BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ1.1. Định nghĩa giới hạn của một dãy số thực1. 1.1. Định nghĩa dãy số:1.1.1.1. Định nghĩa: Hàm số Gọi là dãy số thực1.1.1.2. Ví dụ1.1.2. Dãy số bị chặn: Cho dãy số thực , được gọi là 1.1.2.1. Bị chặn trên: Nếu tồn tại số thực M sao cho 1.1.2.2. Bị chặn dưới: Nếu tồn tại số thực N sao cho 1.1.2.3. Bị chặn: Nếu dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.1.1.2.4. Ví dụ:1.1.2.4.1. 1.1.2.4.2. 1.1.2.4.3. 1.1.3. Dãy số đơn điệuDãy số thực , được gọi là1.1.3.1. Tăng nếu 1.1.3.2. Tăng nghiêm ngặt nếu 1.1.3.4. Giảm nếu 1.1.3.5. Giảm nghiêm ngặt nếu 1.1.4. Dãy con1.1.4.1. Định nghĩa: Từ một dãy số thực lấy ra một dãy có một số số hạng nằm trong đó gọi là một dãy con.1.1.4.2. Ví dụ: dãy ta lập được hai dãy con là:1,1,1,1,1,……. và 1,1,1,…….1.1.5. Định nghĩa giới hạn của dãy số: Tham khảo các sách Chú ý: Dãy có giới hạn được gọi là dãy hội tụ, dãy không có giới hạn được gọi là dãy phân kì 6. Tính duy nhất của giới hạn: Giới hạn dãy nếu có là duy nhất.1.2. Một số tính chất đơn giản của giới hạn.
Trang 1BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1.1 Định nghĩa giới hạn của một dãy số thực
1 1.1 Định nghĩa dãy số:
1.1.1.1 Định nghĩa: Hàm số u: N* →R
n→u n( )
Gọi là dãy số thực
1.1.1.2 Ví dụ
1.1.2 Dãy số bị chặn: Cho dãy số thực { }u n , được gọi là
1.1.2.1 Bị chặn trên: Nếu tồn tại số thực M sao cho u n ≤M,∀n
1.1.2.2 Bị chặn dưới: Nếu tồn tại số thực N sao cho u n ≥N,∀n
1.1.2.3 Bị chặn: Nếu dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
1.1.2.4 Ví dụ:
1.1.2.4.1 2
1
n
1.1.2.4.2 { }3n
1.1.2.4.3 {( 1) − n n}
1.1.3 Dãy số đơn điệu
Dãy số thực { }u n , được gọi là
1.1.3.1 Tăng nếu u n ≤u n+1,∀n
1.1.3.2 Tăng nghiêm ngặt nếu u n <u n+1,∀n
1.1.3.4 Giảm nếu u n ≥u n+1,∀n
1.1.3.5 Giảm nghiêm ngặt nếu u n >u n+1,∀n
1.1.4 Dãy con
1.1.4.1 Định nghĩa: Từ một dãy số thực lấy ra một dãy có một số số hạng nằm trong đó gọi là một dãy con
1.1.4.2 Ví dụ: dãy {( 1)− n} ta lập được hai dãy con là:
1,1,1,1,1,…… và -1,-1,-1,……
1.1.5 Định nghĩa giới hạn của dãy số: Tham khảo các sách
* Chú ý: Dãy có giới hạn được gọi là dãy hội tụ, dãy không có giới hạn được
gọi là dãy phân kì
6 Tính duy nhất của giới hạn: Giới hạn dãy nếu có là duy nhất
1.2 Một số tính chất đơn giản của giới hạn.
1.2.1 Định lý 1: Dãy số thực { }u n hội tụ thì bị chặn
* Chú ý: Điều ngược lại không đúng Xét dãy {( 1)− n}
1.2.2 Định lý 2: Nếu dãy số thực { }u n hội tụ và có giới hạn l thì mọi dãy con của
nó đều hội tụ và có giới hạn l.
Trang 21.2.3 Định lý 3: Giả sử limn u n l
→∞ = và a là một số thực
a Nếu l > a thì tồn tại một số nguyên dương N sao cho: n N≥ ⇒u n >a
b Nếu l< a thì tồn tại một số nguyên dương N sao cho: n N≥ ⇒u n <a
1.2.4 Định lý 4: Nếu limn u n l
→∞ = và lim n
→∞ = và u n ≤v n,∀n thì l m≤
* Chú ý:
a Định lý 4 vẫn đúng nếu thay điều kiện “ u n ≤v n,∀n ” bởi điều kiện
“ u n ≤v n kể từ một chỉ số n0 nào đó trở đi ”
b Nếu u n <v n,∀n thì vẫn có thể xảy ra l = m (phân tích cho sinh viên)
* Hệ quả: Giả sử limn u n l
→∞ = và a là một số thực
a Nếu u n ≤ ∀a, n thì l a≤
b Nếu u n ≥ ∀a, n thì l a≥
1.2.5 Định lý 5: Cho ba dãy: { } { } { }u n , v n , wn thỏa mãn u n ≤ ≤v n w ,n ∀n và lim n
n u
lim n
→∞ = thì lim wn
* Chú ý: Cho ba dãy: { } { } { }u n , v n , wn thỏa mãn u n <v n<w ,n ∀n và lim n
n u
lim n
→∞ = thì lim wn
1.2.6 Định lý 6: Nếu limn u n l
→∞ = thì lim n
1.2.3 Một số phép toán trên giới hạn dãy
Giả sử limn u n l
→∞ = , lim n
→∞ = và a là số thực không đổi thì:
1.2.3.1 lim(n u n v n) l m
1.2.3.2 lim(n u n v n) l m
1.2.3.3 lim( )n u v n n l m.
1.2.3.4 lim(a )n u n a l.
1.2.3.5 limn n lim( )lim( )n n , 0
u
m
→∞
→∞
→∞
÷
1.2.7 Định lý 7: Nếu { }u n là dãy số thực hội tụ limn u n l
→∞ = và u n ≥ ∀0, n thì dãy số
thực { }u n cũng hội tụ và limn u n lim( )n u n l
* Chú ý:
+ Nếu k là một số nguyên dương, { }u n là dãy số thực hội tụ limn u n l
→∞ = và
0,
n
u ≥ ∀n thì dãy số thực { }k
n
u cũng hội tụ và lim( )k k lim( ) k
+ Nếu k là một số nguyên dương lẻ thì có thể bỏ đi giả thiết u n ≥ ∀0, n .
1.2.4 Giới hạn vô cực Vô cùng lớn và vô cùng bé
1.2.4.1 Giới hạn +∞
Trang 31.2.4.2 Giới hạn −∞
1.2.4.3 Các tính chất giới hạn vô cực
1.2.4.4 Vô cùng lớn
+ Định nghĩa: Dãy số thực { }u n được gọi là một vô cùng lớn nếu limn u n
+ Phân tích ví dụ
1.2.4.5 Vô cùng bé
+ Định nghĩa: Dãy số thực { }u n được gọi là một vô cùng lớn nếu limn u n 0
+ Phân tích ví dụ
Chú ý: Phân tích và cách tìm các dạng vô định 0, ,0
0 ∞ ∞
∞
1.2.5 Giới hạn e
Cho dãy số thực { }u n , trong đó 1 1
n n
u
n
thì
1 lim 1 2,718281828459
n
n
→∞
1.2.6 Một số giới hạn thường gặp
1
n n
khi a a
khi a
→∞
1.2.6.2 Khi a là một số thực dương thì lim( )n 1
1.2.6.3 lim( )n 1
1.2.6.4 Nếu dãy { }x n hội tụ và thỏa mãn x n > ∀ ≥0, n 1 và giả thiết tồn tại lim n 1
n n
x x
+
→∞
thì: lim 1 .2 n lim n
1.2.6.5 Nếu dãy { }x n thỏa mãn x n > ∀ ≥0, n 1 và giả thiết tồn tại lim n 1
n n
x x
+
→∞ thì:
1 limn lim n
n
n
x x
x
+
1.2.8 Cấp số cộng
1.2.8.1 Định nghĩa
1.2.8.2 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
1.2.8.3 Các tính chất của cấp số cộng
1.2.9 Cấp số nhân
1.2.9.1 Định nghĩa
1.2.9.2 Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
1.2.9.3 Các tính chất của cấp số nhân
1.2.9.4 Tổng vô hạn của một cấp số nhân lùi
Trang 4BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ BÌNH LUẬN
Bài1 Cho dãy số {an} với an = a+ a+ + a , với n căn
a Chứng minh rằng dãy {an} đơn điệu tăng và bị chặn trên
b Tìm limn a n
→∞
Bình luận
a
+ Chỉ ra a2 > a1 Thật vậy a2 = a a+ 1 > a= a1
+ Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là ak > ak-1 Ta phải chứng minh mệnh
đề đúng với n = k +1, nghĩa là ta phải chứng minh ak+1 > ak Thật vậy:
ak+1 = a a+ k > a a+ k−1 = ak
+ {an} là dãy đơn điệu tăng
+ a1 = a< a+1
+ Giả sử ak < a+1 Ta phải chứng minh ak+1< a+1 Thật vậy:
ak+1 = a a+ k < 2a+1< a2+2a 1+ = a+1
b Dãy {an} tăng, bị chặn trên nên có giới hạn
+ Giả sử…
+ g = 1 1 4a
2
Bài2 Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau:
a an = -2 1 1 1
n
n
b bn = -2 1 1 1 1
n
n
Bình luận
+ Ta có bất đẳng thức 2( 1 1) 1 1 1 2
n
+ {an} là dãy giảm và bị chặn dưới ( an > 2( n+ −1 n−1) > -2
+ Câu b tương tự
Bài 3 Cho c > 2, xét {an} được xác định theo công thức truy hồi
a1= c2, an+1= (an-c)2, n ≥ 1 Chứng minh {an} là dãy tăng nghiêm ngặt
Bình luận:
+ Với c > 2 và từ giả thiết a1= c2, an+1= (an-c)2, n ≥ 1, ta chứng minh được a k >4 với ∀ ≥k 1,k N∈ Thật vậy
-Với n = 1, 2
a =c > , mệnh đề đúng với n = 1.
Trang 5- Giả sử mệnh đề đúng với n k k= , ≥1,k N∈ , nghĩa là a k >4, ta chứng minh mệnh
đề đúng với n = k +1, thật vậy a k+1 =(a k−c)2 > ⇔4 a k − >c 2
* Trường hợp 1: a k− > ⇔c 2 a k >4 (luôn đúng- đpcm)
* Trường hợp 2: a k− < − ⇔c 2 a k < − <c 2 0(vô lí) Ta có điều phải chứng minh + Ta sẽ chứng minh dãy tăng nghiêm ngặt Thật vậy
a = c −c =c c− >c =a
+ Giả sử mệnh đề đúng với n k= ≥2, k N∈ , nghĩa là 2
a + = a −c >a , ta phải
chứng minh mệnh đề đúng với n k= + 1,k N∈ , nghĩa là ta phải chứng minh
2
a + = a + −c >a + Thật vậy
a + −a + = a + −c − a −c = a + −a + + −a c > ( do 2
1
a + >a >c >c)
Bài4 Giả sử {an} là dãy thỏa mãn điều kiện
0 < an < 1, an(1-an+1) > 1
4, với n∈N Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của dãy đó
Bình luận:
+ Dãy bị chặn, chuyển qua giới hạn ta được lim( ) 1
2
n
Bài5 Thiết lập sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy được xác định bởi biểu thức
a1 = 0, an+1 = 6+a n , n ≥ 1
Bình luận:
+ Dãy tăng, chỉ ra bị chặn trên bởi 3
+ Chuyển qua giới hạn ta được lim( )n 3
Bài6 Cho ( )a n xác định: a1 = 0, a2 = 1
2, an+1 = ( 2 )
1
1 1
3 + +a n a n− , n > 1
Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bình luận
Bài7 Chứng minh sự hội tụ của các dãy sau
a xn = 1 + 2 2 2
2 +3 + + n với n∈N
b yn = 1 + 12 13 1
2 +3 + +n n với n∈N
c zn = n n(1 1)+ (n 1)(1 n 2) + + (2n11)2n
Bình luận
Bài8 Cho p∈N, a > 0, a1 > 0 định nghĩa dãy{an} như sau
1 ( 1) n p
n
a
Tìm limn a n
→∞
Trang 6Bình luận
Bài9 Dãy {an} được cho theo công thức truy hồi
a1= 2, an+1 = 2+ a n với n∈N Chứng minh rằng dãy {an} hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bình luận
Bài10 Dãy {an} được cho theo công thức truy hồi
a1= 1, an+1 = 2(2an 31)
n a
+ + với n∈N Chứng minh rằng dãy {an} hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bình luận
Bài11 Tìm các hàng số c > 0 sao cho dãy {an} được xác định bởi công thức truy hồi
a1 = 2
c
, an+1 =
2 2
n
c a+ với n∈N
là hội tụ Trong trường hợp đó hãy tìm limn a n
→∞
Bình luận
Bài12 Cho a > 0 cố định, xét dãy {an} được xác định
a1 > 0, an+1 =
2 2
3a 3
n n n
a a
a a
+ + với n∈N Tìm tất cả các giá trị của a1 sao cho dãy trên hội tụ và trong trường hợp đó hãy tìm giới hạn của dãy
Bình luận
Bài13 Cho dãy {an} được xác định
an+1 = 4 3a1
n
− với n ≥1 Tìm các giá trị của a1 để dãy trên hội tụ và trong trường hợp đó hãy tìm giới hạn của dãy
Bình luận
Bài14 Cho a > 0, b > 0, dãy {an} được xác định bởi
0 < a1 < b, an+1 = 2 2
1
n
ab a a
+ + với n ≥ 1 Tìm limn a n
→∞
Bình luận
Bài15 Chứng minh sự hội tụ của dãy {an} được cho bởi công thức truy hồi
a1 = 2, an+1 =
1 2
1 3
n a
+ + với n ≥ 1
và tìm giới hạn của dãy
Trang 7Bình luận
Bài16 Dãy {an} được cho bởi công thức truy hồi
a1 = 1, a2 = 2, an+1 = a n + a n−1 với n ≥ 2 Chứng minh dãy trên tăng nghiêm ngặt, bị chặn Tìm giới hạn của dãy
Bình luận
Bài17 Chứng minh sự hội tụ của dãy {an} với
an =
1
n n
n
n
+
Bình luận
Bài18 Giả sử có dãy bị chặn {an} thỏa mãn
3a n+ 3a n
≤ + với n ≥ 1 Chứng minh rằng dãy trên hội tụ
Bình luận
Bài19 Tính
a lim 1n 2 22 2
b lim( 2 32)( 2 52 ) ( 2 2n 12)
n
+
n
n
→∞
2
n
→∞
Bình luận
Bài20 Tính
a
n
n
→∞
b
2
lim
1
k
n
n
a
→∞
−
với an≠1 với mọi n và limn a n
→∞ = 1, k là số nguyên dương
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 1)
d
3
3
0
1 lim
1
n
n
k
k
k
→∞ =
−
+
∏
e lim 1 2 1 2 1 2
Trang 8g
1
6 11 5 lim
( 3)!
n
n k
k
→∞ =
+
∑
Bình luận
Bài21 Cho a > 0, b > 0, xét dãy {an} cho bởi
a1 = 2ab 2
a +b , an =
1
2 2 1
n n
aa
a a
−
− + , với n ≥ 2 Tìm số hạng thứ n của dãy và tính limn a n
→∞
Bình luận
Bài22 Cho dãy truy hồi được định nghĩa bởi
a1 = 0, an = 1 3
4
n
a− +
, với n ≥ 2 Tìm số hạng thứ n của dãy và tính limn a n
→∞
Bình luận
Bài23 Xét sự hội tụ của dãy cho bởi công thức
a1 = a, an = 1 +ban-1, với n ≥ 2
Bình luận
Bài24 Cho a∈{1,2,3, ,9}, hãy tính
aa aa a lim
10n n
a
→∞
( n số hạng)
Bình luận
Bài25 Cho p1, p2, ,pk và a1, a2, ,ak là các số dương, tính
1 1 2 2
1 1 2 2
lim
k k
n
k k
→∞
Bình luận
Bài26 Cho a1, a2, , ap là các số dương, tính 1 2
lim
p n
n
p
→∞
Bình luận
Bài27 Cho a1, a2, , ap là các số dương, tính
1
1 lim
p p
n k n
k
a p
Bình luận
Bài28 Cho a∈(0;1) Hãy tính: 1
0
1 lim
k n
n
−
→∞ =
∑
Bình luận
Bài29 Tính
lim 2sin os
n
n
c
b lim( 1 cos )2n n1cosn
Trang 9c 2
0
n k
k n
→∞ =
∑
d
2 3
3 0
n
n
k
k n
→∞ =
∑
Bình luận
Bài30 Cho một cấp số cộng {an} với các số hạng khác không, hãy tính
n
n n
a a a a a a
→∞
+
Bình luận
Bài31 Cho một cấp số cộng {an} với các số hạng dương, hãy tính
n
→∞
+
Bình luận
Bài32 Tính
a lim (n 1)
b
lim
n
n
n
→∞
Bình luận
Bài33 Tính
a lim 1 1 1 1 1
b
2 1
2
n n
n
a
→∞
k
n
k
→∞
e lim1 2 1
k
n
n
n +
→∞
+ + +
g lim1 1. 2. 2 1 .
n k
n
n a +
→∞
lim 1 2
1
k
n
n n
→∞
Bình luận
Bài34 Giả sử limn a n
1
1
n n
a a
→∞
Trang 10Bình luận
Bài35 Giả sử limn a n
1
n n
−
→∞
Bình luận
Bài36 Giả sử limn a n
→∞ = a Tìm
1.2 2.3 ( 1)
n
n n
−
→∞
lim ( 1)
n
n n
−
→∞
Bình luận
Bài37 Tìm giới hạn của dãy {an}, trong đó
Bình luận
Bài38 Cho dãy {an} được xác định như sau
a1 =1, an= n(an-1 +1), n ≥ 2 Tính
1
1 lim 1
n n
→∞ =
∏
Bình luận
Bài39 Cho các số thực a và b, dãy {an} được xác định như sau
a1= a, a2 = b, an+1 = n 1
n
−
an +1
nan-1, ), n ≥ 2 Tìm limn a n
→∞
Bình luận
Bài40 Cho dãy {an} được xác định như sau
a1 =1, a2 =2, an+1 = n(an + an-1), n ≥ 2 Tìm an
Bình luận
Bài41 Cho các số thực a và b, dãy {an} được xác định như sau
a1= a, a2 = b, an+1 = 1
2nan-1 +2 1
2
n n
−
an, n ≥ 2 Tìm limn a n
→∞
Bình luận
Bài42 Cho {an} được xác định như sau
a1= 2, an+1= 3an + 8a2n+1 Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đó
Bình luận
Trang 11Bài43 Cho {an} được xác định như sau: a0 = 0, a1 = 1, an+2 = an-1 -1
2an, Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đó
Bình luận
Bài44 Cho dãy {an} được xác định như sau
a1 =1, a2 =2, an+1- an + an-1 – 1 = 0, n ≥ 3
Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đó
Bình luận
Bài45 Cho dãy {an} được xác định như sau
a1 = 2, a2 = 3, an+1= 3an - 2an-1 , n ≥ 1
Tìm số hạng tổng quát an của dãy số đó
Bình luận
Bài46 Cho dãy {an} được xác định như sau: a1 = a2 = 1, an+2 =
1
1
n n
a
a + + , n ≥ 1 Tính a2014
Bình luận
Bài47 Cho dãy {an} được xác định như sau: a1 = a2 = 1, an+2 = 1
2a n+ −2a n, n ≥ 1 Tìm limn a n
→∞
Bình luận
Bài48 Cho dãy {an} được xác định như sau: a0 = 0, an+1 = 2n 1
n
a
a + , n ≥ 1
Tìm limn a n
→∞
Bình luận
Bài49 Cho dãy {an} được xác định như sau: a0 = 1
2, ak = ak-1+ 2
1
1
k a
n − , k ≥ 1 Tìm limn a n
→∞
Bình luận
Bài50 Cho dãy {an} được xác định như sau: a0 = 0, an = 1 ( 1)
2014
n n
a − + − , n ≥ 1 Tìm limn a n2
→∞
Bình luận
Bài51 Cho dãy {an} được xác định như sau
a1 = 1, 2014an+1 = an +2014an , n ≥ 1 Tìm 1 2
n
n
a
a a
→∞
+
Bình luận
Bài52 Cho dãy số thực { }u n với số hạng tổng quát:
1.2 2.3 3.4 ( 1)
n
u
n n
+
Trang 12Tìm limn u n
→∞
Bình luận:
Bài53 Cho dãy số thực { }u n xác định bởi:
1 1
10 5 1
n n
u
u u
n
+
=
1/ Chứng minh rằng n 1 12, 10
n
u
n u
+ < ∀ ≥
2/ Từ đó suy ra dãy { }u n hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bình luận
Bài54 Cho dãy số thực { }u n thỏa mãn
1 1
10 3 5
n n
u u
u +
=
1/ Chứng minh rằng dãy số { }v n xác định bởi 15
4
v = −u là một cấp số nhân lùi vô
hạn
2/ Từ đó suy ra rằng dãy { }u n hội tụ và tìm giới hạn của nó
Bình luận
Bài55 Cho dãy số thực { }u n xác định bởi: 1
1 (1 )
u
Trong đó a,b là hai số cho trước, 0< <a 1
Chứng minh rằng lim n
n
b u a
Bình luận:
+ Đặt n n
b
v u
a
= − và chứng minh rằng v n+1= −(1 a v) n Từ đó suy ra lim n 0
n v
Bài56 Tìm giới hạn các dãy cho bởi các công thức truy hồi sau:
1/ x n = a x+ n−1,n>1 với x1= a a, ≥0
Bình luận:
+ Bằng quy nạp chứng minh được: x n <x n+1.
+ Chứng minh bằng quy nạp x n < a+1
+ Đặt limn x n b b a
+ Từ 2
1
x = +a x − chuyển qua giới hạn hai vế ta được b2 = +a b
+ Lý luận để tìm được 1 1 4
2
a
b= + +
1
2
n n
n
x x
+
+
= , trong đó x1 =0,x2 =1
Bình luận:
Trang 13+ Ta có 1 0 2 1
+ Từ đó ta chứng minh được bằng quy nạp: 2 2 1
1 ( 1) 2 , 2
2
k
x x
x −x − = − − −− k≥
+ Cộng vế với vế ta có:
2
n
−
−
2
2
( 1)
n
−
+ Kết luận: lim 2
3
n
n x
Bài57 Cho dãy số thực ( )x n xác định: 1 21
2 2
n n
x
x = + − , trong đó 1
1 2
x = Chứng minh rằng dãy hội tụ và tìm giới hạn
Bình luận:
+ Chỉ ra x n > ∀0, n
+ Bằng quy nạp ta chứng minh được: x n<x n+1 và x n < ∀1, n
+ Đặt limn x n a
+ Từ
2 1 1
2 2
n n
x
x = + − chuyển qua giới hạn hai vế ta được
2 1
2 2
a
a= + + Lý luận để tìm được a=1
Bài 58 Cho dãy số thực ( )x n xác định: 1
1 2
n n
n
x x
x
−
−
= + , trong đó 1
0 2
o x x
x
= + , x0 >0 tùy ý
Bình luận:
+ Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy { }x n giảm và bị chặn dưới bởi 0, do đó tồn tại giới hạn limn x n a
→∞ = , a≥0.
1 2
n n
n
x
x
x
−
−
=
+ chuyển qua giới hạn hai vế ta được 2
a a
a
=
+ Kết luận a= 0.
Bài 59 Cho dãy số thực ( )x n xác định:
2 1 1
5 2
n n
n
x x
x
−
−
+
= , trong đó x0 >5 tùy ý.
Bình luận:
+ Chứng minh bằng quy nạp các số hạng của dãy { }x n đều là các số dương
1
1 5
5, 2
n
x− −
+ Xét (x n −x n−1) với chứng minh trên x n ≥ 5,∀n ta được dãy { }x n giảm
+ Mặt khác dãy { }x n bị chặn dưới bởi 5 nên có giới hạn
Trang 14+ Đặt limn x n a
+ Từ
2 1 1
5
2
n n
n
x x
x
−
−
+
= chuyển qua giới hạn hai vế ta được 1 5
2
a
+ Kết luận a= 5
Bài60 Cho hai dãy { }x n và { }y n với 1 , 1 , 1 , 1 , 1
2
x y
x =a y =b x+ = x y y + = + ∀ ≥n
Chứng tỏ rằng hai dãy trên có cùng giới hạn
Bình luận:
+ Từ giả thiết x n+1= x y n n suy ra x n ≥0,y n ≥0,n=1, 2,
2
x y
y + = + ≥ x y =x +
2
x y
x+ = x y ≥ x =x y + = + ≤y
+ Như vậy: x n ≤ y n ≤ =y1 b y, n ≥x n ≥ =x1 a
+ Do đó tồn tại limn x n A
+ Chuyển qua giới hạn của đẳng thức 1
2
n
x y
y + = +
ta được A = B
Bài61 Tìm lim1 22 33
n n
n
n n
→∞
+ + + +
Bình luận:
+ Đặt a n 1 22 33n n n
n
+ + + +
=
+ Ta có:
n
a
+
+ Dùng giới hạn kẹp ta được lim1 22 33 1
n n
n
n n
→∞
Bài62: Cho hai số thực dương a và a1 Định nghĩa ( )a n n≥1 như sau:
a + =a −a a n N∈
Xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy (nếu có) của ( )a n n≥1
Bình luận:
1 ( ) 2a
( ) 2x-a.x axf(x)=
a
+ Từ a và a1 dương nên 0 a n 1
a
< ≤ (*) + Mà a n+1− =a n a n(1−a a n) ≥ ⇒0 a n+1≥a n (**)
+ Từ (*) và (**) ta có ( )a n n≥1 hội tụ
+ Giả sử lim( )n (2x-ax) 1
a