ONTHIONLINE.NET • Định lý Py-ta-go Bài 1: Tam giác ABC có góc A tù, Cˆ = 300; AB = 29, AC = 40 Vẽ đường cao AH, tính BH Bài 2: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24 Tính BC Bài 3: Độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với 15, cạnh huyền dài 51cm Tính độ dài hai cạnh góc vuông Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, lấy điểm D Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = AD Đường thẳng vuông góc với AH D cắt AC F Chứng minh EB ⊥ EF • Trường hợp đặc biệt tam giác vuông Bài 1: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM phân giác a/ Chứng minh ∆ ABC cân b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC Bài 2: Một tam giác có ba đường cao a/ Chứng minh tam giác tam giác b/ Biết đường cao có độ dài a , tính độ dài cạnh tam giác II Một cách vẽ hình phụ: “ Phương pháp tam giác đều” Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, Cˆ = 150 Trên tia BA lấy điểm O cho BO = 2AC Chứng minh tam giác OBC cân Bài 2: Cho tam giác ABC cân A,  = 80 Gọi O điểm tam giác cho góc OBC = 300; góc OCB = 100 Chứng minh ∆ COA cân Bài 3: Cho ∆ ABC cân A,  = 1000 Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho góc CBO = 300 Tính góc CAO Bài 4: Cho tam giác ABC cân A,  = 30 Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx ⊥ BA Trên tia Bx lấy điểm N cho BN = BA Tính góc BCN Bài 5: Cho ∆ABC cân A,  = 100 Trên tia AC lấy điểm D cho AD = BC Tính góc CBD Bài 6: Cho ∆ABC cân A,  = 108 Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho CBO = 12 Vẽ tam giác BOM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh rằng: a/ Ba điểm C, A, M thẳng hàng b/ Tam giác AOB cân Bài 7: Cho ∆ABC cân A,  = 800 Trên cạnh BC lấy điểm I cho góc BAI = 500; cạnh AC lấy điểm K cho góc ABK = 30 Hai đoạn thẳng AI BK cắt H Chứng minh ∆ HIK cân III Ôntập chương II Bài 1: Cho tam giác ABC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm M N cho AM = CN Gọi O giao điểm CM BN Chứng minh rằng: a/ CM = BN b/ Số đo góc BOC không đổi M N di động hai cạnh AB, AC thỏa mãn điều kiện AM = CN Bài 2: Cho ∆ABC vuông cân A Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi Vẽ BD CE vuông góc với d (D, E ∈ d) Chứng minh tổng BD2 + CE2 có giá trị không đổi Bài 3: Tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AM Trên cạnh AB lấy điểm E, cạnh AC lấy điểm F cho góc EMF = 90 0.Chứng minh AE= CF Bài 4: Tam giác ABC có AB = cm;  = 75 0, Bˆ = 60 Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx cho CBx = 150 Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với AB, cắt Bx D a/ Chứng minh rằng: DC ⊥ BC b/ Tính tổng BC2 + CD2 Bài 5: Cho ∆ ABC cân A (AB > BC) Trên tia BC lấy điểm M cho MA = MB Vẽ tia Bx // AM (Bx AM nằm nửa mặt phẳng bờ AB) Trên tia Bx lấy điểm N cho BN = CM Chứng minh rằng: a/ ABN = ACM b/ ∆ AMN cân Bài 6: Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M BC vẽ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia phân giác H, cắt AB, AC lầm lượt E F Chứng minh rằng: a/ BE = CF AB − AC AB + AC b/ AE = ; BE = 2 ˆ ˆ ˆ E = ACB − B c/ BM Chương III: Quan hệ yếu tố tam giác đường đồng quy tam giác • Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC, Â≥ 900 Trên cạnh AB, AC lấy điểm M N không trùng với đỉnh tam giác Chứng minh BC > MN Bài 2: Cho ∆ ABC, tia phân giác góc B C cắt O a/ Trong ∆ BOC, cạnh lớn nhất? b/ Giả sử OB < OC so sánh AB với AC Bài 3: Cho ∆ABC, trung tuyến AM Biết BMA > CAM so sánh Bˆ Cˆ Bài 4: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = BC Chứng minh góc BAM < 200 Bài 5: Tam giác ABC có AB < AC Vẽ tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M trung điểm BC So sánh MD với ME Bài 6: Cho ∆ABC cân A Gọi M điểm nằm cạnh BC cho MB < MC Lấy điểm O đoạn thẳng AM Chứng minh AÔB > AÔC • Quan hệ đường vuông góc đường xiên, đường xiên hình chiếu Bài 1: Cho O điểm nằm ∆ ABC Biết AO = AC, chứng minh ∆ ABC cân A Bài 2: Cho xOy = 450 Trên tia Oy lấy hai điểm Á, B cho AB = Tính độ dài hình chiếu đoạn thẳng AB Ox Bài 3: Cho ∆ ABC, góc B C nhọn Điểm M nằm B C Gọi d tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM a/ Chứng minh d ≤ BC b/ Xác định vị trí M BC cho d có giá trị lớn Bài 4: Cho ∆ ABC vuông B, phân giác AD Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AD E Chứng minh chu vi ∆ ECD lớn chu vi ∆ ABD Bài 5: Cho ∆ABC cân A, hai cạnh AB SC lấy hai điểm M N cho AM = AN Chứng minh rằng: a/ Các hình chiếu BM CN BC BC + MN b/ BN > • Quan hệ ba cạnh tam giác Bài 1: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt O; AB = 6, CD = Chứng minh đoạn thẳng AC, CD, BD, DA tồn hai đoạn thẳng nhỏ Bài 2: Chu vi tam giác cân 21cm Biết cạnh dài 4cm, cạnh cạnh bên hay cạnh đáy? Bài 3: Chu vi tam giác cân 15cm, cạnh đáy a Biết độ dài cạnh số tự nhiên (cm) Tìm giá trị a Bài 4: Tam giác ABC có AB > AC, phân giác AD Lấy điểm M thuộc AD (M không trùng với A) Chứng minh AB - AC > MB – MC Bài 5: Cho ∆ABC vuông cân A, cạnh bên hai điểm M, N Chứng minh cạnh ABC tồn điểm cho tổng khoảng cách từ đến M N lớn • Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Bài 1: Cho ∆ ABC Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD = BE Trên cạnh AC lấy điểm F H cho AF = CH Chứng minh tam giác BFH CDE có trọng tâm Bài 2: Tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE cà CF cắt G Gọi D trung điểm BC Chứng minh rằng: a/ Ba điểm A, G, D thẳng hàng b/ BE < CF c/ AD, BE, CF thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Bài 3: Cho ∆ ABC, trung tuyến AD, BE, CF cắt G Chứng minh rằng: AB + AC a/ AD < ; b/ BE + CF > BC 2 c/ chu vi ∆ ABC < AD + BE + CF < chu vi ∆ ABC Bài 4: Cho ∆ ABC cân A, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho HD = HA Trên tia đối tia CBlấy điểm E cho CE = CB a/ Chứng minh C trọng tâm ∆ ADE b/ Tia AC cắt DE M Chứng minh AE// HM Bài 5: Cho ∆ ABC, O điểm nằm tam giác Vẽ BH CK vuông góc đường thẳng AO Cho biết tam giác AOB, BOC, COA có diện tích nhau, chứng minh rằng: a/ BH = CK b/ O trọng tâm ∆ ABC • Tính chất tia phân giác góc Tính chất ba đường phân giác tam giác Bài 1: Cho ∆ ABC,  = 1200, phân giác AD, BE, CF Tính chu vi ∆DEF biết DE = 21, DF = 20 Bài 2: Cho góc xOy Lấy điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Vẽ tia phân giác góc BAx ABy cắt M Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với OM, cắt Ox, Oy C D Chứng minh ∆ ACD cân Bài 3: Cho ∆ABC, Bˆ = 120 , phân giác BD, CE Đường thẳng chứa tia phân giác đỉnh A ∆ ABC cắt đường thẳng BC F Chứng minh rằng: a/ ADF = BDF b/ Ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 4: Cho ∆ABC, tia phân giác góc B góc C cắt O Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với OA, cắt tia BO CO M N Chứng minh BM ⊥ BN CM ⊥ CN ˆ = 450 , đường cao AH, phân giác BD Cho biết góc Bài 5: Cho ∆ABC, B BDA = 450 chứng minh HD// AB Bài 6: Cho ∆ ABC vuông góc A, AB =3, AC = Phân giác góc B, góc C cắt O Vẽ OE ⊥ AB; OF ⊥ AC a/ Chứng minh AB + AC - BC = 2AE b/ Tính khoảng cách từ O tới đỉnh cạnh ∆ ABC c/ Tính OA, OB, OC • Tính chất đường trung trực đoạn thẳng Tính chất ba đường trung trực tam giác Bài 1: Cho ∆ ABC cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm M N cho AM + AN = AB a/ Đường trung trực AB cắt tia phân giác góc A O Chứng minh ∆ BOM = ∆ AON b/ Chứng minh M N di động hai cạnh AB AC có AM + AN = AB tbì đường trung trực MN qua điểm cố định Bài 2: Cho góc xOy = a0, A điểm di động góc góc Vẽ điểm M N cho đường Ox đường trung trực AM, đường thẳng Oy đường trung trực AN a/ Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định b/ Tính giá trị a để O trung điểm MN Bài 3: Cho góc vuông xOy A điểm cố định góc Một góc vuông đỉnh A quay quanh A, có hai cạnh cắt Ox, Oy B C Gọi M trung điểm BC Chứng minh M di động đường thẳng cố định Bài 4: Cho ∆ ABC không vuông Các đường trung trực AB AC cắt O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự M N Chứng minh tia AO tia phân giác góc MAN Bài 5: Cho ∆ ABC Trên tia BA lấy điểm M, tia CA lấy điẻm N cho BM + CN = BC Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định • Tính chất đường cao tam giác: Bài 1: Cho ∆ ABC vuông cân B Trên cạnh AB lấy điểm H cho ˆ ACˆH = AC B Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho BK = BH Tính góc AKH Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE gặp H Vẽ điểm K cho AB trung trực HK Chứng minh góc KAB = góc KCB Bài 3: Tam giác ABC có cạnh BC cạnh lớn Trên cạnh Bc lấy điểm D E cho BD = BA CE = CA Tia phân giác góc B cắt AE M; tia phân giác góc C cắt AD N Chứng minh tia phân giác góc BAC vuông góc với MN • ÔntậpBài 1: Cho ∆ABC cân A,  = 30 0; BC = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = a/ Tính góc ABD b/ So sánh ba cạnh ∆ DBC Bài 2: Cho ∆ ABC cân A, Â= 1080 Gọi O giao điểm đường trung trực, I giao điểm tia phân giác Chứng minh BC đường trung trực OI ˆ + Cˆ = 60 , phân giác AD Trên AD lấy điểm O Trên Bài 3: Cho ∆ ABC có B tia đối tia AC lấy điểm M cho góc ABM = góc ABO Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho góc CAN = góc ACO Chứng minh rằng: a/ AM = AN b/ ∆ MON tam giác Bài 4: Cho ∆ ABC cân A, cạnh đáy nhỏ cạnh bên Đường trung trực AC cắt đường thẳng BC tạiM Trên tia đói tia AM lấy điểm N cho AN = BM a/ Chứng minh góc AMC = góc BAC b/ Chứng minh CM = CN c/ Muốn cho CM ⊥ CN tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì? ... Chứng minh rằng: a/ Ba điểm C, A, M thẳng hàng b/ Tam giác AOB cân Bài 7: Cho ∆ABC cân A,  = 800 Trên cạnh BC lấy điểm I cho góc BAI = 500; cạnh AC lấy điểm K cho góc ABK = 30 Hai đoạn thẳng AI BK... E, cạnh AC lấy điểm F cho góc EMF = 90 0.Chứng minh AE= CF Bài 4: Tam giác ABC có AB = cm;  = 75 0, Bˆ = 60 Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx cho CBx = 150 Từ A vẽ đường thẳng vuông... không trùng với đỉnh tam giác Chứng minh BC > MN Bài 2: Cho ∆ ABC, tia phân giác góc B C cắt O a/ Trong ∆ BOC, cạnh lớn nhất? b/ Giả sử OB < OC so sánh AB với AC Bài 3: Cho ∆ABC, trung tuyến AM Biết