Khoá luận tốt nghiệp phép đồng dạng và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ T hị H ồng H ạnh P H É P Đ Ồ N G D Ạ N G VÀ Ứ N G D Ụ N G KHÓA LUẬN T Ố T N G H IỆP ĐẠI HỌC H N ội —N ăm 2016 B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN Vũ T hị H ồng H ạnh P H É P Đ Ồ N G D Ạ N G VÀ Ứ N G D Ụ N G C h u y ên n gành : H ìn h h ọ c K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: P G S T S N g u y ễ n N ă n g Tâm H N ội —N ăm 2016 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán LỜ I C Ả M Ơ N Em xin chân th n h cảm ơn T hầy giáo P G S T S N g u y ễ n N ă n g T âm tậ n tìn h hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực đề tài Em xin chân th n h cảm ơn thầy, cô tổ Hình học, trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn th n h đề tà i Em xin chân th n h cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện th u ậ n lợi cho em trìn h thực đề tài E m xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 03 th án g 05 năm 2016 Sinh viên Vũ T hị Hồng H ạnh Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán LỜ I C A M Đ O A N Em xin cam đoan, hướng dẫn T hầy giáo P G S T S N g u y ễ n N ă n g T âm đề tà i "P hép đ n g d n g v ứ n g dụng" hoàn th n h không trù n g với b ất kỳ đề tà i khác Trong trìn h hoàn th n h đề tài, em th a kế th n h tự u nhà khoa học với trâ n trọng biết ơn Hà Nội, ngày 03 th án g 05 năm 2016 Sinh viên Vũ T hị Hồng H ạnh M ụ c lụ c LỜ I M Ở Đ Ầ U 1 K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị 1.1 Không gian a f i n 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tọa độ a f i n Á nh xạ afin biến đổi a f i n 1.2.1 Ánh xạ a f i n 1.2.2 Đ ẳng cấu afin Biến đổi a f i n Không gian E u c lid e 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Mục tiêu trực c h u ẩ n 1.2 1.3 1.4 1.3.3 K hoảng cách E 71 1.3.4 Góc tro n g E n Định h n g 11 1.4.1 M ặt phẳng định h n g 11 1.4.2 Góc định hướng hai t i a 11 1.4.3 Góc định hướng hai đường th ẳn g 11 1.4.4 Định hướng không g i a n 12 iii Khóa luận tốt nghiệp Dại học 1.5 Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Phép biến h ì n h 13 1.5.1 Định nghĩa 13 1.5.2 Điểm b ất động, hình b ất động phép biến hình 14 1.5.3 Phép biến hình đảo n g ợ c 14 1.5.4 Phép biến hình đối h ợ p 15 1.5.5 Tích phép biến h ì n h 15 K ế t lu ậ n 16 PHÉP ĐỒNG DẠNG 17 2.1 Á nh xạ tuyến tín h đồng d n g 17 2.2 Định nghĩa 18 2.3 Các trường hợp đặc biệt tín h c h ấ t 18 2.4 P h ân loại đồng d n g 22 2.5 Hình học nhóm đồng dạng: Hình học đồng dạng 23 2.5.1 K hái niệm hai hình đồng d n g 23 2.5.2 Định lý 23 2.5.3 Hình học nhóm đồng dạng: Hình học đồng dạng 24 K ế t lu ậ n 24 Ứ N G D Ụ N G C Ủ A P H É P Đ N G D Ạ N G G IẢ I M Ộ T SỐ B À I T O Á N H ÌN H H Ọ C 25 3.1 25 D ạng 1: Bài to án quỹ t í c h 3.1.1 Quỹ tích to án quỹ t í c h 3.1.2 Giải to án quỹ tích nhờ phép đồng dạng 3.1.3 Ví dụ to án quỹ t í c h IV 25 26 27 Khóa luận tốt nghiệp Dại học 3.2 3.3 3.4 Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán 3.1.4 N hận xét c h u n g 33 3.1.5 Bài tậ p tự luyện 34 D ạng 2: Bài to án dựng h ì n h 35 3.2.1 Bài to án dựng h ì n h 35 3.2.2 Giải to án dựng hình nhờ phép đồng dạng 35 3.2.3 Ví dụ to án dựng h ì n h 36 3.2.4 N hận xét c h u n g 42 3.2.5 Bài tậ p tự luyện 43 D ạng 3: Chứng m inh tín h chất hình h ọ c 43 3.3.1 Bài to án chứng m i n h 43 3.3.2 Giải to án chứng m inh nhờ phép đồng dạng 44 3.3.3 Ví dụ to án chứng m i n h 3.3.4 N hận xét c h u n g 49 3.3.5 Bài tậ p tự luyện 49 D ạng 4: T ính to án đại lượng hình h ọ c 50 3.4.1 Bài to án tín h t o n 50 3.4.2 Giải to án tín h to án nhờ phép đồng dạng 51 3.4.3 Ví dụ to án tín h t o n 3.4.4 N hận xét c h u n g 55 3.4.5 Bài tậ p tự luyện 55 45 51 K ế t lu ậ n 56 KẾT LUẬN 57 T À I L IỆ U T H A M K H Ả O 57 V Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán LỜI M Ở Đ Ầ U Lý chọn đ ề tà i Hình học m ột vấn đề khó học sinh, hình học môn học có tín h chặt chẽ, tín h logic trừ u tượng hóa cao Với m ột toán hình học ta có th ể đưa nhiều cách giải khác nhau, ta sử dụng phép biến hình Trong nhiều trường hợp giải to án hình học sử dụng phép biến hình cho ta cách giải đơn giản hơn, lời giải ngắn gọn cho ta nhìn tổng quát toán Phép đồng dạng m ột phép biến hình tiêu biểu có nhiều ứng dụng hình học Vậy: phép đồng dạng ứng dụng th ế giải to án hình học? Được gợi ý th ầy giáo hướng dẫn P G S T S N g u y ễ n N ă n g T âm muốn tr ả lời m ột phần cho câu hỏi em m ạnh dạn nghiên cứu đề tà i " P h é p đ n g d n g v ứ n g dụng " M ụ c đích n gh iên cứu Nghiên cứu đề tà i nhằm : • Củng cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ áp dụng tố t phép đồng dạng vào giải toán • Tìm hiểu ứng dụng phép đồng dạng vào giải m ột số dạng toán Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán như: to án quỹ tích, to án dựng hình, to án chứng m inh, to án tín h toán Đ ố i tư ợ n g p h ạm v i n g h iên cứu • Đối tượng: Phép đồng dạng • P hạm vi: Phép đồng dạng m ột số to án hình học E n: to án quỹ tích, to án dựng hình, to án chứng m inh, to án tín h toán N h iệm v ụ n gh iên cứu • Nghiên cứu lý luận nội dung phép đồng dạng E n • Nghiên cứu ứng dụng phép đồng dạng để giải m ột số lớp to án hình học: to án quỹ tích, to án dựng hình, toán chứng m inh, to án tín h toán P h n g pháp n g h iên cứu • P h ân tích tà i liệu liên quan • Tổng kết kinh nghiệm giải to án C ấu trú c luận văn Ngoài phần lời nói đầu, kết luận, danh mục tà i liệu th am khảo cấu trú c luận văn gồm có Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Phép đồng dạng • Chương 3: ứng dụng phép đồng dạng giải m ột số toán hình học Hà Nội, ngày 03 th án g 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Vũ T hị Hồng H ạnh Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán hình khác th u từ hình hay phận hình nhờ m ột phép biến hình thích hợp Trong trìn h phân tích, dùng phép biến hình ta có th ể tạm gác lại yếu tố vị trí Đặc biệt sử dụng phép đồng dạng ta có th ể bỏ qua yếu tố kích thước Phép đồng dạng có ưu điểm đặc biệt trọng việc dựng hình có dạng: tam giác vuông cân, hình bình hành, hình thoi, B i tậ p t ự lu y ện B i tậ p Dựng tứ giác lồi nội tiếp m ột dường trò n A B C D biết độ dài bốn cạnh A B = a, B C = b, C D = c, D A = d B i tậ p 2 Dựng hình thoi A B C D có hướng dương biết B A D = a(0° < a < 90°), đỉnh A cho trước hai đỉnh B : c nằm hai đường trò n ( ỡ i) , (Ỡ2) cho trước không qua A B i tậ p 3 Cho hai đường th ẳn g X, y A không nằm hai đường th ẳn g Hãy dựng m ột đường trò n qua A tiếp xúc với X, y B i tậ p Dựng A A B C biết A = a:, độ dài đường cao hạ từ đỉnh A h tỉ số ^ = k > 3.3 D n g 3: C ng m in h tín h ch ất h ìn h h ọc 3 B i to n ch ứ n g m in h Bài to án chứng m inh to án chứa dựng hầu hết to án hình học: to án chứng m inh tín h chất hình học, to án tín h toán, to án quỹ tích, to án dựng hình, 43 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Đó to án cần m ệnh đề Ả =>• B đúng, A giả th iết cho, B điều phải chứng m inh gọi kết luận 3 G iả i b i to n ch ứ n g m in h n h p h é p đ n g d n g Giải to án chứng m inh nhờ phép biến hình nói chung gồm ba thao tác chính: P h ân tích to án để lựa chọn phép biến hình Thực phép biến hình Sử dụng tín h chất kết phép biến hình để rú t kết luận toán ứ n g dụng phép đồng dạng để giải to án chứng m inh ta phải tìm phép đồng dạng thích hợp thực bước Thông thường tìm phép biến hình đồng dạng rồi, dựa vào định nghĩa, tín h chất bản, , m ột số trường hợp rú t kết luận to án có th ể giảm bớt mức độ khó khăn toán, chuyển sang m ột to án khác có th ể dễ giải M ột số dấu hiệu nhận biết phép đồng dạng to án chứng m inh hình học phẳng: to án yêu cầu chứng m inh hình đồng dạng với nhau, to án có giả th iết hay kết luận đoạn thẳn g tỉ lệ với theo tỉ số đó, to án từ giả th iết suy ta m giác đồng dạng ta có th ể sử dụng phép đồng dạng dể chứng minh 44 Khóa luận tốt nghiệp Dại học 3 Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán V í d ụ v ề b ài to n ch ứ n g m in h V í d ụ 3 Cho tứ giác lồi A B C D Trên cạnh A B , C D phía tứ giác ta dựng tam giác vuông cân M A B ( M A = M B ), N C D ( N C N D ) Trên cạnh B C , D A phía tứ giác ta dựng tam giác vuông cân P B C ( P B = P C ), Q A D ( Q A = Q D ) Chứng m inh rằng: M P = NQ Lời giải M Hình 3.10: A M A B vuông cân tạ i M =>• A B = M B ^ ị 2, M B A = 45° A P B C vuông cân tạ i p =>- B C = P B y / 2, P B C = 45° X ét phép đồng dạng Zị = v ị o Q 4^ ° : M I-)- A, p I-)- c => A C = Ự M P Tương tự, xét phép đồng dạng: (1) z 2= Vp2o Q ^° : N => A C = V N Q I-» C ,Q A (2) T (1) (2) suy M P — N Q 45 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán V í d ụ 3 Cho hình vuông A B C D Trên cạnh A B , B C ta lấy điểm tương ứng p, Q cho B P = B Q Gọi H chân đường vuông góc hạ từ B xuống C P Chứng m inh rằng: H D A H Q Lời giải A D Ta có P B H + ĨT b C = 90°, B C Ỗ + Ĩ Ỉ B C = 90° => P B Ẽ = B C H = a Đ ặt A = ta n a = ^ ^ X ét phép đồng dạng z = Vg o Q^J9Ũ° : c B ,B p => B P = Ằ B C Vì D C L B C nên D biến th n h D' thuộc B C Do đỏ z : [(C D ] [Bơ] Suy B = XCD = Ằ B C = B P = B Q M Q , G B C suy = Q Vậy H D L H Q V í d ụ 3 Cho tam giác A B C b ất kì Dựng bên ta m giác tam giác A A B M , A B C N , A C A P cho A M B = 150°, M A = 46 Khóa luận tốt nghiệp Dại học MB\CAP = Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán C B N = °,A Ơ P = B C N = 30° Chứng m inh rằng: A M N P vuông cân tạ i M Lời giải A Hình 3.12: K hông giảm tổng quát giả sử A A BC hướng dương Vì MA = MB, A M B = 150° nên có phép quay: Q m QO '■B \-a A Cá PA sin 30° = pc =-> PC- = A/ õ sin 45° ^ PA v Ấ P C = 105° X ét phép đồng dạng Zị = v ị o Qp05° : 1-^ c Tương tự, xét phép đồng dạng z = : c !->• B o X ét phép đồng dạng tích: z = z o Zi : A B Có phépđồng dạng: F = z o Q ^ h° : A \-A A, tỉ số đồng dạng F k = V ^.l = l F(A) = A nên F phép đồng n h ất, suy F(M) = M Vậy QJJ0° : M ^ M Z1 : M ^ M ' Z2 :M' ^ M 47 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Suy A P M M ' ~ A P A C , A N M M ' ~ A N B C M A P A C ~ A N B C => A P M M ' ~ A N M M ' Hơn Á P M P = P Â = Ĩ v = ÁPĨVM = 45° m F p = = ẤƠ P = 30° Lại A P M M ' A N M M ' có chung M M ' =» A P M M ' = A N M M ' (g-c-g) ^ PM = PN Do hai tam giác ngược hướng nên đối xứng qua M M ' Vậy P A Ĩ N = P M M ' + iữẤĨÌTV = 45° + 45° = 90° Vậy A P M N vuông cân tạ i M V í d ụ 3 Chứng m inh hai tứ diện b ất kì đồng dạng với Lời giải G iả sử hai tứ diện A B C D A 'B 'C 'D ' có cạnh có độ dài tương ứng a, Lấy o b ất kì, xét phép vị tự tâ m o tỉ số 48 ta có: Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vq A \ - ì Aị, B => A B CD !->■ B ị,c Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán H -» C i ,D Dị A 1B ÍC1D Í Do tứ diện A B CD nên dễ th tứ diện A B C D có cạnh -.a = b a Do hai tứ diện AiBiCịDi A'B'C'D' có cạnh nahu nên chúng Vậy hai tứ diện A B CD A'B'C'D' đồng dạng với 3 N h ậ n x é t ch u n g Có to án m việc dùng trự c tiếp định nghĩa tín h chất phép biến hình đồng dạng phép đồng dạng suy Có to án m việc dùng phép đồng dạng thực chất giúp ta dựng thêm hình phụ thích hợp để chuyển điều kiện rời rạc m ột hình m chúng có liên quan đến Việc làm dễ dàng nhận th kết to án Ngoài ra, với to án cần chứng m inh m ột hình (H ) có tín h chất a đó, nhờ m ột phép đồng dạng thích hợp biến (H ) th n h (H ') m (H ') có tín h chất OL th ì ta có th ể suy kết luận toán 3 B i tậ p t ự lu y ện B i tậ p 3 Tam giác A BC nội tiếp đường trò n tâm o BC cạnh lớn n h ất Gọi H chân đường cao tam giác B C Gọi p, Q chân đường vuông góc hạ từ H xuống A B , AC 1) Chứng m inh rằng: PQLAO 49 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán 2) Gọi K giao điểm A O P Q D giao điểm th ứ hai A O với (ơ ) Chứng m inh rằng: A H = A K A D 3) Hãy suy P Q qua tâm đường trò n (O) A H = Ry/2 (R bán kính (0 )) B i tậ p 3 Đường trò n nội tiếp tam giác A B C tiếp xúc với cạnh B C , C A , A B tương ứng tạ i điểm A ' , B ' , C ' Chứng m inh A A ' B ' Ữ ~ A A B C th ì A A B C B i tậ p 3 Trên đoạn th ẳn g A C lấy điểm B dựng hình vuông A B M N , B C P Q nằm m ột phía với đường th ẳn g A C Gọi B ' giao điểm đường trò n ngoại tiếp hình dựng (khác B ) Chứng m inh rằng: P N , Q A qua B ' B i tậ p 3 Cho hai hình lăng trụ đứng có đáy tam giác Chứng m inh đáy chúng đồng dạng tỉ số đồng dạng tỉ số hai cạnh bên chúng th ì hai lăng trụ đồng dạng 3.4 D n g 4: T ín h to n đại lượng h ìn h h ọc B i to n tín h to n Trong hình học thường gặp m ột số to án tín h to án như: tín h số đo m ột góc, tín h độ dài đoạn thẳng, tín h độ dài hai đoạn thẳng, tín h chu vi diện tích, th ể tích hình, Để giải to án tín h to án hình học thông thường ta tiến hành theo ba bước: Xác định yếu tố cần tín h toán 50 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán Tìm mối liên hệ yếu tố cho với yếu tố cần tín h toán T iến hành tín h to án theo kiện xác lập G iả i b i to n tín h to n n h p h ép đ n g d n g Sử dụng phép biến hình nói chung sử dụng phép đồng dạng nói riêng vào to án tín h to án nói chung phải đảm bảo ba th ao tác nói Việc sử dụng phép biến hình th ể rõ n h ất bước th ứ hai Cụ th ể ta phải tìm m ột phép biến hình thích hợp dựa định nghĩa, tín h chất để quy chúng m ột hình hay hữu hạn hình, sau tiến hành tín h toán V í d ụ v ề b ài to n tín h to n V í d ụ Cho A A B C vuông tạ i A, A B = 3, A C = A H vuông góc B C tạ i H Gọi 7, K điểm tiếp xúc đường trò n nội tiếp tam giác A B H , A C H với cạnh A B , A C T ính độ dài H I , H K Lời giải A Đ ặt k = xét phép đồng dạng: 51 Khóa luận tốt nghiệp Dại học z Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán = v ị o Q Hgũ° : B ^ A , A ^ C , H ^ H Suy z : BA ^ A C , HB HA, HA HC Gọi Oi, tâm đường trò n nội tiếp A ABH, A ACH có: z : (Oi) i-> ( 2) suy z : I !-►K Gọi P i, p nửa chu vi A A B H , A A C H có: A I = Pi - H B , A K = p - H C B C = \ / A B + A = V 32 + 42 = AT1 — Ị A B A C 2~ V ẨS2+ẨC2 _ M — 12 5 BH = VAB2- AH2= ịC H = VAC2- AH2= f A I = Pi — H B = | , A K = p — H C = I /K = y / Ã P T Ã Ĩ Õ = ^ T điều kiện ^ = =>■ H I = 3V145 A B IK BC 25 Tương tự K H = A C % = ^ ị f = V í d ụ Cho hình th an g A B C D ( B C II A D ) có đường chéo vuông góc với đường cao A E = 4, độ dài m ột hai đường chéo T ính diện tích hình thang Lời giải B A c E D Hình 3.15: 52 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Đ ặt k = Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán A x tia phân giác góc C A D X ét phép đồng dạng: z = v ị o Đ ax :E !->• c, c !->• C' Suy C Ơ L A C (Do C E -L A D ) =>- C ữ II B D U ìcố% = k= % ^ Ạpi _ ° ẠCl _ AE AC2 _ V A C 2- C E 25 _ -\/2 -1 25 Vậy S a bcd = ị { Ả D + B C ) C E = \.{A D + D C ').C E = ị.A Ữ C E = | f = f V í d ụ Cho hình th an g A B C D ( A B II C D ), giao điểm o A C , B D : kẻ phân giác O x A O B Gọi A', B ' điểm đối xứng A, B qua Ox Cho A C A ' = a T ính B D B ' l Lời giải Đ ặt k = Ta có ^ = k X ét phép đồng dạng: z = Vọ o Đ0x :A => A A C A ' => A ACA' B :c A BDB' ~ ABDB' => ACA' = BDB' = a 53 D, A' B' Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán V í d ụ 4 Cho hai hình vuông A B C D A 'B 'C 'D ' nội tiếp đường trò n ( , R ) Gọi M , N , p , Q giao điểm A B A ' B ', B C B'C ', C D C ' , D A Ư A Biết Ấ Õ Ă ' = a(ữ° < a < 90°) a) T ính diện tích tứ giác M N P Q theo R , a b) T ính chu vi tứ giác M N P Q theo R, a Lời giải D A c B Hình 3.17: a) Gọi E , F tru n g điểm A B , A 'B ' Đ ặt AOA' = a = (OA, OA') Ta có: Q q : A I-» A', B I-» B', E I-» F Suy (OE , O F ) = a => (OE, O M ) = I V2 X ét phép đồng dạng: z = Vq CO** ° Q o : A I-)- M Tương tự Do Z : A B C D z : B H-» N , c H-» P , D MNPQ Do A B C D hình vuông nên M N P Q hình vuông 54 Q Khóa luận tốt nghiệp Dại học M N = i2.cos|r^ A B = 2.cos|- Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán v cosf Vậy diện tích M N P Q là: S mnpq = M N = b) Ta có chu vi A B C D C abcd = 4v^2R Suy chu vi M N P Q C m n p q = 4V 2R 2^ 2„ = 4R 4 N h ậ n x é t ch u n g M ột số to án có th ể sử dụng trự c tiếp định nghĩa, tín h chất phép đồng dạng để tín h to án đại lượng cần tìm M ấu chốt to án xác định phép đồng dạng thích hợp liên quan đến đại lượng biết để chuyển liệu biết m ột hình hữu hạn hình tín h to án đại lượng cần tìm B i tậ p t ự lu y ện B i tậ p Cho hai đường trò n (O, R ) (O', R ') cắt tạ i hai điểm A, B Trên (o , R) lấy p , (o R ' ) lấy Q cho P Q qua B Biết 0 ' = d, O A P = a T ính P Q theo R, R ' : a : d B i tậ p Cho hai đường trò n (0 , R ) (0 ’, R ') cắt tạ i hai điểm A, B Tiếp tuyến tạ i A (o , R) cắt (O', R') tạ i D Tiếp tuyến tạ i B (O1, R 1) cắt (o , R) tạ i c T ính độ dài C D , biết A C B = cc, A D B = 13 B i tậ p Cho A A B C có A B = 3, A C = 4, B C = Gọi D chân đường cao tam giác kẻ từ A Trên A C lấy M cho C M = Phép đồng dạng z = v^eo Q ^ ° : M I-» N T ính A N 55 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán B i tậ p 4 Ba đường trò n (ƠI, -Ri), (Ơ , R ĩ), ( 3, -R3) qua M đôi m ột cắt tạ i điểm th ứ hai A , B , C Tâm đường trò n nằm khác phía với dây cung chúng Trên ( O i , R i ) lấy p ^ A, P A cắt (Ơ2, i Ỉ 2) tạ i Q Đường th ẳn g Q B cắt ( 3,i? 3) tạ i K Chứng m inh rằng: P K qua c tín h diện tích tam giác P Q K biết ( M O u M P ) = a, (0° < a < 90°) K ết luận Trong chương ta trìn h bày ứng dụng phép đồng dạng vào giải bốn dạng to án hình học: to án quỹ tích, to án dựng hình, to án chứng m inh, to án tín h toán, ứ n g với dạng to án có ví dụ m inh họa với lời giải cụ th ể m ột số tậ p tự luyện 56 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Vũ Thị Hồng Hạnh - K38D Toán KẾT LUẬN Như luận văn cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng E n, đặc biệt ứng dụng phép đồng dạng giải m ột số lớp to án hình học như: to án quỹ tích, to án dựng hình, to án chứng m inh, to án tín h toán, ữ n g với lớp to n có nêu ví dụ m inh họa tậ p tự luyện Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, m ặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế thời gian khả năng, luận văn không trá n h khỏi thiếu sót Em kính mong nhận góp ý thầy, cô giáo để luận văn hoàn thiện Cuối m ột lần em xin chân th n h cảm ơn bảo hướng dẫn tậ n tìn h th ầy cô tổ Hình học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt th ầy giáo hướng dẫn trực tiếp P G S T S N g u y ễ n N ă n g T âm giúp em hoàn th n h khóa luận 57 ... Toán • Phép đồng dạng thuận phép đồng dạng bảo to àn hướng hình • Phép đồng dạng nghịch phép đồng dạng đảo ngược hướng hình 2.5 H ìn h h ọc củ a n h óm đ ồn g dạng: H ìn h h ọc đ ồn g dạng K... g dụng " M ụ c đích n gh iên cứu Nghiên cứu đề tà i nhằm : • Củng cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ áp dụng tố t phép đồng dạng vào giải toán • Tìm hiểu ứng dụng phép đồng. .. Tích phép đồng dạng với tỉ số kị với phép đồng dạng tỉ số k phép đồng dạng tỉ số k k 2: z 2{k2) o Z ị(k ị) — Z i 2( k ịk 2), nhưng: Z ỉ (kỉ ) o z 2{k2) = z 2i{ k ik 2) T h ậ t vậy, phép đồng dạng