Phép đối xứng và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Thị Quỳnh Mai PHÉP ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Thị Quỳnh Mai PHÉP ĐỐI XỨNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học Mã số: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy, cô giáo tổ Hình học, thầy, cô giáo khoa Toán, thầy, cô giáo trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tận tình giúp đỡ em suốt trình hoàn thành khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế, cố gắng chắn không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận em hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trần Thị Quỳnh Mai Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lời cam đoan Khóa luận kết thân em qua trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm tạo điều kiện thầy, cô giáo khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận trung thực, kết em giúp đỡ thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Trần Thị Quỳnh Mai i Mục lục Lời mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phép biến hình 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ 1.1.3 Sự xác định 1.2 Phép biến hình afin 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Định lý 1.3 Phép biến hình đẳng cự 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Tính chất 1.3.3 Định lý PHÉP ĐỐI XỨNG TRONG En 2.1 Phép đối xứng tâm 9 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tính chất ii Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 Phép đối xứng qua đường thẳng 12 2.2.1 Định nghĩa 12 2.2.2 Tính chất 13 2.3 Phép đối xứng qua siêu phẳng 14 2.3.1 Định nghĩa 14 2.3.2 Tính chất 15 SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 17 3.1 Phép đối xứng toán chứng minh 17 3.1.1 Bài toán chứng minh 17 3.1.2 Sử dụng phép đối xứng toán chứng minh 17 3.1.3 Khai thác toán chứng minh nhờ phép đối xứng 18 3.1.4 Một số ví dụ 18 3.2 Phép đối xứng toán tính toán 25 3.2.1 Bài toán tính toán 25 3.2.2 Sử dụng phép đối xứng toán tính toán 25 3.2.3 Một số ví dụ 25 3.3 Phép đối xứng toán dựng hình 32 3.3.1 Bài toán dựng hình 32 3.3.2 Sử dụng phép đối xứng giải toán dựng hình 34 3.3.3 Khai thác toán dựng hình nhờ phép đối xứng 34 3.3.4 Một số ví dụ 35 3.4 Phép đối xứng toán quỹ tích 43 3.4.1 Bài toán quỹ tích 43 3.4.2 Sử dụng phép đối xứng để giải toán quỹ tích 44 iii Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4.3 Sáng tạo toán tìm quỹ tích nhờ phép đối xứng 44 3.4.4 Một số ví dụ 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 iv Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học môn học khó học sinh tính chặt chẽ, logic tính trừu tượng hình học, đặc biệt phép biến hình Vấn đề học sinh tiếp xúc tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng túng bỡ ngỡ Nhưng phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học công cụ hữu ích để giải toán hình học Phép đối xứng phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải toán dựng hình, chứng minh, tính toán, quĩ tích Để làm rõ vấn đề nêu trên, em xin trình bày khóa luận số kiến thức phép đối xứng ứng dụng giải toán hình học với đề tài: " Phép đối xứng ứng dụng" Vì thời gian có hạn nên em xin trình bày kiến thức phép đối xứng tâm, phép đối xứng qua đường thẳng phép đối xứng qua siêu phẳng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phép biến hình, đặc biệt phép đối xứng Làm rõ tính ưu việt phép đối xứng giải toán hình học Đối tượng nghiên cứu Phép đối xứng Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết phép đối xứng Đề xuất phương pháp vận dụng phép đối xứng để giải số toán hình học Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Xây dựng hệ thống tập ví dụ minh họa Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu có liên quan đến phép đối xứng Nghiên cứu, sử dụng lí luận, công cụ toán học, tài liệu tham khảo Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần: Mở đầu Nội dung gồm chương: Chương 1.Kiến thức chuẩn bị Chương 2.Phép đối xứng En Chương 3.Sử dụng phép đối xứng giải toán hình học Kết luận Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cho chương sau, kiến thức chủ yếu lấy từ tài liệu tham khảo 1.1 1.1.1 Phép biến hình Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Mỗi song ánh f : En → En gọi phép biến hình không gian En Như cho phép biến hình f : En → En cho quy tắc để với M thuộc En ta tìm điểm M = f (M) hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây: - Nếu M, N hai điểm En f (M), f (N ) hai điểm phân biệt En - Với điểm M thuộc En có điểm M thuộc En cho f (M) = M Điểm f (M) gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M gọi tạo ảnh điểm f (M) qua phép biến hình f nói Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học ABC có chu vi nhỏ B ≡ C ≡ O Tức ABC suy biến thành đoạn OA Do toán nghiệm hình Ví dụ 3.3.2 Cho góc xOy hai điểm A, B nằm góc Hãy xác định điểm C nằm Ox điểm D nằm Oy cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài giải + Phân tích: Giả sử tìm điểm C nằm Ox, điểm D nằm Oy cho tứ giác ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm đoạn AB Xét phép đối xứng tâm I: DI :C → D O→O Ox → O x + Cách dựng: Dựng O = DI (O) Dựng O x Ox = C DI ∩ Ox = C Tứ giác ABCD hình bình hành cần dựng + Chứng minh: Ta có O x ảnh Ox qua phép đối xứng tâm I Suy I trung điểm CD I trung điểm AB nên tứ giác ABCD hình bình hành + Biện luận: 37 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hình 3.9: Nếu A, B, D thẳng hàng toán vô nghiệm Nếu A, B, D không thẳng hàng toán có nghiệm hình Ví dụ 3.3.3 Cho hai nửa đường thẳng OA, OB phía mặt phẳng (P ) O thuộc mặt phẳng (P ) Hãy tìm (P ) đường thẳng tạo với OA, OB góc có tổng số đo nhỏ Bài giải + Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng d thỏa mãn đề Không giảm tổng quát, ta giả sử O ∈ d ( O ∈ / d thỏa mãn yêu cầu toán đường thẳng d d, O ∈ d thỏa mãn toán) Xét phép đối xứng qua mặt phẳng (P ): D(P ) : B → B Gọi D ∈ d, D = O Vì d ⊂ (P ) ⇒ d = DP (d) ⇒ DOB = DOB Ta có: AOD + DOB = AOD + DOB ≥ AOB (tính chất góc tam diện) Dấu "=" xảy d ⊂ mp(AOB ) + Cách dựng: 38 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Dựng B = DP (B), D = AB ∩ (P ) Hình 3.10: Đường thẳng qua O, d đường thẳng cần dựng + Chứng minh: Vì OD = (P ) ∩ (AOB ) nên AOD + DOB = AOD + DOB = AOB với d đường thẳng thuộc (P ), d = d , d qua O ⇒ BOd = B Od ⇒ AOd + d OB = AOd + d OB > AOB Vậy AOB góc nhỏ + Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Ví dụ 3.3.4 Cho hai vòng tròn (O) (O ) nằm phía đường thẳng P Q Tìm M P Q để tiếp tuyến M với (O) (O ) Mt, Mt cho P Mt = QMt Bài giải + Phân tích: 39 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Giả sử ta dựng M thỏa mãn yêu cầu toán Gọi O = DP Q(O), Mt = DP Q (Mt) ⇒ P Mt = P Mt Mà P Mt = QMt ⇒ P Mt = QMt , M ∈ P Q ⇒ t t tiếp tuyến chung (O ) (O ) + Cách dựng: Hình 3.11: - Dựng (O ) = DP Q (O) - Dựng tiếp tuyến chung t t (O ) (O ), t t ∩ P Q = M ⇒ M điểm cần dựng + Chứng minh: Theo cách dựng ta có: (O) (O ) đối xứng qua P Q Mt Mt tiếp tuyến (O) (O ) cho hai tiếp tuyến đối xứng qua P Q Gọi Mt ∩ (O ) = A , A = DP Q (A ) Vẽ Mt tiếp tuyến (O) qua A, tiếp xúc với (O) A ⇒ t MP = P Mt ( tính chất đối xứng trục) 40 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học P Mt = t MQ (giả thiết) ⇒ P Mt = QMt + Biện luận: Vì (O) (O ) nằm phía P Q ⇒ (O) (O ) nằm hai phía P Q Suy có tiếp tuyến chung suy có nghiệm hình Đặc biệt: (O) (O ) đối xứng suy toán có nghiệm hình Ví dụ 3.3.5 Trong mặt phẳng ABCDE cho điểm M, N, P, Q, R Hãy dựng ngũ giác nhận điểm trung điểm cạnh liên tiếp Bài giải + Phân tích: Giả sử dựng ngũ giác ABCDE có M, N, P, Q, R trung điểm AB, BC, CD, DE, EA Gọi DM , DN , DP , DQ.DR phép đối xứng qua tâm M, N, P, Q, R Ta có: A = DR DQ DP DN.DM(A) −→ T −−→ (A) = DR T2− P Q 2.M N −→ −−→ (A) = DR T2− P Q+2.M N −→ −−→ (A) = E Lại có: DR (E) = A ⇒ T2(− P Q+M N) −→ −→ −−→ AE = 2(P Q + MN ) −→ −→ −→ −→ −→ −−→ Mà AE = 2AR ⇒ AR = AE = P Q + MN Suy điểm A hoàn toàn xác định P, Q, M, N, R cho trước + Cách dựng: −−→ −→ → - Dựng − a = MN + P Q 41 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hình 3.12: −→ − - Dựng A cho AR = → a - Lấy B = DM (A), C = DN (B), D = DP (C), E = DP (D) Suy ABCDE ngũ giác cần dựng + Chứng minh: Theo cách dựng ta có: M, N, P, Q trung điểm AB, BC, DE Ta cần chứng minh : A = DR (E) Thật vậy, ta có: −→ −→ −− → AE = AC + CE −−→ −→ −→ = 2(MN + P Q) = 2AR −→ −→ ⇒ RA = −RE + Biện luận: −−→ −→ - Nếu MN + P Q = toán có nghiệm hình −−→ −→ - Nếu MN + P Q = 0(A ≡ R) toán vô nghiệm 42 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4 Phép đối xứng toán quỹ tích 3.4.1 Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích: toán tìm tập hợp điểm (hay hình) có chung tính chất α cho trước Giải toán quỹ tích: ta chứng minh liên tiếp số mệnh đề toán học khác với toán chứng minh đơn thuần, phần lớn toán quỹ tích trước tiên ta phải tìm cần chứng minh, tức quỹ tích cần tìm Chứng minh quỹ tích: Sau tìm hiểu kỹ toán, yếu tố đặc trưng toán, bước đoán nhận quỹ tích giúp ta hình dung hình dạng, vị trí, kích thước quỹ tích đến dự đoán quỹ tích K điểm M có tính chất α hình H Để chứng minh mệnh đề ta thường chứng minh hai phần: + K tập H, nghĩa điểm có tính chất α nằm hình H (đảm bảo tính chất không thiếu quỹ tích): gọi phần thuận + H tập K tức điểm thuộc H có tính chất α (đảm bảo tính chất không thừa quỹ tích): gọi phần ảo Giới hạn quỹ tích: Trong chứng minh phần thuận nhiều toán quỹ tích ta thường tìm hình H’ chứa điểm M có tính chất α Nhưng điều kiện hạn chế khác toán, tập điểm M cần tìm tập thực H H’ Khi ta cần phải tiến hành giới hạn quỹ tích để loại bỏ điểm không thuộc quỹ tích cần tìm từ hình H’ để có hình H 43 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Biện luận quỹ tích: Khi số toán chưa xác định hoàn toàn (bởi vị trí, kích thước toán có tham số ) ta phải biết cách tiến hành biện luận quỹ tích, tức cần phải đề cập đến tất trường hợp xảy toán quỹ tích 3.4.2 Sử dụng phép đối xứng để giải toán quỹ tích Cho hình H phép đối xứng f Tập hợp H = f (H) = {M = f (M)/M ∈ H} gọi ảnh H qua phép đối xứng f Khi M chạy khắp H M chạy khắp H ngược lại ta có H = f −1(H ) = {M/f (M) = M , M ∈ H } Vậy N ảnh M qua phép đối xứng f : N = f (M) thì: M có tính chất α ↔ N có tính chất α (α xác định α f ) Hay quỹ tích điểm N có tính chất α hình H quỹ tích điểm M có tính chất α hình f −1(H ) Vậy dùng phép đối xứng f chuyển toán tìm quỹ tích điểm M có tính chất α thành toán tìm điểm N có tính chất α (N = f (M)) quy định f α cho quỹ tích quỹ tích tìm dễ dàng 3.4.3 Sáng tạo toán tìm quỹ tích nhờ phép đối xứng Xuất phát từ toán (ζ) M hay toán quỹ tích tìm điểm M có tính chất α giải quỹ tích (ζ) phép đối xứng f tích phép đối xứng biến điểm M thành M chuyển tính chất α điểm M thành tính chất α điểm M cho: 44 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học M có tính chất α ↔ M có tính chất α Lúc toán quỹ tích là: " tìm quỹ tích điểm M có tính chất α " mà kết quỹ tích M f (ζ) 3.4.4 Một số ví dụ Dưới số ví dụ áp dụng Ví dụ 3.4.1 Cho góc xOy Tìm tập hợp điểm M không gian cho tia OM hợp với tia Ox, Oy góc Bài giải Kẻ tia Oz tia phân giác xOy Gọi (P ) mặt phẳng đối xứng biến xOM thành yOM Hình 3.13: Khi đó:   (P )⊥(xOy)  Oz⊥(P ) 45 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học với ∀M ∈ (P ) ta có: xOM = yOM Qũy tích điểm M mặt phẳng (P ) Ví dụ 3.4.2 Cho đường tròn đường kính AB cố định C điểm thay đổi đường tròn Trên tia AC lấy điểm D đối xứng với điểm A qua C Vẽ hình bình hành ADBE Tìm quỹ tích điểm E C thay đổi đường tròn Bài giải Gọi O trung điểm đoạn AB Do ADBE hình bình hành nên O trung điểm đoạn DE Hình 3.14: Xét phép đối xứng tâm O: DO : D → E Xét ABD có:   (BC)⊥AD  CA = CD Suy BC vừa đường cao vừa đường trung tuyến tam giác nên 46 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học ABD cân B Do C thay đổi đường tròn (O) quỹ tích điểm D đường tròn (B, AB) trừ điểm A điểm A = DB (A) Vậy quỹ tích điểm E đường tròn ảnh đường tròn (B, AB) phép đối xứng tâm DO , trừ điểm B điểm B = DA (B) (chính đường tròn tâm A, bán kính AB) Ví dụ 3.4.3 Cho hai điểm B, C cố định đường tròn (O) điểm A thay đổi đường tròn Tìm quỹ tích trực tâm H ABC Bài giải + Gọi H = DBC (H) ⇒ H ∈ (O) Vậy DBC :H → H (O) → (O ) ⇒ H ∈ (O ) = D(BC) (O) + Khi A ≡ B A ≡ C ABC không tồn Trường hợp A ≡ B H ≡ C , CC đường kính (O ) Thật A ≡ B AB tiếp tuyến (O) B Suy OB⊥AB mà OB O C (do tứ giác BOCO hình thoi) Suy AB⊥O C hay AB⊥CC (1) Do B nằm đường tròn (O ) đường kính CC nên BC ⊥ BC (2) Từ (1), (2) suy C trực tâm ABC Tương tự A ≡ C H ≡ B (BB đường kính (O)) Vậy quỹ tích điểm H đường tròn (O ) bỏ hai điểm B , C với BB , CC đường kính (O ) (O ) ảnh (O) qua 47 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hình 3.15: DBC Ví dụ 3.4.4 Cho hai mặt phẳng (P ) (Q) cắt Với điểm M không gian ta gọi M1 điểm đối xứng với M qua (P) M2 điểm đối xứng với M1 qua (Q) M3 điểm đối xứng với M2 qua (P ) Bài giải Ta có D(P ) : M → M1 ( MM1 ⊥ (P ) I) DQ : M1 → M ( M1 M2 ⊥ (Q) J) DP : M2 → M3 ( M2 M3 ⊥ (P ) K) Ta thấy D(P ) : M1 → M2 M2 → M3 Suy D(P ) : M1 M2 → M2 M3 48 Trần Thị Quỳnh Mai Khóa luận tốt nghiệp Đại học hay trung điểm J M1 M2 biến thành J trung điểm MM3 J ∈ (Q) nên J ∈ (Q) Vậy quỹ tích trung điểm MM3 ảnh mặt phẳng (Q) qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) 49 Kết luận Khi nghiên cứu toán học nói chung hình học nói riêng, sâu tìm hiểu ta thấy hút, hấp dẫn Việc lựa chọn vận dụng công cụ thích hợp cho loại toán hình học khác việc làm cần thiết giúp tiết kiệm thời gian công sức để giải toán cách hiệu Nhằm góp phần đạt mục tiêu đó, khóa luận đưa hệ thống lý thuyết, ví dụ minh họa cho việc ứng dụng phép đối xứng, bước đầu thể ưu điểm việc vận dụng phép đối xứng việc giải lớp toán hình học Như đề tài "Phép đối xứng ứng dụng" hoàn thành nội dung đạt mục tiêu nghiên cứu Với vốn kiến thức ỏi khả có hạn thân bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên khóa luận không tránh khỏi sai sót hạn chế Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy giáo cô giáo, đặc biệt PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận 50 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương - Tạ Mân(2003), Hình học afin ơclit, NXB DHGQ Hà Nội [2] Đỗ Thanh Sơn(2006), Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [3] Đỗ Thanh Sơn(2005), Các phép biến hình không gian, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Mộng Hy(1996), Các phép biến hình mặt phẳng,NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Vạn - Bùi Văn Bình(1993), Giáo trình hình học sơ cấp, Trường ĐHSP Hà Nội [6] Bùi Văn Bình(1993), Bài tập hình học sơ cấp, Trường ĐHSP Hà Nội [7] Nguyễn Vĩnh Cận(1996), Các tập phép biến hình, NXB Giáo dục 51 ... điểm O cố định Phép biến hình biến điểm M = O thành điểm M đối xứng với M qua O gọi phép đối xứng tâm O Điểm O gọi tâm phép đối xứng điểm bất động phép đối xứng tâm O Phép đối xứng tâm O ký hiệu... biệt phép đối xứng Làm rõ tính ưu việt phép đối xứng giải toán hình học Đối tượng nghiên cứu Phép đối xứng Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết phép đối xứng Đề xuất phương pháp vận dụng phép. .. " Phép đối xứng ứng dụng" Vì thời gian có hạn nên em xin trình bày kiến thức phép đối xứng tâm, phép đối xứng qua đường thẳng phép đối xứng qua siêu phẳng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu phép