Giới hạn của dãy số Olympic Toán

BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ1.1. Định nghĩa giới hạn của một dãy số thực1. 1.1. Định nghĩa dãy số:1.1.1.1. Định nghĩa: Hàm số Gọi là dãy số thực1.1.1.2. Ví dụ1.1.2. Dãy số bị chặn: Cho dãy số thực , được gọi là 1.1.2.1. Bị chặn trên: Nếu tồn tại số thực M sao cho 1.1.2.2. Bị chặn dưới: Nếu tồn tại số thực N sao cho 1.1.2.3. Bị chặn: Nếu dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.1.1.2.4. Ví dụ:1.1.2.4.1. 1.1.2.4.2. 1.1.2.4.3. 1.1.3. Dãy số đơn điệuDãy số thực , được gọi là1.1.3.1. Tăng nếu 1.1.3.2. Tăng nghiêm ngặt nếu 1.1.3.4. Giảm nếu 1.1.3.5. Giảm nghiêm ngặt nếu 1.1.4. Dãy con1.1.4.1. Định nghĩa: Từ một dãy số thực lấy ra một dãy có một số số hạng nằm trong đó gọi là một dãy con.1.1.4.2. Ví dụ: dãy ta lập được hai dãy con là:1,1,1,1,1,……. và 1,1,1,…….1.1.5. Định nghĩa giới hạn của dãy số: Tham khảo các sách Chú ý: Dãy có giới hạn được gọi là dãy hội tụ, dãy không có giới hạn được gọi là dãy phân kì 6. Tính duy nhất của giới hạn: Giới hạn dãy nếu có là duy nhất.1.2. Một số tính chất đơn giản của giới hạn.

BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 Định nghĩa giới hạn dãy số thực 1.1 Định nghĩa dãy số: 1.1.1.1 Định nghĩa: Hàm số u : N* → R n → u ( n) Gọi dãy số thực 1.1.1.2 Ví dụ 1.1.2 Dãy số bị chặn: Cho dãy số thực { un } , gọi 1.1.2.1 Bị chặn trên: Nếu tồn số thực M cho un ≤ M , ∀n 1.1.2.2 Bị chặn dưới: Nếu tồn số thực N cho un ≥ N , ∀n 1.1.2.3 Bị chặn: Nếu dãy số vừa bị chặn vừa bị chặn 1.1.2.4 Ví dụ: 1 2 n  n 1.1.2.4.2 { } 1.1.2.4.1  1.1.2.4.3 { (−1) n} 1.1.3 Dãy số đơn điệu Dãy số thực { un } , gọi 1.1.3.1 Tăng un ≤ un +1 , ∀n 1.1.3.2 Tăng nghiêm ngặt un < un +1 , ∀n 1.1.3.4 Giảm un ≥ un +1 , ∀n 1.1.3.5 Giảm nghiêm ngặt un > un +1 , ∀n 1.1.4 Dãy 1.1.4.1 Định nghĩa: Từ dãy số thực lấy dãy có số số hạng nằm gọi dãy n 1.1.4.2 Ví dụ: dãy { (−1) } ta lập hai dãy là: 1,1,1,1,1,…… -1,-1,-1,…… 1.1.5 Định nghĩa giới hạn dãy số: Tham khảo sách * Chú ý: Dãy có giới hạn gọi dãy hội tụ, dãy giới hạn gọi dãy phân kì Tính giới hạn: Giới hạn dãy có 1.2 Một số tính chất đơn giản giới hạn 1.2.1 Định lý 1: Dãy số thực { un } hội tụ bị chặn n n * Chú ý: Điều ngược lại không Xét dãy { (−1) } 1.2.2 Định lý 2: Nếu dãy số thực { un } hội tụ có giới hạn l dãy hội tụ có giới hạn l un = l a số thực 1.2.3 Định lý 3: Giả sử lim n →∞ a Nếu l > a tồn số nguyên dương N cho: n ≥ N ⇒ un > a b Nếu l< a tồn số nguyên dương N cho: n ≥ N ⇒ un < a un = l lim = m un ≤ , ∀n l ≤ m 1.2.4 Định lý 4: Nếu lim n →∞ n →∞ * Chú ý: a Định lý thay điều kiện “ un ≤ , ∀n ” điều kiện “ un ≤ kể từ số n0 trở ” b Nếu un < , ∀n xảy l = m (phân tích cho sinh viên) un = l a số thực * Hệ quả: Giả sử lim n →∞ a Nếu un ≤ a, ∀n l ≤ a b Nếu un ≥ a, ∀n l ≥ a un = 1.2.5 Định lý 5: Cho ba dãy: { un } , { } , { w n } thỏa mãn un ≤ ≤ w n , ∀n lim n →∞ lim = l lim w n = l n →∞ n →∞ un = * Chú ý: Cho ba dãy: { un } , { } , { w n } thỏa mãn un < an =  1.2.6.1 lim n →∞ 1.2.6.2 Khi a số thực dương lim n →∞ 1.2.6.3 lim n →∞ ( n) =1 ( a ) =1 n n 1.2.6.4 Nếu dãy { xn } hội tụ thỏa mãn xn > 0, ∀n ≥ giả thiết tồn lim n →∞ x1.x2 xn = lim xn thì: lim n →∞ n →∞ 1.2.6.5 Nếu dãy { xn } thỏa mãn xn > 0, ∀n ≥ giả thiết tồn lim n →∞ xn +1 n →∞ x n lim n xn = lim n →∞ 1.2.8 Cấp số cộng 1.2.8.1 Định nghĩa 1.2.8.2 Tổng n số hạng cấp số cộng 1.2.8.3 Các tính chất cấp số cộng 1.2.9 Cấp số nhân 1.2.9.1 Định nghĩa 1.2.9.2 Tổng n số hạng cấp số nhân 1.2.9.3 Các tính chất cấp số nhân 1.2.9.4 Tổng vô hạn cấp số nhân lùi xn +1 thì: xn xn +1 xn BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ BÌNH LUẬN Bài1 Cho dãy số {an} với an = a + a + + a , với n a Chứng minh dãy {an} đơn điệu tăng bị chặn an b Tìm lim n →∞ Bình luận a + Chỉ a2 > a1 Thật a2 = a + a1 > a = a1 + Giả sử mệnh đề với n = k ≥ 1, nghĩa ak > ak-1 Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k +1, nghĩa ta phải chứng minh ak+1 > ak Thật vậy: ak+1 = a + ak > a + ak −1 = ak + {an} dãy đơn điệu tăng + a1 = a < a+1 + Giả sử ak < a+1 Ta phải chứng minh ak+1< a+1 Thật vậy: ak+1 = a + ak < 2a + < a + 2a + = a+1 b Dãy {an} tăng, bị chặn nên có giới hạn + Giả sử… +g= + + 4a Bài2 Chứng minh hội tụ dãy sau: 1   + + + ÷ n  1   + + b bn = -2 n + +  + ÷ n  a an = -2 n +  Bình luận 1   + + + ÷< n n  + {an} dãy giảm bị chặn ( an > 2( n + − n − ) > -2 + Ta có bất đẳng thức 2( n + − 1) <  + Câu b tương tự Bài Cho c > 2, xét {an} xác định theo công thức truy hồi a1= c2, an+1= (an-c)2, n ≥ Chứng minh {an} dãy tăng nghiêm ngặt Bình luận: + Với c > từ giả thiết a1= c2, an+1= (an-c)2, n ≥ 1, ta chứng minh ak > với ∀k ≥ 1, k ∈ N Thật -Với n = 1, a1 = c > , mệnh đề với n = - Giả sử mệnh đề với n = k , k ≥ 1, k ∈ N , nghĩa ak > , ta chứng minh mệnh đề với n = k +1, ak +1 = (ak − c) > ⇔ ak − c > * Trường hợp 1: ak − c > ⇔ ak > (luôn đúng- đpcm) * Trường hợp 2: ak − c < −2 ⇔ ak < c − < (vô lí) Ta có điều phải chứng minh + Ta chứng minh dãy tăng nghiêm ngặt Thật - Với n = 2, ta có a2 = (c − c) = c (c − 1) > c = a1 + Giả sử mệnh đề với n = k ≥ , k ∈ N , nghĩa ak +1 = (ak − c) > ak , ta phải chứng minh mệnh đề với n = k + , k ∈ N , nghĩa ta phải chứng minh ak + = (ak +1 − c) > ak +1 Thật ak + − ak +1 = (ak +1 − c) − (ak − c) = (ak +1 − ak )(a k +1 + ak − 2c ) > ( ak +1 > ak > c > c ) Bài4 Giả sử {an} dãy thỏa mãn điều kiện < an < 1, an(1-an+1) > , với n∈N Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn dãy Bình luận: ( an ) = + Dãy bị chặn, chuyển qua giới hạn ta lim n →∞ Bài5 Thiết lập hội tụ tìm giới hạn dãy xác định biểu thức a1 = 0, an+1 = + an , n ≥ Bình luận: + Dãy tăng, bị chặn ( an ) = + Chuyển qua giới hạn ta lim n →∞ Bài6 Cho ( an ) xác định: a1 = 0, a2 = 1 , an+1 = ( + an + an −1 ) , n > Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn Bình luận Bài7 Chứng minh hội tụ dãy sau 1 + + + với n∈N 2 n 1 b yn = + + + + n với n∈N n 1 + + + c zn = n(n + 1) (n + 1)( n + 2) (2n − 1)2n a xn = + với n∈N Bình luận Bài8 Cho p∈N, a > 0, a1 > định nghĩa dãy{an} sau an+1= 1 a   ( p − 1)an + p −1  p an  an Tìm lim n →∞ với n∈N Bình luận Bài9 Dãy {an} cho theo công thức truy hồi a1= , an+1 = + an với n∈N Chứng minh dãy {an} hội tụ tìm giới hạn Bình luận Bài10 Dãy {an} cho theo công thức truy hồi a1= 1, an+1 = 2(2a n + 1) an + với n∈N Chứng minh dãy {an} hội tụ tìm giới hạn Bình luận Bài11 Tìm hàng số c > cho dãy {an} xác định công thức truy hồi c c + an2 , an+1 = 2 lim an hội tụ Trong trường hợp tìm a1 = với n∈N n →∞ Bình luận Bài12 Cho a > cố định, xét dãy {an} xác định an2 + 3a a1 > 0, an+1 = an 3an + a với n∈N Tìm tất giá trị a cho dãy hội tụ trường hợp tìm giới hạn dãy Bình luận Bài13 Cho dãy {an} xác định an+1 = − 3a n với n ≥1 Tìm giá trị a1 để dãy hội tụ trường hợp tìm giới hạn dãy Bình luận Bài14 Cho a > 0, b > 0, dãy {an} xác định < a1 < b, an+1 = ab + an2 a +1 với n ≥ an Tìm lim n →∞ Bình luận Bài15 Chứng minh hội tụ dãy {an} cho công thức truy hồi a1 = 2, an+1 = 2+ 3+ tìm giới hạn dãy an với n ≥ Bình luận Bài16 Dãy {an} cho công thức truy hồi a1 = 1, a2 = 2, an+1 = an + an−1 với n ≥ Chứng minh dãy tăng nghiêm ngặt, bị chặn Tìm giới hạn dãy Bình luận Bài17 Chứng minh hội tụ dãy {an} với n +  2 23 2n  + + + + an = n +1  ÷ với n ≥ 1 n  Bình luận Bài18 Giả sử có dãy bị chặn {an} thỏa mãn 3 an+2 ≤ an +1 + an với n ≥ Chứng minh dãy hội tụ Bình luận Bài19 Tính n + 22 + + n a lim n →∞ b lim n →∞ ( 2−32 )( ) ( − − n +1 )  1  + + +  ÷ n  1+ 3+ 2n − + 2n +  n   + + + d lim  ÷ n →∞ n + n +2 n +n  2n nn   n + + + e lim  ÷ n →∞ n + n +2 n +n  c lim n →∞ Bình luận Bài20 Tính  1  2 n −1   a + ÷ +  a + ÷ + +  a + a lim   ÷ n →∞ n n  n n    2   với a∈R  an + an2 + + ank − k b lim n →∞ an − với an ≠1 với n lim an = 1, k số nguyên dương n →∞  1  + + + c lim  ÷ n →∞ 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 1)   k −1 k =0 k +      1− 1− 1 − e lim ÷  ÷ ÷ n →∞  2.3  3.4   (n + 1)(n + 2)  n d lim ∏ n →∞ k + 6k + 11k + (k + 3)! k =1 n g lim ∑ n →∞ Bình luận Bài21 Cho a > 0, b > 0, xét dãy {an} cho ab a1 = a + b2 aan −1 , an = a + an2−1 , với n ≥ an Tìm số hạng thứ n dãy tính lim n →∞ Bình luận Bài22 Cho dãy truy hồi định nghĩa an −1 + , với n ≥ Tìm số hạng thứ n dãy tính lim an a1 = 0, an = n →∞ Bình luận Bài23 Xét hội tụ dãy cho công thức a1 = a, an = +ban-1, với n ≥ Bình luận Bài24 Cho a∈{1,2,3, ,9}, tính lim n →∞ a + aa + + aa a ( n số hạng) 10n Bình luận Bài25 Cho p1, p2, ,pk a1, a2, .,ak số dương, tính lim n →∞ p1a1n +1 + p2 a2n +1 + + pk akn +1 p1a1n + p2 a2n + + pk akn Bình luận Bài26 Cho a1, a2, ., ap số dương, tính lim n →∞ n a1n + a2n + + a np p Bình luận p 1 p  Bài27 Cho a1, a2, ., ap số dương, tính lim  ∑ n ak ÷ n →∞ p  k =1  Bình luận k n −1 1  Bài28 Cho a∈(0;1) Hãy tính: lim ∑ a + ÷ n →∞ n k =0  Bình luận Bài29 Tính a lim n 2sin n →∞ n 2014 n 2014 + cos n +1 n +1 b lim ( n + + n cos n ) n + n cos n n →∞ n   k lim c n→∞ ∑  + − 1÷ ÷ n k =0   n   k  + − 1÷ d lim ∑ n →∞  ÷ n k =0   Bình luận Bài30 Cho cấp số cộng {an} với số hạng khác không, tính  1  lim  + + + ÷ n →∞ a a an an +1   a2 a3 Bình luận Bài31 Cho cấp số cộng {an} với số hạng dương, tính  1 + + +  n  a1 + a2 a2 + a3 an + an +1 lim n →∞ Bình luận Bài32 Tính n a lim n →∞ ( n ) e −1 n n b lim e + e + + e n →∞ n n n Bình luận Bài33 Tính  1  + + + 1 + ÷ n n n  a2 an  lim a + + + b n→∞ n +1  ÷ a  n  a lim n →∞  (k + 1)! (k + n)!  k !+ + + ÷ k +1  n  1! n!   1  + + + d lim  ÷ n →∞ n n n +1 2n  c lim n →∞ 1k + 2k + + n k n →∞ n k +1 + 1.a + 2.a + + n.a n g lim n →∞ n.a k +1 n  1 k + 2k + + n k ) − ( h lim n →∞  n k k +   e lim Bình luận an = a Tìm lim  a1 + a2 + a3 + + an ÷ Bài34 Giả sử lim n →∞ n →∞ n n  ÷ ÷  Bình luận an = a Tìm lim  an + an −1 + + an1−1 ÷ Bài35 Giả sử lim n →∞ n →∞ 2   Bình luận an = a Tìm Bài36 Giả sử lim n →∞ a a a a a  n + n −1 + + a lim  ÷ n →∞ 1.2 2.3 n.( n + 1)   a  n −1 n n −1 b lim  − + + (−1) n −1 ÷ n →∞ 2   Bình luận Bài37 Tìm giới hạn dãy {an},   an =  +  2  n + ÷ 1 + ÷ ÷ n  n   n  Bình luận Bài38 Cho dãy {an} xác định sau a1 =1, an= n(an-1 +1), n ≥ Tính n  1 lim ∏  + ÷ n →∞ ak  k =1  Bình luận Bài39 Cho số thực a b, dãy {an} xác định sau a1= a, a2 = b, an+1 = n −1 an + an-1, ), n ≥ n n an Tìm lim n →∞ Bình luận Bài40 Cho dãy {an} xác định sau a1 =1, a2 =2, an+1 = n(an + an-1), n ≥ Tìm an Bình luận Bài41 Cho số thực a b, dãy {an} xác định sau a1= a, a2 = b, an+1 = 2n − an-1 + an, 2n 2n an Tìm lim n →∞ Bình luận Bài42 Cho {an} xác định sau a1= 2, an+1= 3an + 8a 2n + Tìm số hạng tổng quát an dãy số Bình luận 10 n ≥ 1 Bài43 Cho {an} xác định sau: a0 = 0, a1 = 1, an+2 = an-1 - an, Tìm số hạng tổng quát an dãy số Bình luận Bài44 Cho dãy {an} xác định sau a1 =1, a2 =2, an+1- an + an-1 – = 0, n ≥ Tìm số hạng tổng quát an dãy số Bình luận Bài45 Cho dãy {an} xác định sau a1 = 2, a2 = 3, an+1= 3an - 2an-1 , n ≥ Tìm số hạng tổng quát an dãy số Bình luận Bài46 Cho dãy {an} xác định sau: a1 = a2 = 1, an+2 = a + an , n ≥ n +1 Tính a2014 Bình luận Bài47 Cho dãy {an} xác định sau: a1 = a2 = 1, an+2 = an +1 − an , n ≥ 2 an Tìm lim n →∞ Bình luận a n Bài48 Cho dãy {an} xác định sau: a0 = 0, an+1 = a + , n ≥ n an Tìm lim n →∞ Bình luận Bài49 Cho dãy {an} xác định sau: a0 = 1 , ak = ak-1+ ak −1 , k ≥ n an Tìm lim n →∞ Bình luận Bài50 Cho dãy {an} xác định sau: a0 = 0, an = an −1 + (−1) n , n ≥ 2014 an Tìm lim n →∞ Bình luận Bài51 Cho dãy {an} xác định sau  a1 a2 a  + + + n ÷ an +1   a2 a3 a1 = 1, 2014an+1 = an2 +2014an , n ≥ Tìm lim  n →∞ Bình luận Bài52 Cho dãy số thực { un } với số hạng tổng quát: un = 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) 11 un Tìm lim n →∞ Bình luận: u1 = 10  Bài53 Cho dãy số thực { un } xác định bởi:  5un un +1 = n + un +1 < , ∀n ≥ 10 1/ Chứng minh un 2/ Từ suy dãy { un } hội tụ tìm giới hạn Bình luận Bài54 Cho dãy số thực { un } u1 = 10  thỏa mãn  un un +1 = + 1/ Chứng minh dãy số { } xác định = un − 15 cấp số nhân lùi vô hạn 2/ Từ suy dãy { un } hội tụ tìm giới hạn Bình luận u1 un +1 = (1 − a)un + b Bài55 Cho dãy số thực { un } xác định bởi:  Trong a,b hai số cho trước, < a < un = Chứng minh lim n →∞ b a Bình luận: + Đặt = un − b = chứng minh +1 = (1 − a)vn Từ suy lim n →∞ a Bài56 Tìm giới hạn dãy cho công thức truy hồi sau: 1/ xn = a + xn −1 , n > với x1 = a , a ≥ Bình luận: + Bằng quy nạp chứng minh được: xn < xn +1 + Chứng minh quy nạp xn < a + xn = b ⇒ b ≥ a + Đặt lim n →∞ + Từ xn = a + xn −1 chuyển qua giới hạn hai vế ta b = a + b + Lý luận để tìm b = 2/ xn +1 = + + 4a xn + xn −1 , x1 = 0, x2 = Bình luận: 12 + Ta có x2 = x1 + x0 x +x , x3 = 2 x2 − x1 ,k≥2 2k −  1 (−1) n −  + Cộng vế với vế ta có: xn − x1 = ( x2 − x1 ) 1 − + − + n −   2  x2 − x1 x − x − (−1) n − n − 21 + xn = 3.2 xn = + Kết luận: lim n →∞ 1 x2 Bài57 Cho dãy số thực ( xn ) xác định: xn = + n −1 , x1 = 2 k −2 + Từ ta chứng minh quy nạp: xk − xk −1 = (−1) Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn Bình luận: + Chỉ xn > 0, ∀n + Bằng quy nạp ta chứng minh được: xn < xn +1 xn < 1, ∀n xn = a + Đặt lim n →∞ xn2−1 a2 + a = + chuyển qua giới hạn hai vế ta 2 2 + Lý luận để tìm a = xn −1 xo Bài 58 Cho dãy số thực ( xn ) xác định: xn = , x1 = , x0 > + xn −1 + x0 + Từ xn = tùy ý Bình luận: + Bằng quy nạp ta chứng minh dãy { xn } giảm bị chặn 0, xn = a , a ≥ tồn giới hạn lim n →∞ xn −1 a chuyển qua giới hạn hai vế ta a = + xn −1 2+a + Kết luận a = + xn2−1 x x = ( ) Bài 59 Cho dãy số thực n xác định: n , x0 > tùy ý xn −1 + Từ xn = Bình luận: + Chứng minh quy nạp số hạng dãy { xn } số dương  1 + xn −1 ÷ ≥ 5, ∀n  xn −1  + Ta có xn =  + Xét ( xn − xn −1 ) với chứng minh xn ≥ 5, ∀n ta dãy { xn } giảm + Mặt khác dãy { xn } bị chặn nên có giới hạn 13 xn = a + Đặt lim n →∞ + Từ xn = + xn2−1 15  chuyển qua giới hạn hai vế ta a =  + a ÷ xn −1 2a  + Kết luận a = Bài60 Cho hai dãy { xn } { yn } với x1 = a, y1 = b, xn +1 = xn yn , yn+1 = xn + yn , ∀n ≥ Chứng tỏ hai dãy có giới hạn Bình luận: + Từ giả thiết xn +1 = xn yn suy xn ≥ 0, yn ≥ 0, n = 1, 2, xn + yn x + yn ≥ xn yn = xn +1 , mà xn +1 = xn yn ≥ xn2 = xn , yn +1 = n ≤ yn 2 + Như vậy: xn ≤ yn ≤ y1 = b, yn ≥ xn ≥ x1 = a + Do tồn lim xn = A , lim xn = B + yn +1 = n →∞ n →∞ + Chuyển qua giới hạn đẳng thức yn +1 = xn + yn ta A = B + 22 + 33 + + n n n →∞ nn Bài61 Tìm lim Bình luận: + 22 + 33 + + n n nn nn n1 + n + n3 + + n n n n +1 − n n n − n n = = n < + Ta có: = n ≤ an ≤ n n n n (n − 1).n n n −1 n −1 + 22 + 33 + + n n =1 + Dùng giới hạn kẹp ta lim n →∞ nn Bài62: Cho hai số thực dương a a1 Định nghĩa ( an ) n≥1 sau: + Đặt an = an +1 = an ( − a.an ) , n ∈ N * Xét hội tụ tìm giới hạn dãy (nếu có) ( an ) n≥1 Bình luận: 2 + Đặt an +1 = f (an ) = 2a n − a.an Hàm số f ( x) = 2x-a.x ⇒ Maxf(x)= (*) a ≥ ⇒ an +1 ≥ an (**) + Từ a a1 dương nên < an ≤ + Mà an +1 − an = an ( − a.an ) + Từ (*) (**) ta có ( an ) n≥1 hội tụ a ( an ) = x ⇒ x = x ( 2x-ax ) ⇔ x = + Giả sử lim n →∞ 14 a Bài62: Cho ( xn ) n≥1  n Tìm lim ∑ n →∞  i =1 xn3 + 3x n + 16 thỏa mãn x1 = 2016; xn +1 = xn − xn + 11  ÷ x +7 n Bình luận: + Áp dụng: 1 − = xn − xn +1 − xn + 15 ... Bài3 8 Cho dãy {an} xác định sau a1 =1, an= n(an -1 +1) , n ≥ Tính n  1 lim ∏  + ÷ n →∞ ak  k =1  Bình luận Bài3 9 Cho số thực a b, dãy {an} xác định sau a1= a, a2 = b, an +1 = n 1 an + an -1, ... luận Bài5 0 Cho dãy {an} xác định sau: a0 = 0, an = an 1 + ( 1) n , n ≥ 2 014 an Tìm lim n →∞ Bình luận Bài5 1 Cho dãy {an} xác định sau  a1 a2 a  + + + n ÷ an +1   a2 a3 a1 = 1, 2 014 an +1 =... aa a ( n số hạng) 10 n Bình luận Bài2 5 Cho p1, p2, ,pk a1, a2, .,ak số dương, tính lim n →∞ p1a1n +1 + p2 a2n +1 + + pk akn +1 p1a1n + p2 a2n + + pk akn Bình luận Bài2 6 Cho a1, a2, ., ap số dương,