Phép đồng dạng và ứng dụng

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI **************** KHOA TOÁN Vũ Thị Hồng Hạnh PHÉP ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ Thị Hồng Hạnh PHÉP ĐỒNG DẠNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Header Page of 161 Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ Hình học, trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài Em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho em trình thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Hồng Hạnh i Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm đề tài "Phép đồng dạng ứng dụng" hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong trình hoàn thành đề tài, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Hồng Hạnh Footer Page of 161 ii Header Page of 161 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian afin 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tọa độ afin 1.2 Ánh xạ afin biến đổi afin 1.2.1 Ánh xạ afin 1.2.2 Đẳng cấu afin Biến đổi afin 1.3 Không gian Euclide 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Mục tiêu trực chuẩn 1.3.3 Khoảng cách En 1.3.4 Góc En 1.4 Định hướng 11 1.4.1 Mặt phẳng định hướng 11 1.4.2 Góc định hướng hai tia 11 1.4.3 Góc định hướng hai đường thẳng 11 1.4.4 Định hướng không gian 12 Footer Page of 161 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page of 161 1.5 Phép biến hình 13 1.5.1 Định nghĩa 13 1.5.2 Điểm bất động, hình bất động phép biến hình 14 1.5.3 Phép biến hình đảo ngược 14 1.5.4 Phép biến hình đối hợp 15 1.5.5 Tích phép biến hình 15 Kết luận 16 PHÉP ĐỒNG DẠNG 17 2.1 Ánh xạ tuyến tính đồng dạng 17 2.2 Định nghĩa 18 2.3 Các trường hợp đặc biệt tính chất 18 2.4 Phân loại đồng dạng 22 2.5 Hình học nhóm đồng dạng: Hình học đồng dạng 23 2.5.1 Khái niệm hai hình đồng dạng 23 2.5.2 Định lý 23 2.5.3 Hình học nhóm đồng dạng: Hình học đồng dạng 24 Kết luận 24 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỒNG DẠNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 25 3.1 Dạng 1: Bài toán quỹ tích 25 3.1.1 Quỹ tích toán quỹ tích 25 3.1.2 Giải toán quỹ tích nhờ phép đồng dạng 26 3.1.3 Ví dụ toán quỹ tích 27 Footer Page of 161 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Header Page of 161 Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán 3.1.4 Nhận xét chung 33 3.1.5 Bài tập tự luyện 34 3.2 Dạng 2: Bài toán dựng hình 35 3.2.1 Bài toán dựng hình 35 3.2.2 Giải toán dựng hình nhờ phép đồng dạng 35 3.2.3 Ví dụ toán dựng hình 36 3.2.4 Nhận xét chung 42 3.2.5 Bài tập tự luyện 43 3.3 Dạng 3: Chứng minh tính chất hình học 43 3.3.1 Bài toán chứng minh 43 3.3.2 Giải toán chứng minh nhờ phép đồng dạng 44 3.3.3 Ví dụ toán chứng minh 45 3.3.4 Nhận xét chung 49 3.3.5 Bài tập tự luyện 49 3.4 Dạng 4: Tính toán đại lượng hình học 50 3.4.1 Bài toán tính toán 50 3.4.2 Giải toán tính toán nhờ phép đồng dạng 51 3.4.3 Ví dụ toán tính toán 51 3.4.4 Nhận xét chung 55 3.4.5 Bài tập tự luyện 55 Kết luận 56 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Footer Page of 161 v Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page of 161 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học vấn đề khó học sinh, hình học môn học có tính chặt chẽ, tính logic trừu tượng hóa cao Với toán hình học ta đưa nhiều cách giải khác nhau, ta sử dụng phép biến hình Trong nhiều trường hợp giải toán hình học sử dụng phép biến hình cho ta cách giải đơn giản hơn, lời giải ngắn gọn cho ta nhìn tổng quát toán Phép đồng dạng phép biến hình tiêu biểu có nhiều ứng dụng hình học Vậy: phép đồng dạng ứng dụng giải toán hình học? Được gợi ý thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm muốn trả lời phần cho câu hỏi em mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Phép đồng dạng ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm: • Củng cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ áp dụng tốt phép đồng dạng vào giải toán • Tìm hiểu ứng dụng phép đồng dạng vào giải số dạng toán Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page of 161 như: toán quỹ tích, toán dựng hình, toán chứng minh, toán tính toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Phép đồng dạng • Phạm vi: Phép đồng dạng số toán hình học En : toán quỹ tích, toán dựng hình, toán chứng minh, toán tính toán Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu lý luận nội dung phép đồng dạng En • Nghiên cứu ứng dụng phép đồng dạng để giải số lớp toán hình học: toán quỹ tích, toán dựng hình, toán chứng minh, toán tính toán Phương pháp nghiên cứu • Phân tích tài liệu liên quan • Tổng kết kinh nghiệm giải toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần lời nói đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo cấu trúc luận văn gồm có Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 10 of 161 • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Phép đồng dạng • Chương 3: Ứng dụng phép đồng dạng giải số toán hình học Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Vũ Thị Hồng Hạnh Footer Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 51 of 161 Đó toán cần mệnh đề A ⇒ B đúng, A giả thiết cho, B điều phải chứng minh gọi kết luận 3.3.2 Giải toán chứng minh nhờ phép đồng dạng Giải toán chứng minh nhờ phép biến hình nói chung gồm ba thao tác chính: Phân tích toán để lựa chọn phép biến hình Thực phép biến hình Sử dụng tính chất kết phép biến hình để rút kết luận toán Ứng dụng phép đồng dạng để giải toán chứng minh ta phải tìm phép đồng dạng thích hợp thực bước Thông thường tìm phép biến hình đồng dạng rồi, dựa vào định nghĩa, tính chất bản, , số trường hợp rút kết luận toán giảm bớt mức độ khó khăn toán, chuyển sang toán khác dễ giải Một số dấu hiệu nhận biết phép đồng dạng toán chứng minh hình học phẳng: toán yêu cầu chứng minh hình đồng dạng với nhau, toán có giả thiết hay kết luận đoạn thẳng tỉ lệ với theo tỉ số đó, toán từ giả thiết suy tam giác đồng dạng ta sử dụng phép đồng dạng dể chứng minh Footer Page 51 of 161 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 52 of 161 3.3.3 Ví dụ toán chứng minh Ví dụ 3.3.1 Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB, CD phía tứ giác ta dựng tam giác vuông cân MAB(MA = MB), N CD(N C = N D) Trên cạnh BC, DA phía tứ giác ta dựng tam giác vuông cân P BC(P B = P C), QAD(QA = QD) Chứng minh rằng: MP = N Q Lời giải M A B Q P C D N Hình 3.10: √ MAB vuông cân M ⇒ AB = MB 2, MBA = 45◦ √ P BC vuông cân P ⇒ BC = P B 2, P BC = 45◦ Xét phép đồng dạng Z1 = √ ⇒ AC = 2MP √ VB ◦ ◦ Q45 B : M → A, P → C Tương tự, xét phép đồng dạng: Z2 = √ ⇒ AC = 2N Q Từ (1) (2) suy MP = N Q Footer Page 52 of 161 45 √ VD (1) ◦ ◦ Q45 D : N → C, Q → A (2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 53 of 161 Ví dụ 3.3.2 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB, BC ta lấy điểm tương ứng P, Q cho BP = BQ Gọi H chân đường vuông góc hạ từ B xuống CP Chứng minh rằng: HD⊥HQ Lời giải A P D H C Q B Hình 3.11: Ta có P BH + HBC = 90◦, BCH + HBC = 90◦ Đặt λ = tan α = HB HC ⇒ P BH = BCH = α = HP HB : C → B, B → P Xét phép đồng dạng Z = VHλ ◦ Q−90 H ◦ ⇒ BP = λBC Vì DC⊥BC nên D biến thành D thuộc BC Do Z : [CD] → [BD ] Suy BD = λCD = λBC = BP = BQ Mà Q, D ∈ BC suy D ≡ Q Vậy HD⊥HQ Ví dụ 3.3.3 Cho tam giác ABC Dựng bên tam giác tam giác Footer Page 53 of 161 ABM, BCN, CAP cho AMB = 150◦, MA = 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 54 of 161 MB; CAP = CBN = 45◦, ACP = BCN = 30◦ Chứng minh rằng: MN P vuông cân M Lời giải A 45 M P 150 30 B 30 45 C M N Hình 3.12: Không giảm tổng quát giả sử ABC hướng dương Vì MA = MB, AMB = 150◦ nên có phép quay: Q150 M : B → A √ A PC PC Có sinP 30 ◦ = sin 45◦ ⇒ P A = ◦ AP C = 105◦ Xét phép đồng dạng Z1 = √ VP ◦ :A→C ◦ Q105 P √1 Tương tự, xét phép đồng dạng Z2 = VN ◦ Q105 :C→B N ◦ Xét phép đồng dạng tích: Z = Z2 ◦ Z1 : A → B Có phépđồng dạng: F = Z ◦ Q105 M : A → A, tỉ số đồng dạng F √ k = √12 = ◦ F (A) = A nên F phép đồng nhất, suy F (M) = M Vậy Q150 M : M →M ◦ Z1 : M → M Z2 : M → M Footer Page 54 of 161 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 55 of 161 Suy Mà P MM ∼ P AC ∼ P AC, N BC ⇒ N MM ∼ P MM ∼ N BC N MM Hơn M MP = P AC = N BC = M N M = 45◦ MM P = MM N = ACP = 30◦ Lại P MM N MM có chung MM ⇒ (g.c.g) P MM = N MM ⇒ PM = PN Do hai tam giác ngược hướng nên đối xứng qua MM Vậy P MN = P MM + M MN = 45◦ + 45◦ = 90◦ Vậy P MN vuông cân M Ví dụ 3.3.4 Chứng minh hai tứ diện đồng dạng với Lời giải A A b a B B D D C C Hình 3.13: Giả sử hai tứ diện ABCD A B C D có cạnh có độ dài tương ứng a, b Lấy O bất kì, xét phép vị tự tâm O tỉ số ab , ta có: Footer Page 55 of 161 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 56 of 161 b VOa : A → A1 , B → B1, C → C1 , D → D1 ⇒ ABCD → A1 B1C1 D1 Do tứ diện ABCD nên dễ thấy tứ diện A1B1 C1D1 có cạnh ab a = b Do hai tứ diện A1B1 C1D1 A B C D có cạnh nahu nên chúng Vậy hai tứ diện ABCD A B C D đồng dạng với 3.3.4 Nhận xét chung Có toán mà việc dùng trực tiếp định nghĩa tính chất phép biến hình đồng dạng phép đồng dạng suy Có toán mà việc dùng phép đồng dạng thực chất giúp ta dựng thêm hình phụ thích hợp để chuyển điều kiện rời rạc hình mà chúng có liên quan đến Việc làm dễ dàng nhận thấy kết toán Ngoài ra, với toán cần chứng minh hình (H) có tính chất α đó, nhờ phép đồng dạng thích hợp biến (H) thành (H ) mà (H ) có tính chất α ta suy kết luận toán 3.3.5 Bài tập tự luyện Bài tập 3.3.1 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O BC cạnh lớn Gọi H chân đường cao tam giác BC Gọi P, Q chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC 1) Chứng minh rằng: P Q⊥AO Footer Page 56 of 161 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 57 of 161 2) Gọi K giao điểm AO P Q D giao điểm thứ hai AO với (O) Chứng minh rằng: AH = AK.AD 3) Hãy suy P Q qua tâm đường tròn (O) √ AH = R (R bán kính (O)) Bài tập 3.3.2 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng điểm A , B , C Chứng minh ABC ∼ ABC ABC Bài tập 3.3.3 Trên đoạn thẳng AC lấy điểm B dựng hình vuông ABMN, BCP Q nằm phía với đường thẳng AC Gọi B giao điểm đường tròn ngoại tiếp hình dựng (khác B) Chứng minh rằng: P N, QA qua B Bài tập 3.3.4 Cho hai hình lăng trụ đứng có đáy tam giác Chứng minh đáy chúng đồng dạng tỉ số đồng dạng tỉ số hai cạnh bên chúng hai lăng trụ đồng dạng 3.4 3.4.1 Dạng 4: Tính toán đại lượng hình học Bài toán tính toán Trong hình học thường gặp số toán tính toán như: tính số đo góc, tính độ dài đoạn thẳng, tính độ dài hai đoạn thẳng, tính chu vi diện tích, thể tích hình, Để giải toán tính toán hình học thông thường ta tiến hành theo ba bước: Xác định yếu tố cần tính toán Footer Page 57 of 161 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 58 of 161 Tìm mối liên hệ yếu tố cho với yếu tố cần tính toán Tiến hành tính toán theo kiện xác lập 3.4.2 Giải toán tính toán nhờ phép đồng dạng Sử dụng phép biến hình nói chung sử dụng phép đồng dạng nói riêng vào toán tính toán nói chung phải đảm bảo ba thao tác nói Việc sử dụng phép biến hình thể rõ bước thứ hai Cụ thể ta phải tìm phép biến hình thích hợp dựa định nghĩa, tính chất để quy chúng hình hay hữu hạn hình, sau tiến hành tính toán 3.4.3 Ví dụ toán tính toán Ví dụ 3.4.1 Cho ABC vuông A, AB = 3, AC = AH vuông góc BC H Gọi I, K điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH với cạnh AB, AC Tính độ dài HI, HK Lời giải A K I O1 O2 B C H Hình 3.14: Đặt k = HA HB , Footer Page 58 of 161 xét phép đồng dạng: 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 59 of 161 Z = VHk ◦ Q−90 : B → A, A → C, H → H H ◦ Suy Z : BA → AC, HB → HA, HA → HC Gọi O1 , O2 tâm đường tròn nội tiếp Z : (O1) → (O2 ) suy Z : I → K ⇒ IHK = 90◦ HK HI =k= HA HB = ABH, ACH có: AC AB Gọi P1 , P2 nửa chu vi ACH có: ABH, AI = P1 − HB, AK = P2 − HC √ √ BC = AB + AC = 32 + 42 = AH = BH = AB AC AB +AC = 3.4 = 12 √ √ AB − AH = 59 , CH = AC − AH = AI = P1 − HB = 95 , AK = P2 − HC = √ √ IK = AI + AK = 145 Từ điều kiện HI AB = IK BC ⇒ HI = IK Tương tự KH = AC BC = AB.IK BC √ 145 5.5 = 16 = √ 145 25 √ 145 25 Ví dụ 3.4.2 Cho hình thang ABCD(BC AD) có đường chéo vuông góc với đường cao AE = 4, độ dài hai đường chéo Tính diện tích hình thang Lời giải B C x C A E D Hình 3.15: Footer Page 59 of 161 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 60 of 161 Đặt k = AC AE , Ax tia phân giác góc CAD Xét phép đồng dạng: Z = VAk ◦ ĐAx :E → C, C → C Suy CC ⊥AC (Do CE⊥AD) ⇒ CC Lại có AC AC ⇒ AC = =k= AC AE = BD AC AE √ AC AC −CE = √ 25 25−16 = 25 Vậy SABCD = 12 (AD + BC).CE = 21 (AD + DC ).CE = 12 AC CE = 12 25 = 50 Ví dụ 3.4.3 Cho hình thang ABCD(AB CD), giao điểm O AC, BD, kẻ phân giác Ox AOB Gọi A , B điểm đối xứng A, B qua Ox Cho ACA = α Tính BDB ? Lời giải x A B A B O C D Hình 3.16: Đặt k = OB OA Ta có OD OC =k Xét phép đồng dạng: Z = VOk ◦ ĐOx :A → B, C → D, A → B ⇒ ACA → BDB ⇒ ACA ∼ BDB ⇒ ACA = BDB = α Footer Page 60 of 161 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 61 of 161 Ví dụ 3.4.4 Cho hai hình vuông ABCD A B C D nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi M, N, P, Q giao điểm AB A B , BC B C , CD C D , DA D A Biết AOA = α(0◦ < α < 90◦) a) Tính diện tích tứ giác MN P Q theo R, α b) Tính chu vi tứ giác MN P Q theo R, α Lời giải D D C P Q A O α C N E M B F A B Hình 3.17: a) Gọi E, F trung điểm AB, A B Đặt AOA = α = (OA, OA ) Ta có: QαO : A → A , B → B , E → F Suy (OE, OF ) = α ⇒ (OE, OM ) = OM = OE cos α2 = √ 2.cos α2 OA α (OA, OM ) = 45◦ + Tương tự =ϕ √ 2.cos α Xét phép đồng dạng: Z = VO α ◦ QϕO : A → M Z : B → N, C → P, D → Q Do Z : ABCD → MN P Q Do ABCD hình vuông nên MN P Q hình vuông Footer Page 61 of 161 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Header Page 62 of 161 √ MN = 2.cos α2 AB = √ 2.cos α2 R Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán √ 2= R cos α2 Vậy diện tích MN P Q là: SM N P Q = MN = R2 cos2 α2 √ b) Ta có chu vi ABCD CABCD = 2R √ √ Suy chu vi MN P Q CM N P Q = 2R 2.cos2 α = 3.4.4 4R cos α2 Nhận xét chung Một số toán sử dụng trực tiếp định nghĩa, tính chất phép đồng dạng để tính toán đại lượng cần tìm Mấu chốt toán xác định phép đồng dạng thích hợp liên quan đến đại lượng biết để chuyển liệu biết hình hữu hạn hình tính toán đại lượng cần tìm 3.4.5 Bài tập tự luyện Bài tập 3.4.1 Cho hai đường tròn (O, R) (O , R ) cắt hai điểm A, B Trên (O, R) lấy P , (O , R ) lấy Q cho P Q qua B Biết OO = d, OAP = α Tính P Q theo R, R , α, d Bài tập 3.4.2 Cho hai đường tròn (O, R) (O , R ) cắt hai điểm A, B Tiếp tuyến A (O, R) cắt (O , R ) D Tiếp tuyến B (O , R ) cắt (O, R) C Tính độ dài CD, biết ACB = α, ADB = β Bài tập 3.4.3 Cho ABC có AB = 3, AC = 4, BC = Gọi D chân đường cao tam giác kẻ từ A Trên AC lấy M cho CM = Phép đồng dạng Z = VD16 ◦ Q90 D : M → N Tính AN Footer Page 62 of 161 ◦ 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 63 of 161 Bài tập 3.4.4 Ba đường tròn (O1, R1 ), (O2, R2), (O3, R3) qua M đôi cắt điểm thứ hai A, B, C Tâm đường tròn nằm khác phía với dây cung chúng Trên (O1, R1 ) lấy P = A, P A cắt (O2 , R2) Q Đường thẳng QB cắt (O3 , R3) K Chứng minh rằng: P K qua C tính diện tích tam giác P QK biết (MO1 , MP ) = α, (0◦ < α < 90◦) Kết luận Trong chương ta trình bày ứng dụng phép đồng dạng vào giải bốn dạng toán hình học: toán quỹ tích, toán dựng hình, toán chứng minh, toán tính toán Ứng với dạng toán có ví dụ minh họa với lời giải cụ thể số tập tự luyện Footer Page 63 of 161 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Header Page 64 of 161 KẾT LUẬN Như luận văn cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng En , đặc biệt ứng dụng phép đồng dạng giải số lớp toán hình học như: toán quỹ tích, toán dựng hình, toán chứng minh, toán tính toán Ứng với lớp toán có nêu ví dụ minh họa tập tự luyện Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian khả năng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận góp ý thầy, cô giáo để luận văn hoàn thiện Cuối lần em xin chân thành cảm ơn bảo hướng dẫn tận tình thầy cô tổ Hình học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy giáo hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Nguyễn Năng Tâm giúp em hoàn thành khóa luận Footer Page 64 of 161 57 Header Page 65 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mộng Hy Các phép biến hình mặt phẳng - NXBGD [2] Văn Như Cương - Tạ Mân Hình học afin hình học ơclit - NXBDHQG [3] Đỗ Thanh Sơn Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông phép biến hình mặt phẳng -NXBGD [4] Bùi Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn Giáo trình Hình học sơ cấp tập - ĐHSPHN2 [5] Bùi Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn Bài tập Hình học sơ cấp - ĐHSPHN2 [6] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Đăng Phất - Đỗ Thanh Sơn Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh chuyên Toán: Hình học số vấn đề liên quan - NXBGD Footer Page 65 of 161 58 ... k1.k2 Phép đồng Id phép đồng dạng Thật vậy, phép đồng Id : En → En , M → M, N → N , ta có d(M, N ) = d(M, N ) Suy phép đồng phép đồng dạng Tính chất Định lý 2.1 Phép đồng dạng phép afin Chứng minh... • Phép đồng dạng thuận phép đồng dạng bảo toàn hướng hình • Phép đồng dạng nghịch phép đồng dạng đảo ngược hướng hình 2.5 Hình học nhóm đồng dạng: Hình học đồng dạng 2.5.1 Khái niệm hai hình đồng. .. đồng dạng ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm: • Củng cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ áp dụng tốt phép đồng dạng vào giải toán • Tìm hiểu ứng dụng phép đồng