Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (TT)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - NGUYỄN VĂN LUẬT ĐÁNH GIÁ CẬN TRÊN, DƯỚI VÀ XẤP XỈ TÍNH HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN VÀ ĐA TINH THỂ Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã sỗ: 62 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2017 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TSKH Phạm Đức Chính Người hướng dẫn khoa học 2: TS Nguyễn Trung Kiên Phản biện 1: GS.TS Hoàng Xuân Lượng Phản biện 2: PGS.TS Trần Minh Tú Phản biện 3: TS Trần Thanh Tuấn Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … ….’, ngày … tháng … năm 201… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Pham, D.C., Vu, L.D., Nguyen, V.L (2013), Bounds on the ranges of the conductive and elastic properties of randomly inhomogeneous materials Philosophical Magazine 93, 2229-2249 Nguyen Trung Kien, Nguyen Van Luat, Pham Duc Chinh (2013), Estimating effective conductivity of unidirectional transversely isotropic composites Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 203-213, Volume 35 Nguyen Van Luat, Nguyen Trung Kien (2015), FFT-simulations and multi-coated inclusion model for macroscopic conductivity of 2D suspensions of compound inclusions Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 169-176, Volume 37 Nguyễn Văn Luật,Vương thị Mỹ Hạnh, Phạm Đức Chính (2012), Đánh giá hệ số dẫn đa tinh thể hỗn độn Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX, Hà Nội 8-9/12/2012 Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên, Phạm Đức Chính (2013), Các đánh giá bậc ba mô số FFT cho hệ số dẫn số vật liệu nhiều thành phần Hội nghi Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XI, TP Hồ Chí Minh 7-9/11/2013 Nguyễn Trung Kiên, Nguyễn Văn Luật (2015), Xấp xỉ hệ số dẫn vật liệu composite ba pha dạng cầu lồng Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đà Nẵng 8/2015 MỞ ĐẦU Cơ sở khoa học ý nghĩa luận án Vật liệu nhiều thành phần hay vật liệu khơng đồng nói chung vật liệu đa tinh thể hỗn độn vật liệu sử dụng chủ yếu lĩnh vực khoa học, kỹ thuật đời sống Vì việc nghiên cứu tính chất loại vật liệu cần thiết có tính thời cho việc ứng dụng thực tế Khác với vật liệu vật liệu khơng đồng có cấu trúc vi mơ khác thành phần tương tác chúng phức tạp Vật liệu nhiều thành phần mặt vi mơ có cấu tạo thành phần khác mặt vĩ mô đồng Hướng nghiên cứu luận án tập trung vào việc tìm tính chất dẫn vĩ mô (dẫn nhiệt, điện, thấm từ, tán xạ ) vật liệu nhiều thành phần đa tinh thể hỗn độn Các tính chất dẫn có vai trị đặc biệt quan trọng việc chế tạo vật liệu ứng dụng vật liệu tổ hợp kỹ thuật Ví dụ loại vật liệu polyme cốt sợi, hạt, sử dụng nhiều lĩnh vực hàng không, công nghiệp ô tô, hàng hải, vi điện tử, bảng mạch điện tử, dân dụng gia cố loại cốt sợi khác sợi thủy tinh, cacbon, kim loại dẫn đến tính chất cơ-lý tính dẫn điện, dẫn nhiệt, độ từ thẩm, tán xạ khác Để ứng dụng thực tế cần xác định tính chất dẫn Trong kỹ thuật thường sử dụng đánh giá Wiener, Voigt, Reuss Hill lấy trung bình cộng số học trung bình cộng điều hịa làm giá trị hệ số dẫn vĩ mô vật liệu tổ hợp Tuy nhiên hệ số dẫn thành phần khác nhiều đánh giá cho kết xấp xỉ khơng xác Luận án xây dựng đánh giá trên, hệ số dẫn vĩ mô tốt đánh giá trước cho phép tìm hệ số dẫn vĩ mô vật liệu tổ hợp xác Các kết giúp cho việc thiết kế loại vật liệu tổ hợp theo tính chất dẫn phù hợp với yêu cầu thực tế đặt Đối tượng luận án Các hệ số dẫn vĩ mô (hệ số dẫn hiệu quả) hệ số dẫn nhiệt, điện, tán xạ, từ thẩm, điện môi, thấm nước vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần đa tinh thể hỗn độn Mục tiêu luận án Xây dựng đánh giá trên, cho hệ số dẫn vĩ mô vật liệu tổ hợp nhiều thành phần đa tinh thể hỗn độn Áp dụng kết đánh giá cho số mơ hình vật liệu cụ thể Sử dụng công cụ số dựa phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) cách tính xác thay cho thực nghiệm để so sánh với đánh giá tìm cho số mơ hình vật liệu có cấu trúc tuần hồn Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phương pháp số • Phương pháp giải tích (phương pháp theo đường hướng biến phân) dựa nguyên lý biến phân (nguyên lý lượng cực tiểu) nguyên lý biến phân đối ngẫu (nguyên lý lượng bù cực tiểu) Từ xây dựng biên trên, biên cho hệ số dẫn vĩ mơ vật liệu • Phương pháp số sử dụng phương pháp biến đổi Fourier nhanh để đưa thuật tốn lặp sử dụng chương trình Matlab để tính cho số mơ hình vật liệu có cấu trúc tuần hồn khn khổ phương pháp FFT Kết FFT coi cách tính xác để so sánh với kết đánh giá theo đường hướng biến phân Những đóng góp luận án • Xây dựng đánh giá bao gồm cận cận hệ số dẫn vĩ mô vật liệu nhiều thành phần • Xây dựng đánh giá bao gồm cận cận hệ số dẫn vĩ mô vật liệu đa tinh thể hỗn độn • Áp dụng đánh giá cho số mơ hình vật liệu nhiều thành phần biết thơng tin bậc ba hình học pha Kết cho thấy đánh giá tốt (gần với kết xác) so với đánh giá cơng bố trước • Sử dụng phương pháp FFT để tính cho số mơ hình vật liệu có cấu trúc tuần hồn nhằm mục đích so sánh với đánh giá tìm Bên cạnh bước đầu xây dựng thuật tốn chương trình số hướng toán đồng hóa vật liệu Các kết luận án cơng bố tạp chí bao gồm: quốc tế (01 SCI), tạp chí quốc gia (02 Vietnam Journal of Mechanics) tuyển tập báo cáo hội nghị quốc gia (03 báo cáo hội nghị) Cấu trúc luận án Nội dung luận án bao gồm: Chương 1: Tổng quan Trình bày lịch sử trình đánh giá hệ số dẫn vĩ mơ vật liệu đưa kết bật công bố trước Chương 2: Đánh giá biến phân cận trên, hệ số dẫn vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần khơng gian d chiều Đi sâu vào trình bày chi tiết để xây dựng đánh giá trên, cho hệ số dẫn vĩ mô vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần Sử dụng kết đánh giá áp dụng cho số mơ hình vật liệu biết thơng tin bậc ba hình học pha có so sánh với đánh giá trước Chương 3: mô số FFT so sánh với đánh giá cho số mơ hình vật liệu Xây dựng thuật tốn số FFT để tính tốn hệ số dẫn vĩ mơ cho số mơ hình vật liệu tổ hợp giới hạn phương pháp vật liệu có cấu trúc tuần hồn có so sánh với kết đánh giá chương Chương 4: Đánh giá hệ số dẫn cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn không gian d chiều Sử dụng nguyên lý lượng cực tiểu nguyên lý lượng bù cực tiểu để xây dựng đánh giá trên, cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn Trong đưa trường có chứa thơng tin hình học pha vật liệu, tổng quát trường Hashin-Shtrikman Pham D.C Áp dụng vào cho số loại đa tinh thể có tự nhiên cho thấy kết đánh giá tốt đánh giá cơng bố trước Kết luận chung Trình bày kết thu luận án hướng nghiên cứu cứu Chương TỔNG QUAN 1.1 MỞ ĐẦU Tính chất cơ-lý vật liệu có nhiều vấn đề cần nghiên cứu luận án tác giả đề cập đến phần tính chất hệ số dẫn vĩ mô vật liệu bao gồm nhiều dạng: Hệ số dẫn nhiệt C tenxơ bậc hai đặc trưng cho khả dẫn nhiệt vật liệu, nói chung khác cho hướng khác vật liệu dị hướng, biểu diễn thơng qua phương trình truyền nhiệt Fourier J(x) = −C(x) · E(x) (1.1) E = ∇T (x) vectơ gradient nhiệt, T (x) trường nhiệt độ, dịng nhiệt J thỏa mãn phương trình cân nhiệt: ∇·J=0 (1.2) Điều kiện biên cho trước trường nhiệt độ T(x) = T0 (x), dòng nhiệt J(x).n(x) = q (x) toàn phần phần biên vật thể, n(x) pháp tuyến biên, T (x) q (x) giá trị cho trước Trong trường hợp vật liệu đẳng hướng ta có C = CI, I tenxơ bậc hai đơn vị C giá trị vô hướng thể hệ số dẫn đẳng hướng Từ phương trình (1.1) (1.2) ta nhận phương trình Laplace: ∆T = (1.3) Trong luận án mặt tiếp xúc thành phần giả thiết lý tưởng nghĩa hàm số T(x) J(x) · n(x) liên tục qua mặt tiếp xúc, n(x) pháp tuyến mặt tiếp xúc Hệ số tán xạ D đặc trưng cho khả lan truyền dòng vật chất (đổi hướng lan truyền dòng vật chất qua đơn vị độ dày), xác định thơng qua định luật lan truyền Fick: J = −D · ∇φ (1.4) J dịng lan truyền thỏa mãn phương trình cân (1.2), φ mật độ vật chất Hệ số dẫn điện c thỏa mãn định luật Ohm J(x) = −c(x)E(x) = −c(x) · ∇φ(x) (1.5) J trường dịng điện thỏa mãn phương trình cân (1.2), φ trường điện Hệ số thấm nước k xác định thông qua định luật Darcy k q(x) = − · ∇P (x) η (1.6) P áp lực nước, η hệ số nhớt nước, q trường dòng ( tỉ lệ với tốc độ thấm v độ rỗng môi trường vật chất ρ , q = ρv) thỏa mãn phương trình cân ∇ · q = Hệ số điện mơi (thấm điện) đặc trưng cho tính chất điện môi trường điện môi xác định qua phương trình: D(x) = · E(x) (1.7) D vectơ dịch chuyển điện từ thỏa mãn phương trình cân ∇ · D = 0, E trường điện từ Tất tính dẫn có cấu trúc toán học chung, dẫn tới thỏa mãn phương trình Laplace kết sử dụng chung với chỉnh lý tương ứng cho trường hợp cụ thể Từ sau đồng sử dụng ngôn ngữ toán dẫn nhiệt Để đánh giá hệ số dẫn hiệu vĩ mô vật liệu tổ hợp không đồng cần đánh giá phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) vật liệu Trong luận án tác giả sử dụng phương pháp lượng hay phương pháp theo đường hướng biến phân, xác định hệ số dẫn hiệu thơng qua việc tìm cực trị phiếm hàm lượng V Đặc điểm tốn tính chất vĩ mơ thơng tin hình học pha vật liệu hạn chế nên phần lớn trường hợp khó xác định xác tính chất vật liệu tổ hợp mà tìm đánh giá cận tính chất Ngun lý lượng cực tiểu để tìm đánh giá cho vật liệu đẳng hướng vĩ mô n pha C ef f E0 · E0 = inf E · C · Edx E =E0 (1.8) V nguyên lý lượng bù cực tiểu (nguyên lý biến phân đối ngẫu) để tìm đánh giá −1 J · C−1 · Jdx (C ef f ) J0 · J0 = inf (1.9) J =J V E (1.8) vectơ gradient hàm liên tục (nhiệt, điện, điện môi, thấm từ ) V, E0 vectơ cho trước, • trung bình V, • = V •dx Trường dòng J (1.9) thỏa mãn điều kiện cân bằng: V ∇·J=0 Hệ số dẫn C(x) liên kết trường gradient E trường dòng J J(x) = C(x)E(x) C(x) = Cα x ∈ Vα , α = 1, , n (1.10) (1.11) Điểm bật phương pháp theo đường hướng biến phân trường lựa chọn (E, J) cần thỏa mãn số phương trình học định đó, phiếm hàm (1.8) (1.9) đạt cực trị thỏa mãn hồn tồn phương trình học lại Với cách chọn trường cho kết đánh giá tương ứng, cách xây dựng khéo léo trường với đầy đủ tới mức thơng tin cấu trúc hình học vật liệu ta cho đánh giá tốt gần với giá trị thực 1.2 LỊCH SỬ TIẾP CẬN ĐỒNG NHẤT HĨA VÀ Q TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU Vào năm 1892, Maxwell [35] Rayleigh [67] tìm lời giải tiệm cận cho hệ số dẫn hỗn hợp dạng cốt liệu với pha chủ đạo (vM 1) tỷ lệ nhỏ hạt cốt liệu cầu (vI 1) xếp theo trật tự lập phương tuần hoàn 2CM + CI + 2vI (CI − CM ) C ef f = CM · (vI 1) (1.12) 2CM + CI − vI (CI − CM ) Wiener (1912-[77]), Voigt (1928- [75]), Reuss (1929-[68]) đưa cơng thức trung bình cộng số học (Voigt) trung bình cơng điều hịa (Reuss) để tính xấp xỉ tính chất vĩ mô loại vật liệu tổ hợp n thành phần đa tinh thể hỗn độn với hình học pha tỷ lệ thể tích pha Đối với hệ số dẫn vật liệu đẳng hướng (tổng theo α chạy từ tới n): C ef f vα Cα = CV C ef f α α −1 vα Cα = CR (1.13) Cho vật liệu đa tinh thể ta có trung bình tương ứng Hill (1952-[27]) Cef f = C = CV I Cef f = C−1 ef f C =C ef f I, CV = d d Ci , CR = i=1 d −1 = CR I (1.14) −1 d i=1 Ci−1 với d số chiều không gian, I ma trận đơn vị, Ci (i = 1, 2, , d) hệ số dẫn đơn tinh thể sở Nguyên lý lượng cực trị lần đề xuất Hill (1952-[27]) nghiên cứu tính chất hiệu vật liệu đa tinh thể chọn trường số, ơng chứng minh tính chất hiệu ln nằm trung bình cộng số học CV trung bình cộng điều hịa CR , hệ số dẫn vật liệu tổ hợp đẳng hướng n thành phần vật liệu đa tinh thể hỗn độn: CV ≤ C ef f ≤ CR (1.15) Nghiên cứu để lại dấu ấn quan trọng học vật liệu Hashin-Shtrikman (1963-[24])(HS), xây dựng tính chất hiệu dựa nguyên lý biến phân riêng dẫn tới trường phân cực (polarization fields) Kết HS tìm đánh giá hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu tổ hợp tốt đánh giá trước Voigt, Reuss, Hill, Wiener Đánh giá HS coi thành tựu học vật liệu Phạm D.C (1996-[83]) xuất phát từ nguyên lý lượng cực tiểu nói (khơng phải từ nguyên lý HS), tìm trường xây dựng trường phân cực dạng HS cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng Từ nhận đánh giá tốt đánh giá HS nhờ xuất thành phần nhiễu chứa thơng tin bậc ba hình học pha vật liệu Aαβ γ βγ ϕαγ ij ϕij dx, Aαβ γ = α ϕαγ ij = ϕ,ij − Vγ vγ ϕα,ij dx (1.16) Vγ Một hướng nghiên cứu thường sử dụng lĩnh vực đồng hóa vật liệu phương pháp số đề cập chương 2.3.1 Mơ hình cầu lồng Quả cầu lồng hai pha Các khoảng trống lấp đầy cầu lồng đồng dạng kích thước thay đổi tới vơ bé Có thể coi cầu bên pha cốt liệu (pha 1) cầu lồng bên ngồi pha (pha 2), thơng tin hình học bậc ba vật liệu Aβγ α biểu diễn phụ thuộc vào thông số ζα xác định xác (Pham D.C, 1997-[50]): 22 12 A11 α = Aα = −Aα = d−1 v1 v2 ζα , d (a) α = 1, 2; ζ1 = 0; ζ2 = (2.8) (b) Hình 2.1: (a) mơ hình cầu lồng pha (b) Đánh giá HSD vĩ mô cầu lồng pha: pha cốt liệu C1 = 2, pha C2 = 20, không gian chiều Hình 2.2: Đánh giá HSD vĩ mơ cầu lồng pha: pha cốt liệu C1 = 2, pha C2 = 20, không gian chiều Trên hình 2.1 b; hình 2.2 cho kết xác cận trên, đánh giá trùng trùng với cận HS 10 Quả cầu lồng ba pha Quả cầu lồng pha (hình 2.3a): Từ ngồi pha 1,2,3 tương ứng Kết đánh giá thể hình 2.3b, 2.4 với cận trùng cho kết xác nằm đánh giá trước Wiener-Voigt-Reuss, HS (a) (b) Hình 2.3: (a) mơ hình cầu lồng pha (b) Đánh giá HSD vĩ mô cầu lồng pha: pha cốt liệu C1 = 1, C2 = 5, pha C3 = 20, khơng gian chiều Hình 2.4: Đánh giá HSD vĩ mô cầu lồng pha: pha cốt liệu C1 = 20, C2 = 5, pha C3 = 1, không gian chiều 2.3.2 Mô hình vật liệu đối xứng ba pha Vật liệu tổ hợp đối xứng pha không gian d chiều, pha i có tỉ lệ thể tích vi hệ số dẫn Ci , i = 1, 2, Giả định không gian chiều C1 = 1, C2 = 5, C3 = 20; Tỉ lệ thể tích pha v1 = 0.1 → 0.9 v2 = d−1 d (1 − v1 ), v3 = d1 (1 − v1 ) Kết đánh giá HSD hình 2.5 (d=3) 11 cho thấy đánh giá (2.4),(2.7) cho kết tốt đánh giá trước Voigt-Reuss HS (a) (b) Hình 2.5: (a) Vật liệu tổ hợp đẳng hướng đối xứng (b) Đánh giá HSD vĩ mô vật liệu dối xứng pha C1 = 1, C2 = 5, C3 = 20 không gian chiều 2.3.3 Mơ hình vật liệu tổ hợp hai pha dạng nền, cốt liệu tròn Xem xét hai mơ hình có cốt liệu cầu kích cỡ xếp ngẫu nhiên khơng chồng lấn chồng lấn Thơng tin hình học bậc ba mơ hình xác định Torquato (2002) Giả sử hệ số dẫn pha C1 = 5, pha cốt liệu (C2 = 15), tỉ lệ thể tích v1 = − v2 (a) (b) Hình 2.6: Mơ hình cầu kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không gian chiều (a) Quả cầu không chồng lấn ngẫu nhiên (b) Quả cầu chồng lấn ngẫu nhiên 12 Hình 2.7: Kết đánh giá HSD cho vật liệu pha khơng gian chiều có cấu trúc cầu ngẫu nhiên không chồng lấn với pha C1 = 5, pha cốt liệu C2 = 15 Hình 2.8: Kết đánh giá HSD cho vật liệu pha khơng gian chiều có cấu trúc cầu ngẫu nhiên chồng lấn với pha C1 = 5, pha cốt liệu C2 = 15 2.4 Kết luận Sử dụng nguyên lý lượng cực tiểu nguyên lý lượng bù cực tiểu đưa vào trường mở rộng (có nhiều hệ số tự hơn) so với trường phân cực Hashin-Shtrikman Từ tìm đánh giá cho HSD vĩ mô vật liệu nhiều thành phần khơng gian d chiều Mơ hình tốn xây dựng tổng quát không gian d chiều nên kết đánh giá áp dụng cho mô hình khơng gian khác Kết áp dụng vào mơ hình cụ thể cho thấy tính hiệu phương pháp theo đường hướng biến phân, thể đánh giá cho kết tốt đánh giá trước Wiener-Voigt-Reuss Hashin-shtrikman Kết nghiên cứu chương công bố tạp chí khoa học [1], [2] mục cơng trình cơng bố luận án 13 Chương MÔ PHỎNG SỐ FFT VÀ SO SÁNH VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ CHO MỘT SỐ MƠ HÌNH VẬT LIỆU Mục đích luận án sử dụng phương pháp FFT cách tính xác thay cho thực nghiệm nhằm so sánh với kết đánh giá chương 2, để làm rõ kết xác ln nằm đánh giá đánh giá Bên cạnh trường hợp pha có hệ số dẫn khác nhiều khoảng cách cận trên, lớn, để số trường hợp đảm bảo việc xác định HSD vĩ mơ xác FFT xem công cụ bổ trợ cho việc xác định Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT)trong học vật liệu đề xuất Moulinec Suquet (1994-[38]) Ưu điểm phương pháp so với phương pháp số khác (phần tử hữu hạn FEM) chia lưới giải hệ phương trình tuyến tính mà dựa thuật tốn tính lặp, điều làm cho thời gian tính tốn giảm nhiều so với phương pháp FEM theo Michel(1999-[41]) Hạn chế FFT áp dụng hạn chế số mơ hình vật liệu đặc biệt vật liệu có cấu trúc tuần hoàn 3.1 Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT) Xét vật liệu có cấu trúc tuần hồn hình 3.1 Do tính chất tuần hồn nên xét phần tử đặc trưng V (unit cell) bao gồm pha (M) cốt liệu (I) Nội dung phương pháp dựa phương trình biết, điều kiện cân phép biến đổi Fourier trường gradient E, trường dòng J, hệ số dẫn C(x) để thiết lập phương trình tích phân Lippmann-Schwinger tốn khơng đồng sử dụng tốn tử 14 Hình 3.1: Mơ hình vật liệu tuần hoàn phần tử đặc trưng Green tuần hoàn Từ rút thuật tốn số để xác định hệ số dẫn vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hoàn: Bước i=1 : E1 (ξ) = ∀ξ = 0; E1 (0) = E0 J1 (ξ) = C(ξ) ∗ E1 (ξ) Bước i : Ei (ξ) Ji (ξ) biết kiểm tra điều kiện hội tụ Ei+1 (ξ) = Ei (ξ) − Γ0 (ξ).Ji (ξ) Ji+1 (ξ) = C(ξ) ∗ Ei+1 (ξ) Điều kiện hội tụ xác định biểu thức sau: Ji+1 (ξ) − Ji (ξ) Ji (ξ) với 3.2 3.2.1 < , (3.1) sai số cho trước ( = 10−3 luận án này) Áp dụng phương pháp số FFT cho số mơ hình vật liệu Mơ hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang Với hai mơ hình vật liệu nền, cốt liệu trịn có cấu trúc: hình vng (square), hình lục giác (hexagonal) (hình 3.2), giả sử hệ số dẫn pha (matrix) CM = 1, pha cốt liệu (inclusion) CI = 10, tỉ lệ thể tích vI = 0.1 → 0.9; vM = − vI Kết tính tốn sử dụng phương pháp số FFT cho hình 3.3, 3.4 tương ứng cho thấy kết FFT nằm đánh giá chương (a) (b) Hình 3.2: Mơ hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang hệ số dẫn (a) Cốt liệu trịn xếp dạng hình vng (b) Cốt liệu trịn xếp dạng hình lục giác 15 Hình 3.3: Kết FFT hệ số dẫn vĩ mơ vật liệu hai pha có cốt liệu xếp dạng hình vng khơng gian chiều, CM = 1, CI = 10 Hình 3.4: Kết FFT hệ số dẫn vĩ mơ vật liệu hai pha có cốt liệu xếp dạng hình lục giác khơng gian chiều, CM = 1, CI = 10 3.2.2 Mơ hình vật liệu hai pha gồm cầu xếp tuần hoàn Giả sử CM = 1, CI = 10 Kết tính biểu diễn hình 3.5; 3.6 3.7 Các giá trị hệ số dẫn vĩ mô xác định theo phương pháp biến đổi Fourier nằm đánh giá thiết lập chương 16 (a) (b) Hình 3.5: Mơ hình vật liệu tuần hồn khơng gian chiều (a) Cấu trúc vật liệu có cốt liệu hình trịn xếp dạng lập phương đơn giản (b)Kết số FFT với CM = 1, CI = 10 (a) (b) Hình 3.6: Mơ hình vật liệu tuần hồn không gian chiều (a) Cấu trúc vật liệu có cốt liệu hình trịn xếp dạng lập phương tâm khối (b)Kết số FFT với CM = 1, CI = 10 (a) (b) Hình 3.7: Mơ hình vật liệu tuần hồn khơng gian chiều (a) Cấu trúc vật liệu có cốt liệu hình trịn xếp dạng lập phương tâm mặt (b)Kết số FFT với CM = 1, CI = 10 17 3.2.3 So sánh FFT mơ hình vật liệu ba pha có cấu trúc tuần hồn khơng gian hai chiều Hình 3.8: So sánh kết FFT hệ số dẫn vĩ mơ mơ hình tuần hồn có pha cốt liệu cầu lồng pha xếp dạng hình vng, hình lục giác xếp ngẫu nhiên cho trường hợp CM = 1, CI2 = 20, CI1 = 3.3 Kết luận Trong chương luận án trình bày thuật tốn số FFT để xác định hệ số dẫn vĩ mô vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hồn Mục đích việc sử dụng phương pháp FFT đưa cơng cụ để tính xác HSD vĩ mơ số mơ hình vật liệu giới hạn phương pháp nhằm so sánh với kết đánh giá chương Quan sát kết so sánh mơ hình đồ thị ta nhận thầy tỉ lệ thể tích hạt cốt liệu từ nhỏ đến trung bình mơ hình cho kết gần trùng trùng với giới hạn HS, tỉ lệ thể tích hạt cốt liệu tăng lên mơ hình có xu hướng tách khỏi HS ảnh hưởng tương tác cốt liệu khoảng cách gân phân bố khác Khi so sánh mơ hình có sử dụng FFT sát với trường hợp cầu lồng (cận trên, trùng nhau) cho thấy phù hợp đáng tin cậy phương pháp FFT Kết tính FFT nằm đánh giá trước HS kết đánh giá biến phân chương Các kết chương công bố cơng trình khoa học [2],[3],[5],[6] mục cơng trình công bố luận án 18 Chương ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CHO VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN TRONG KHÔNG GIAN d CHIỀU Cách thực giống chương tiếp cận theo đường hướng lượng giúp xác định biên biên hệ số dẫn vĩ mô 4.1 Đánh giá Để xây dựng đánh giá cho vật liệu đa tinh thể ta đưa vào trường gradient E mở rộng từ trường phân cực Hashin-Shtrikman (tổng lặp theo số Latinh i,j): n Ei = Ei0 aαj ϕα,ij + với i, j = d (4.1) α=1 aαi hệ số tự do, ϕα hàm điều hòa Vật liệu đa tinh thể hỗn độn với đơn tinh thể dị hướng nên hệ số dẫn thành phần tenxơ bậc hai với hệ số dẫn C1 , C2 , , Cd khơng gian d chiều Ngoài đơn tinh thể phân bố ngẫu nhiên theo hướng nên mặt vĩ mô coi vật liệu đẳng hướng, ngẫu nhiên hồn tồn nên xác định tham số bậc ba hình học pha vật liệu Aαβ γ Pham D.C(1994) Từ đặt (4.1) vào (1.8) rút gọn ta biểu thức đánh giá C ef f ≤ C U e (C1 , , Cd , e1 ) d ec 1 )CV − + ( )−1 = (1 − de0 de0 e0 i=1 e0 Ci + ec 19 (4.2) C1 + + Cd d−2 , e0 = + e1 , d d d +d−2 d−1 d−2 − e1 CV , ≤ e1 ≤ (d − 1)/d d d +d−2 CV = ec = (4.3) Do rút đánh giá cho hệ số dẫn hiệu vĩ mô: C ef f ≤ C U (C1 , , Cd ) = 4.2 max 0≤e1 ≤(d−1)/d C U e (C1 , , Cd , e1 ) (4.4) Đánh giá Để xây dựng đánh giá cho hệ số dẫn vĩ mô vật liệu đa tinh thể hỗn độn ta dùng nguyên lý lượng bù cực tiểu (1.9) với trường mở rộng từ trường phân cực HS có dạng: n Ji = Ji0 aαj (ϕα,ij − δij Iα ) (i = 1, , d) + (4.5) α=1 với Iα (x) = x ∈ Vα x ∈ Vα Đặt (4.5) vào (1.9) rút gọn ta biểu thức đánh giá C ef f ≥ C Le (C1 , · · · , Cd , e1 )  (1 − d)2 ec (1 − d)2 (1 − d)2 −1  CR − + = 1− de0 de02 e02 d i=1 (4.6)  −1 −1 e0 Ci−1 + ec  , (1 − d)2 e1 (d − 2) d−1 e1 (d − 2) −1 e0 = + , ec = ( − )C d d +d−2 d d +d−2 R Từ rút biểu thức đánh giá cho hệ số dẫn hiệu vật liệu đa tinh thể hỗn độn: C ef f ≥ C L (C1 , , Cd ) = 4.3 0≤e1 ≤(d−1)/d C Le (C1 , , Cd , e1 ) (4.7) Áp dụng đánh giá số trường hợp cụ thể Các đánh giá cận trên, (4.4), (4.7) phụ thuộc vào hệ số dẫn theo chiều tinh thể hệ tọa độ Descartes 20 Trường hợp không gian hai chiều (d=2) Trong khơng gian hai chiều có hệ số dẫn C1 , C2 Giả sử C2 nhận giá trị khác tăng dần C2 =1; 1.5; 2; 2.5; 3; 3.5; 4; 4.5; C1 cố định, C1 = Kết đánh giá thể hình vẽ 4.1 Hình 4.1: Đánh giá hệ số dẫn vĩ mô vật liệu đa tinh thể hỗn độn không gian chiều Trường hợp không gian ba chiều (d=3) Trong không gian ba chiều có ba hệ số dẫn C1 , C2 , C3 Giả sử C3 nhận giá trị khác tăng dần C3 =2; ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; hệ số cố định C1 = 5, C2 = 10 Hình 4.2: Đánh giá hệ số dẫn vĩ mơ vật liệu đa tinh thể hỗn độn không gian chiều, với C3 =2; ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; hệ số cố định C1 = 5, C2 = 10 Các bảng đánh giá HSD số vật liệu đa tinh thể (d=2) Trong mục này dựa kết đánh giá đưa đánh giá hệ số dẫn vĩ mô cho số loại vật liệu đa tinh thể có tự nhiên, số liệu hệ số dẫn khơng gian hai chiều C1 , C2 dựa tài liệu 21 Landolt-Bornstein,(1982-[32]), Touloukian (1970-[79]) Để đánh giá tính U −C L xác dựa thơng số độ rộng s = C C U +C L Bảng 4.1: Hệ số dẫn nhiệt (đơn vị 10−1 W cm−1 K −1 ) số loại đa tinh U L U L thể so sánh biên Hill (CH , CH ), Hashin-Shtrikman (CHS , CSH ) biên đánh giá (C U , C L ) Crystal Ga Se Tb Te Bi Tm Lu TiO2 Ho Sn U U L L C1 C2 CH CSH CU CL CSH CH s 8.83 4.06 6.445 6.072 6.003 5.971 5.903 5.562 0.002 0.130 0.452 0.291 0.256 0.246 0.238 0.229 0.201 0.016 0.95 1.48 1.125 1.188 1.186 1.185 1.182 1.157 0.000 0.208 0.396 0.302 0.289 0.287 0.286 0.284 0.272 0.001 0.915 0.528 0.721 0.698 0.695 0.694 0.691 0.669 0.000 1.41 2.42 1.915 1.856 1.848 1.846 1.838 1.781 0.000 1.38 2.32 1.850 1.797 1.790 1.788 1.781 1.730 0.000 0.621 1.04 0.830 0.807 0.804 0.803 0.800 0.777 0.000 1.39 2.20 1.795 1.753 1.749 1.748 1.743 1.703 0.000 7.42 5.15 6.285 6.191 6.182 6.180 6.172 6.080 0.000 Bảng 4.2: Hệ số dẫn điện (đơn vị M Sm−1 ) số loại đa tinh thể so sánh biên Hill (cUH , cLH ), Hashin-Shtrikman (cUHS , cLSH ) biên đánh giá (cU , cL ) Crystal c1 c2 cUH cUSH cU cL cLSH cLH Ga 6.25 1.98 4.115 3.675 3.561 3.475 3.367 3.007 Sc 1.56 4.21 2.885 2.637 2.580 2.544 2.490 2.276 Lu 1.47 3.27 2.370 2.226 2.199 2.185 2.159 2.028 Tm 1.23 2.51 2.370 2.149 2.095 2.060 2.009 1.821 Ho 1.07 1.83 1.450 1.406 1.400 1.398 1.392 1.350 Os 11.1 17.5 14.300 13.978 13.942 13.932 13.896 13.583 Dy 0.96 1.44 1.200 1.178 1.176 1.175 1.173 1.152 U 4.23 2.77 3.500 3.431 3.423 3.422 3.415 3.347 Sn 11.09 7.69 9.390 9.248 9.236 9.233 9.220 9.082 Ru 15.12 19.45 17.285 17.157 17.149 17.148 17.140 17.013 22 4.4 Kết luận Trên kết xây dựng đánh giá trên, đánh giá cho hệ số dẫn vĩ mô C ef f vật liệu đa tinh thể hỗn độn không gian d chiều thông qua nguyên lý lượng cực tiểu nguyên lý lượng bù cực tiểu Với trường mở rộng tổng quát so với trường phân cực Hashhin-Strikman giúp cho kết đánh giá nằm đánh giá trước thể phần áp dụng tính tốn cho trường hợp cụ thể Bài toán xây dựng trường hợp d chiều nên có tính tổng qt áp dụng kết nhiều trường hợp không gian khác d = 2, Các kết ngắn gọn giúp cho cơng việc lập trình tính tốn đơn giản Các kết chương cơng bố cơng trình khoa học [1],[4] mục cơng trình cơng bố luận án KẾT LUẬN CHUNG Luận án xây dựng đánh giá hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần đa tinh thể hỗn độn có bao hàm thơng tin bậc ba hình học pha vật liệu Phương pháp FFT áp dụng cho số mơ hình vật liệu tuần hồn so sánh với đánh giá trước Hill, HS đánh giá biến phân luận án Những đóng góp luận án: Xây dựng đánh giá bao gồm cận cận hệ số dẫn vĩ mô vật liệu đẳng hướng n thành phần không gian d chiều tổng quát Biểu thức đánh giá đơn giản giúp cho việc áp dụng tính tốn thuận tiện cho mơ hình vật liệu cụ thể Xây dựng đánh giá bao gồm cận cận hệ số dẫn vĩ mô cho loại vật liệu đa tinh thể hỗn độn không gian d chiều Với vật liệu đa tinh thể việc thiết lập đánh giá có phần phức tạp so với vật liệu nhiều thành phần hệ số dẫn đơn tinh thể sở tenxơ bậc hai Áp dụng đánh giá cho số mô hình vật liệu nhiều thành phần 23 có thơng tin bậc ba biết hình học pha vật liệu Đối với vật liệu đa tinh thể áp dụng biểu thức đánh giá thiết lập để đánh giá hệ số dẫn vĩ mô cho số loại đa tinh thể có tự nhiên Các kết áp dụng cho thấy đánh giá xây dựng tốt so với đánh giá trước Hill, Hashin-shtrikman đánh giá trước Pham D.C Điều thể tính hiệu phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp số FFT để tính tốn cho số mơ hình vật liệu có cấu trúc tuần hồn nhằm tìm kiếm cơng cụ khác để tìm HSD vĩ mơ vật liệu Từ so sánh FFT với đánh giá thiết lập tìm kết tối ưu nhất cho toán đồng hóa vật liệu Sử dụng chương trình tính tốn số với ngơn ngữ lập trình MATLAB để thiết lập véc tơ, ma trận tính tốn đánh giá mới, tối ưu tham số hình học vật liệu cụ thể Xây dựng chương trình tính đánh giá với cách sử dụng đơn giản giúp cho nhà kỹ thuật có cơng cụ áp dụng tính tốn thiết kế, dự đốn mẫu vật liệu theo mong muốn Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu Xây dựng trường cho đánh giá tốt ( cận trên, HSD vĩ mô sát hơn) Từ kết xây dựng luận án phát triển tiếp đánh giá áp dụng cho số loại vật liệu phức tạp dạng cốt liệu khơng trịn Kết hợp đánh giá với mô số FFT phương pháp xấp xỉ để nghiên cứu, tính tốn cơng cụ áp dụng với nhiều mơ hình phức tạp Các đánh giá mô đun đàn hồi cho vật liệu đa tinh thể vấn đề phức tạp nhiều quan tâm nghiên cứu thời gian tới 24 ... vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần đa tinh thể hỗn độn Mục tiêu luận án Xây dựng đánh giá trên, cho hệ số dẫn vĩ mô vật liệu tổ hợp nhiều thành phần đa tinh thể hỗn độn Áp dụng kết đánh giá... giá hệ số dẫn cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn không gian d chiều Sử dụng nguyên lý lượng cực tiểu nguyên lý lượng bù cực tiểu để xây dựng đánh giá trên, cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn Trong đưa... mô cho loại vật liệu đa tinh thể hỗn độn không gian d chiều Với vật liệu đa tinh thể việc thiết lập đánh giá có phần phức tạp so với vật liệu nhiều thành phần hệ số dẫn đơn tinh thể sở tenxơ bậc