Khoá luận tốt nghiệp phép đối xứng và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN T rần T h ị Q u ỳ n h M a i P H É P Đ Ố I X Ứ N G VÀ Ứ N G D Ụ N G KHÓA LUẬN T Ố T N G H IỆP ĐẠI HỌC H N ội —N ăm 2016 B Ộ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC s P H Ạ M HÀ NỘI KHOA TOÁN T rần T h ị Q u ỳ n h M a i P H É P Đ Ố I X Ứ N G VÀ Ứ N G D Ụ N G C h u y ên n gành : H ìn h h ọ c M ã số: K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C NGƯ Ờ I HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: P G S T S N G U Y Ễ N N Ă N G T M H N ội —N ăm 2016 Lời cảm ơn Em xin chân th n h cảm ơn giúp đỡ thầy, cô giáo tro n g tổ H ình học, thầy, cô giáo tro n g khoa Toán, thầy, cô giáo trư ng Đ H SP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc m ình tới P G S T S Nguyễn N ăng Tâm tậ n tìn h giúp đỡ em tro n g suốt trìn h hoàn th n h khóa luận Do lần đầu làm quen với công tá c nghiên cứu khoa học, thời gian lực th â n h ạn chế, m ặc dù rấ t cố gắng chắn không trá n h khỏi th iếu sót Em kính m ong n h ận đóng góp ý kiến th ầ y cô bạn để khóa luận em hoàn th n h Em xin chân th n h cảm ơn! Hà Nội, ngày Oị tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trần T h ị Q u ỳn h M Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai Lời cam đoan K hóa luận kết th â n em qua trìn h học tậ p nghiên cứu Bên cạnh em quan tâ m tạo điều kiện thầy, cô giáo tro n g khoa Toán Trường Đ H SP H Nội 2, đặc biệt hướng d ẫn tậ n tìn h P G S T S Nguyễn N ăng Tâm Trong nghiên cứu hoàn th n h khóa luận em có th a m khảo m ột số tà i liệu đ ã ghi tro n g p h ần tà i liệu th a m khảo Em xin cam đoan khóa luận tru n g thực, kết em giúp đỡ th ầ y P G S T S Nguyễn N ăng Tâm Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Trần T h ị Q u ỳn h M M uc luc Lời m đ ầ u 1 K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị 1.1 Phép biến h ì n h 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Sự xác đ ị n h Phép biến hình a f í n 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 T ính c h ấ t 1.2.3 Định lý 1.2 1.3 Phép biến hình đẳng cự 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 T ính c h ấ t 1.3.3 Định lý P H É P Đ Ố I X Ứ N G T R O N G E" 2.1 Phép đối xứng t â m 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 T ính c h ấ t ii Khóa luận tốt nghiệp Dại học 2.2 2.3 Trần Thị Quỳnh Mai Phép đối xứng qua đường t h ẳ n g 12 2.2.1 Định nghĩa 12 2.2.2 T ính c h ấ t 13 Phép đối xứng qua siêu p h ẳ n g 14 2.3.1 Định nghĩa 14 2.3.2 T ính c h ấ t 15 SỬ D Ụ N G P H É P Đ Ố I X Ứ N G Đ E g i ả i c c b i t o n H ÌN H H Ọ C 17 3.1 Phép đối xứng to án chứng m i n h 17 3.1.1 Bài to án chứng m i n h 17 3.1.2 Sử dụng phép đối xứng to án chứng m inh 17 3.1.3 K hai th ác to án chứng m inh nhờ phép đối xứng 18 3.1.4 M ột số ví d ụ 18 3.2 3.3 3.4 Phép đối xứng to án tín h to án 25 3.2.1 Bài to án tín h t o n 25 3.2.2 Sử dụng phép đối xứng to án tín h to án 25 3.2.3 M ột số ví d ụ 25 Phép đối xứng to án dựng h ì n h 32 3.3.1 Bài to án dựng h ì n h 3.3.2 Sử dụng phép đối xứng giải to án dựng hình 34 3.3.3 K hai th ác to án dựng hình nhờ phép đối xứng 34 3.3.4 M ột số ví dụ 35 Phép đối xứng to án quỹ t í c h 43 3.4.1 Bài to án quỹ t í c h 43 3.4.2 Sử dụng phép đối xứng để giải to án quỹ tích 44 iii 32 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai 3.4.3 Sáng tạo to án tìm quỹ tích nhờ phép đối xứng 44 3.4.4 M ột số ví d ụ 45 T À I L IỆ U T H A M K H Ả O 50 IV Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai Lời m đầu L ý d o ch ọ n đ ề tà i Trong nhà trường phổ thông, hình học m ột m ôn học khó học sinh tín h chặt chẽ, logic tín h trừ u tượng hình học, đặc biệt phép biến hình, v ấ n đề học sinh tiếp xúc tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng tú n g bỡ ngỡ Nhưng phép biến hình sơ cấp m ột phần quan trọng hình học m ột công cụ hữu ích để giải to án hình học Phép đối xứng m ột phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải to án dựng hình, chứng m inh, tín h toán, quĩ tích Để làm rõ vấn đề nêu trên, em xin trìn h bày khóa luận m ột số kiến thức phép đối xứng ứng dụng giải toán hình học với đề tài: " Phép đối xứng ứng dụng" Vì thời gian có hạn nên em xin trìn h bày kiến thức phép đối xứng tâm , phép đối xứng qua đường th ẳn g phép đối xứng qua siêu phẳng M ụ c đ ích n g h iê n u Tìm hiểu sâu phép biến hình, đặc biệt phép đối xứng Làm rõ tín h ưu việt phép đối xứng giải to án hình học Đ ố i tư ợ n g n g h iê n u Phép đối xứng N h iệ m v ụ n g h iê n u T rình bày sở lý thuyết phép đối xứng Đề x u ất phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải m ột số to án hình học Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai Xây dựng hệ thống tậ p ví dụ m inh họa P h n g p h p n g h iê n u Đọc sách, nghiên cứu tà i liệu có liên quan đến phép đối xứng Nghiên cứu, sử dụng lí luận, công cụ to án học, tà i liệu th am khảo C ấu tr ú c k h ó a lu ận K hóa luận gồm phần: Mở đầu Nội dung gồm chương: Chương l.K iến thức chuẩn bị Chương 2.Phép đối xứng E n Chương 3.Sử dụng phép đối xứng giải to án hình học K ết luận Chương KIẾN THỨC CH UẨN BỊ Trong Chương trìn h bày m ột số kiến thức chuẩn bị cho chương sau, kiến thức chủ yếu lấy từ tà i liệu th am khảo 1.1 1.1.1 P h é p b iến hìn h Đ ịn h n g h ĩa Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Mỗi song ánh f : E n —»• E n gọi phép biến hình không gian E n Như cho phép biến hình f : E n —>E n cho quy tắc để với M thuộc E n ta tìm điểm M ' = f ( M ) hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây: - Nếu M ,N hai điểm E n f ( M ) , f ( N ) hai điểm phân biệt E n - Với điểm M ' thuộc E n có điểm M thuộc E n cho f ( M ) = M ' Điểm f ( M ) gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M gọi tạo ảnh điểm f ( M ) qua phép biến hình f nói Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai H ình 3.8: Khi B , c \ ầ điểm cần dựng + Chứng minh: Lấy điểm B ' b ất kỳ thuộc O x , C' b ất kỳ thuộc Oy Dox{À)A\, B = A A n Ox Doy{A)A , c = A A n Oy Ta có: A B ' + B 'C ' + Ơ A = A XB' + B'C ' + Ơ A > A1A2 = AiB + BC + A2C = AB + BC + AC Do A A B C có chu vi nhỏ + Biện luận: • Nếu xO y < 90° th ì to án có m ột nghiệm hình • Nếu xO y > 90° th ì A O A = 2xO y > 180° nên A A không cắt Ox, Oy chúng cắt tạ i o trường hợp A A qua o MB,C € O x,O y ta có A B + B C + C A = A 1B + B C + C A > AịO + A O 36 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai A A B C có chu vi nhỏ n h ất B = c = o Tức A A B C suy biến th n h đoạn OA Do to án nghiệm hình V í d ụ 3 Cho góc xO y hai điểm A :B nằm góc Hãy xác định điểm c nằm Ox điểm D nằm Oy cho tứ giác A B C D hình bình hành Bài giải + P h ân tích: G iả sử tìm điểm c nằm O x , điểm D nằm Oy cho tứ giác A B C D hình bình hành Gọi I tru n g điểm đoạn A B X ét phép đối xứng tâm /: D ị \C ^ D ^ ' Ox !-»■ 'x ' + Cách dựng: '=D Dựng DI Ox = c n j(ơ ) Dựng x ' II Ox = c T ứ giác A B C D hình bình hành cần dựng + Chứng minh: Ta có x ' ảnh Ox qua phép đối xứng tâm I Suy I tru n g điểm CD I tru n g điểm A B nên tứ giác A B C D hình bình hành + Biện luận: 37 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai X H ình 3.9: Nếu A ,B ,D th ẳn g hàng th ì to án vô nghiệm Nếu A, B, D không th ẳn g hàng th ì to án có m ột nghiệm hình V í d ụ 3 Cho hai nửa đường thẳng O A ,O B phía mặt phẳng ( p ) o thuộc mặt phẳng ( p ) Hãy tìm ( p ) đường thẳng tạo với OA, OB cấc góc có tổng số đo nhỏ Bài giải + P h ân tích: G iả sử dựng đường th ẳn g d th ỏ a m ãn đề Không giảm tổng quát, ta có th ể giả sử o € d ( o ị d th ỏ a m ãn yêu cầu toán th ì đường th ẳn g d' II d, o € d' th ỏ a m ãn toán) X ét phép đối xứng qua m ặt phẳng ( p ): D ự ) : B !->• B' Gọi D e d, D Ỷ o Vì d c { P ) ^ d = Dp{d) => D O Ẽ = D O B' Ta có: AOD + D O B = AOD + D O B' > A O B ' (tính chất góc tam diện) D ấu " = " xảy d c mp{AOB') + Cách dựng: 38 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai Dựng B ' = D p(B ), D = A B ' n (P ) B H ình 3.10: Đường th ẳn g qua , d đường th ẳn g cần dựng + Chứng minh: Vì OD = (P ) n {AOB') nên ẤO D + D O Ẽ = ẤO D + D O B' = Ấ o ẽ ' với d! đường th ẳn g b ất kỳ thuộc ( p ), d Ỷ d', d! qua o ^B Õ d^& O d' => AOd' + ĩ õ ầ = Ấ õ d + d/OB' > AO B' Vậy A O B ' góc nhỏ + Biện luận: Bài to án có n h ất m ột nghiệm hình V í d ụ 3 Cho hai vòng tròn ( o ) ( ') nằm phía đường thẳng PQ Tìm M PQ để tiếp tuyến M với ( o ) ( ') M t, M t' cho P M t = Q M t' Bài giải + P h ân tích: 39 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai G iả sử ta dựng M th ỏ a m ãn yêu cầu toán Gọi O" = Dp ọ (0 ), M t" = D pọ(M t) => P M t = PM Ĩ" M P A Ìt = 'QMÌ' => P M Ĩ" = QM Ì', M e PQ => t't" tiếp tuyến chung {O") ( o ') + Cách dựng: - Dựng {O") = D p ọ (0 ) - Dựng tiếp tuyến chung t't" ( o ') ( o "), t't" n PQ — M ^ M điểm cần dựng + Chứng minh: Theo cách dựng ta có: ( ) ( o ") đối xứng qua PQ M t M t" tiếp tuyến (ơ ) (ơ ") cho hai tiếp tuyến đối xứng qua PQ Gọi M t" n (ơ ") = A ',A = Dpọ(A') Vẽ M t tiếp tuyến (ỡ ) qua A, tiếp xúc với (ỡ ) tạ i A =>- t"M P = P M t ( tín h chất đối xứng trục) 40 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai P M t" = t'M Q (giả th iết) => P M t = Q M t' + Biện luận: Vì ( ) ( o ') nằm m ột phía PQ => ( ) ( o ") nằm hai phía PQ Suy có tiếp tuyến chung suy có nghiệm hình Đặc biệt: ( ) (0") đối xứng suy to án có nghiệm hình V í d ụ 3 Trong mặt phẳng A B C D E cho điểm M, N, p, Q, R Hãy dựng ngũ giác nhận điểm trung điểm cạnh liên tiếp Bài giải + P h ân tích: G iả sử dựng ngũ giác A B C D E có M , N, P,Q , R tru n g điểm A B , B C , C D , D E , EA Gọi D m , D n , DPì D q D r phép đối xứng qua tâm M, N, p, Qi R Ta có: A = D R D Q D p D N D M { A ) = D R -T Ĩ Q - T 2.Wn (A ) — ^ R-r^2¥Ĩỉ+2JĨN^A^ Lại có: D r ( E ) = Ả ^ T ^ ^ ^ A ) = E à Ề = (P ^ + M ỈỈ) Mà à Ề = à Ồ = > à Ồ = - à Ề = p $ + Ĩ Ã Ê Suy điểm A hoàn to àn xác định p, Q, M , N , R cho trước + Cách dựng: - Dựng ~ct = M N + p $ 41 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai - Dựng A cho à Ĩi = ~ằ - Lấy B = D m (A), c = D n (B), D = D p(C ), E = D p(D ) Suy A B C D E ngũ giác cần dựng + Chứng minh: Theo cách dựng ta có: M , N, p, Q tru n g điểm A B , B C , D E Ta cần chứng m inh : A = DR{E) T h ậ t vậy, ta có: à Ề = ÃỒ + c Ề = (à ĨÊ + P $ ) = 2ÃỀ =>■ R A = ~ r Ề + Biện luận: - Nếu M N + P(ỳ Ỷ th ì to án có m ột nghiệm hình - Nếu M N + p $ = 0(A = R) th ì to án vô nghiệm 42 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai 3.4 P h é p đối xứ n g to n q u ỹ tích B i t o n q u ỹ tíc h Bài to án quỹ tích: to án tìm m ột tậ p hợp điểm (hay m ột hình) có chung m ột tín h chất a cho trước Giải to án quỹ tích: ta chứng m inh liên tiếp m ột số m ệnh đề to án học khác với to án chứng m inh đơn th u ần , phần lớn to án quỹ tích trước tiên ta phải tìm cần chứng m inh, tức quỹ tích cần tìm Chứng m inh quỹ tích: Sau tìm hiểu kỹ toán, yếu tố đặc trư ng toán, bước đoán nhận quỹ tích giúp ta hình dung hình dạng, vị trí, kích thước quỹ tích đến dự đoán quỹ tích K điểm M có tín h chất a hình H Để chứng m inh m ệnh đề ta thường chứng m inh hai phần: + K tậ p H , nghĩa điểm có tín h chất a nằm hình H (đảm bảo tín h chất không thiếu quỹ tích): gọi phần thuận + H tậ p K tức điểm thuộc H có tín h chất a (đảm bảo tín h chất không th a quỹ tích): gọi phần ảo Giới hạn quỹ tích: Trong chứng m inh phần th u ận nhiều to án quỹ tích ta thường tìm hình H ’ chứa điểm M có tín h chất OL Nhưng điều kiện hạn chế khác toán, tậ p điểm M cần tìm m ột tậ p thực H H ’ Khi ta cần phải tiến hành giới hạn quỹ tích để loại bỏ điểm không thuộc quỹ tích cần tìm từ hình H ’ để có hình H 43 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai Biện luận quỹ tích: Khi m ột số to án chưa xác định hoàn to àn (bởi vị trí, kích thước to án có th am số ) th ì ta phải biết cách tiến hành biện luận quỹ tích, tức cần phải đề cập đến tấ t trường hợp có th ể xảy to án quỹ tích S d ụ n g p h é p đ ố i x ứ n g đ ể g iả i b i t o n q u ỹ tíc h Cho hình H phép đối xứng / Tập hợp H' = f ( H) = {M ' = € H } gọi ảnh H qua phép đối xứng / Khi M chạy khắp H th ì M ' chạy khắp H' ngược lại ta có H = = M \ M ' € H'} Vậy N ảnh M qua phép đối xứng / : N = f ( M ) thì: M có tín h chất a «-»■ N có tín h chất a' ( OL' xác định ữ / ) Hay quỹ tích điểm N có tín h chất Oi' hình H' th ì quỹ tích điểm M có tín h chất a hình Vậy có th ể dùng phép đối xứng / chuyển to án tìm quỹ tích điểm M có tín h chất a th n h to án tìm điểm N có tín h chất a '(N = f{M Ỵ) quy định / a cho quỹ tích quỹ tích tìm dễ dàng S n g t o b i t o n t ì m q u ỹ tíc h n h p h é p đ ố i x ứ n g X uất p h át từ to án (£) M hay to án quỹ tích tìm điểm M có tín h chất a giải quỹ tích (£) phép đối xứng / tích phép đối xứng biến điểm M th n h M ' chuyển tín h chất a điểm M th n h tín h chất a' điểm M ' cho: 44 Khóa luận tốt nghiệp Dại học M CÓ Trần Thị Quỳnh Mai tín h chất a o M có tín h chất a ' Lúc to án quỹ tích là: " tìm quỹ tích điểm M ' có tín h chất a' " m kết quỹ tích M ' /( £ ) 4 M ộ t số v í d ụ Dưới m ột số ví dụ áp dụng V í d ụ Cho góc xOy Tìm tập hợp điểm M không gian cho tia OM hợp với tia O x , Oy góc Bài giải Kẻ tia z tia phân giác xOy Gọi ( p ) m ặt phẳng đối xứng biến xO M th n h y O M H ình 3.13: Khi đó: Ị (P )M x°y ) yO z-L{p ) 45 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai với VM € ( p ) ta có: xO M = yO M Qũy tích điểm M m ặt phẳng ( p ) V í d ụ Cho đường tròn đường kính A B cố định, c điểm thay đổi đường tròn Trên tia AC lấy điểm D đối xứng với điểm A qua c Vẽ hình bình hành A D B E Tìm quỹ tích điểm E khỉ c thay đổi đường tròn Bài giải Gọi o tru n g điểm đoạn A B Do A D B E hình bình hành nên o tru n g điểm đoạn D E E X ét phép đối xứng tâm O: Do : D !->■ E X ét A A B D có: (BC)-LAD < C A = CD Suy B C vừa đường cao vừa đường tru n g tuyến ta m giác nên 46 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai A A B D cân tạ i B Do c th ay đổi đường trò n (ỡ ) th ì quỹ tích điểm D đường trò n ( B ,A B ) trừ điểm A điểm A' = DB(A) Vậy quỹ tích điểm E đường trò n ảnh đường trò n (B ,A B ) phép đối xứng tâ m Do, trừ điểm B điểm B ' = D a (B ) (chính đường trò n tâm A, bán kính A B ) V í d ụ Cho hai điểm B, c cố định đường tròn (o ) điểm A thay đổi đường tròn Tìm quỹ tích trực tâm H A A B C Bài giải + Gọi H' = D b c {H) => H' € (ơ ) Vậy D bc :H' ^ H (O) * (O') ^ H e (O') = D [bc ](0 ) + Khi A = B A = c th ì A A B C không tồ n Trường hợp A = B th ì H = C ', CC' đường kính ( ') T h ậ t A = B th ì A B tiếp tuyến (ơ ) tạ i B Suy O B L A B m OB II c (do tứ giác B O C Ơ hình thoi) Suy A B L Ơ C hay A B L C Ơ (1) Do B nằm đường trò n ( O ' ) đường kính CC' nên B C T B C ' (2) T (1), (2) suy C' trự c tâ m A A B C Tương tự A = c th ì H = B ' ( B B ' đường kính (0 )) Vậy quỹ tích điểm H đường trò n ( ) bỏ hai điểm B l, C' với B B ' , CC' đường kính ( ') ( ') ảnh (ơ ) qua 47 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai DbcV í d ụ 4 Cho hai mặt phẳng ( p ) ( Q) cắt Với điểm M không gian ta gọi M điểm đối xứng với M qua (p) M điểm đối xứng với Mi qua (Q) M điểm đối xứng với M qua (P)Bài giải Ta có Dự) : M I—>■ Mị ( M M ị _L (p ) tạ i I) D q : Mị I->• M ( M ịM _L ( Q ) tạ i J ) Dp ' M I—} M% ( M 2M% _L (-P) tạ i K ) Ta th Dự) ' M^I I—y M M I—ỳ Ấ/3 Suy Dịp)' AđiẤI2 I—y Ad2Ml^ 48 Khóa luận tốt nghiệp Dại học Trần Thị Quỳnh Mai hay tru n g điểm J M i M biến th n h J' tru n g điểm M M J e ( Q ) nên J' e ( Q ) Vậy quỹ tích tru n g điểm M M ảnh m ặt phẳng (Q) qua phép đối xứng qua m ặt phẳng (P) 49 Kết luận Khi nghiên cứu to án học nói chung hình học nói riêng, sâu tìm hiểu ta th hút, hấp dẫn Việc lựa chọn vận dụng công cụ thích hợp cho loại to án hình học khác việc làm rấ t cần th iết giúp tiế t kiệm thời gian công sức để giải to án m ột cách hiệu N hằm góp phần đ ạt mục tiêu đó, khóa luận đưa hệ thống lý thuyết, ví dụ m inh họa cho việc ứng dụng phép đối xứng, bước đầu th ể ưu điểm việc vận dụng phép đối xứng việc giải lớp to án hình học Như đề tà i "Phép đối xứng ứng dụng" hoàn th n h nội dung đ ạt mục tiêu nghiên cứu Với vốn kiến thức ỏi khả có hạn th â n bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên khóa luận không trá n h khỏi sai sót hạn chế R ất mong nhận ý kiến đóng góp quý th ầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn th ầy giáo cô giáo, đặc biệt PG S.T S Nguyễn Năng Tâm tậ n tìn h hướng dẫn em hoàn th n h khóa luận 50 ... đối xứng ứng dụng giải toán hình học với đề tài: " Phép đối xứng ứng dụng" Vì thời gian có hạn nên em xin trìn h bày kiến thức phép đối xứng tâm , phép đối xứng qua đường th ẳn g phép đối xứng. .. thành điểm M ' đối xứng với M qua o gọi ỉà phép đối xứng tâm o Điểm o gọi tâm phép đối xứng điểm bất động phép đối xứng tâm o Phép đối xứng tâm o ký hiệu D0 V í d ụ 1 Trong E n; phép biến hình... gọi ỉà phép đối xứng qua siêu phẳng a, phép đối xứng kí hiệu Da Siêu phẳng a gọi siêu phẳng đối xứng phép đối xứng T ín h c h ấ t T ín h c h ấ t Phép đối xứng qua siêu phẳng ỉà phép biến hình