HAM LUONG GIAC PHUONG TRINH LGIAC

Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cầ n nắ m vững - A – Phƣơng tri n ̀ h lƣợng giác bản Bài tập áp dụng - Hướng dẫn giải bài tâ ̣p áp dụng Bài tập rèn luyện 29 B – Phƣơng tri n ̀ h bâ ̣c hai và bâ ̣c cao đố i v ới một hàm lƣợng giác - 32 Bài tập áp dụng - 33 Hướng dẫn giải bài tâ ̣p áp dụng 35 Bài tập rèn luyện 56 C – Phƣơng tri n ̀ h bâ ̣c nhấ t theo sin và cos - 59 Bài tập áp dụng - 59 Hướng dẫn giải bài tâ ̣p áp dụng 62 Bài tập rèn luyện 81 D – Phƣơng tri n ̀ h lƣợng giác đẳ ng cấ p - 84 Bài tập áp dụng - 85 Hướng dẫn giải bài tâ ̣p áp dụng 87 Bài tập rèn luyện 92 E – Phƣơng tri n ̀ h lƣợng giác đố i xƣ́ng 93 Bài tập áp dụng - 94 Bài tập rèn luyện 96 F – Phƣơng tri n ṭ đố i 97 ̣ ̀ h lƣợng giác chƣ́a thƣ́c và tri tuyê Bài tập áp dụng - 97 Bài tập rèn luyện 99 G – Phƣơng tri n ̀ h lƣợng giác không mẫu mƣ̣c 101 Bài tập áp dụng - 102 Bài tập rèn luyê ̣n 104 H – Phƣơng tri n ̀ h lƣợng giác chƣ́a tham số – Hai phƣơng tri n ̀ h tƣơng đƣơng 106 Bài tập áp dụng - 106 Bài tập rèn luyện 112 I – Hê ̣phƣơng tri n ̀ h lƣợng giác 116 Bài tập áp dụng - 117 J – Hê ̣thƣ́c lƣợng tam giác – Nhâ ̣n da ̣ng tam giác 121 Bài tập áp dụng - 122 Bài tập rèn luyện 125 " Cầ n cù bù thông minh…………" Page - - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao) CÁC CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC NẮM VỮNG   Công thƣ́c bản ● sin2 x  cos2 x  ● cot x  ● tan x.cot x  cos x sin x ●  tan2 x  cos2 x ● tan x  sin x cos x ●  cot2 x  sin2 x  Công thƣ́c cung nhân đôi – Công thƣ́c ̣ bâ ̣c – Công thƣ́c cung nhân ba cos2 x  sin2 x ● cos 2x   2 2 cos x    sin x  cos2x ● cos2 x  ● cos 3x  cos3 x  cos x ● sin2x  2sin x.cos x  cos2x ● sin 3x  sin x  sin3 x ● sin2 x   Công thƣ́c cô ̣ng cung ● sin a  b  sin a.cos b  cos a.sin b ● cos a  b  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b  tan a.tan b π   tan x ● tan   x     tan x ● tan a  b  tan a  tan b  tan a.tan b π   tan x ● tan   x     tan x ● tan a  b   Công thƣ́c biế n đổ i tổ ng thành tích ab a b cos 2 ab a b cos ● sin a  sin b  sin 2 sin a  b ● tan a  tan b  cos a.cos b ab a b sin 2 ab a b sin ● sin a  sin b  cos 2 sin a  b ● tan a  tan b  cos a.cos b ● cos a  cos b  cos ● cos a  cos b  2 sin  Công thƣ́c biế n đổ i tích thành tổ ng ● cos a.cos b  ● sin a.sin b  cos a  b  cos a  b ● sin a.cos b  cos a  b  cos a  b sin a  b  sin a  b 2  Mô ̣t số công thƣ́c thông du ̣ng khác     π π π π ● sin x  cos x  sin x    cos x   ● sin x  cos x  sin x    cos x     4 ● cos x  sin x   sin 2x  Page - -    cos 4x  4  6 ● cos x  sin x   sin 2x     cos 4x " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn Để giải được phương trình lượng giác cũng các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác"  Mô ̣t số lƣu ý: sin x     Điề u kiê ̣n có nghiê ̣m của phương trình cos x   là: 1      Khi giải phương triǹ h có chứa các hàm số tan hoă ̣c cot , có mẫu số hoặc bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định   Phương trình chứa tan x , điề u kiê ̣n : cos x   x   k  k    Phương trình ch ứa cot x , điề u kiê ̣n : sin x   x  k  k    Phương triǹ h chứa cả tan x cot x , điề u kiê ̣n : x  k  k    Khi tìm được nghiê ̣m phải kiể m tra (so) với điề u kiê ̣ n Ta thường dùng mô ̣t các cách sau để kiể m tra điề u kiê ̣n :  Kiể m tra trưc̣ tiế p bằ ng cách thay giá tri ̣của x vào biểu thức điều kiện Nế u thế vào , giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiê ̣m , nế u sai thì loa ̣i nghiê ̣m  Dùng đường tròn lượng giác , nghĩa biểu diễn các ngọn cung của điều kiện cung của nghiệm Nế u các ngo ̣n cung này trùng thì ta loa ̣i nghiê ̣m , nế u không trùng thì ta nhâ ̣n nghiê ̣m  có Cách biể u diễn cung – góc lượng giác đường tròn : " Nế u cung hoă ̣c góc lượng giác AM k2  k.3600   với k  , n   thì có n điể m M đường tròn số đo là   hay a  n  n  lượng giác cách đề u "    k2 thì có một điểm M tại vị trí (ta cho ̣n k  ) 3  7   Ví dụ 2: Nế u sđ AM   k thì có điể m M tại vị trí (ta cho ̣n k  0, k  ) 6 2  11 19   Ví dụ 3: Nế u sđ AM   k thì có điể m M tại các vị trí ; , k  0;1;2 4 12 12   k2  3 5 7   Ví dụ 4: Nế u sđ AM   k   thì có điể m M tại các vị trí , , ; 4 4 4 (ứng với các vị trí k  0,1,2, )  Ví dụ 1: Nế u sđ AM  Ví dụ 5: Tổ ng hợp hai cung x   Biể u diễn cung x   Biể u diễn cung x  " Cầ n cù bù thông minh…………"    k x   k   5  k đường tròn thì có điể m ta ̣i các vi ̣trí :  6   k đường tròn thì có Page - - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao)  4 3 /3 Tổ ng hợp hai cung gồ m điể m hiǹ h vẽ và 5/6   cung tổ ng hợp là : x   k O   1 cos x  cos x   –/6    ta không nên giải  Đối với phương trình  sin2 x  sin x   4/3   2   trưc̣ tiế p vì đó có tới nghiê ̣m , kế t hợp và so sánh với điề u kiê ̣n rấ t phức ta ̣p , ta nên ̣ bâ ̣c là tố i ưu nhấ t Nghĩa :   cos x  2 cos2 x   cos 2x         cos 2x  Tương tư ̣ đố i với phương trình sin x    sin2 x      sin2 x  sin x  1    cos2 x  cos x  1 ta không nên giải thế , mà nên biế n đổ i dưạ vào công thức    sin2 x  cos2 x  cos x  2      sin x  cos x  Lúc đó :   cos x  sin x  sin x   Sử dụng thành tha ̣o câu thầ n chú : '' Cos đố i – Sin bù – Phụ chéo '' điể m ta ̣i các vi ̣trí :  Đây có thể xem là câu thầ n chú ''đơn giản , dễ nhớ '' lượng giác nó lại đóng vai trò mô ̣t những nhân tố cầ n thiế t , hiê ̣u quả nhấ t giải phương triǹ h lượng giác , tức là cos    cos  , còn các cung  Cos đố i, nghĩa cos của hai góc đối thì bằng góc lượng gi ác còn lại thì bằng '' – '' chính nó : sin     sin , tan     tan , cot     tan   Sin bù , nghĩa sin của hai góc bù thì bằng góc lượng giác còn lại thì bằng , tức là sin      sin  , còn các cung '' – '' chính nó : cos       cos , tan       tan , cot       tan   Phụ chéo , nghĩa với hai góc phụ (có tổng bằng 900) thì sin góc bằng cos góc ngược la ̣i , tức là :            cot ,cot  sin    cos , cos   sin  , tan    tan           Ta haỹ thử đế n với ví dụ nhỏ sau để thấ y được hiê ̣u quả của '' câu thầ n chú '' này: Giải phương trình lượng giác : sinu  cos v Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác bản , ta chỉ biế t cách giải cho phương trình sin u  sin v , vâ ̣y còn phương triǹ h sin u  cos v thì ?   Câu trả lời ở chính là phụ chéo , bởi: sinu cosv sinu  sin  v    u    v  k2  u   v  k2 , k   2 Qua ví dụ này , chắ c hẳ n nế u bài gă ̣p những phương triǹ h da ̣ng Page - -  2  sin x  cos   x   " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn thì các bạ n ho ̣c sinh sẽ không còn cảm thấ y lúng túng nữa  Mô ̣t số cung góc hay dùng khác :   sin x    k2   sin x   sin x  k2  sin x       cos x  k2  cos x cos x    k2   cos x        k    A – PHƢƠNG TRÌ NH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN  u  v  k2  Dạng: sin u  sin v    u    v  k2  u  v  k2  Dạng: cos u  cos v   u  v  k2 tan u  tan v  u  v  k  Dạng:  Ðk : u, v   k  Dạng: cot u  cot v  u  v  k Ðk : u, v  k    sinx 0 x k       Đặc biệt :  sinx 1 x  k2        sinx  1 x    k2         cosx 0 x  k     Đặc biệt :  cosx 1 x k2    cosx  1 x    k2         tan x   x  k   Đặc biệt :    tan x  1  x    k        cot x   x   k   Đặc biệt :     cot x  1  x    k     BÀI TẬP ÁP DỤNG , Bài    x 0;14   Giải phương trình : 2 cos x  12 sin x  cos x   sin 2x  sin x  Bài Giải phương trình : cos 3x  cos2x  cos x   Bài Giải phương trình : sin x  cos x   sin 2x  cos2x  Bài Giải phương trình : sin x 1  cos2x  sin 2x   cos x Bài Giải phương trình : Bài Bài Giải phương trình : cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0     7   sin   x     3  sin x         Giải phương trình : sin4 x  cos4 x  cot x   cot   x      sin x " Cầ n cù bù thông minh…………"  Page - - Ths Lê Văn Đoàn Bài Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao) sin4 2x  cos4 2x Giải phương trình :  cos4 4x     tan   x tan   x       3 x   3x  Giải phương trình : sin     sin    1  10  2  10     Bài 10 Giải phương trình : sin 3x    sin 2x sin x   1     Bài   Bài 11 cos3 x    cos 3x   1   sin3 x    sin x 1     Bài 13 Giải phương trình : sin3 x    sin x 1   Bài 12 Giải phương trình :  Bài 14 Giải phương trình : cos x  cos2x  cos 3x  cos 4x  2 2 Bài 16 Giải phương trình : sin x  sin 2x  sin 3x  Bài 15 Giải phương trình : sin2 x  sin2 2x  sin2 3x    Bài 17 Giải phương trình : sin2 x  sin2 3x  cos2 2x  cos2 4x Bài 18 Giải phương trình : sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x     5x  9x Bài 19 Giải phương trình : cos 3x  sin 7x  2sin     cos2   Bài 20 Giải phương trình : sin2 x  cos2 2x  cos2 3x   Bài 21 Giải phương trình : sin2 2x  sin 7x   sin x   Bài 22 Giải phương trình : sin x  sin 2x  sin 3x   cos x  cos2x  Bài 23 Giải phương trình : sin3 x cos 3x  cos3 x sin 3x  sin3 4x Bài 24 Giải phương trình : cos10x  cos2 4x  cos 3x cos x  cos x  cos x cos 3x  Bài 25 Giải phương trình : sin3 x  cos3 x  sin x  sin2 x cos x  Bài 26 Giải phương trì nh: Bài 27 Giải phương trình : 2 sin x  13 cos 4x  sin x  4  cos sin x  cos x  sin x  cos x   6  x  sin x3  x  cos5 x  Bài 30 Giải phương trình : cos4 x  cos2 x sin2 x  sin4 x  Bài 31 Giải phương trình : cos 3x cos3 x  sin 3x sin x  Page - -  cos 2x  Bài 28 Giải phương trình : sin8 x  cos8 x  sin10 x  cos10 x  Bài 29 Giải phương trình : sin3 x  cos3  23    " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn  16 Bài 33 Giải phương trình : sin 3x cos2x   sin x  sin3 x Bài 32 Giải phương trình : cos x cos2x cos 4x cos 8x   Bài 34 Giải phương trình : cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  cos 5x   Bài 35 Giải phương trình : sin 2x  cos x  sin x  0   tan x   sin 2x  cos 2x Bài 36 Giải phương trình :  sin x sin 2x   cot2 x Bài 37 Giải phương trình : tan x  cot x  sin 2x  cos2x   Bài 38 Giải phương trình : tan2 x  tan x tan 3x  Bài 39 Giải phương trình : tan2 x  cot2 x  cot2 2x  11  x  x Bài 40 Giải phương trình : sin2    tan2 x  cos2    Bài 41 Giải phương trình : sin 2x cot x  tan 2x  cos2 x    cot2 x  tan2 x  16 1  cos 4x  Bài 42 Giải phương trình :  cos2x Bài 43 Giải phương trình : tan x  cot2x  sin 2x   sin 2x sin x  tan x   1  cos x   Bài 44 Giải phương trình :  tan x  sin x 1  cos x  1  cos x 1  sin x  Bài 45 Giải phương trình : Bài 46 Giải phương trình : cos 3x tan 5x  sin 7x  tan2 x sin x  1  sin x  tan2 x   1   cot x  sin x sin 2x sin4 x  cos4 x  tan x  cot2x  Bài 48 Giải phương trình :  sin 2x Bài 49 Giải phương trình : tan2 x.cot2 2x.cot 3x  tan2 x  cot2 2x  cot 3x Bài 47 Giải phương trình : sin 2x  sin x   x Bài 50 Giải phương trình : cot x  sin x 1  tan x tan     " Cầ n cù bù thông minh…………"   Page - - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao) HƢỚNG DẪN GIẢI PHƢƠNG TRÌ NH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN  Bài Giải phương trình : cos 3x  cos2x  cos x    , x  0;14 Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002  Lời bin ̀ h : Từ viê ̣c xuấ t hiê ̣n ba cung x,2x, 3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niê ̣m sau : " Trong phương triǹ h lượng giác tồ n ta ̣i ba cung x,2x, 3x , ta nên đưa về cung 2 trung gian 2x nế u biể u thức có chứa sin x (hoă ̣c cos x) Còn không chứa sin 2x (hoă ̣c cos2 x), nên đưa về cung x " Bài giải tham khảo   4 cos    x  cos x  cos2 x   cos x    cos3 x  cos2 x  cos x  N   cos2 x cos x  2     x   k , k   cos x  L    0,5  k  3,9      ; 3 ; 5 ; 7   Do x  0;14 , k      k  14    x      k    2 2    Bài Giải phương trình : 2 cos x  12 sin x  cos x   sin 2x  sin x  Trích đề thi tuyển s inh Đa ̣i ho ̣c khố i D năm 2004 Bài giải tham khảo   2 cos x  12 sin x  cos x  sin x cos x  sin x  2 cos x  12 sin x  cos x   sin x 2 cos x  1   2 cos x  1 2 sin x  cos x   sin x    2 cos x  1sin x  cos x     2 cos x      sin x  cos x       x     k2  cos x  cos   k; l   3     tan x  1  x    l  Bài Giải phương trình : cos 3x  cos2x  cos x    Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006  Lời bin ̀ h : Từ viê ̣c xuấ t hiê ̣n các cung 3x 2x , chúng ta nghĩ đến việc đưa chúng về cùng một cung x bằ ng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos Bài giải tham khảo   cos x  cos x  cos2 x   cos x    cos3 x  cos2 x  cos x      cos2 x 2 cos x  1  2 cos x  1   2 cos x  1 cos2 x   Page - - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn sin x   x  k    2 cos x  1 sin x     k;l   cos x    x   2  l2   Bài Giải phương trình : sin x  cos x   sin 2x  cos2x   Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 Bài giải tham khảo   sin x  cos x  sin x cos x  cos x   sin x  cos x  cos x sin x  cos x    sin x  cos x1  cos x     sin x   cos x  tan x  1  x     k       k; l    cos x   cos x  cos 2 2   l2   x   3  Bài Giải phương trình : sin x 1  cos2x  sin 2x   cos x   Lời bin ̀ h : Từ viê ̣c xuấ t hiê ̣n của cung 2x cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x Trích đềcos thi ,tuyển D năm bằ ng công thức nhân đôi của hàm sin từ đósinh xuấ t Đại hiê ̣n học nhânkhối tử chung ở hai2008 vế   sin x 1  cos  x   sin x cos x   cos x  sin x cos2 x  sin x cos x   cos x  sin x cos x cos x  1  1  cos x     x   2  k2  cos x     cos x  1sin 2x  1    k, l   2     sin 2x   x   l  3 7  x giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung  7  1 khác Bài Giải phương trìnhnày : về cùng  một cung chunglà4 sinx Đểlàm xđược  điề u đó , ta có thể dùng công   thầ3nchu  ́  thức cô ̣ng cungsin hoăx ̣c dùng câu "cos đố i – sin bu  ̀ – phụ chéo '' Ta thưc̣ hiê ̣n hai ý x   sin tưởng đó qua hai cách giải sau  đây2   Lời bin ̀ h : Từ viê ̣c xuấ t hiê ̣n hai cung x Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 " Cầ n cù bù thông minh…………" Page - - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao) Bài giải tham khảo Cách giải Sử dụng công thức cô ̣ng cung : sin a  b  sin a.cos b  cos a.sin b   sin x   7 7   sin cos x  sin x cos   4  3 3  sin cos x 2   1      sin x  cos x   sin x cos x   sin x  cos x   2 sin x  cos x  sin x cos x sin x cos Điề u kiê ̣n : sinxcosx  sin2x     sin x  cos x  2 sin x cos x sin x  cos x    sin x  cos x  sin 2x    x     k   tan x  1  sin x  cos x          x    l k, l, m    sin 2x   1  sin 2x     5   m x   Cách giải Sử dụng "cos đố i – sin bù – phụ chéo ''         x  3   sin 2    x  cos x  sin            Ta có :    7          x  sin 2  x      sin x      sin x  cos x  sin               4   1   sin x  cos x   sin x  cos x Giải tương tự các h giải   Bài Giải phương trình : sin4 x  cos4 x      cot x   cot   x      Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp HCM năm 1999      x  giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo '' , thâ ̣t vâ ̣y :                 x   1 cot x  cot  x   cot x  cot    x  cot x  tan             3 4 Công viê ̣c còn la ̣i của chúng ta là dùng công thức : sin x  cos x 1  sin 2x Nế u cos không có nhâ ̣n xét này , mà ta tiến hành biến đổi tan cot  , rồ i qui đồ ng thì bài toán sin  Lời bin ̀ h : Từ tổ ng hai cung x  trở nên rấ t phức ta ̣p , chưa tiń h đế n viê ̣c đố i chiế u nghiê ̣m với điề u kiê ̣n Bài giải tham khảo Page - 10 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao)     sin x  sin 2y   Bài 413 Giải hệ phương trình :    cos x  cos 2y          tan x  tan y   Bài 414 Giải hệ phương trình :      cot x  cot y      Bài 415 Giải hệ phương trình : Bài 416 Giải hệ phương trình : Bài 417 Giải hệ phương trình : Bài 418 Giải hệ phương trình : Bài 419 Giải hệ phương trình : Bài 420 Giải hệ phương trình : Bài 421 Giải hệ phương trình : Bài 422 Giải hệ phương trình : Bài 423 Giải hệ phương trình : Bài 424 Giải hệ phương trình : " Cầ n cù bù thông minh…………" Ths Lê Văn Đoàn 1 2    sin x  cos y  sin y  cos y     sin 2x   sin 2y       cos x   cos y     sin x  sin y      sin x  cos y    sin y  cos x      tan x  sin y  sin 2x   sin y cos x  y  sin x    sin x  sin 2y   x  0;  , y    ;      4     cos x  cos y      sin x .cos y     3 tan x  tan y        0xy2        cos x  cos 2y  x  2y 1   tan x  tan y 2       tan x  cot x  sin y           tan y  cot y  sin x        sin x  sin y  sin x  y   x  y 1       sin x cos y sin x  y      x  y  z   1 2 Page - 119 - Ths Lê Văn Đoàn Bài 425 Giải hệ phương trình : Bài 426 Giải hệ phương trình : Bài 427 Giải hệ phương trình : Bài 428 Giải hệ phương trình : Bài 429 Giải hệ phương trình : Bài 430 Giải hệ phương trình : Bài 431 Giải hệ phương trình : Bài 432 Giải hệ phương trình : Bài 433 Giải hệ phương trình : Bài 434 Giải hệ phương trình : Bài 435 Giải hệ phương trình : Bài 436 Giải hệ phương trình : Bài 437 Giải hệ phương trình : Page - 120 - Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao)   xy xy   cos 2 sin x  sin x cos 2y  cos  2   cos x  cos y  sin2 2y       cot x  cot y  x  y   5x  8y  2     x, y        cos x  y  cos x  y     cos x cos y         3   tan x  cot x  sin y             tan y  cot y  sin x            sin x xy  e    sin y   10 x   y      5   ;   x, y          sin x  sin y    sin x  sin2 y       tan x  tan y  tan x tan y    sin 2y   cos 4x      sin x sin y        cos x cos y        sin x  cos x cos y   cos x  sin x sin y     sin x cos y   3 tan x  tan y  tan x  tan y    tan x  tan y   2 2   tg x  tg y    tgx.cot gy  tgy.cot gx  6      sin x.cos y      sin2 x  cos 2y        " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 438 Bài 439 Bài 440 Bài 441 Bài 442 Bài 443 Bài 444 Bài 445 Bài 446 Bài 447 Bài 448 Bài 449 Ths Lê Văn Đoàn   xyφ   Giải hệ phương trình :  sin x  m     sin y x  y  φ  Giải hệ phương trình :  cos x  m  cos y   xyφ   Giải hệ phương trình :  tan x  m     tan y  x  y  φ Giải hệ phương trình :    tan x.tan y  m    x  y  φ Giải hệ phương trình :    cot x.cot y  m      sin x  sin y   Cho ̣ phương trình :    cos 2x  cos 2y m   a/ Giải hệ phương trình m   b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm   x  y  m Cho ̣ phương trình :   cos 2x  cos 2y   cos2 m      Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm   cos x cos y  m  Cho ̣ phương triǹ h :   sin x sin y  4m2  2m    a/ Giải hệ phương trình m   b/ Tìm tham số m để ̣ có nghiê ̣m   y2  tan2 x   Cho ̣ phương triǹ h :  Tìm tham số m để hệ có nghiệm nhất  y   ax  a  sin x      sin x  sin 2x  m Cho ̣ phương trình :   cos x  cos 2x  m   a/ Giải hệ phương trình m  b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm x    x  cos x  x  a   Cho ̣ phương triǹ h :  Tìm tham số a để hệ có nghiệm nhất  x  cos x       sin x  cos y  a Tìm điều kiện cần điều kiện đủ để hệ sau có nghiệm :   sin y  cos x  b   " Cầ n cù bù thông minh…………" Page - 121 - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao)   sin2 x  m tan y  m  Bài 450 Cho ̣ phương trình :   tan2 y  m sin x  m    a/ Giải hệ phương trình m  4 b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm J – HỆ THƢ́C LƢỢNG TRONG TAM GIÁC – NHẬN DẠNG TAM GIÁC   Đi nh ̣ li ́ hàm số sin và cosin Cho ∆ABC có a , b, c lầ n lượt là ba ca ̣nh đố i diê ̣n của tròn ngoại tiếp diện tích ∆ABC  B,  C  R, S tương ưng la ban kinh đương A, ́ ̀ ́ ́ ̀ A a b c    2R sin A sin B sin C  a  b2  c2  2bc cos A  b2  c2  4S.cot A  b c  b2  a  c2  2ac cos B  a  c2  4S.cot B B  c2  a  b2  2ab cos C  a  b2  4S.cotC  Đi nh ̣ li ́ về đƣờng trung tuyế n C a A Cho ∆ABC có trung tuyế n AM thì BC2 AB  AC  2AM  2 a hay : c2  b2  2m2a  2 c b ma B a M C  Diê ṇ ti ́ch tam giác Gọi S : diện tích ∆ABC R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC p : nửa chu vi của ∆ABC 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 abc ● S 4R ● S 1 ab sin C  ac sin B  bc sin A 2 abc ● S  pr, p  ● S ● S  p p  a p  bp  c  Bán kính đƣờng tròn Gọi R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC r : bán kín h đường tròn nô ̣i tiế p ∆ABC a abc  sin A 4S S ● r p ● R Page - 122 - ● r  p  a  tan A B C  p  b tan  p  c tan 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn  Đi nh ̣ li ́ hàm số tan và cot AB tan ab ; ●  ab AB tan a  b2  c2 ● cot A  cot B  cotC  4S BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 451 Chứng minh các đẳ ng thức bản ∆ABC A B C cos cos 2 A B C cos A  cos B  cosC   sin sin sin 2 sin2A  sin2B  sin2C  sin Asin BsinC cos2A  cos2B  cos2C  1  cos Acos BcosC sin2 A  sin2 B  sin2 C   cos A cos BcosC cos2 A  cos2 B  cos2 C   cos A cos BcosC A B C A B C sin2  sin2  sin2   sin sin sin 2 2 2 A B C A B C cos2  cos2  cos2   sin sin sin 2 2 2 tan A  tan B  tanC  tan A tan BtanC A B B C C A tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 a/ sin A  sin B  sin C  cos b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ j/ Bài 452 Chứng minh ∆ABC , ta có : tan kA  tan kB  tan kC  tan kA tan kB tan kC , k   Bài 453 Cho ∆ABC Biế t tan A B tan  Chứng minh : a  b  2c 2 Bài 454 Cho ∆ABC có ba góc A , B, C theo thứ tư ̣ ta ̣o thành cấ p số nhân công bô ̣i 1    sin2 A sin2 B sin2 C 2 c/ cos A  cos B  cos C  q  Chứng minh : b/ cos A cos B cosC   a/ d/ 1   a b c Bài 455 Cho ABC, BC  a, CA  b, AB  c Chứng minh : 2b  a  c  cot sin A sin B sin C   Tính các góc của ∆ABC Bài 457 Cho ∆ABC Biế t rằ ng có ba gó c A, B, C ta ̣o thành mô ̣t cấ p số nhân có công bô ̣i A C cot  2 Bài 456 Cho ∆ABC Biế t rằ ng :    Giả sử A  B  C Chứng minh : 1   a b c Bài 458 Cho ∆ABC Chứng minh : cot A  cot B  cotC  2  R a  b2  c2 Bài 459 Cho ∆ABC Biế t sin B  sin C  sin A Chứng minh : " Cầ n cù bù thông minh…………" q 2  abc   600 BAC Page - 123 - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao) Bài 460 Cho ∆ABC Chứng minh rằ ng nế u cotA , cotB, cotC ta ̣o thành mô ̣t cấ p số cô ̣ng thì a cũng theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng , b2 , c2   2.B   a2  b2  bc Bài 461 Cho ∆ABC Chứng minh : A Bài 462 Cho ∆ABC Chứng minh : Bài 463 Cho ∆ABC Chứng minh : Bài 464 Cho ∆ABC Chứng minh : Bài 465 Cho ∆ABC Chứng minh : Bài 466 Cho ∆ABC Chứng minh : Bài 467 Cho ∆ABC Chứng minh : sin A  sin B  sin C A B C  tan tan cot cos A  cos B  cosC  2 sin A  sin B  sin C A B  cot cot sin A  sin B  sin C 2 2 a  b  c2 cot A  cot B  cotC  4S A B C sin sin sin 2   2 B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 sin A  B a  b2  sin C c2 A B C  cos A  cos B  cosC tan  tan  tan  2 sin A  sin B  sin C Bài 468 Cho ∆ABC Chứng minh : 1 1 A B C A B C    tan  tan  tan  cot cot cot  sin A sin B sin C  2 2 2  Bài 469 Cho ∆ABC Chứ ng minh: sin2 A  sin2 B  sin2 C  sin A sin BcosC  sin BsinCcos A  sin Csin A cos B   , AC  b, AB  c, S diện tích ∆ABC Bài 470 Cho ∆ABC có AM là đường trung tuyế n , AMB với    90 b2  c2 4S b/ Giả sử   450 Chứng minh : cotC  cotB  a/ Chứng minh : cot   Bài 471 Cho ∆ABC có trung tuyế n xuấ t phát từ B và C là m b, mc thỏa c mb   b mc cotC Chứng minh rằ ng : 2cotA cotB  Bài 472 Chứng minh rằ ng nế u ∆ABC có trung tu yế n AA' vuông góc với trung tuyế n BB ' thì cotC  cot A  cot B Bài 473 Cho ∆ABC Chứng minh rằ ng : sin 2A  sin 2B  sin 2C  2S R a sin 2B  b2 sin 2A    Bài 475 Cho ∆ABC có tro ̣ng tâm G và GAB  , GBC  , GCA  γ Chứng minh rằ ng : Bài 474 Cho ∆ABC Chứng minh rằ ng : S  cot  cot  cot γ    a b c   4A Bài 476 Cho I là tâm đường tròn nô ̣i tiế p ∆ABC Chứng minh : a/ r  4R sin Page - 124 - A B C sin sin 2 b/ IA.IB.IC  4Rr2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn Bài 477 Cho ∆ABC có đường tròn nô ̣i t iế p tiế p xúc các ca ̣nh ∆ABC ta ̣i A ', B', C' ∆A'B'C' có các cạnh a', b', c' diện tích S ' Chứng minh : a/ a ' b' C A B   sin sin  sin  a b  2  b/ Bài 478 Cho ∆ABC có tro ̣ng G và tâm đường tròn nô ̣i tiế p S' A B C  sin sin sin S 2 I Biế t GI vuông góc với đường phân giác  Chưng minh : a  b  c  2ab của góc BCA ́ ab Bài 479 Tính các góc của ∆ABC biết : sin B  C  sin C  A  cos A  B     1200 nế u : sin A  sin B  sin C  sin A sin B  sin C Bài 481 Chứng minh ∆ABC có C 2 Bài 480 Tính các góc của ∆ABC biết : cos2A  cos2B  cos2C  Bài 482 Tính các góc của ∆ABC biết số đo ba góc tạo thành một cấp số cộng thỏa : 3   b2  c2  a   Bài 483 Tính các góc của ∆ABC nếu biết   sin A  sin B  sin C      sin A  sin B  sin C  Bài 484 Cho ∆ABC không tù thỏa : cos2A 2 cosB  2 cosC Bài 485 Chứng minh ∆ABC có ít nhấ t mô ̣t góc 3 Tính góc ∆ABC sin A  sin B  sin C  600 và chỉ cos A  cos B  cos C B ac  Chứng minh ∆ABC vuông b b c a   Bài 487 Chứng minh ∆ABC vuông ta ̣i A nế u : cos B cosC sin BsinC A B C A B C Bài 488 Cho ∆ABC có cos cos cos  sin sin sin  Chứng minh ∆ABC vuông 2 2 2 Bài 489 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : cos B 2sinC  4 sin B 2cosC  15 Bài 486 Cho ∆ABC có cot Bài 490 Cho ∆ABC có : sin2A  sin2B  sin Asin B Chứng minh ∆ABC vuông Bài 491 Chứng minh nế u ∆ABC có Bài 492 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Bài 493 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Bài 494 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Bài 495 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : Bài 496 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : " Cầ n cù bù thông minh…………" C thì nó một tam giác cân A B B A sin cos3  sin cos3 2 2 2 cos A  cos B  cot2 A  cot2 B 2 sin A  sin B C a  b  tan a tan A  b tan B bc  R 2 b  c  a       sin B sin C     3  a  b  c3  a    abc   tan A  tan B  cot Page - 125 - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao) Bài 497 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : sin A  sin B  sinC  sin2A  sin2B  sin2C 1 1    sin 2A sin 2B sin 2C cos A cos B cosC a cos A  b cos B  c cosC 2p  Bài 499 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : a sin B  b sin C  c sin A 9R A B C Bài 500 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : cot A  cot B  cotC  tan  tan  tan 2 Bài 498 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 350 Tính các góc ∆ABC biết : sin 6A  sin 6B  sin 6C   Câu 351 Tính góc C của ∆ABC biết : 1  cot A1  cot B  Câu 349 Tính các góc ∆ABC biết : cos A  sin B  sin C      A, B  90   Câu 352 Tính góc C của ∆ABC biết :   sin A  sin2 B  sin C    bc Câu 353 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : cos B  cosC  a b c a   Câu 354 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : cos B cos C sin B sin C Câu 355 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : sin A  sin B  sinC   cos A  cos B  cosC b  c  1  cos B  C Câu 356 Chứng minh ∆ABC vuông nế u :  cos 2B b2 bc Câu 357 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : cos B  cosC  a B ac Câu 358 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : sin  2a bc BC  tan Câu 359 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : bc bc  cot A  Câu 360 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : sin A a sin A  cos B Câu 361 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : tan A  sin B  cos A sin A Câu 362 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : tan B  tan C  sin B sin C sin A Câu 363 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : cot B  cotC  cos B cosC sin B  sin C Câu 364 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : sin A  cos B  cos C Câu 365 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : sin A  B cos A  B  sin A sin B Page - 126 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn Câu 366 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : tan 2C  2bc b2  c2 Câu 367 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : r sin A  sin B  c sin B AB cos 2 R A  tan ma Câu 368 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : a  b  ca  b  c sin2 A  sin2 B   cos2 C sin A  sin B  sinC   cos A  cos B  cosC CB cb tan  cb BC sin2  b  c     b2    cos 2B Câu 369 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : S  Câu 370 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : Câu 371 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : Câu 372 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : Câu 373 Chứng minh ∆ABC vuông nế u : Câu 374 Chứng minh ∆ABC vuông nế u :  2p sin B C sin 2 sin A 2 sin B cos C A a Câu 376 Chứng minh ∆ABC cân nế u : sin  2 bc Câu 375 Chứng minh ∆ABC cân nế u :  cos B 2a  c   cos B 2a  c  cos B 2a  c Câu 378 Chứng minh ∆ABC cân nế u :  sin B 4a  c2 Câu 377 Chứng minh ∆ABC cân nế u :  Câu 379 Chứng minh ∆ABC cân nế u : a cot     C C  tan A  b tan cot  2    Câu 380 Chứng minh ∆ABC cân nế u : a sin B  C  b sin C  A  Câu 381 Chứng minh ∆ABC cân nế u : tan B  tanC  tan B tanC Câu 382 Chứng minh ∆ABC c ân nế u : sin A sin B  sin C cot C A B  tan 2 2 2 Câu 384 Chứng minh ∆ABC cân nế u : b  c  sin C  B  c  b  sin C  B Câu 383 Chứng minh ∆ABC cân nế u : tan A  tan B  tan sin A  sin B  sin C A C  cot  cot sin A  sin B  sin C 2 Câu 386 Chứng minh ∆ABC cân nế u : a  2c cos B AB Câu 387 Chứng minh ∆ABC cân nế u : a tan A  b tan B  a  b tan A Câu 388 Chứng minh ∆ABC cân nế u :  bc cos Câu 385 Chứng minh ∆ABC cân nế u : " Cầ n cù bù thông minh…………" Page - 127 - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao) Câu 389 Chứng minh ∆ABC cân nế u :  p p  a  C 2 tan A  tan B  tan A tan B C B p  b cot  p tan    sin B   cos C sin A   sin C   cos B sin A     a sin 2B  b2 sin 2A  4ab cos A cos B   sin 2A  sin 2B  sin A sin B  1  cos C tan A  tan B  sin C sin2 A sin2 B sin A  sin B   cos A cos B C tan S  a  b2 A ma  bc cos 4 sin C  sin A  sin4 B  sin2 C sin2 A  sin2 B Câu 390 Chứng minh ∆ABC cân nế u : a sin 2B  b2 sin 2A  c2 cot Câu 391 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Câu 392 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Câu 393 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Câu 394 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Câu 395 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Câu 396 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Câu 397 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Câu 398 Chứng minh ∆ABC cân nế u : Câu 399 Chứng minh ∆ABC cân nế u :       sin2 B tan B  sin2 C tan C    cos B cos C    Câu 401 Chứng minh ∆ABC đề u nế u :  3  a  b  c3  a    abc      cos C 2a  b     Câu 402 Chứng minh ∆ABC đề u nế u :  sin C 4a  b2   a b  c  a   b  c  a      B a  sin    2 bc Câu 403 Chứng minh ∆ABC đề u nế u :    B b  sin    2 ac   Câu 400 Chứng minh ∆ABC cân nế u : A B ab sin  2 4c a b c   Câu 405 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : ma mb mc Câu 404 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : sin Câu 406 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : p  a p  bp  c  abc Page - 128 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn   sin C   tan A    Câu 407 Chứng minh ∆ABC đề u nế u :  cos2A cos B  sin B tan B       sin C tan C  sin B  sin C  sin A Câu 408 Chứng minh ∆ABC đề u nế u :    tan B  tan C  tan A   Câu 409 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : 3S  2R2 sin3 A  sin3 B  sin3 C   a  a b c    Câu 411 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : bc ca a b abc 2p  Câu 412 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : ab  bc  ca Câu 410 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : b  c  Câu 413 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : sin 2A  sin 2B  sin 2C  p R Câu 414 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : a2  b2  c2  36r2 A B C  sin  sin 2 1 1 1 Câu 416 Chứng minh ∆ABC đề u nế u :      cos A cos B cos C A B C sin sin sin 2 1 1 1 Câu 417 Chứng minh ∆ABC đề u nế u :      sin A sin B sin C A B C cos cos cos 2 Câu 415 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : cos A  cos B  cosC  sin Câu 418 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : tan A  tan B  tan C  tan A B C  tan  tan 2 A B C  cos  cos 2 Câu 420 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : a cos A  b cos B  c cosC  a  b  c Câu 419 Chứng minh ∆ ABC đề u nế u : sin A  sin B  sin C  cos Câu 421 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : sin A  sin B  sinC  sin Asin BsinC Câu 422 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : ma  mb  mc  9R với ma , mb, mc ba đường trung tuyế n Câu 423 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : sin B sin C  sin A  sin B  sin C    Câu 424 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : tan2 A  tan2 B  tan2 C  tan2 A tan2 B tan2 C    A B C tan tan    4 Câu 426 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : a 1  cos A  b 1  cos B  c 1  cosC  Câu 425 Chứng minh ∆ABC đề u nế u : tan Câu 427 ∆ABC là tam giác gì nếu : a tan B  b tan A  a  b tan Câu 428 ∆ABC là tam giác gì nế u : c  ccos2B bsin2B sin3C Câu 429 ∆ABC là tam giác gì nế u : sin3A sin3B  " Cầ n cù bù thông minh…………" AB 0 Page - 129 - Ths Lê Văn Đoàn Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao) Câu 430 ∆ABC là tam giác gì nế u : 4S  a b c a c b Câu 431 ∆ABC là tam giác gì nế u : cos 2A cos 2B cos C2 Câu 432 ∆ABC là tam giác gì nế u : a sin2B b 2sin2A   c cot C sinB 2cosA  cosC  sinA 2cosB  cosC 2   cos A cos B cos C2   Câu 434 ∆ABC là tam giác gì nế u :   sin5A sin5B  sin5C 0      a sin 2B  b2 sin 2A  4ab cos A sin B  Câu 435 ∆ABC là tam giác gì nế u :   sin 2A  sin 2B  sin A sin B    A B C 12 cos cos cos 2 Câu 436 ∆ABC là tam giác gì nế u: tan A tan B tan C  cos A  cos B  cos C Câu 433 ∆ABC là tam giác gì nế u : sin2A sin2B  sin2C 32  A B C cos cos cos 2 Câu 438 ∆ABC là tam giác gì nế u : 27 a c b a b c 256bcR Câu 437 ∆ABC là tam giác gì nế u : 4sinAsinBsinC a b c  ab bc ca 18R a b c    cosA  cosB cosC ∆ABC là tam giác gì nế u : b  c c a a b ∆ABC là tam giác gì nế u : A B C 2012 tan A  2012 tan B  2012 tan C  2012 cot  2012 cot  2012 cot 2 2   S  a  b  c ∆ABC là tam giác gì nế u :    sin A  sin2 B  sin2 C  cot A  cot B  cotC    ∆ABC là tam giác gì nế u : 1  b  c  bc cos A  1  c  a  ca  cos B  1  a  b  abcosC  Câu 439 ∆ABC là tam giác gì nế u : Câu 440 Câu 441 Câu 442 Câu 443 Câu 444 ∆ABC là tam giác gì nế u : tan A  tan B  tan C  sin A  sin B  sin C cos A  cos B  cos C   S  Câu 445 ∆ABC là tam giác gì nế u :    a  b  c  36    Câu 446 ∆ABC là tam giác gì nế u : a sin A  b sin B b sin B  c sin C c sin C  a sin A    sin A  sin B  sin C ab bc ca Câu 447 ∆ABC là tam giác gì nế u : a b  c  a   b2 a  c  b  c2 a  b  c sin B  45  2abc  Page - 130 -  " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Câu 448 ∆ABC là tam giác gì nế u : cos Ths Lê Văn Đoàn A B C A B C cos cos  sin sin sin  2 2 2   cos A  cos B  cos C  Câu 449 ∆ABC là tam giác gì nế u :    cos A  cos2 B  cos2 C     Câu 450 Cho ∆ABC Chứng minh : S  Câu 451 Cho ∆ABC Chứng minh : a sin 2B  b2 sin 2A   A B C A B B C C A A B C  tan  tan  tan tan  tan tan   tan tan   tan tan tan 4 4 4 4 4 4 Câu 452 Cho ∆ABC Chứng minh : a  b cosC  b  c cos A  c  a  cos B  2p tan Câu 453 Cho ∆ABC Chứng minh : cos3 A  cos3 B  cos3 C   sin A B C 3A 3B 3C sin sin  sin sin sin 2 2 2 3 Câu 455 Cho ∆ABC Chứng minh : cos A  cos B  cosC  Câu 454 Cho ∆ABC Chứng minh : sin A  sin B  sin C  3 Câu 457 Cho ∆ABC Chứng minh : cos A cos B cosC  A B C Câu 458 Cho ∆ABC Chứng minh : sin  sin  sin  2 2 Câu 456 Cho ∆ABC Chứng minh : sin A sin B sin C  A B C 3  cos  cos  2 2 A B C Câu 460 Cho ∆ABC Chứng minh : sin sin sin  2 Câu 459 Cho ∆ABC Chứng minh : cos Câu 461 Cho ∆ABC Chứng minh : cos A B C 3 cos cos  2 2 Câu 463 Cho ∆ABC Chứng minh : cos A  cos B  cos C  B C A  sin2  sin2  Câu 464 Cho ∆ABC Chứng minh : sin 2 B C A  cos2  cos2  Câu 465 Cho ∆ABC Chứng minh :  cos 2 2 Câu 462 Cho ∆ABC Chứng minh : sin A  sin B  sin C  Câu 466 Cho ∆ABC Chứng minh : sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A  Câu 467 Cho ∆ABC Chứng minh : cos A cos B  cos B cosC  cosC cos A  " Cầ n cù bù thông minh…………" Page - 131 - Ths Lê Văn Đoàn Câu 468 Cho ∆ABC Chứng minh : Câu 469 Cho ∆ABC Chứng minh : Câu 470 Cho ∆ABC Chứng minh : Câu 471 Cho ∆ABC Chứng minh : Câu 472 Cho ∆ABC Chứng minh : Câu 473 Cho ∆ABC Chứng minh : Câu 474 Cho ∆ABC Chứng minh : Câu 475 Cho ∆ABC Chứng minh : Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụn g (Nâng cao) 1   2 sin A sin B sin C 1   6 cos A cos B cosC 1   6 A B C sin sin sin 2 1   2 A B C cos cos cos 2 1   4 2 sin A sin B sin2 C 1    12 cos2 A cos2 B cos2 C 1    12 A B C sin sin sin 2 1   4 A B C cos cos cos 2 Câu 476 Cho ∆ABC Chứng minh : tan A  tan B  tanC  3 Câu 477 Cho ∆ABC Chứng minh : cot A  cot B  cotC  A B C  tan  tan  2 A B C Câu 479 Cho ∆ABC Chứng minh : cot  cot  cot  3 2 Câu 480 Cho ∆ABC Chứng minh : a cos A  b cos B  c cosC  a  b  c Câu 478 Cho ∆ABC Chứng minh : tan Câu 481 Cho ∆ABC Chứng minh : R  2r Câu 482 Cho ∆ABC Chứng minh : p2  6R2  3r2 Câu 483 Cho ∆ABC Chứng minh : 8ma mbmc  27R 3 3 Câu 484 Cho ∆ABC Chứng minh : cos A  cos B  cos C  Câu 485 Cho ∆ABC Chứng minh : sin A sin B  cos Câu 486 Cho ∆ABC Chứng minh :  cos 3A  cos 3B  cos 3C C sin A  sin B  sin C A B C cos  cos  cos 2 1  cos2 A  cos2 B  cos2 C   3 sin B sin C sin A A B C  cos  cos  cos   3 Câu 488 Cho ∆ABC Chứng minh : a b c Câu 487 Cho ∆ABC Chứng minh : Page - 132 - " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lươ ̣ng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths Lê Văn Đoàn  A B C  tan  tan  tan   3 A B C  4  sin sin sin 2 Câu 490 Cho ∆ABC Chứng minh : 1  cos A1  cos B1  cosC  cos A cos BcosC Câu 489 Cho ∆ABC Chứng minh :   sin A  sin B  sin C 1 cos A  cos B  cos C a b c Cho ∆ABC Chứng minh :   2 ma m b m c Cho ∆ABC Chứng  a  b  c  b c a minh:    c   a   b  27abc  cos A cos B  cos B cos C  cos C cos A  Cho ∆ABC có chu vi bằ ng Chứnh minh rằ ng : 13 sin2 A  sin2 B  sin2 C  8R sin A sin B sin C  4R2 Cho ∆ABC nho ̣n Chứng minh rằ ng : sin A  sin B  sinC  tan A  tan B  tanC  2  1    21 Cho ∆ABC nho ̣n Chứng minh rằ ng : tan A tan B tan C      cos A cos B cosC  Câu 491 Cho ∆ABC Chứng minh : Câu 492 Câu 493 Câu 494  Câu 495 Câu 496  Câu 497 Cho ∆ABC Chứng minh rằ ng : 2R  a 2R  b2R  c  8R e 3 2cos 3C 4 cos2C 1 2 cosC Câu 499 Cho ∆ABC nho ̣n thì ta có : tan A  tan B  tan C  sin A  sin B  sin C   3   A B C A B C 6 Câu 500 Cho ∆ABC nho ̣n thì : tan  tan tan  cot cot cot  2  2 Câu 498 Cho ∆ABC có  A  B  C  90 Chứng minh rằ ng : ======  HẾT  ====== " Cầ n cù bù thông minh…………" Page - 133 - ... chứa sin x (hoă ̣c cos x) Còn không chứa sin 2x (hoă ̣c cos2 x), nên đưa về cung x " Bài giải tham khảo   4 cos    x  cos x  cos2 x   cos x    cos3 x  cos2 x  cos x  N ... cos x   sin 2x  sin x  Trích đề thi tuyển s inh Đa ̣i ho ̣c khố i D năm 2004 Bài giải tham khảo   2 cos x  12 sin x  cos x  sin x cos x  sin x  2 cos x  12 sin x  cos... về cùng một cung x bằ ng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos Bài giải tham khảo   cos x  cos x  cos2 x   cos x    cos3 x  cos2 x  cos x      cos2 x