N, n ≥ 3) ⇔ tan nx=tanx Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: 1 1 + + + =0 sin x.sin x sin x.sin x sin x.sin12 x sin12 x.sin15 x ( ⇔ cot 3x = cot15x ) tan x.tan x + tan x.tan x + tan x.tan x + tan x.tan x + = ( ⇔ tan 5x = tan x ) 2.2 Tìm cơng thức lượng giác phù hợp giải phương trình lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ) tốn áp dụng 10 Hướng dẫn học sinh phân tích đề phát công thức lượng giác phù hợp với phương trình lượng giác từ giải nhanh, xác phương trình lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ) Sau dạng em tự rút cho học kinh nghiệm cách tổng qt hóa cho dạng phương trình lượng giác chứa cung nx ( n ∈ N* ) Ví dụ 11: Giải phương trình sau: 1 + + = (11) sin x sin x sin x Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( 1 ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? sin 2a sin 2a 1 sin a sin(2a − a) sin 2a cos a − cos 2a sin a = = = = =cota-cot2a Ta có : sin 2a sin 2a sin a.sin a sin a.sin 2a sin a sin a = cot a − cot 2a (sin2a ≠ 0) (5) Học sinh chốt công thức : sin 2a Vận dụng công thức (5) với sin x ≠ ta có : (11) ⇔ cot x − cot x + cot x − cot x + cot x − cot x = ⇔ cot x − cot x = ⇔ cot x = cot x ⇔ x = x + kπ ⇔ x = k π (k ∈ Z) ( t/m) Bài học kinh nghiệm: Với sin 2n x ≠ ta có: 1 + + + = ⇔ cot x = cot(2 n x) (n ∈ N, n ≥ 2) n sin x sin x sin x Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: 1 (⇔ cot x = cot16 x) + + =0 sin x sin x sin16 x 1 1 (⇔ cot x = cot16 x ) + + + =0 sin x sin x sin x sin16 x tan x tan x tan x + + = (12) Ví dụ 12: Giải phương trình sau: cos x cos x cos8 x Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( tan a tan a ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? cos 2a cos 2a tan a sin a sin(2a − a) = = cos 2a cos a.cos 2a cos a.cos 2a sin 2a.cos a − cos 2a sin a = cos a.cos 2a = tan2a-tan a tan a = tan2a-tan a ( coa ≠ 0, cos2a ≠ 0) (6) Học sinh chốt công thức : cos 2a Vận dụng công thức (6) , với cos8 x ≠ 0, cos4x ≠ 0, cos2x ≠ ta có : 11 (12) ⇔ tan x − tan x + tan x − tan x + tan x − tan x = ⇔ tan x = tan x ⇔ x = x + kπ ⇔ x = k Bài học kinh nghiệm: π (k ∈ Z) ( t/m ) Với cos x ≠ 0, cos2n x ≠ tan x tan x tan n −1 x + + + = ⇔ tan 2n x = tan x ( n ∈ N, n ≥ 2) n cos x cos x cos x Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: tan x tan x tan x tan x + + + =0 ( ⇔ tan x = tan x ) cos x cos x cos8 x cos8 x tan x tan x tan x tan16 x + + + =0 ( ⇔ tan 32 x = tan x ) cos x cos8 x cos16 x cos 32 x cos x cos x cos x + + = (13) Ví dụ 13: Giải phương trình sau: sin x sin x sin 27 x Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( cos a cos a ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? sin 3a sin 3a Ta có: 1 sin 2a sin(3a − a ) cos a sin a.cos a = = =2 sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a (sin 3a.cos a − cos 3a.sin a) =2 = (cot a − cot 3a) (sina ≠ 0, sin 3a ≠ 0) sin a.sin 3a cos a = (cot a − cot 3a) ( sin 3a ≠ 0) (7) Học sinh chốt công thức : sin 3a π Vận dụng công thức (7) , với sin 27 x ≠ ⇔ x ≠ k ta có: 27 (13) ⇔ (cot x − cot x + cot x − cot x + cot x − cot 27 x) = π ⇔ cot 27 x = cot x ⇔ 27 x = x + kπ ⇔ x = k (k ∈ Z) (t/m) 26 Bài học kinh nghiệm: với sin 3n +1 x ≠ cos x cos x cos 3n x + + + = ⇔ cot x = cot 3n +1 x n +1 sin x sin x sin x Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: cos x cos x cos 27 x + + =0 ( ⇔ cot 3x = cot 54 x ) sin x sin 27 x sin 54 x cos x cos x cos x cos 27 x + + + =0 ( ⇔ cot x = cot 54 x ) sin x sin x sin 27 x sin 54 x cos x cos x cos18 x + + = (14) Ví dụ 14: Giải phương trình sau: sin x sin x sin 27 x 12 Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( cos 2a cos 2a ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? sin 3a sin 3a Ta có: (sin 3a − sin a) cos 2a sin a.cos 2a 1 = = = ( − ) sin 3a sin a.sin 3a sin a.sin 3a sin a sin 3a cos 2a 1 = ( − ) ( sin 3a ≠ 0) (8) Học sinh chốt công thức : sin 3a sin a sin 3a π Vận dụng công thức (8), với sin 27 x ≠ ⇔ x ≠ k ta có: 27 1 1 1 (14) ⇔ ( − + − + − )=0 sin x sin x sin x sin x sin x sin 27 x  27 x = x + k 2π 1 ⇔ = ⇔ sin 27 x = sin x ⇔  sin x sin 27 x  27 x = π − x + k 2π π   x = k 13 ⇔ (k ∈ Z) (t/m) x = π + k π  28 14 Bài học kinh nghiệm: với sin 3n +1 x ≠ cos x cos x cos 3n.2 x 1 + + + =0⇔ − = ⇔ sin 3n +1 x = sin x (n ∈ N* ) n +1 n +1 sin x sin x sin x sin x sin x Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: cos x cos x cos18 x cos 54 x + + + =0 ( ⇔ sin 81x = sin 3x ) sin x sin x sin 27 x sin 81x cos x cos18 x cos 54 x cos162 x + + + =0 ( ⇔ sin 243x = sin x ) sin x sin 27 x sin 81x sin 243 x sin x sin 3x sin x + + = (15) Ví dụ 15: Giải phương trình sau: cos x cos x cos 27 x Hướng dẫn học sinh tìm cơng thức: Các hạng tử phương trình có đặc điểm ? ( sin a sin a ) , em tìm xem biến đổi thành biểu thức nào? cos 3a cos 3a Ta có: sin a 2sin a.cos a sin 2a = = cos 3a cos a.cos 3a cos a.cos 3a sin(3a − a ) = = (tan 3a − tan a) cos a.cos 3a sin a = (tan 3a − tan a) Học sinh chốt công thức : cos 3a Vận dụng công thức (9), với cos 27 x ≠ ta có : ( cosa ≠ 0, cos3a ≠ 0) (9) 13 (tan x − tan x + tan x − tan x + tan 27 x − tan x) = π ⇔ tan 27 x = tan x ⇔ 27 x = x + kπ ⇔ x = k ( k ∈ Z) (t / m) 26 (15) ⇔ Bài học kinh nghiệm: với cos 3n x ≠ ta có phương trình: sin x sin x sin 3n −1 x + + + = ⇔ tan 3n x = tan x n cos x cos x cos x (n ∈ N* ) Kết nhóm học sinh tự tập vận dụng: Giải phương trình sau: sin x sin x sin x sin 27 x + + + =0 ( ⇔ tan 81x=tan x) cos x cos x cos 27 x cos81x sin x sin x sin 27 x + + =0 ( ⇔ tan 81x=tan 3x) cos x cos 27 x cos81x sin x 1 + tan3x- =0 ( ⇔ tan 9x -1=0) cos x 2 14 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để phát phương pháp giải nhanh số phương trình lượng giác chun đề tốn mà học sinh thường gặp kỳ thi Đây chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11; 12 học sinh ôn thi ĐH; CĐ; ôn thi học sinh giỏi Sáng kiến kinh nghiệm tư liệu tốt giúp giáo viên giảng dạy cho đối tượng học sinh: Giỏi; Khá; Qua q trình giảng dạy; tơi nhận thấy: Sau đưa cách giải học sinh không lúng túng làm phần lớn tập địi hỏi tính sáng tạo lớp tập vận dụng đề tài Với kết thực nghiệm hai lớp dạy 11A1; 11A2, 11A3 chứng tỏ đề tài giúp học sinh phần say mê, hứng thú sáng tạo học tập, nghiên cứu Điều làm cho em tiếp thu tốt khích lệ tinh thần học tập em Thông qua kinh nghiệm này, thân thực rút nhiều kinh nghiệm quý báu, giúp tơi hồn thành tốt cơng việc giảng dạy Trên kinh nghiệm tơi dạy học chủ đề: “ Bồi dưỡng lực suy rộng công thức lượng giác để phát phương pháp giải nhanh số dạng phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 ” Tôi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp; đồng chí hội đồng khoa học Sở Giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị Qua trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến thấy để đạt kết cao, cần lưu ý số điểm sau: a) Đối với giáo viên: - Cần tích cực đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực học sinh, sau tiết dạy cần có rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho tiết nhằm giúp em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với Thày Cô hơn, hiểu hơn, tự học tự giác say mê nghiên cứu mơn tốn - Phải lựa chọn tập phát huy tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy lực học sinh Trước dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng kiến thức liên quan b) Đối với nhà trường: Cần có động viên nhiều phong trào đổi phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy lực học sinh, viết áp dụng SKKN c) Đối với Sở Giáo dục Đào tạo: 15 Với sáng kiến kinh nghiệm hay, nhiều đồng nghiệp mong muốn Sở GD ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác tham khảo áp dụng hiệu SKKN HĐKH ngành đánh giá xếp loại Cuối xin trân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ chuyên môn em học sinh giúp đỡ tơi hồn thành SKKN 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] Các giảng phương trình lượng giác (Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)) Đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố SGK Đại số 11 (CT chuẩn, CT nâng cao), NXB GD, 2006 Tuyển tập đề thi Olympic Tài liệu tập huấn : DẠY HỌC VÀ KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH - Mơn Tốn –Cấp trung học phổ thông Ký duyệt Lãnh đạo Viên An, ngày tháng năm Giáo viên biên soạn Hồ Vũ Nguyên 17 ... Phần II: Nội dung Kiến thức lý thuyết Các công thức lượng giác suy rộng tốn áp dụng cơng thức, sản phẩm nhóm học sinh tự tập tương tự Phần III: Kết luận khuyến nghị PHẦN II NỘI DUNG Kiến thức lý... 11 ” Tôi mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp; đồng chí hội đồng khoa học Sở Giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị Qua q trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tơi thấy để đạt kết cao, cần... tính sáng tạo Từ học sinh rút cho thân học kinh nghiệm, hệ thống hóa dạng tốn, tích cực, chủ động, sáng tạo việc học tập nghiên cứu Cấu trúc đề tài Phần I: Tổng quan vấn đề nghiên cứu Phần II: Nội