Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (LA tiến sĩ)
Trang 1
VIEN HAN LAM KHOA HOC VA CONG NGHE VIET NAM HOC VIEN KHOA HOC VA CONG NGHE
NGUYEN VAN LUAT
DANH GIA CAN TREN, DUGI VA XAP Xi TINH HE sé DAN CUA VAT LIEU
NHIEU THANH PHAN VA DA TINH THE
LUAN AN TIEN Si CO KY THUAT
Hà Nội - 2017
Trang 2
VIEN HAN LAM KHOA HOC VA CONG NGHE VIET NAM HOC VIEN KHOA HOC VA CONG NGHE
NGUYEN VAN LUAT
DANH GIA CAN TREN, DUGI VA XAP Xi
TINH HE SO DAN CUA VAT LIEU
NHIEU THANH PHAN VA DA TINH THE
Chuyén nganh: Co ky thuat
Mã số: 62 52 01 01
LUAN AN TIEN Si CO KY THUAT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1.PGS.TSKH PHAM ĐỨC CHÍNH
2.TS NGUYÊN TRUNG KIÊN
Hà Nội - 2017
Trang 3
LOI CAM DOAN
Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu riêng của tôi, mọi số liệu và kết quả trong luận án là trung thực và cũng chưa có tác giả khác công bố ở bắt cứ cơng trình nghiên cứu nào từ trước tới nay
Tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình này Nghiên cứu sinh
NGUYEN VAN LUAT
Trang 4
LOI CAM ON
Tôi xin chân thành gửi lời cám ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Phạm Đức Chính và
TS Nguyễn Trung Kiên những người luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi thực hiện các nghiên cứu khoa học giúp cho tơi hồn thành luận án này
Tôi cũng xin gửi lời ơn đến các Thầy, Cô đã giảng dạy tôi trong khuôn khổ chương trình đào tạo Tiến sỹ, nhóm Seminar khoa học tại Viện Cơ học, các đồng nghiệp, Khoa đào tạo sau đại học-Viện Cơ học đã luôn giúp đỡ tạo mọi điều kiện cho tơi hồn thành luận án
Các nghiên cứu trong luận án cũng được hỗ trợ bởi Quỹ phát triển Khoa học và Công nghệ quốc gia (NAEOSTED)
Cuối cùng xin gửi lời cám ơn đến ĐH Công nghiệp Hà Nội, Khoa Cơ khí và
Trang 5Muc luc
LỜI CAMĐOAN i LOICAMON .0 00000 cee eee ee ii
Danhsáchbảng ix
Những kí hiệu và chữ viết tắt xi
MODAU 0.0.0.0 0c cee eee |
Chuong 1 TONG QUAN 5
ll MODAU 2 eee 5
1.2 LỊCH SỬ TIẾP CẬN ĐỒNG NHẤT HOA VA QUA TRINH DANH
GIÁ HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU 9
13 KẾTLUẬN Quy 19
Chương 2 ĐÁNH GIA BIEN PHAN CAN TREN, DƯỚI HỆ SỐ DẪN
CUA VAT LIEU DANG HUGNG NHIEU THANH PHAN TRONG
KHONG GIAN d CHIEU 20
21; Danhpidtrén e520 s eee wwe ewe Ewe HS ee ew 20
2.2 Danhgiddugi 2 ee ee 26
23: Ap dụng tính tốn hệ số dẫn (HSD) vĩ mô cho một số mơ hình vật
¡00 .d HH 29
2.3.1 mơ hình quả cầu lồngnhau 30
2.3.2 Mơ hình vật liệu đối xứngbapha 34
2.3.3 Mô hình vật liệu tổ hợp hai pha dạng nền, cốt liệu tròn 36
24 Kếtluận Q Q Q Q Q2 46
Chuong 3 MO PHONG SO FFT VA SO SANH VOI CAC ĐÁNH GIÁ
CHO MOT SO MO HiNH VAT LIEU 47
Trang 63.2.1 3.2.2:
M6 hinh vat liéu hai pha dang huéngngang 51 Mô hình vật liệu hai pha gồm các quả cầu sắp xếp tuần hoàn 53 3.2.3 So sánh FFT giữa các mơ hình vật liệu ba pha có cấu trúc
tuần hồn trong không gian haichiu 35
3.2.4 So sánh giữa các mơ hình vật liệu ba pha có cấu trúc tuần
hồn trong khơng gian bachiu 60
3.3 Kếtluận Q Q Q Q Qua 63
Chương 4 ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CHO VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ
HON DON TRONG KHONG GIAN d CHIEU 64
4.1 Danhgiatrén 2.2 2 ee 64 42 Đánhgiádưới 2Q 2Q 70 4.3 Áp dụng đánh giá một số trường hợp cụthể_ 75 44 Kếtluận ee 84 KẾT LUẬN CHUNG 85 Các cơng trình đã cơng bố 87
Trang 7Danh sach hinh ve 1.1 1.2 1;3 1.4 1:5 1.6 1.7 2.1 2.2 23 2.4 25 2.6 2.7 2.8 2.9
Vật liệu composite nên nhôm (AI), cốt là những quả cầu gốm (Ce-
7/7128) 5P ẼẺẺ 86 .- a( 10 Mơ hình quả cầu lồng nhau (a) Quả cầu lồng nhau 2 pha, (b)
Quả cầu lồng nhau 3pha 10
Vật liệu composite dạng cỖtsợi 10
Vật liệu tổ hợp ngẫu nhiên hoàn toàn 1,2,3pha 11
Vật liệu đa tỉnh thểhỗn độn 12
Mơ hình thí nghiệm (a) Thiết bị ảo hệ số dẫn nhiệt H-940, (b) Các mẫu thử vật liệu tổng hợp bakelite-graphite 17
Kết quả so sánh thực nghiệm và lý thuyết của vật liệu tổ hợp bake- lite-graphite 2 yew a em ER MEMES ewe we ee E3 18 mé hinh qud cduléng nhau2 pha oo ee 30 Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 2 pha: pha cốt liệu Œ\ = 2, pha nên C› = 20, trong không gian 2 chiều 31
Đánh gid HSD vi mé qua cdu léng nhau 2 pha: pha cét liéu C, = 2, pha nên C› = 20, trong không gian 3 chiều 31
mơ hình quả cầu lồng nhau 3pha 33
Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lông nhau 3 pha: 2 pha cốt liệu Œi = 1,Ca = 5, pha nên C3 = 20, trong không gian 2 chiều 33
Đánh giá HSD vĩ mô quả câu lỗng nhau 3 pha: 2 pha cốt liệu Œi = 20, Cy = 5, pha nén C3 = 1, trong không gian 3 chiều 33
Vật liệu tổ hợp đẳng hướng đối xứng 35
Đánh giá HSD vi mé vat liéu déi xing 3 pha C, = 20,C2 = 5, Ca = 1, trong không gian 2 chiều 85
Trang 82.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18
Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nên C, = l1, cốt liệu Ca = 10 trong không gian 2 chiêu (a) Cầu trúc của vật liệu có cốt liệu hình trịn sắp xếp dạng hình vng (b) Đô thị kết quả đánh giá cận trên, đưỚi Q Ặ Q Q Q S S Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nên C, = 1, cốt liéu Cy = 10 trong không gian 2 chiêu (a) Cau tric cua vat liệu
có cốt liệu hình trịn sắp xếp dạng hình lục giác (b) Dé thị kết quả
đánh giá cận trên, dưới Ặ Ặ Q Q Vi Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nên C, = 1, cot
liệu C› = 10 trong không gian 2 chiêu (a) Cầu trúc của vật liệu
có cốt liệu hình trịn cùng kích cõ sắp xếp ngẫu nhiên không chông
lắn (b) Đà thị kết quả đánh giá cận trên, dưới
Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nên | = 1, cốt liệu Ca = 10 trong không gian 2 chiêu (a) Cầu trúc của vật liệu có cốt liệu hình trịn cùng kích cỡ sắp xắp ngẫu nhiên chông lắn (b) Đồ thị kết quả đánh giá cận trên, dưới Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha C, = 1,C› = 10 trong không gian 2 chiêu (a) Cầu trúc của vật liệu 2 pha, các quả cầu pha phân bô hỗn độn dạng đối xứng (b) Đồ thị kết quả đánh giá
cận trên, HỚI Ặ Q Q Q Q SH HH va
Vật liệu có cấu trúc lập phương trong không gian 3 chiêu (a) lập phương đơn giản (simple cubic) (b) lập phương tâm khối (body-
centered cubic) (c) lập phương tâm mặt (face-centered cubic)
Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiêu có cầu trúc lập phương đơn giản với pha nên Ơ\ = 10, pha cốt ligwCg=2 23 8h ea DERM RTH ETE RE ES RS Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có cầu trúc lập phương tâm khói với pha nên Œ\ = 10, pha cốt liduCg=2 hố he Aa Tá Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong khơng gian 3 chiêu có cầu trúc lập phương tâm mặt với pha nên C, = 10, pha cot liệu CỔ 5 eee Hie EH EE MEN DER wee we wR Ee
Trang 9vii
2.19 Mơ hình quả cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên trong không gian 3 chiêu (a) Quả câu không chông lắn ngẫu nhiên (b) Quả
câu chồng lắn ngẫu nhiên
2.20 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có câu trúc quả câu ngẫu nhiên không chông lắn với pha nên C\ = 5, pha cốt liệu Ca lỗ
2.21 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều
có cầu trúc quả cầu ngẫu nhiên chông lấn với pha nên C\ = 5,
pha cốt liệu CŒạ = lỗ_ Ặ Q Q Q Q Q Q2
3.1 Mơ hình vật liệu tuần hoàn và phân tử đặc trưng
3.2 Mơ hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang đi với hệ sô dẫn (a)
Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình vng, (b) Cốt liệu trịn sắp xếp dạng hình lục giác ee 3.3 Kết quả FFT hệ sô dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp
xếp dạng hình vuông trong không gian 2 chiêu, Ởyy = 1, = 10 3.4 Kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp
xếp dạng hình lục giác trong khơng gian 2 chiêu, Cạị = 1, =
WO ee
3.5 Mô hình vật liệu tuần hồn trong không gian 3 chiều (a) Cầu trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xắp dạng lập phương
đơn giản (b)Kết quả sô FFT với Ởụ = 1,Œy=10
3.6 Mơ hình vật liệu tuần hồn trong khơng gian 3 chiêu (a) Cầu
trúc của vật liệu có cốt liệu hình trịn sắp xếp dạng lập phương tâm khói (b)Kết quả sô FFT với Cu =1,C;=10
3.7 Mơ hình vật liệu tn hồn trong khơng gian 3 chiêu (a) Cấu
trúc của vật liệu có cốt liệu hình trịn sắp xếp dạng lập phương tâm mặt (b)Kết quả sô FFT với Ởụ = 1,Cr=10
3.8 Mơ hình có cấu trúc hình vng «2 oe
3.9 Mơ hình có cấu trúc hình lục giác
3.10 mơ hình dạng ngẫu nhiên
3.11 So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mơ hình cho trường hop Cu = 1, Œ, =20,nN —=ð_ Ặ Ặ Ặ QC
Trang 103.12 3.13 3.14 3.15 3.16 4.1 4.2 4.3
So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mơ hình cho trường hop Car = 5; Oy 1, Gam 20 nce wees cere eres ews So sánh kết quả FFT hệ só dẫn vĩ mô giữa các mơ hình cho trường
hợp nạ; = 20, Œ,— l,nNn —=5 ee ee ee
Mơ hình vật liệu dạng quả cầu lông nhau sắp xếp tuần hoàn (a) Lập phương đơn giản (b) Lập phương tâm khói (c) Lập phương
(GUM, gk RARER EMRE EERE REHM E ERS
So sdnh két qua FFT hé sé dan vi mé gitta cdc mé hinh cho truéng hop Gig = 1,.Cig = 5, Cy = 20 ac enews ewe eae w ea we So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mơ hình cho trường hop Gu = 20, Cm = 5) Gg Hl etme ae ee cme mae m a awe
Đánh giá hệ sô dẫn vĩ mô của vật liệu đa tỉnh thể hỗn độn trong
không gian2 chidu oo ee
Đánh giá hệ sô dẫn vĩ mô của vật liệu đa tỉnh thể hỗn độn trong không gian 3 chiêu, véi C3 =2; 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7;
7.5; 8 va cdc hé sé cé dink CC; = 5,C2=10 Đánh giá hệ sô dẫn vĩ mô của vật liệu đa tỉnh thể hỗn độn trong không gian 3 chiêu, với Ca =2; 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; Ó; 6.5; 7;
Trang 11Danh sach bang
Bảng 2.1 Thơng tin hình học bậc ba @› cho vật liệu với các cấu trúc: Square, Hexagonal, non-overlapping, overlapping (Torquato,2002-[73 |)
Bảng 2.2 Thơng tin hình học bậc ba é› cho vật liệu với các cấu tric: simple cubic,
body-centered cubic, face-centered cubic (Torquato,2002-[73])
Bảng 2.3 Thông tin hình học bậc ba é¿ cho vật liệu dạng với các cầu trúc: random non-overlapping, random overlapping (Torquato,2002-[73])
Bảng 4.1 Biên Hashin-Shtrikman (C#«, Cš,„) và biên đánh giá mới (CƯ, C1) với
C; = l; 1.5; 2; 2.5; 3; 3.5; 4; 4.5; 5, Ơi = 1 và ej"**, e"“" tương ứng khi CỮ°, T1° đạt tới giá trị Max và Min
Bảng 4.2 Biên Hashin-Shtrikman (Cả Cần) và biên đánh giá mới (CỬ, C1) với
C3 = 2;3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; 8, Cị = 5,Ca = 10 và cTte*, em tương ứng khi CU*, Ở1* đạt tới giá trị Max và Min
Bảng 4.3 Biên Hashin-Shtrikman (Cƒ;¿, C#„„) và biên đánh giá mới (CỨ, C”) với
Ca =3; 3.5: 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; 8, Cy = 2, Cy = 15 va ef", ene tương
ứng khi CU*, 71* đạt tới giá trị Max và Min
Bảng 4.4 Hệ số điện môi của một số loại đa tinh thể trong đó so sánh biên HiII
(CƠ, Ơ#), Hashin-Shtrikman (C#,«, Cš,) và biên đánh giá mới (CỨ, C1) trong
không gian 2 chiều
Bang 4.5 Hé s6 dan nhiét (don vi 10-'Wem-!K~—!) cia mét sé loai da tinh thé trong đó so sánh biên HiII (C7, C7), Hashin-Shtrikman (Cƒr¿, CZ„;) và biên đánh
giá mới (CU, C1”) trong không gian 2 chiều
Bảng 4.6 Hệ số dẫn điện (đơn vị ASm~}) của một số loại đa tỉnh thể trong đó
so sánh biên HilI (cƒ,, cý), Hashin-Shtrikman (c7;s,cš;) và biên đánh giá mới
(cỦ, e) trong không gian 2 chiều
Trang 12(CY, Ct), Hashin-Shtrikman (CY.,, C£;,) và biên đánh giá mới (CỨ, C7) trong
không gian 3 chiều
Bảng 4.8 Hệ số dẫn nhiệt (đơn vị 10~!1Wem~!IZ~) của một số loại đa tinh thể
trong đó so sánh biên HiII (Cử, C4), Hashin-Shtrikman (Cle, Cle) và biên đánh
gid mdi (CY, Ở”) trong không gian 3 chiều
Bảng 4.9 Hệ số dẫn điện (đơn vị AƒSm—) của một số loại đa tỉnh thể trong đó
so sanh bién Hill lên of) Hashin-Shtrikman ce tea) và biên đánh giá mới
Trang 13Ký hiệu và chữ viết tắt thường sử dụng CL HSD FFT New bound HS inf RVE
thông tin hình học bậc ba của vật liệu
hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu
số chiều khơng gian tốn tử Kronecker
toán tử Gradient
toan ttt Laplace (A = V - V) vectơ gradient của hàm liên tục hàm Green
hàm chỉ số hình học pha œ hàm thế điều hịa
trung bình thể tích trên miền V
trường dịng (nhiệt, điện )
tỉ lệ thể tích pha œ
Trung binh céng sé hoc Voigt (Cy = >> vaCa) a
Trung bình cộng điều hoa Reuss (Cr = (> a)
Cận trên của hệ số dẫn vĩ mô Cận dưới của hệ số dẫn vĩ mô hệ số dẫn
phương pháp biến đổi Fourier nhanh đường đánh giá mới của luận án Hashin-Shtrikman
cận dưới
Trang 14MỞ ĐẦU
Cơ sở khoa học và ý nghĩa của luận án
Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (vật liệu Composite) và vật liệu đa tinh thể
hỗn độn là những vật liệu được sử dụng chủ yếu trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống hiện nay Vì vậy việc nghiên cứu các tính chất của các loại vật
liệu này là rất cần thiết và có tính thời sự cho việc ứng dụng thực tế Khác với vật liệu thuần nhất vật liệu tổ hợp có cấu trúc vi mô khác nhau giữa các thành phần
trong đó và sự tương tác giữa chúng là rất phức tạp Vật liệu tổ hợp về mặt vi mơ có cấu tạo các thành phần khác nhau nhưng về mặt vĩ mô là đồng nhất Do có nhiều thành phần cấu thành với đặc trưng riêng biệt cho nên tính chất vĩ mơ (tính
chất hiệu quả) của vật liệu cũng sẽ thay đổi so với các tính chất thành phần trong
nó Tính chất vĩ mơ phụ thuộc vào tính chất của từng thành phần cấu thành và cầu trúc hình học vi mô của vật liệu nên việc xác định tính chất vĩ mơ là rất phức tạp và là hướng nghiên cứu cơ bản hiện nay của khoa học vật liệu
Hướng nghiên cứu trong luận án tập trung vào việc tìm các tính chất dẫn vĩ mô (dẫn nhiệt, điện, thấm từ, tán xạ ) của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể
hỗn độn Các tính chất dẫn này có vai trị đặc biệt quan trọng trong việc chế tạo vật liệu và ứng dụng các vật liệu tổ hợp trong kỹ thuật Ví dụ như các loại vật liệu nền polyme cốt sợi được sử dụng rất nhiều trong các lĩnh vực hàng không, công
nghiệp ô tô, hàng hải, vi điện tử, bảng mạch điện tử, dân dụng khi gia cố các loại
cốt sợi khác nhau như sợi thủy tinh, cacbon, kim loại dẫn đến các tính chất cơ-lý
như tính dẫn điện, dẫn nhiệt, độ từ thẩm, tán xạ khác nhau Để ứng dụng được
trong thực tế thì cần xác định được các tính chất dẫn này Trong kỹ thuật hiện nay thường sử dụng các đánh giá của Wiener, Voigt, Reuss va Hill 1a lay trung binh cộng số học và trung bình cộng điều hịa làm giá trị hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp Tuy nhiên khi các hệ số dẫn thành phần khác nhau nhiều thì các đánh giá này cho két qua x4p xỉ không chính xác Luận án đã xây dựng được các đánh giá trên, dưới của hệ số dẫn vĩ mô tốt hơn các đánh giá trước đây cho phép tìm ra được các
hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp chính xác hơn Các kết quả đó cũng giúp cho việc thiết kế các loại vật liệu tổ hợp mới theo các tính chất dẫn phù hợp với yêu
Trang 15Mục tiêu của luận án
Xây dựng các đánh giá trên, dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp nhiều thành phần và đa tinh thể hỗn độn
Áp dụng kết quả đánh giá mới cho một số mơ hình vật liệu cụ thể Sử dụng công cụ số dựa trên phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) như một cách tính chính xác thay cho thực nghiệm để so sánh với đánh giá mới tìm được cho một số mơ hình vật liệu có cấu trúc tuần hồn
Đôi tượng của luận án
Các hệ số dẫn vĩ mô (hệ số dẫn hiệu quả) như hệ số dẫn nhiệt, điện, tán xạ, từ
thẩm, điện môi, thấm nước của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần và đa tỉnh
thể hỗn độn
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số
e Phương pháp giải tích (phương pháp theo đường hướng biến phân) dựa trên nguyên lý biến phân (nguyên lý năng lượng cực tiểu) và nguyên lý biến phân
đối ngẫu (nguyên lý năng lượng bù cực tiểu) Từ đó xây dựng các biên trên,
biên dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu
e Phương pháp số sử dụng phương pháp biến đổi Fourier nhanh để đưa ra thuật
toán lặp và sử dụng chương trình Matlab để tính cho một số mơ hình vật liệu có cấu trúc tuần hồn trong khn khổ của phương pháp FFT Kết quả FFT được coi như một cách tính chính xác để so sánh với kết quả đánh giá theo
đường hướng biến phân
Những đóng góp của luận án
e Xây dựng được đánh giá mới bao gồm cận trên và cận dưới hệ số dẫn vĩ mô
của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể hỗn độn
e Áp dụng các đánh giá mới cho một số mơ hình vật liệu nhiều thành phần đã biết thông tin bậc ba về hình học pha Kết quả áp dụng cho thấy đánh giá mới
Trang 16đó Với vật liệu đa tinh thể hỗn độn áp dụng tính toán cho một số loại đa tỉnh
thể có trong tự nhiên cũng cho kết quả tốt hơn các đánh giá trước đó của HiII
va Hashin-Shtrikman (HS)
e Sử dụng phương pháp FFT để tính cho một số mơ hình vật liệu có cấu trúc tuần hồn nhằm mục đích so sánh với đánh giá mới tìm được Bên cạnh đó cũng bước đầu xây dựng được thuật toán và chương trình số như một hướng
đi trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí bao gồm: quốc
té (01 bai SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) và
tuyển tập các báo cáo hội nghị trong nước (03 báo cáo hội nghị)
Câu trúc của luận án
Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bồn chương, cụ
thể:
Chương 1: Tổng quan
Trình bày về lịch sử quá trình đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu trong đó
đưa ra các kết quả nổi bật đã được công bố trước đây Các phương pháp được sử
dụng trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu, từ đó đưa ra phương pháp tiếp cận của luận án thông qua các nguyên lý năng lượng và phương pháp số FFT để so sánh
Chương 2: Đánh giá biến phân cận trên, dưới hệ số dẫn của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần trong không gian d chiều
Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu, trong đó đưa ra các trường khả dĩ mở rộng hơn của trường phân cực Hashin- Shtrikman Đi sâu vào trình bày chi tiết để xây dựng được đánh giá trên, dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần Sử dụng kết quả đánh giá mới áp dụng cho một số mơ hình vật liệu đã biết thông tin bậc ba hình học pha và có so sánh với các đánh giá trước đây
Chương 3: mô phỏng số FET và so sánh với các đánh giá cho một số mơ hình vật liệu
Xây dựng thuật toán số FET để tính tốn hệ số dẫn vĩ mô cho một số mơ hình
Trang 174
nhằm so sánh với kết quả đánh giá ở chương 2
Chương 4: Đánh giá hệ số dẫn cho vật liệu đa tỉnh thể hỗn độn trong không
gian d chiều
Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu để
xây dựng đánh giá trên, dưới cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn Trong đó đưa ra các
trường khả dĩ có chứa thơng tin hình học pha của vật liệu, tổng quát hơn trường khả dĩ của Hashin-Shtrikman và Pham D.C Áp dụng vào cho một số loại đa tỉnh
thể có trong tự nhiên cho thấy kết quả đánh giá mới tốt hơn các đánh giá đã công
bồ trước đó
Kết luận chung
Trang 18TONG QUAN
11 MỞ ĐẦU
Xác định tính chất vĩ mơ (tính chất hiệu quả) của vật liệu hay đồng nhất hóa vật liệu là một hướng nghiên cứu thuộc lĩnh vực khoa học vật liệu đã được nghiên cứu từ khá sớm (cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20) và cho đến nay đã đạt được những thành tựu thông qua những kết quả đạt được đóng góp cho sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật Các loại vật liệu tổ hợp, vật liệu thông minh được áp
dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật cho thấy tầm quan trọng của ngành
khoa học này Đồng nhất hóa vật liệu là quá trình xây dựng, tính tốn để tìm các tính chất vĩ mô của các vật liệu không đồng nhất Các tính chất vĩ mơ của vật liệu
tổ hợp (hệ số dẫn nhiệt, điện, thắm từ, đàn hồi ) phụ thuộc vào nhiều yếu tố phức tạp như các tính chất tương ứng của các vật liệu thành phần, cấu trúc hình học, tỷ lệ thể tích các thành phần, liên kết biên tiếp xúc giữa các thành phần
Tính chất cơ-lý của vật liệu có nhiều vấn đề cần nghiên cứu nhưng trong luận án này tác giả đề cập đến một phần trong các tính chất đó là các hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu bao gồm nhiều dạng:
Hệ số dẫn nhiệt C là tenxơ bậc hai đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu, nói chung là khác nhau cho các hướng khác nhau đối với vật liệu đị hướng, được biểu diễn thơng qua phương trình truyền nhiệt Fourier
J(x) = —C(x) - E(x) (1.1)
trong đó E = VT (x) là vectơ gradient nhiệt, 7(x) là trường nhiệt độ, dòng nhiệt
J thỏa mãn phương trình cân bằng nhiệt:
V-J=0 (1.2)
Điều kiện biên có thể là cho trước trường nhiệt độ 7'(x) = 7°(x), hoặc dòng nhiệt J(x).n(x) = q°(x) trén toàn phần hoặc một phần biên vật thé, n(x) là pháp tuyến ngoài trên biên, 79(x) và q?(x) là các giá trị cho trước Trong trường hợp vật liệu
Trang 196
hướng thể hiện hệ số dẫn đẳng hướng Từ các phương trình (1.1) và (1.2) ta nhận
được phương trình Laplace :
AT = 0 (1.3)
Trong luận án này các mặt tiếp xúc giữa các thành phần được gia thiét 1a ly tuéng
nghĩa là các hàm số 7'(x) và J(x) : n(x) là liên tục qua mặt tiếp xúc, n(x) là pháp tuyến tại mặt tiếp xúc
Hệ số tán xạ 8 đặc trưng cho khả năng lan truyền của dòng vật chất (đổi hướng lan truyền của dòng vật chất khi đi qua một đơn vị độ dày), có thể được xác định thông qua định luật lan truyén Fick:
J=-(£-Vo (1.4)
trong đó J là dịng lan truyền thỏa mãn phương trình cân bằng (1.2), ø là mật độ vật chất
Hệ số dẫn điện c thỏa mãn định luật Ohm
J(x) = —c(x)E(x) = —c(x) - Vỏ(x) (1.5) trong đó J là trường dòng điện thỏa mãn phương trình cân bằng (1.2), ở là trường
điện thé
Hệ số thấm nước k được xác định thông qua định luật Darcy
k
q(x) = a - VP(x) (1.6)
trong dé P 1a áp lực nước, ¡; là hệ số nhớt của nước, q là trường dòng (tỉ lệ với tốc độ thắm v và độ rỗng của môi trường vật chất ø , q = øv) thỏa mãn phương trình cân bằng V - q =0
Hệ số điện môi (thấm điện) c đặc trưng cho tính chất điện của môi trường
điện môi được xác định qua phương trình:
D(x) =c- B(x) (1.7)
trong đó D là vectơ cảm ứng điện thỏa mãn phương trình cân bằng V - D = 0, E là cường độ điện trường
Hệ số thấm từ (độ từ thẩm) / là đại lượng đặc trưng cho tinh thấm từ của từ
trường vào vật liệu, nói lên khả năng phản ứng của vật liệu dưới tác dụng của từ
trường ngoài Thỏa mãn phương trình:
Trang 20trong đó B là cảm ứng từ thỏa mãn phương trình cân bằng V - B = 0, H là cường độ từ trường
Tất cả các tính dẫn trên đều có cấu trúc tốn học chung, đều dẫn tới thỏa mãn
phương trình Laplace và các kết quả đều có thể sử dụng chung với các chỉnh lý
tương ứng cho từng trường hợp cụ thể Từ đây về sau để cho đồng nhất chúng ta sẽ sử dụng ngôn ngữ của bài toán dẫn nhiệt Các tính chất dẫn đó cũng có vai
trị quan trọng trong các bài toán cơ-nhiệt, cơ-điện, điện-áp khi có sự tham gia tương tác của nhiều trường khác nhau
Để đánh giá hệ số dẫn hiệu quả vĩ mô của vật liệu tổ hợp không đồng nhất chỉ
cần đánh giá trên phan tử đặc trung V (RVE: Representative Volume Element) ctia vật liệu đó, phan tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cầu trúc vi mô để đại diện cho các tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thước
của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mơ có ý nghĩa Phần tử đặc trưng V được cấu thành bởi ø thành phần chiếm các không gian W{ C V và có các hệ số dẫn (nhiệt, điện, điện môi, thấm từ ) Œ¿„,œ = 1, ,ø› Phần tử đặc trưng V (thể tích V được coi là bằng 1) được gắn với hệ tọa độ Đề các {z\, za, +3} khi các
thành phần cấu thành phân bố hỗn độn hay đều theo mọi hướng trong khơng gian ta có thể coi vật liệu là đẳng hướng vĩ mô, các kích thước vi mơ là đủ lớn so với
kích thước phân tử để có thể được coi là môi trường liên tục
Có nhiều phương pháp được sử dụng để xác định tính chất vĩ mô của vật liệu như phương pháp theo đường hướng giải phương trình: giải trực tiếp các phương trình cơ học môi trường liên tục; các phương pháp số (FEM,FFT ) Trong luận án này tác giả để cập đến phương pháp năng lượng hay phương pháp theo đường hướng biến phân, đó là xác định hệ số dẫn hiệu quả thông qua việc tìm cực trị của các phiếm hàm năng lượng trên V Đặc điểm của bài tốn tính chất vĩ mơ là các thơng tin hình học pha của vật liệu rất hạn chế nên trong phần lớn các trường hợp
khó xác định chính xác một tính chất nào đó của vật liệu tổ hợp mà chỉ có thể tìm
được đánh giá cận trên và dưới đối với tính chất đó Như vậy phương pháp theo đường hướng biến phân xây dựng các đánh giá có ưu thế rõ ràng so với đường hướng giải phương trình mà địi hỏi cho trước hình học pha của vật liệu Cách thức chính để tìm các đánh giá là đi từ nguyên lý năng lượng cực tiểu Nguyên lý năng
lượng cực tiểu để tìm đánh giá trên cho vật liệu đẳng hướng vĩ mô n pha
C°IE".E°= i{ (E)=E° |E-C:-Edx (1.9)
Trang 218
và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (nguyên lý biến phân đối ngẫu) để tìm đánh
giá dưới
(C°?) *J9.J9—_ imf [uct sax (J)=J° (1.10)
V
trong đó E trong (1.9) là vectơ gradient của một hàm liên tục (nhiệt, điện, điện
môi, thấm từ ) trên V, E? là vectơ hằng, (e) là trung bình trên V, (e) = ử f edx
V Trường dòng J trong (1.10) thỏa mãn điều kiện cân bằng:
V-J=0
Mặt khác hệ số dan hiéu qua vi mé C°/! ciing c6 thé dude xac dinh trực tiếp từ
phương trình :
(J)=Œ°®) (1.11)
nếu lời giải cho các trường J và E trên V với các điều kiện biên đồng nhất được
xác định
Hệ số dẫn C(x) liên kết trường gradient E và trường dòng J
J(x) = C(x)E(x) (1.12)
C(x)=C“ kh¿ x€Vaạ, a=1, ,n (1.13)
Điểm nổi bật của phương pháp theo đường hướng biến phân là trường khả dĩ
lựa chọn (,, J) chỉ cần thỏa mãn một số phương trình cơ học nhất định nào đó, nếu như phiếm hàm (1.9) hoặc (1.10) đạt cực trị thì sẽ thỏa mãn hoàn toàn các phương trình cơ học cịn lại Với mỗi cách chọn trường khả dĩ đều cho được kết
quả đánh giá tương ứng, vì vậy bằng cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ với đầy đủ tới mức có thể các thông tin về cấu trúc hình học của vật liệu ta sẽ cho ra
đánh giá tốt nhất gần với các giá trị thực Ngoài ra phương pháp còn cho phép tìm
kiếm các cấu trúc hình học tối ưu cho được tính chất hiệu quả đạt tới giá trị lớn
nhất (nhỏ nhất)
Với những cách tiếp cận như trên, các nhà nghiên cứu đã xây dựng những trường phái riêng cho vấn đề đồng nhất hóa vật liệu và sau đây trong luận án nêu lên những nét lịch sử và kết quả nổi bật của các tác giả đi trước trong việc tìm ra các đánh
Trang 221.2 LICH SU TIEP CAN DONG NHAT HOA VA QUA TRINH
DANH GIA HE SO DAN CUA VAT LIEU
Những kết quả nghiên cứu đầu tiên được công bố ở cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ
20 về tính chất các môi trường liên tục của vật liệu nhiều thành phần Tiếp đến là
các mô hình vật liệu tổ hợp được nghiên cứu dưới nhiều dạng cấu trúc khác nhau Một loại vật liệu phi đối xứng dạng nền-cốt liệu được nghiên cứu từ năm
1892 bởi Maxwell [35], réi sau d6 dén Bruggeman (1935-[3]), Landau (1960- [34]), Hashin-Shtrikman (1962-[23]), Beran (1971-[4]), Christensen (1979-[13]),
Pham(1997-[50])) Bắt đầu từ vật liệu chứa tỉ lệ nhỏ các hạt cốt liệu lý tưởng hình cầu và ellipsoids phân bố cách xa nhau trong pha nền liên tục Pha nên liên tục có ảnh hưởng lớn hơn đến các tính chất vĩ mô so với các pha khác từ các hạt cốt liệu phân bồ rời rạc trong pha nền, ở đây không có một biểu diễn tốn học chung cho
mọi loại vật liệu dạng nền-cốt liệu (hình 1.1) Mơ hình đơn giản nhất cho vật liệu dạng nền-cốt liệu hai pha là mơ hình quả cầu lồng nhau (hình 1.2 a): Mơ hình quả
cầu đồng tâm với lõi là pha cốt liệu vỏ thuộc pha nền với cùng tỷ lệ thể tích cho trước và tồn bộ không gian vật liệu được lấp kín một cách hỗn độn bởi các quả cầu lồng nhau như vậy-đồng dạng nhưng có kích thước khác nhau tới vô cùng bé
Trong một số các trường hợp pha cốt liệu được bọc bởi một lớp tiếp xúc trước khi
phân bồ trong một pha nền liên tục, vật liệu như vậy có thể xấp xỉ theo mô hình quả cầu lồng nhau ba pha (hình 1.2 b) Trong thực tế cũng thường gặp các loại vật liệu tổ hợp dạng nền được gia cô cốt hạt hoặc cốt sợi (fiber-reinforced composites)
để làm tăng hoặc giảm tính chất nào đó của pha nền Ví dụ như vật liệu nền nhôm khi đưa thêm vào các quả cầu gồm rỗng ở hình 1.1 có thể làm giảm khối lương, tăng độ bền, giảm tính dẫn nhiệt, dẫn điện Các vật liệu cốt sợi khi cần xác định
hệ số dẫn vĩ mô theo phương ngang thì mặt cắt ngang có thể được lý tưởng hóa bằng một trong các mơ hình cốt liệu trịn sắp xếp dạng hình vuông, lục giác hoặc
Trang 2310
Hình 1.2: Mơ hình quả câu lồng nhau (a) Quả cầu long nhau 2 pha, (b) Qua cdu léng nhau 3 pha Square array Unit cell Model
fe -
Hexagonal array
Bes C}
Random array
Fiber volume fraction, vg
Hình 1.3: Vật liệu composite dang cét soi
Trang 24sung lên hình học pha của vật liệu: các pha có cấu trúc hình học vi mô như nhau
mặc dù tỉ lệ thể tích khác nhau (hình 1.4) Có thể gọi vật liệu này là loại liệu tổ
hợp ngẫu nhiên hoàn toàn Pham D.C (1994-[48],1996-[49]) là sự kết hợp của các vật liệu thành phần phân bố ngẫu nhiên (hỗn độn) trong không gian với hình học pha tựa như nhau (loại vật liệu này còn được gọi là vật liệu đối xứng theo Miller
[39] hay vật liệu có thể đổi chỗ cho nhau Bruno [6])
single phase
Hình 1.4: Vật liệu tổ hợp ngẫu nhiên hoàn toàn 1,2,3 pha
Một lớp vật liệu phức tạp hơn đó là vật liệu đa tinh thể với các thành phần vật
liệu là các đơn tinh thể dị hướng cũng đã được đề cập đến trong nhiều nghiên
cứu HiII (1952-[27]), Landolt (1982-[32]), Schulgasser (1983-[71]), Avellaneda (1988-[1]), Bruno (1991-[6]), Helsing (1994-[29]) Xét ở mức độ kích thước tỉnh
thể phần lớn các vật liệu có trong thực tế là các đa tinh thể được cấu tạo bởi các đơn tinh thể dị hướng (hình 1.5) Do các đơn tinh thể phân bố hỗn độn ngẫu nhiên theo mọi hướng nên đa tinh thể có thể có được tính chất đẳng hướng vĩ mô Các
đơn tinh thể thường có kích thước mỗi chiều tới hàng chục, trăm ngàn nguyên tử hoặc hơn nên có thể cũng được xem là môi trường liên tục với các tính chất dị hướng trong nghiên cứu tính chất hiệu quả của đa tinh thể Tính chất của da tinh
thể phụ thuộc vào tính chất của các đơn tinh thể cơ sở và hình học vi mơ, do hình học vi mơ ngẫu nhiên nên khơng thể có được tính chất xác định của đa tinh thé ma
chỉ có thể có được đánh giá trong một giới hạn nhất định
cho hệ số dẫn của hỗn hợp dạng nền cốt liệu với pha nền là chủ đạo (0ạ; ~ 1) và
tỷ lệ nhỏ các hạt cốt liệu cau (vy < 1) sắp xếp theo trật tự lập phương tuần hoàn 2CM + Cr+ 20;(C¡ — Cy)
2Cy + Cr — v7 (Cr — Cry)
Wiener (1912-[77]), Voigt (1928- [75]), Reuss (1929-[68]) da dua ra các công
Trang 2512 TT 1` \ \ Hình 1.5: Vật liệu đa tỉnh thể hỗn độn
thức trung bình cộng số học (Voigt) và trung bình cơng điều hịa (Reuss) để tính
xấp xỉ các tính chất vĩ mô của các loại vật liệu tổ hợp n thành phần và đa tinh thể hỗn độn với hình học pha và tỷ lệ thể tích bất kỳ ở các pha Đối với hệ số dẫn của
vật liệu đẳng hướng (tổng theo œ chạy từ 1 tới n):
Celt x » = Cy (1.15)
hoặc:
—=]
ctf ( "Cà we) =@ R (1.16) 1.16
Cho vật liệu đa tỉnh thể ta có các trung bình tương ứng HilI (1952-[27])
cf =(C)=Cyl hoặc C° = (CT9! =CnI (1.17)
trong đó C°fƒ = 7T, T là ma trận đơn vị
với d là số chiều của không gian, Œ;(¿ = 1,2, ., đ) là các hệ số dẫn chính của đơn
tỉnh thể cơ sở
Các biểu thức trung bình cộng số học (1.15) và trung bình cộng điều hịa (1.16)
có các giá trị khác nhau, các kết quả này chỉ gần nhau khi tính chất của các thành
phần gần nhau Với cách xây dựng đánh giá theo đường lối biến phân có thể chỉ ra
Trang 26hiệu quả của vật liệu tổ hợp đẳng hướng nhiều thành phần với cấu trúc hình học
pha bắt kỳ của vật liệu Nguyên lý năng lượng cực trị lần đầu tiên được đề xuất bởi Hill (1952-[27]) trong nghiên cứu tính chất hiệu quả của vật liệu đa tinh thé va chọn trường khả dĩ hằng số, ông đã chứng minh được tính chất hiệu quả ln nằm
giữa trung bình cộng số học Œy và trung bình cộng điều hịa (Tp, đối với hệ số dẫn của vật liệu tổ hợp đẳng hướng n thành phần và vật liệu đa tinh thể hỗn độn:
Cy < Cl < Cp (1.18)
Nghiên cứu tiếp theo đã để lại dấu ấn quan trọng trong cơ học vật liệu là của
Hashin-Shtrikman (1963-[24]), đã xây dựng tính chất hiệu quả dựa trên nguyên lý biến phân riêng dẫn tới trường khả đĩ phân cực (polarization fields) với các giá trị trung bình khác nhau trên các pha khác nhau Kết quả của Hashin-Shtrikman
(HS) cho vat liệu tổ hợp đẳng hướng đã cho đánh giá mới tốt hơn hẳn đánh giá
trước đó của Hill khi nó nằm trong đánh giá này Đánh giá của HS cho hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu nhiều thành phần trong trường hợp tổng quát trong không gian
d chiều được biểu diễn như sau:
Pc((d — 1) mm) < cet << Po((d — 1) mg), (1.19)
-1
Po(Co) = ( ` ave) — Cy, (1.20)
= (d-1)O
Cmin =min {Ci, v.ng Cr} » Cmax = Max {Ci, vướng Cr} ,
Với vật liệu đa tỉnh thể đánh giá của HS (1963-[25]) trong không gian đ chiều có dạng:
Po(C min) < olf < Po(C max) (1.21)
1 -1
Ớ, = (d~— 1)Œ
Căn = min {C1, x69 Ch} Cmax = Max {C1, ho Ch} ?
Đánh giá của HS ở trên đúng cho mọi vật liệu tổ hợp đẳng hướng bất kỳ, bất
Trang 2714
đánh giá Milton (198 1-[40]) đã chỉ ra rằng các đánh giá của HS cho vật liệu nhiều thành phần n pha là tối ưu cho một lớp giới hạn các giá trị của Cy, va Danh gid của HS được coi là một trong những thành tựu chính của cơ học vật liệu Bản chất của phương pháp là xây dựng toán học khéo léo một trường khả dĩ trên miền V
trong khi miền V khơng hồn tồn xác định cũng cho được các biểu thức đánh giá cụ thể Một vấn đề đặt ra là liệu có tìm được đánh giá tốt hơn đánh giá HS hay
không? Hashin-Shtrikman đã chỉ ra rằng đánh giá hệ số dẫn Œ°/7 là tối ưu trong trường hợp vật liệu hai pha bằng cách xây dựng mơ hình quả cầu lồng nhau hai
pha cho giá trị C°ƒ7 chính xác là cận trên hoặc cận dưới của HS Với những mơ hình hình học cụ thể hai pha thì đánh giá HS cho những kết quả từ thô đến rất chặt,
khi đặc trưng pha nên là lớn hơn pha cốt liệu thì đặc trưng vĩ mô đạt tới biên trên cịn khi tính dẫn của nó nhỏ hơn pha cốt liệu thì nó tiến tới tiệm cận biên dưới, các tính chất vật liệu đối xứng thì ở giữa
Đánh giá trên và dưới các đặc trưng vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần phân
bố ngẫu nhiên đối xứng đầu tiên cho vật liệu hai pha được đưa ra bởi Miller (1969- {[39]) Trong bài báo này Miller đã giới thiệu các lớp tổ hợp mà xác định đặc tính vi hình học bao gồm vật liệu dạng cầu cho tới đĩa mà được tạo bởi toàn bộ các
phần tử đồng nhất có dạng cầu (hoặc đĩa) và kích cỡ đa dạng Miler đã xây dựng
thành công đánh giá trên, dưới nằm trong đánh giá của HS cho hệ số dẫn vĩ mô À, của vật liêu có cấu trúc đối xứng hai pha dưới dạng:
PẠ(2A) < Ae < Py(2A"), (1.23)
‘ U1 V2 \-1 /V1 v2 \_
= min { py (Sy ‘\ G AI) ) Cr Ye) ?
AY“ = max {0i^a + ĐẠÀn, ĐIÀI + 02Àa} ›
Phạm D.C (1996-[83]) xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu đã nói
trên (không phải từ các nguyên lý HS), trong khi tìm trường khả dĩ tốt nhất đã xây
dựng được các trường khả dĩ phân cực dạng HS cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng 1
Bị = EÌ— C- Ð ,Đj Vũ với = l1 d, (1.24)
0 a=1 , ,
cho đánh giá trên từ nguyên lý năng lượng cực tiểu, trong đó có
Trang 28với trường vectơ phân cực p = >> p® - I(x) Qa —1 3C5 UB 0 a fy eo — UP — E P ( oa) a+ ah l1 x€Ù 109 ={ § x ZV, va 1 n
J=79S- aR & (>: 47 €1; — đi LÍ Š g2e%, — dị
cho đánh giá dưới từ nguyên lý năng lượng bù cực tiểu, trong đó
q=q-({q)
trường vectơ phân cực q = )}q# - /a(x)
a =1 3(2G)T1 ) ug 0 œ— [1— — —— J 4 ( Cr} + (2C)-! > C5" + (2Co)-!
y 1a ham thé diéu hoa dude cho bdi:
¿*(x) = [rœvldy= - fm Ị dy, với d=2
2” |x—y|
Va Va
“(x) pe )d x)= x, =—_— | —_— —— Jz Ì ấy, vớid=3 _
ợ y)dy xi
Vo Va
V7 p(x) = Loi = Ông: xe€ Va
(1.26) (1.27) (1.28) (1.29) (1.30) (1.31)
7; là đạo hàm hai lần của hàm thế điều hòa ¿* theo các biến z¡, x; Va dag là toán
tu Kronecker [ 14 ham Green nghiệm của phương trình Laplace xác định bởi
x,y) {ane với d=2
x,y) = HE i với d=3 “
Từ đó đã nhận được các đánh giá tốt hơn của HS như sau: Đánh giá trên
Œ° < Pc(2Œ) + Œ„„
với Co là hằng số dương tùy ý (được chọn để cho Œ,„ = 0)
-1
Ve
Po(C.) = (= aa] =8
(1.32)
Trang 29—2
Va
Cy =3 (x: asa) -S> [(Ca — Co) ARYX aX, , (1.34)
a,Byy
Va 1
X,=) Lame ——“* - > Cp + 2Cy (1.35) 1.35
và đánh giá dưới
off > (P5120) + Ga] (1.36)
trong đó Cọ dương tùy ý (được chọn sao cho Ở,„ = 0)
—8 am = số (: — 2G ` mm) : » l6 — Co ')AN XX, ] $ œ,8,y 1 (1.37) — Va re ° Lar —*_ -_~ _ C; + 2Œ (138) 1.38
với 4° là thơng tin hình học bậc ba của vật liệu
Ase = lu (1.39)
Vy
ay a 1 + dj
Œjj —=W¡j — —— | ¡/dX
Ủy Vy
đó là hàm ngẫu nhiên bậc ba (3-point correlation functions) phu thuéc vao xac suất của 3 điểm bất kỳ được lấy tình cờ (với khoảng cách nhất định giữa chúng) rơi vào
cùng một pha Về phải của các phương trình này có dạng hàm thế điều hòa ¿“ tinh
qua hàm Green Tùy thuộc vào từng mơ hình vật liệu cụ thể mà các thông tin hình học bậc ba sẽ phụ thuộc vào các thông số khác nhau, ví dụ đối với mơ hình vật
liệu quả cầu lồng nhau 2 pha được biểu diễn phụ thuộc vào 1 thông số (›, đối với
mơ hình vật liệu tựa đối xứng phụ thuộc vào 2 thông số e;, e¿ Trong tài liệu của Torquato [73] việc xác định các tham số thơng tin hình học bậc ba đã được tính tốn số và lập bảng theo các mơ hình hình học cụ thể Trong các nghiên cứu trước
đây có thể thấy nghiên cứu của Reuss [68], Voigt [75] chỉ xét đến yếu tố tỷ lệ thể
tích pha được coi như đánh giá bậc nhất, trong nghiên cứu của Hashin-Shtrikman
[23] có kể đến các tính chất của thành phần vật liệu cho trước được coi như đánh
Trang 30Để có những đánh giá tốt hơn so với đánh giá Hashin-Shtrikman cho các mơ
hình vật liệu đẳng hướng cũng như dị hướng là vấn đề khó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học Cách thức được nhiều tác giả sau này nghiên cứu là xây
dựng các bất đẳng thức biến phân từ các nguyên lý biến phân có chứa các hàm
ngẫu nhiên mô tả thông tin bổ xung về hình học pha của các vật liệu cụ thể Về mặt lý thuyết có thể tính được hệ số dẫn vĩ mơ chính xác với các đánh giá trên và
dưới trùng nhau nếu có tất cả các hàm ngẫu nhiên tới bậc vô cùng Các hàm ngẫu nhiên bậc n (n-point correlation functions) phụ thuộc vào sắc xuất của n điểm bất kỳ được lấy tình cờ rơi vào cùng một pha
Bên cạnh đó với sự hỗ trợ của các thiết bị hiện đại thì có thể xác định hệ số dẫn
của vật liệu dựa trên thực nghiệm Azeem S (2012-[2]) sử dụng thiết bị đo hệ số
dẫn nhiệt Unit H-940 (hinh 1.6 a) để xác định hệ số dẫn nhiệt của vật liệu tổ hợp
bao gồm nền nhựa tổng hợp (Bakelite) với hệ số dẫn nhiệt 1.4 W/mK, cốt liệu than chì (Graphite) có hệ số dẫn nhiệt 130 W/mK Trong đó dùng các mẫu thử với tỉ lệ
thể tích các hạt cốt liệu (Graphite) tăng dần từ 30 đến 55 phần trăm (hình 1.6 b), các mẫu thử được đặt trong ống Teflon để tránh tổn thất nhiệt ra xung quanh
a
_ , Thermocouples
Hình 1.6: Mơ hình thí nghiệm (a) Thiết bị đo hệ só dẫn nhiệt H-940, (b) Các mẫu thử vật liệu tổng hợp bake- lite-graphite
Kết quả thực nghiệm trong đó có só sánh với lý thuyết các đánh giá của Wiener, HS và các công thức xấp xỉ của Maxwell, Mori-Tanaka, Bruggeman (hình 1.7) cho thấy hệ số dẫn nhiệt hiệu quả đo được (đường chấm hình vng rời rạc) và các
giá trị dự đoán của các mơ hình lý thuyết khác nhau như là các hàm của tỉ lệ thể tích Graphite Từ kết quả hình 1.7 có thể nhận thấy các mơ hình lý thuyết đó chỉ
Trang 3118
đưa thêm vào cốt liệu Graphite với tỉ lệ thể tích tăng đến 30 phần trăm thì hệ số dẫn nhiệt vĩ mô tăng từ 1.4 W/mK lên 4.84 W/mK, khi tăng lên 55 phần trăm thì
HSD nhiệt vĩ mô (12.28 W/mK) tăng lên gấp khoảng 9 lần so với hệ số dẫn của
pha nền (1.4 W/mK) Như vậy trong ứng dụng vật liệu Bakelite có tính bền, dai, cứng, chịu nhiệt, chống ẩm và hầu hết các loại hóa chất thì việc đưa thêm Graphic
vào có thể cải thiện thêm tính dẫn nhiệt của vật liệu
20 - « Experimental
18 - —— Wiener Upper Bound
= Wiener Lower Bound
16 - —=—HS Upper Bound 14 - ppe « HS Lower Bound 12 - li Maxwell formula <r Bruggeman (sphere) Effective Thermal Conductivity, Ke (W/m-K) = 8- ——Bruggeman (prolate) 6s = »Mori-Tanak (sphere) ` =k ~Mori-Tanaka (disc) —t— Mori-Tanaka (fiber) 2- = Mori-Tanaka (prolate) OT T T T T T T =O Lewis-Neilson 0 10 20 30 40 50 60 —\ -Hamilton-Crosser
Graphite Volume Percent (%)
Hình 1.7: Kết quả so sánh thực nghiệm và lý thuyết của vật liệu tổ hợp bakelitegraphite
Một hướng nghiên cứu hiện nay cũng thường được sử dụng trong lĩnh vực đồng
nhất hóa vật liệu đó là các phương pháp số mà kỹ thuật số cổ điển đã xây dựng xấp xỉ từ các trường khả dĩ động học Phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu
hạn (FEM), ý tưởng trung tâm của phương pháp này là rời rạc hóa vật thể liên tục thành một tập hợp các miền con có dạng hình học đơn giản hơn gọi là phần tử với các đặc trưng cơ học đã biết hoặc dễ dàng xác định Quá trình rời rạc này đã đưa
bài toán ban đầu phức tạp với vô số bậc tự do về bài toán đơn giản hơn với hữu hạn
bậc tự do, có thể tận dụng khả năng tính toán của hệ thống máy tính xem Wriggers
[80] Bên cạnh đó phương pháp biến đổi Fourier (FFT) cũng được áp dụng phổ
biến trong bài tốn xác định tính chất vĩ mô của vật liệu với một số mơ hình vật
liệu có cấu trúc đặc biệt như vật liệu có cấu trúc tuần hồn, trong trường hợp này
Trang 32pháp FFT được đề xuất đầu tiên bởi Moulinec và Suquet (1994-[3§]) để xác định
tính chất vĩ mơ của vật liệu nhiều thành phần FFT được xây dựng trên phương
trình tích phân Lippmann-Schwinger và tenxơ Green Nghiệm của phương trình tích phân thu được nhờ một sơ đồ lặp sử dụng biến đổi Fourier Điều này cho phép giảm thời gian tính tốn khá nhiều, đồng thời FFT cũng cho phép giải dễ dàng các
bài toán vật liệu do nó sử dụng lưới tọa độ đều và không yêu cầu quá trình rời rạc hóa các pha khác nhau của phần tử đặc trưng
143 KẾT LUẬN
Xác định các tính chất vĩ mơ của vật liệu tổ hợp nhằm đáp ứng bài toán đồng nhất hóa đang là vấn để quan trọng trong nghiên cứu hiện nay Tính chất Cơ-lý
của vật liệu bao gồm nhiều vấn đề mà trong giới hạn phạm vi luận án này tác giả
cũng chỉ đề cập được một phần những vấn đề mà tác giả đang quan tâm, cụ thể là những nghiên cứu về các hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thành
phần và vật liệu đa tinh thể hỗn độn
Tìm hiểu lịch sử quá trình phát triển tìm hệ số dẫn vĩ mô đã giúp cho tác giả có cái nhìn tổng thể và xuyên suốt đối với hướng nghiên cứu đặt ra Từ đó với cách
tiếp cận theo đường hướng biến phân để có được kết quả đánh giá mới tốt hơn các đánh giá trước đây cho hệ số dẫn vĩ mô của các loại vật liệu tổ hợp được đề cập cụ
thể trong các chương sau
Trang 3320
Chương 2
DANH GIA BIEN PHÂN CẬN TRÊN, DƯỚI HỆ
SỐ DAN CUA VAT LIEU ĐĂNG HƯỚNG NHIÊU
THANH PHAN TRONG KHONG GIAN d CHIEU
2.1 Đánh giá trên
Vật liệu nhiều thành phần thường có cấu trúc vi mô hỗn độn ngẫu nhiên, hệ số dẫn (nhiệt, điện ) phụ thuộc vào thuộc tính của từng thành phần cũng như cấu trúc hình học vi mô của chúng Các hệ số dẫn đầu tiên và đơn giản nhất là trung
bình cộng số học Voigt, trung bình cộng điều hịa Reuss và đánh giá HiII Sau đó Hashin và Shtrikman đã đưa ra đánh giá tốt hơn bằng cách đựa vào trường khả dĩ phân cực Trong mục này sẽ đi sâu vào việc sử dụng nguyên lý năng lương cực
tiểu với trường khả dĩ tổng quát hơn của Hashin-Shtrikman (HS) để cho ra đánh
giá mới tốt hơn các đánh giá trước đó trong khơng gian d chiều
Xét phần tử đại diện V trong không gian d chiều của vật liệu tổ hợp đẳng hướng được cấu thành bởi n thành phần chiếm không gian 1⁄4 C V có tỷ lệ thể tích 0„
(œ = 1, ,n) mỗi thành phần là vật liệu đẳng hướng có hệ số dẫn Cy
Đánh giá trên đối với hệ số dẫn hiệu quả Œ°ƒƒ được tìm qua biểu thức năng lượng cực tiểu:
C°/ƒE°.E°= inf Jc= Edx, (E)=E° J (2.1)
trong đó E là vectơ gradient của một hàm liên tục trên V thỏa mãn ràng buộc trung
bình hằng số (E) = E°, E° là vectơ hằng coi như biết trước của môi trường đồng nhất vĩ mô, (e) là trung bình trên V, (e) = ở ƒ edx Hệ số dẫn địa phương được
V xác định như sau:
C(x) = 3ˆ Œ74() (2.2)
a=1
Trang 34T(x) goi la ham chi s6 pha a Hệ sé dan C(x) thoa man phuong trinh
J(z) = C(x)E(x); (J) = C44 (E) (2.3)
trong đó J(x) là vectơ dịng (điện, nhiệt ) thỏa mãn phương trình cân bằng
V:J=0 và (J)=J°=const
Nguyên lý năng lượng cực trị được sử dụng lần đầu tiên bởi HilI (1952-[27]),
khi đó Hill chọn các trường khả đĩ hằng số E = E°, J = J° để cho ra được đánh
giá trên, dưới trong (1.18) Sau đó HS đã mở rộng bằng cách xây dựng nguyên lý biến phân riêng và đưa vào trường khả dĩ phân cực trong đó phụ thuộc vào một tham số tự do và hàm thế điều hịa ¿*“ có liên quan đến thơng tin hình học pha của vật liệu và Pham D.C (1996) đã sử dụng trường phân cực tương tự của HS nhưng áp dụng vào nguyên lý năng lượng đã cho ra đánh giá mới tốt hơn đánh giá của HS do xuất hiện thành phần nhiễu chứa thơng tin bậc ba hình học pha của vật liệu Trong phần này để tìm được đánh giá tốt nhất trong (2.1) đưa vào trường khả đĩ gradient Ð mở rộng từ trường phân cực HS (tổng lặp theo chỉ số Latinh i,j)
bằng cách đưa vào nhiều biến tự do hơn (n biến) và hàm thế điều hòa đặc trưng
cho thơng tin hình học pha của vật liệu dẫn đến thơng tin bậc ba hình học pha của
vật liệu khi đặt trường khả dĩ này vào phiếm hàm năng lượng Bên cạnh đó có thể nhận thấy các trường khả dĩ trước đây của HiIl, HS và Pham D.C chỉ là trường hợp riêng của các trường khả dĩ đưa vào dưới đây
n
lạ = EP+ auEfg5, với i,j S=1, d (2.4)
a=1
trong dé a, 1a cdc hé sé v6 hung tu do can tim dé cho phiém ham nang ludng dat cực tiểu, ¿# là hàm thế điều hòa được cho bởi:
1 1
p*(x) = [rœviwy= -ls„n dy, với d=2
¥ 2m |x— y| Va Va (x) Je )d x)= x, =-|— Iz Ì —4y, vớid=3 = (2.5) ; ợ y)dy Roy Va Va V?¿*(x) = Vũ = das, xe Vg
3; là đạo hàm hai lần của hàm thế điều hòa ¿* theo các biến z;¿, x; val la ham
Green
—-tin—| với d=2
T(x,y) = ——_— với d=3 2“ |x-y|
Trang 3522
Với các pha phân bố hỗn độn trong không gian và đẳng hướng ta có [76]:
lưux=5 d Ša8Ö¡j (2 6)
Và
A98 2
fe an dx = nỗ 8ÖxuÖ¡kÖji + d ——? (3% + ƠjƯj — d fin) (2 7)
24+qd—2
Vy
trong do Agé là thơng tin hình học bậc ba của vật liệu đã được nhắc đến ở chương
1, A7 được xác định (1.39) Pij phy dx | » 20 ‘a ` e a
va thoa man diéu kién [62]
3;422=0, VØ,y=1, n (2.8)
Tw diéu kién (E) = E® c6
?ì » a„E0 ) =0 a=1 1s i tự | ái 1;dx = 0 V a=1 © So Blan [ c2,k‹=0 a=1 V n 1 n oO Ej dg ` Saati =0 B=1 a=1 E0 ", o 7 bis » đyUạ„ = 0 a=1 n +S vata = 0, (2.9) a=1 Đặt trường khả dĩ (2.4) vào (2.1) ta có:
C*f† E) ED < few +> aa EB y%;)(E) + 2asEtgi,)dx = Wp, (2.10)
Trang 36Biến đổi về phải của (2.10):
Wp = fostetecs [OEY woFtetax
+ for D ote jos [oD whe an et (2.11)
8
Tính riêng từng biểu thức trong (2.11) ta có:
Biểu thức thứ 1
/ CE° E°dx = E°E® / Cdx = EXE? "Cave = EPESCy
Biểu thức thứ 2 bằng biểu thức thứ 3
fore Oo Epps ,dx = EE? Yims f Col dx = EPEP Yaw f Copia ap yy,
= EVER 2 C96 a95in— = = “BPE 2 AaCava
Biểu thức thứ 4
fex gE; 0%; ag Epp, dx = = Hit f CS sass 4 yh, dx
a B a8
= EVER » aaaaC, | ce dx = EVER ` aạagC, 5 Ã9 ãn
a,B,y Vy ằœ,8y
a 1 t 1
= EBD » qdạ0aŒx AS B = BE » aaaaŒ,A37 + BD tC?)
a,Byy a,Byy ^
VỚI
qos _ 8 8 ¡ Sa
AY =fe 5/01 ,lx = Ay + 79a aBOBys (2.12)
Trang 3724
ASP; Thơng tin hình học bậc ba của vật liệu Thỏa mãn điều kiện [62]
4p =0, VØ,+ =1, ,n
aL 1 1
oi =, -= f vyax=o4,- qịnđồij (a) Va
ya Y 1 + + 1
Pig = Pag — Un ¡;dx = Pig qồÖi/ (Ú)
Va
chu y
8
/ Pil kx dX = UaŠagÖa+
Va Thay (a), (b) vào (2.13) ta được:
1 1
œ8 ~ œ 8
Av’ = / (v%, = jbo) (+4, = “Pr ) dx
V,
œ 1 1 a 1
7 / (su, ˆ qo bse ~ oa dis Pai + jordin) dx
Vy i Y% 4, Đa qỗaỗj—ỗngỗ — Gh 851 „ Đ = Ä?” — -Tổagỗm $i v ~ A Oyadig + 718570 Q œ, Va => As Be = AY B +74 BO By Tu (2.10) co:
We Eo Fo Cy + 7 jel Va + a >> Ag agCy As” + — Pp ad am Vy
œ,8y
= EXE’ Fy
Phiém ham năng lượng Wz phụ thuộc vào các hệ $6 da, Co, Va Va tham sé bac
ba hình học pha của vật liệu Để tìm được đánh giá trên tốt nhất ta đi tìm cực tiểu
phiếm hàm với ràng buộc (2.9) bằng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực tiểu cia phiém ham F:
Trang 38Dé F dat cuc tiéu phải có: OF _ das OF _ Sx = 9 2Cyus + 2) aạŒ„A?5 + 20¿Œ§z0ạ — 2\v5 = 0 o 8+ (2.16) » Aqv’a = 0 ›
Nhân phương trình đầu của (2.16) với œ1 lấy tổng theo ổ sử dụng điều kiện ràng buộc ở phương trình hai ta được:
1 5 +5 90,051.49 — XD C5" =
8,,ô
i i /
HA Og ets S > agC,C5' Ae") (2.17)
8,756
Thay À ở (2.17) vào (2.16) đổi chỉ số cỗ định ổ thành œ ta được n phương trình n an:
0a(Ca¿ — Ơn) + À ` agŒ,|[AŠ — Xs ‘aC RAs] + war Ua = 0 (2.18)
By
Viét (2.18) dudi dang
A.-a+v.=0, (2.19)
Trong đó
ve = [0i(CI — Ơn), 0a(Ca — Ơn), , 0n(Cn„ — Ơp)]”
7 tee vy Ay]
—
“is ahaa 1
3 = LG [4$” — dos Cel “Catiabag
Từ (2.19) ta có:
Trang 3926
Nhân phương trình đầu của (2.16) với aq, lay tổng theo œ ta được:
1 1 1
7 3 ` aaCaa + 5 3” aaasC,A$? + 5 3 `a2C„uạ = 0, (2.21)
a ằœ,8.+y œ
Từ (2.14) và (2.21) có:
0 770 Ị 0 770 ,
We = EPE}[Cy + + So daCaval = BPE} [Cy + v'e-al, (2.22)
với v'„ = {3j0aC„}„_, Từ (2.10),(2.20),(2.22) ta nhận được biểu thức đánh giá
trên cho hệ số dẫn vĩ mô
Ctl < y — v'„- A-1.v„ = CỤ ({Co}, {va}, {4/1) (2.23)
2.2 Đánh giá dưới
Để xây dựng biểu thức đánh giá dưới cho hệ số dẫn của vật liệu tổ hợp nhiều
thành phần ta sử dụng nguyên lý năng lượng bù cực tiểu:
(C5) 1J9:J9= im | CI - Idx, (2.24)
@Ø)=J9, Ÿ
Tương tự như đánh giá trên, ở đây đưa vào trường dòng khả dĩ mở rộng từ trường phân cực Hashin-Shtrikman (tổng lặp theo chỉ số Latinh i,j):
Jị =J0 + aaJ?(05,— õgTa()), (2.25)
a=1
trong d6 a, 1a cdc hé s6 v6 huéng tu do, y® 1a ham thé diéu hoa, Z,(x) 1a ham
chi s6 pha, J° 14 vecto hang coi nhu biét trước của môi trường đồng nhất vĩ mơ
Trường dịng J thỏa mãn các điều kiện:
V-J=0 va (J)=J°
Từ điều kiện (J) = J° ta cé biéu thttc rang budc cho ay
So vata = 0, (2.26)
œ=l
Từ tính chất của hàm thế điều hòa
a) txeM oo 9 (2.27)
Trang 40trường dòng đã chọn (2.25) thỏa mãn phương trình cân bằng V - J = 0
Đặt J; vào biểu thức đánh giá (2.24) ta có:
(C°1!)=170 J0 < s fo 24 a„2(g3, — ñg72(x))
ot (2.28)
J + » — bipZa(x)) | dx = Wy, Biến đổi về phải của (2.28) ta được:
Wy = fe 8m19 TSS dad} (0%; — 5igZa) ax+
7 (2.29)
fo Do Ag J} ( (z3; — ðij7œ ) » agJ, (sà a ðuZ;) dx,
8
Tính riêng từng biểu thức của (2.29) ta có:
Biểu thức thứ nhất
Jc!41214 = 129 Cmax = PRS” Cy ta = BACH
Biểu thức thứ hai
ti FD aad | đây — bigZa) dx = 259 J? Yaw f oF ( y%; — 5ijZa) ax
ằœ,8 Vs
= 2S} So aC 3 1ðagỗj—T — bij) aC va | = BPI 0005 ty
Biểu thức thứ ba
8
J CT1 2 aagP (gầy — ây7a) À ^ agJP (cũ, — a7; đx =
V Qa
= Le » AqagC;, ` lưu — | cuầuá<=
œ,8 W Vz
-fe f Oi La act [bul Lpdx