SKKN: Phát triển tư duy của học sinh qua một bài bất đẳng thức

Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Phần 1. Mục lục: Mục lục …………………………… trang 1 Đặt vấn đề .…………………………… trang 2 Cơ sở khoa học …………………………… . trang 4 Nội dung giải quyết vấn đề ……………………………. trang 5 Kết quả thực nghiệm ……………………………… trang 23 Kết luận ……………………………… trang 23 Tài liệu tham khảo ………………………………. trang 24 Phần 2. Đặt vần đề: 1 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hịên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết. Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không tự nhiên mà có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần được rèn luyện thường xuyên, học các môn các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề này. Qua một bài toán có thể phát triển tư duy lô gíc, tư duy trừu tượng, tư duy lí luận . của học sinh. Điều quan trọng là giáo viên truyền thụ kiến thức như thế nào để phát triển tư duy của học sinh một cách tốt nhất. Trong thực tế học sinh thường thụ động tiếp thu kiến thức, thường làm bài tập một cách máy móc, không linh hoạt và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả bài toán. Với bài toán đó nếu được biến đổi thành bài toán khác thì đa số học sinh không nhận ra, lúng túng và không làm được. Đây là cách học hết sức nguy hiểm cho học sinh lười học và không phát triển được tư duy. Đối với môn Toán bài tập rất phức tạp và đa dạng, học sinh không thể làm hết được bài tập mà chỉ nắm được dạng bài tập nên học sinh cần hiểu được bản chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh, sau đó tạo ra bài toán mới, dạng toán mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát triển được tư duy. Bất đẳng thức là dạng bài tập khó trong các dạng bài tập ở THCS, bất đẳng thức yêu cầu tư duy rất cao, sự nhạy cảm toán học cũng như kĩ năng của môn Đại Số. Nếu học sinh biết cách giải một số bài tập bất đẳng thức cùng dạng thì đã thực sự trưởng thành về mặt tư duy toán học. Những bài tập bất 2 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP đẳng thức rất đa dạng học sinh không thể làm hết mà chỉ có thể nắm được một số dạng, chính vì vậy học sinh cần nắm được bản chất của bài tập và phân loại bài toán là việc vô cùng cần thiết. Vì vậy mà giáo viên cần đưa cho học sinh bài tập có hệ thống và liên hệ các bài tập cùng dạng với nhau giúp các em tự tin hơn. Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh. Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học toán. Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách dạy một bài bất đẳng thức quen thuộc trong 3 tiết, biến đổi thành các bài toán khác nhau hoặc vận dụng làm các bài bất đẳng thức khó hơn. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả năng tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại. Phần 3. Cơ sở khoa học: 1. Cơ sở lí luận: 3 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. Các bài tập toán trong SGK chủ yếu hình thành kĩ năng cho học sinh, mục đích phát triển tư duy cho học sinh ở mức độ thấp nhằm đảm bảo tính giáo dục phù hợp với học sinh đại trà. Giải bài tập toán chứng minh bất đẳng thức trong quá trình ôn thi HSG là điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hình thành và phát triển tư duy ở mức độ cao hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: Trường THCS Nhân Hoà là một trường nhỏ không có lớp chọn, trường có 8 lớp chia đều cho các khối. Phần lớn học sinh chăm học, ý thức tốt nhưng tác phong tư duy và tác phong học tập chưa đúng làm cho kết quả của học sinh chưa cao, đặc biệt là kết quả thi học sinh giỏi. Chính vì vậy vấn đề ôn thi HSG cần được đẩy mạnh. Năm học 2006-2007, tôi được phân công dạy đội tuyển Toán 9 và Giải toán trên máy tính, số lượng được dự thi là 4HS. Tôi lựa chọn 6 HS để ôn thi và nhằm phát triển tư duy cho nhóm HS đó. Mục “phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài chứng minh bất đẳng thức” nằm trong chuyên đề bất đẳng thức được thực hiện trong 3 đến 4 tiết gồm hệ thống bài tập trên lớp và hệ thống bài tập tương tự giao về nhà cho HS Phần 4. Nội dung: 4 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Chúng ta xét một bất đẳng thức cơ bản trong chương trình trung học cơ sở nhưng nó là cơ sở cho rất nhiều bài toán khó. Bài toán xuất phát: Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a 3 +b 3 ≥ ab(a+b). (*) Giải : Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với : ⇔ (a+b)(a 2 –ab+b 2 ) – ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b)(a 2 -2ab +b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a+b)(a-b) 2 ≥ 0 đúng với mọi a,b dương. Đẳng thức xảy ra khi a = b. Học sinh có thể biến đổi theo hướng khác: Với a,b dương ta vẫn có thể biến đổi (*) thành : ba ba + + 33 ≥ ab ⇔ a 2 – ab + b 2 ≥ ab ⇔ ( a - b) 2 ≥ 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi a = b Nếu chỉ dừng ở đây thì bất đẳng thức (*) không có gì đặc biệt không có gì mới lạ. Học sinh khá, giỏi không khó khăn trong việc giải bài tập này. GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng: Bất đẳng thức (*) vẫn còn đúng khi a,b không âm. Nếu a,b là các số dương thì bất đẳng thức (*) có thuận lợi gì khi thay đổi thành bất đẳng thức khác? Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức: ⇔ 3 a b + b 2 ≥ a(a+b) ( do b>0) ⇔ 3 a b + b 2 ≥ a 2 + ab Tương tự với a,b,c dương thì : 5 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP 3 b c + c 2 ≥ b 2 + bc 3 c a + a 2 ≥ c 2 + ac Từ đó ta có bài toán hay: Bài 2: Với 3 số a,b,c dương chứng minh rằng : 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ ab +bc+ca Đây là bài toán không hề đơn giản, nếu tách hạng tử để sử dụng kĩ thuật của bất đẳng thức CôSi thì rất khó. Học sinh có thể thử bằng cách như sau: 3 a b + b 2 ≥ 2a ab dấu “=” xảy ra khi a = b Tương tự 3 b c + c 2 ≥ 2b bc 3 c a + a 2 ≥ 2c ac Với cách thử này giáo viên sẽ dẫn học sinh đến một bài tập khác: 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ 2a ab +2b bc +2c ac - (a 2 +b 2 +c 2 ) Khi đó học sinh sẽ xuất hiện câu hỏi: Hai bất đẳng thức 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ ab +bc+ca và 3 a b + 3 b c + 3 c a ≥ 2a ab +2b bc +2c ac - (a 2 +b 2 +c 2 ) thì bất đẳng thức nào chặt hơn? Cách làm đơn giản nhất là GV cho học sinh thử một vài giá trị đặc biệt sẽ nhận thấy ab +bc+ca ≥ 2a ab +2b bc +2c ac - (a 2 +b 2 +c 2 ) GV yêu cầu học sinh về nhà tìm hướng chứng minh. 6 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trên cơ sở a,b là các số dương, ta có hướng biến đổi khác: Từ a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) (*) suy ra: 3 3 a ab b+ ≥ a+b tương tự 3 3 cb c b+ ≥ c+b 3 3 a ac c+ ≥ a+c Với a,b,c là các số dương. Từ đó ta có bài toán: Bài 3: Với a,b,c dương chứng minh rằng: 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2(a+b+c) Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh có thể biến đổi thành nhiều cách nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Cô si 3 3 a ab b+ ≥ ab abab2 = 2 ab Tương tự ta có: 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca Học sinh lại gặp vấn đề tương tự, trong hai bất đẳng thức: 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2(a+b+c) 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca thì bất đẳng thức nào chặt hơn? Yêu cầu này đơn giản hơn vì hầu hết học sinh đều quen thuộc với bất đẳng thức: 2(a+b+c) ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca (a,b là số dương) Như vậy bài tập 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca hay hơn bất đẳng thức trong bài tập 3. Ta có bài tập sau: 7 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Bài 4: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 3 3 a ab b+ + 3 3 cb c b+ + 3 3 a ac c+ ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca GV nhắc nhở học sinh luôn có ý thức tự đặt câu hỏi. Ví dụ: “hai vế bất đẳng thức a 3 +b 3 ≥ ab(a+b)(*) có gì quen thuộc?”. “Biến đổi như thế nào để có lập phương của một tổng?”. Khi đó HS biến đổi (*) ⇔ 3(a 3 +b 3 ) ≥ 3ab(a+b) ⇔ 4(a 3 +b 3 ) ≥ a 3 + b 3 + 3ab(a+b). ⇔ 4(a 3 +b 3 ) ≥ (a+b) 3 . Từ đó ta đề xuất được bài toán mới: Bài 5: Với a,b,c dương chứng minh rằng: 8(a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ (a+b) 3 +(c+b) 3 +(a+c) 3 Bài tập này học sinh có thể chứng minh bằng cách biến đổi tương đương, hoặc sử dụng phương pháp tách để chứng minh. Ta đã có: 4(a 3 +b 3 ) ≥ (a+b) 3 Tương tự: 4(b 3 +c 3 ) ≥ (b+c) 3 4(a 3 +c 3 ) ≥ (a+c) 3 Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều này ta suy ra điều phải chứng minh. Ta áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương của vế phải bài 5 thì được điều gì? Học sinh thấy ngay (a+b) 3 ≥ (2 ab ) 3 = 8ab ab (b+c) 3 ≥ 8bc bc (a+c) 3 ≥ 8ac ca 8 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Khi đó tự học sinh sẽ thấy bài toán mới đẹp hơn bài 5. Bài 6: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 ≥ ab ab +bc bc +ac ca Bài toán sẽ trở nên khó hơn nếu bổ xung thêm giả thiết abc = 1.Khi đó: ab = c 1 ; bc = a 1 ; ac = b 1 Như vậy học sinh đã tạo ra được bài toán mới hay hơn bài 6. Bài 7: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 ≥ aa 1 + bb 1 + cc 1 Kĩ năng tách các hạng tử là một trong những kĩ năng quan trọng để chứng minh bất đẳng thức. GV biến đổi bất đẳng thức (*) cũng tạo ra được một số bài tập cho HS rèn luyện kĩ năng này. Bài 8: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: 2(a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức (*) cho lần lượt cặp số a,b,c ta có: a 3 +b 3 ≥ ab(a+b) b 3 +c 3 ≥ bc(b+c) a 3 +c 3 ≥ ca(c+a) Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được : 2(a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 9 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Ta thấy rằng khi sử dụng bất đẳng thức CôSi cho đôi một các số dương a,b,c thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c Ta có a + b ≥ 2 ab ; b + c ≥ 2 bc và c + a ≥ 2 ac Khi đó ta có một bài toán mới: Bài 9: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a 3 +b 3 +c 3 ≥ ab ab + bc bc + ac ac GV đưa bài tập này ra không bình luận gì thêm. Nếu học sinh nào làm theo hướng làm của bài tập 8 thì thật máy móc. Bài tập đơn giản như vậy mà phải áp dụng cả bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức CôSi. Dùng kĩ thuật tách hạng tử và bất đẳng thức CôSi là đủ. Khi đó lời giải sẽ rất gọn gàng và thể hiện được tính sáng tạo của học sinh. Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương ta có: a 3 +b 3 ≥ 2ab ab b 3 +c 3 ≥ 2bc bc a 3 +c 3 ≥ 2 ac ac Cộng hai vế của các bất đẳng thức cùng chiều trên ta được: a 3 +b 3 +c 3 ≥ ab ab + bc bc + ac ac Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Nếu học sinh biến đổi bất đẳng thức a 3 +b 3 ≥ ab(a+b)(*) theo hướng sau: ⇔ a 3 +b 3 +abc ≥ ab(a+b) +abc ⇔ a 3 + b 3 +abc ≥ ab(a+b+c) ⇔ abcba ++ 33 1 ≤ 1 ( )ab a b c+ + Tương tự ta có: 10 [...]... làm các bài tập chứng minh bất đẳng thức trong chuyên đề Phát triển tư duy của học sinh qua một bài toán bất đẳng thức kĩ năng 21 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP trình bày một bài toán chứng minh bất đẳng thức của học sinh của học sinh tiến bộ đáng kể đặc biệt là phương pháp tách hạng tử Học sinh tự tin hơn, không còn sợ những bài bất toán lạ, bước đầu biết tìm tòi mò mẫm Kết quả khả quan hơn... Kết luận: Bất đẳng thức (*) là một bất đẳng thức quen thuộc và dễ chứng minh nhưng các bất đẳng thức từ (*) suy ra thì không phải học sinh nào cũng có thể làm được một cách gọn gàng Rất nhiều bài trong số các bài tập trên 22 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học nhưng tất cả các bài tập đó đều xuất phát từ bài tập cơ bản Qua hệ thống bài tập này... (2) ab Học sinh đã rất quen thuộc với bất đẳng thức a2+b2 Dễ dàng nhận thấy bất đẳng thức kép a2+b2 ≥ ≥ (a+b) Khi GV đưa riêng yêu cầu chứng minh a2+b2 ≥ 2ab ab ≥ (a+b) 2ab ab với a,b là các số dương Nhiều học sinh không làm được do ảnh hưởng bởi bất đẳng thức tổng quát chứng minh bằng bất đẳng thức Trêbưsép Lúc này vấn đề là GV phải khơi dậy được ở học sinh tính sáng tạo GV gợi ý bất đẳng thức a2+b2... tập cơ bản Qua hệ thống bài tập này tôi muốn giúp học sinh có cái nhìn rộng hơn về một bài bất đẳng thức và giúp các em có ý thức hơn khi học các bài toán cơ bản Trong thực tế giảng dạy, tôi chỉ áp dụng khi dạy học sinh giỏi Tất cả các em đều hào hứng với dạng bài tập như vậy, các em đã tự tin hơn khi làm các bài tập về bất đẳng thức và các bài tập liên quan Mặc dù đây là loại toán rất rộng và khó nhưng... (ab) n −1 (Bất đẳng thức đã được chứng minh) Những bài toán tổng quát giúp HS phát triển tư duy trừu tư ng ở mức độ cao hơn nhưng việc hình thành nên bài toán tổng quát là tư ng đối khó Thông thường tìm các bài toán tổng quát bằng cách dự đoán hoặc bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn Đối với HS trung học cơ sở thì không yêu cầu học sinh đi tìm các bài toán tổng quát Tuy nhiên những bài toán tổng... giống hệt như các bài tập khi biến đổi từ bất đẳng thức (*) nên yêu cầu học sinh về nhà làm các bài tập tư ng tự này để rèn kĩ năng Quay trở lại bài tập 8, chứng minh bất đẳng thức sau: 2(a3 +b3 +c3) ≥ ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) Nếu thêm vào điều kiện abc = 2 suy ra ab = Tư ng tự ta có: bc(b+c) = 2(c + b) a 2 c nên ab(a+b) = ; ac(a+c) = 2( a + b) c 2(c + a) b Từ đó ta có bài toán sau: Bài 23: Cho ba số... suy ra điều phải chứng minh Chúng ta xét một bài bất đẳng thức khó trong tập “Chuyên đề Bất đẳng thức, trang 7, tác giả Trần Văn Hạo, NXB GD năm 2001” Bài 13: Cho 3 số a,b,c dương Chứng minh rằng: a3 a 2 + ab + b 2 b3 + c 2 + bc + b2 a +b +c c3 + c 2 + ac + a 2 ≥ 3 GV hướng dẫn học sinh tìm cách đánh giá a2+ab+b2 ≤ ??? Chắc chắn học sinh sẽ nghĩ đến bất đẳng thức 12 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP... mừng là chúng ta đã tìm ra bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh trong bài 13 Kết quả khi tìm tòi lời giải bài 13 ta có bài toán mới: 14 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP Bài 14: Cho a,b,c dương Chứng minh rằng: 2a 3 a2 + b2 2b 3 2c 3 + b2 + c2 + c2 + a2 Từ bất đẳng thức a3 +b3 ≥a +b+c ab(a+b) (*) ta có hướng phát triển khác: ≥ ⇔ a 3 + b3 a 2b + ab 2 ≥ 4 4 Tư ng tự ta có : c3 + b3... những bài toán tổng quát là khó nhưng có những bài toán đặc biệt không đơn giản chút nào Để làm được bài này thì kĩ năng sử dụng bất đẳng thức CôSi phải tốt Sau đây là kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức CôSi vào bài tập này: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương a5, a5, a5, b5, b5 ta có: a5 + a5 + a5 +b5+ b5 ≥ 5.a3b2 18 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP ⇔ 3a5 + 2b5 5.a3b2 ≥ Áp dụng bất đẳng thức. .. a2…am Tư ng tự : (n-m+1) a2n +a3n+ …+amn +a1n (n-m+1) amn +a1n+ …+am-1n ≥ ≥ n a2n-m+1.a1…am n amn-m+1.a1…am-1 Cộng từng vế của các bất đẳng thức ta suy ra được bất đẳng thức cần chứng minh Áp dụng các bất đẳng thức mở rộng ở trên ta làm các bài tập sau: Bài 26: Cho a,b,c dương thỏa mãn abc =1 Chứng minh: 20 Đoàn Quốc Việt - GV THCS Nhân Hòa-VB-HP a6 b+c + b6 a +c c6 + b +a ≥ 3 2 Lời giải: Áp dụng bất đẳng . và nhằm phát triển tư duy cho nhóm HS đó. Mục phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài chứng minh bất đẳng thức nằm trong chuyên đề bất đẳng thức được. thể phát triển tư duy lô gíc, tư duy trừu tư ng, tư duy lí luận . của học sinh. Điều quan trọng là giáo viên truyền thụ kiến thức như thế nào để phát triển