ĐÁP ÁN ĐỀ 20 Bài 1: Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình x 2 + ax + 1= 0 và x 2 + bx + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời các phương trình x 2 + x + a = 0 và x 2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b + c. Lời giải: Gọi x 1 là nghiệm chung của các phương trình x 2 + ax + 1= 0 và x 2 + bx + c = 0. Ta có: x 1 2 + ax 1 + 1= 0 và x 1 2 + bx 1 + c = 0. Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được: (a – b)x 1 +1 – c = 0. Hay là: (1) Gọi x 2 là nghiệm chung của các phương trình: x 2 + x + a = 0 và x 2 + cx + b = 0. Lý luận tương tự như trường hợp đầu, ta có: (c–1)x 2 + b – a =0. Vì nên và khi đó (2) Từ (1) và (2) suy ra x 1 x 2 = 1. Vì x 1 là nghiệm của phương trình x 2 + ax + 1= 0 nên x 2 là nghiệm còn lại của phương trình trên x 2 2 + ax 2 + 1 =0. (3) Lại vì x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + x + a = 0 nên x 2 2 + x 2 + a = 0. (4) Vế trừ vế hai đẳng thức (3) và (4) ta được: (a – 1)(x 2 – 1) = 0. (5) Dễ dàng nhận thấy vì với a = 1, phương trình x 2 + ax + 1 = 0 không có nghiệm thực. Do đó từ (5) suy ra x 2 = 1. Vì x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + x + a = 0 nên a + 2 = 0. (6) Vì x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + cx + b = 0 nên b + c + 1 = 0 (7) Từ (6) và (7), cộng vế theo vế ta được a + b + c + 3 =0, hay là a + b + c = –3 Vậy a + b + c = –3 Bài 2: Cho 3 số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải: Đặt , , . Từ giả thiết ban đầu của bài toán, ta suy ra: , , và a + b + c =1. Ta có: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1 (1 – 2a)(1 – 2b)(1 – 2c) abc (a+b+c–2a)(a+b+c–2b)(a+b+c–2c) abc (b+c–a)(c+a–b)(a+b–c) abc (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có: 2a = (c+a–b) + (a+b–c) 2 a (2) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (c+a–b) = (a+b–c) b = c. Lý luận tương tự, ta có: b (3) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = c c (4) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Nhân vế theo vế các bất đẳng thức (2), (3), (4) ta được bất đẳng thức (1). Suy ra ĐPCM. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = x = y = z = 3 Bài 3: Cho a > c, b > d. Chứng minh rằng: (a + b + c + d) 2 > 8(ad + bc) Lời giải: Ta có: (a + b + c + d) 2 – 8(ad + bc) = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd – 8(ad + bc) = 4(ab + cd – ad – bc) + (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 –2ab – 2cd –2ad – 2bc + 2ac + 2bd) = 4(a – c)(b – d) + (a + c – b – d) 2 > 0 ĐPCM. Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho AMB + CMD = 180 0 . Chứng minh rằng: MAD = MCD Lời giải: Qua M kẻ đường thẳng (d) song song với AD và lấy trên (d) điểm N sao cho: MN = AD = BC. Dễ dàng chứng minh được tứ giác ADMN và tứ giác BCMN là hình bình hành. NA = MD và NB = MC MCD = NAB (cạnh, cạnh, cạnh) ANB = CMD ANB + AMB = CMD + AMB = 180 0 tứ giác AMBN là tứ giác nội tiếp Ta có: MCD = NBA (Do CMD = ANB) (1) NBA = AMN (tứ giác AMBN là tứ giác nội tiếp) (2) AMN = MAD (So le trong) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: MCD = MAD. ĐPCM. Bài 5: Cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng O 1 A cắt (O 2 ) tại C, đường thẳng O 2 A cắt (O 1 ) tại D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O 1 ), (O 2 ) lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a) Năm điểm B, C, D, O 1 , O 2 cùng nằm trên cùng một đường tròn. b) BC + BD = MN Lời giải: a) Ta có: O 1 O 2 A = O 1 O 2 B (cạnh, cạnh, cạnh) O 1 AO 2 = O 1 BO 2 Lại có CAO 2 = ACO 2 (Tam giác ACO 2 cân) Từ đó suy ra: O 1 BO 2 + O 1 CO 2 = O 1 AO 2 + CAO 2 = 180 0 Tứ giác BO 1 O 2 C nội tiếp. Chứng minh tương tự, tứ giác BO 1 O 2 D cũng là tứ giác nội tiếp. Năm điểm B, C, D, O 1 , O 2 cùng nằm trên một đường tròn. ĐPCM. b) Tứ giác BO 2 CD nội tiếp, có hai dây cung BO 2 và CO 2 bằng nhau nên DO 2 là phân giác góc CDB ADC = ADB (1) Mặt khác, vì CD song song với MN nên DAM = ADC(2) Từ (1) và (2) suy ra DAM = ADB DAB = DAM + MAB = ADB + MDB = MDA BD = MA (Mối tương quan giữa góc và dây cung của đường tròn (O 1 ) (3) Tương tự như vậy, ta chứng minh được: BC = AN (4) Từ (3) và (4) suy ra MN = MA + NA = BD + BC. Vậy MN = BC + BD. ĐPCM. . đẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải: Đặt , , . Từ giả thiết ban đầu của bài toán, ta suy ra: , , và a + b + c =1. Ta có: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1 (1 – 2a)(1 –