Giáo án bồidưỡng hs giỏi 9 PHẦN SỐ HỌC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN. SỐ NGUYÊN TỐ. A. Nhắc lại và bổ sung các kiến thức cần thiết: I. Tính chia hết: 1. Định lí về phép chia: Với mọi số nguyên a,b (b ≠ 0), bao giờ cũng có một cặp số nguyên q, r sao cho : a = bq + r với br <≤ 0 . a gọi là số bị chia , b là số chia, q là thương và r là số dư. Trong trường hợp b > 0 và r ≠ 0 có thể viết: a = bq + r = b(q +1)+ r - b. Ví dụ: Mọi số nguyên a đều có dạng: a = 2q ± 1 (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q ± 1 (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ± 1 ; 4q ± 2 (xét phép chia cho b = 4). a = 5q; 5q ± 1; 5q ± 2 (xét phép chia cho b = 5) 2. Tính chia hết: Nếu a chia b mà số dư r = 0, ta nói : a chia hết cho b hay a là bội của b (kí hiệu a b) b chia hết a hay b là ước của a (kí hiệu b\ a) Vậy: a b (b\ a) khi và chỉ khi có số nguyên q sao cho a = bq. 3. Các tính chất: 1) Nếu a b thì ± a ± b (b ≠ 0) 2) a a; 0 a với mọi a ≠ 0 3) a ± 1 với mọi a 4) Nếu a m thì a n m (m ≠ 0, n nguyên dương). 5) Nếu a b và b a thì |a| = |b| 6) Nếu a b và b c (b,c ≠ 0) thì a c. 7) Nếu a c và b c(c ≠ 0) thì (a ± b) c. Điều ngược lại không đúng. 8) Nếu a m hoặc b m thì ab m(m ≠ 0). Điều ngược lại không đúng. 9) Nếu a p và a q, (p, q)= 1 thì a pq 10) Nếu a = mn; b = pq và m p n q thì a b 11) Nếu ab m và (b,m) = 1 thì a m 12) Nếu a ± b m và a m thì b m II. Số nguyên tố: 1.Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên lơn hơn 1 có nhiều hơn hai ước. Số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số. Nguyễn Hoàng Hoa 1 Giáo án bồidưỡng hs giỏi 9 2. Định lí cơ bản của số học: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất(không kể thứ tự các thừa số). Số nguyên tố được coi như là tích chỉ gồm một thừa số là chính nó. Có vô số số nguyên tố (không có số nguyên tố lớn nhất). Số hoàn chỉnh: là số bằng tổng các ước của nó không kể bản thân nó. Ví dụ: 6 , 28, . , 2 n-1 (2 n - 1) III. Một số phương pháp thông thường để giải bài toán về chia hết: Cách 1: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi chia n cho k. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3. Giải : a) Viết tích của hai số nguyên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1). Có hai trường hợp xảy ra : * n 2 => n(n + 1) 2 * n không chia hết cho 2 (n lẻ) => (n + 1) 2 => n(n +1) 2 b) Chứng minh tương tự a. Cách 2: Để chứng minh A(n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq . + Nếu (p, q) = 1, ta chứng minh A(n) p và A(n) q. + Nếu (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) rồi chứng minh: B(n) p và C(n) q . Ví dụ 2: a) Chứng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) 6. b) Chứng minh: tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Giải : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo chứng minh trên đã có A(n) chia hết cho 2 và 3. Do đó A(n) chia hết cho 6. b) Ta viết A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1). 8 = 4 . 2. Vì 4 4 và n(n +1) 2 nên A(n) 8 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng n 5 - n chia hết cho 10, với mọi số nguyên dương n. (Trích đề thi HSG lớp 9 cấp tỉnh năm học 2005 - 2006) Giải : A(n) = n 5 - n = n(n 4 - 1) = n(n 2 - 1)(n 2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n 2 +1) 2 n = 5k + 1 => (n - 1) 5 n = 5k + 4 => (n + 1) 5. n = 5k + 2 => n 2 + 1 = (5k + 2) 2 + 1 = (25k 2 + 20k + 4 + 1) 5 n = 5k + 3 => n 2 + 1 = (5k + 3) 2 + 1 = (25k 2 + 30k + 9 + 1) 5 Vậy : A(n) chia hết cho 2 và 5 nên phải chia hết cho 10. Nguyễn Hoàng Hoa 2 Giáo án bồidưỡng hs giỏi 9 Cách 3: Để chứng minh A(n) chia hết cho k , có thể biến đổi A(n) thành tổng(hiệu) của nhiều hạng tử , trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k . ( Đã học trong tính chất chia hết của một tổng ở lớp 6) (Liên hệ: A(n) không chia hết cho k .) Ví dụ 4: Chứng minh n 3 - 13n (n > 1) chia hết cho 6. (Trích đề thi HSG cấp II toàn quốc năm 1970). Gv diễn đạt đề thành lời. Giải : n 3 - 13n = n 3 - n - 12n = n(n 2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 ; 12n 6 . Do đó A(n) 6 Ví dụ 5: Chứng minh n 2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 , với mọi số n lẻ. Giải : Với n = 2k +1 ta có: A(n) = n 2 + 4n + 5 = (2k + 1) 2 + 4(2k + 1) + 5 = 4k 2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 5 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2. A(n) bằng tổng của ba hạng tử, trong đó hai hạng tử đầu đều chia hết cho 8 , duy chỉ có hạng tử 2 không chia hết cho 8. Vậy A(n) không chia hết cho 8. Cách 4: Viết A(n) được dưới dạng: A(n) = k.B(n) thì A(n) chia hết cho k. Hệ quả: Nếu A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) đều không chia hết cho k thì A(n) không chia hết cho k Ví dụ 6: Chứng minh : 2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 60 chia hết cho 15. Giải: Ta có: 2 + 2 2 +2 3 + . + 2 60 = (2 + 2 2 + . + 2 4 ) + (2 5 + . + 2 8 ) + . + (2 57 + .+ 2 60 ) = 2(1 + 2 + 4 + 8) + 2 5 (1 + 2 + 4 + 8) + . + 2 57 (1 + 2 + 4 + 8) = 15.(2 + 2 5 + . + 2 57 ) 15. IV. Một số phương pháp đặc biệt để giải toán chia hết: Cách 5: Dùng nguyên tắc Dirichlet: Nguyên tắc Dirichlet phát biểu dưới dạng hình ảnh như sau: Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng mà k> m thì phải nhốt ít nhất hai chú thỏ vào chung một chuồng. Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong m + 1 số nguyên bất kì thế nào cũng có hai số có hiệu chia hết cho m. Giải: Chia một số nguyên bất kì cho m ta được số dư là một trong m số 0; 1 ; 2; 3; .; m - 1. Theo nguyên tắc Dirichlet, chia m + 1số cho m thì phải có ít nhất hai số có cùng số dư . Do đó hiệu của hai số này sẽ chia hết cho m. Cách 6: Dùng phương pháp qui nạp toán học: Để chứng minh A(n) k ta làm theo trình tự sau: Thử với n = 1 hoặc 2(Tức số n nhỏ nhất chọn ra).Nếu sai => Dừng.Nếu đúng A(1) k.Tiếp tục: Giả sử A(k) k. Chứng tỏ A(k + 1) k. Nếu đúng => Kết luận : A(n) k Ví dụ 8: Chứng minh : 16 n - 15n - 1 chia hết cho 225. Nguyễn Hoàng Hoa 3 Giáo án bồidưỡng hs giỏi 9 Đặt A(n) = 16 n - 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 225 => A(1) đúng. Giả sử A(k) đúng : A(k) = 16 k - 15k -1 225. Ta chứng minh A(k + 1) đúng, tức là c/m: 16 k + 1 - 15(k + 1) - 1 225. Thật vậy, 16 k+1 - 15(k + 1) - 1 = 16. 16 k - 15k - 15 - 1 = (15 + 1) 16 k - 15k - 15 - 1 = 15.16 k + 16 k - 15k -15 - 1 = (16 k - 15k - 1) + 15(16 k - 1) = (16 k - 15k - 1) + 15(16 - 1) (16 k-1 + . +1) = (16 k - 15k - 1) + 225(16 k-1 + . + 1) 225 Cách 9: Phương pháp phản chứng: Để chứng minh A(n) k ta chứng minh A(n) không chia hết cho k là sai. 10. Định lí Fecma: (Học sau) B. PHẦN BÀI TẬP: Chứng minh: 1. a) 19 2007 - 19 2006 chia hết cho 9. b) 9 2n + 14 chia hết cho 5. c) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho5. 2. Tích của một số chính phương và một số tự nhiên đứng liền trước nó là một số chia hết cho 12. 3. (n 2 - 1)n 2 (n 2 + 1) chia hết cho 60 4. a) n 2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 b) n 2 + 3n +5 không chia hết cho 11 5. a) n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 24. b) n 4 - 4n 3 - 4n 2 - 16n (chẵn, n > 4) chia hết cho 384. 6. 4 n + 15n - 1 chia hết cho 9. 7. n 2 + 4n + 3 (n lẻ) chia hết cho 8. 8. n 3 + 3n 2 - n - 3 chia hết cho 48. 9) 3 6n -2 6n chia hết cho 35 10) ab(a 2 + b 2 )(a 2 - b 2 ) chia hết cho 30 với mọi số nguyên a,b. 11) a) (6 2n + 19 n - 2 n+1 ) chia hết cho17. b) (7.5 2n + 12.6 n ) chia hết cho 19. c) (5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 ) chia hết cho 59. 12) a)a 2 + b 2 chia hết cho 7 thì a và b cũng chia hết cho 7. b) a 2 + b 2 chia hết cho 3 thì a và b cũng chia hết cho 3 Bài 2: ĐỒNG DƯ THỨC . A. Tóm tắt lý thuyết: I. Định nghĩa: Nguyễn Hoàng Hoa 4 Giáo án bồidưỡng hs giỏi 9 1.Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0.Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho m có cùng số dư thì ta nói rằng a đồng dư với b theo môđun m và viết: a ≡ b (modm). 2. Ví dụ: 3 ≡ 5 (mod2) 14 ≡ 0 (mod 7) . II. Tính chất : 1. Nếu a ≡ b (mod m) thì a - b m 2. Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m) 3. Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a ± c ≡ b ± d (mod m) 4. Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì ac ≡ bd (mod m) 5. Nếu a ≡ b (mod m) thì a n ≡ b n (mod m) 6. Nếu a ≡ b (mod m) thì ka ≡ kb (mod m) với k > 0 7. Nếu ka ≡ kb (mod km) thì a ≡ b (mod m) với k > 0 8. Nếu ka ≡ kb (mod m) và (k , m) = 1thì a ≡ b (mod m) . 9. Định lí Fermat: Nếu p là số nguyên tố thì : n p ≡ n (mod p) ; n ∈ Z Hoặc : Nếu p là số nguyên tố thì : n p-1 ≡ 1 (mod p), với (n,p) = 1 10.Định lí Euler : Cho m là một số nguyên dương bất kì và (m) là số các số dương nhỏ hơn m và nguyên tố với m. Thế thì : n (m) ≡ 1 (mod m) * Cách tính (m) : phân tích m ra thừa số nguyên tố : m = a 1 α . a 2 β . a n λ . Thế thì : (m) = m − − − n aaa 1 1 . 1 1 1 1 21 III. Bài tập ứng dụng: Bài 1: Chứng minh 2 100 - 1 chia hết cho 5 Giải : Ta có 2 4 ≡ 1 (mod 5) => (2 4 ) 25 ≡ 1 25 (mod 5). => 2 100 ≡ 1 (mod 5) hay 2 100 - 1 5 Bài 2: Tìm số dư của phép chia 2 99 cho 3. Giải : Có 2 3 ≡ -1 (mod 3) (2 3 ) 33 ≡ (-1) 33 (mod 3) 2 99 ≡ -1 (mod 3) . Vậy 2 99 chia 3 dư 2. Bài 3 : Tìm chữ số cuối cùng của 2 999 Bài 4: Chứng minh 2 2008 không chia hết cho 10. Bài 5: Chứng minh rằng trong các số tự nhiên thế nào cũng có số k sao cho 1983 k - 1 chia hết cho 10 5 . Giải: Cách 1: Áp dụng nguyên tắc Dirichlet: Nguyễn Hoàng Hoa 5 Giáo án bồidưỡng hs giỏi 9 Cho k lần lượt lấy 10 5 + 1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi, ta được 10 5 + 1 giá trị khác nhau của 1983 k - 1. Chia 10 5 +1 số này cho 10 5 , ta có nhiều nhất là 10 5 số dư, do đó theo nguyên tắc Dirichlet, phải có hai số cho cùng số dư khi chia cho 10 5 . Giả sử đó là hai số 1983 m -1 và 1983 n - 1 (m > n). Thế thì hiệu của hai số này phải chia hết cho 10 5 : (1983 m - 1) - (1983 n -1) = 1983 m - 1983 n = 1983 n (1983 m-n -1) 10 5 . Do 1983 không chia hết cho 10 5 => 1983 n cũng không chia hết cho 10 5 . Vì vậy 10 m-n - 1 chia hết cho 10 5 . Như vậy tìm được số k = m-n sao cho 1983 k - 1 chia hết cho 10 5 . Cách 2: Áp dụng định lí Euler: Vì 1983 không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5 , còn 10 5 = 2 5 5 5 nên (1983, 10 5 ) = 1 . Áp dụng định lí Euler: 1983 (10 5 ) ≡ 1 (mod 10 5 ) Mà (10 5 ) = 10 5 (1 - 2 1 ) (1 - 5 1 ) = 4. 10 4 . Nên ta có 1983 4.10 4 ≡ 1 (mod 10 5 ). số 4.10 4 là số k phải tìm. Đề bài áp dụng: 1. Tìm số dư khi : a) chia 8! Cho 11 b) chia 1532 5 -1 cho 9 c) chia 3 40 cho 83. d) chia 2 1000 cho 25 e) chia 3012 93 cho 13 2. Chứng minh rằng : a) 2 4n - 1 15 b) 2 70 + 3 70 13 c) 12 2n+1 - 11 n+2 133 d) 2222 5555 + 5555 2222 7 e) 1 4k + 2 4k + 3 4k + 4 4k không chia hết cho 5 Nguyễn Hoàng Hoa 6 . chia 2 99 cho 3. Giải : Có 2 3 ≡ -1 (mod 3) (2 3 ) 33 ≡ (-1) 33 (mod 3) 2 99 ≡ -1 (mod 3) . Vậy 2 99 chia 3 dư 2. Bài 3 : Tìm chữ số cuối cùng của 2 99 9 Bài. số 198 3 m -1 và 198 3 n - 1 (m > n). Thế thì hiệu của hai số này phải chia hết cho 10 5 : ( 198 3 m - 1) - ( 198 3 n -1) = 198 3 m - 198 3 n = 198 3 n ( 198 3