Dạng 3: Tìm giới hạn của biểu thức được xây dựng từ dãy số cho trướcBài 1: Cho dãy số được xác định bởi: Tìm Bình luận:+ Từ Giả thiết ta có + Hay + Chỉ ra dãy đơn điệu tăng+ Giả sử , khi đó ta lại tìm được a = 0, nên mâu thuẫn với giả thiết+ Vậy + Kết quả Bài 2: Cho dãy số được xác định bởi: Tìm .Bình luận:+ Từ giả thiết + Vậy , mà + Ta tìm được + Kết quả: Bài 3: Cho dãy số được xác định bởi: Tìm Bình luận:+ Từ giả thiết ta tìm được: + Tính được tổng + Chỉ ra dãy số dương, đơn điệu tăng+ Giả sử có giới hạn hữu hạn, dẫn tới vô lý, nên + Kết luận:
PHẦN I: HÀM SỐ LIÊN TỤC I Các khái niệm: Các định nghĩa 1.1 Định ngĩa 1: Hàm số f(x) xác định (a,b) ∀x0 ∈ (a , b ) Ta nói lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 hàm số f liên tục điểm x0 Các ví dụ: * Ví dụ 1: Các hàm số sơ cấp xác định toàn miền xác định 1 ;x≠0 f ( x) = x 0; x = * Ví dụ 2: Xét hàm số Hàm số gián đoạn x = 0, giới hạn x = 0, tức không tồn lim f ( x) x →0 1; x ∈ Q D( x) = 0; x ∈ I * Ví dụ 3: Hàm số Điriclê: Hàm số gián đoạn điểm điểm x0 thuộc R * Ví dụ 4: Hàm số x0 ∈ R , hàm số giới hạn sin x ; x≠0 f ( x) = x 0; x = sin x = ≠ = f (0) x →0 x lim f ( x) = lim x →0 Hàm số gián đoạn x = 1.2 Định nghĩa 2: Hàm số liên tục phía lim f ( x ) = f ( x0 ) 1.2.1 Hàm số liên tục phải: x → x0+ f ( x) = − x lim + f ( x) = lim + − x = = f ( −1) x →( −1) Ví dụ: Xét hàm số , ta có Vậy hàm số liên tục phải điểm x = -1 x → ( −1) lim f ( x ) = f ( x0 ) 1.2.2 Hàm số liên tục trái: x → x0− f ( x) = − x Ví dụ: Xét hàm số , ta có Vậy hàm số liên tục trái x = lim− f ( x) = lim− − x = = f (1) x →(1) x →(1) 1.3 Các loại điểm gián đoạn: 1.3.1 Điểm gián đoạn loại 1(hay gọi gián đoạn bỏ được): Nếu f có giới hạn phải giới hạn trái hữu hạn điểm x0 f ( x0 + 0) = lim+ f ( x) ∈ R x → x0 f ( x0 − 0) = lim− f ( x ) ∈ R x → x0 Nghĩa là: 1.3.2 Điểm gián đoạn loại 2: Điểm gián đoạn không loại điểm gián đoạn loại Ví dụ: * Ví dụ 1: Xét hàm số x; x < f ( x) = 2; x ≥ f (1 + 0) = lim+ f ( x) = lim+ = = f (1) x →1 x →1 f (1 − 0) = lim− f ( x) = lim− x = ≠ f (1) x →1 x →1 Ta có , Hàm số liên tục phải điểm x = 1, không liên tục trái x = 1, nhiên f(1+0) f(1-0) hữu hạn nên x = điểm giới hạn loại hàm số f * Ví dụ 2: Xét hàm số 1 ; x≠0 f ( x) = x 0; x = lim = +∞ Hàm số gián đoạn x = 0, mặt khác đoạn loại hàm số cho * Ví dụ 3: Xét hàm số Điriclê: x →0+ nên x = điểm gián 1; x ∈ Q D( x ) = 0; x ∈ I x0 ∈ R Hàm số gián đoạn điểm , hàm số giới hạn điểm x0 thuộc R, nên điểm x thuộc R điểm gián đoạn loại hàm số x sin ; x ≠ f ( x) = x 1; x = * Ví dụ 4: Hàm số Tại x = điểm gián đoạn loại hàm số x − 1; x ≤ f ( x) = 5 x − 7; x > * Ví dụ 5: Hàm số Hàm số liên tục R 1.4 Hàm số liên tục khoảng (a;b): Nếu liên tục điểm thuộc khoảng 1.5 Hàm số liên tục đoạn [a;b]: Nếu liện tục (a;b) liên tục phải a liên tục trái b 1.6 Liên tục đều: 1.6.1 Định nghĩa: Hàm số f gọi liên tục D với số ε >0 nhỏ tùy ý cho trước tồn số x1 − x2 < δ ⇒ f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε δ >0 ∀x1 , x2 ∈ D cho cho 1.6.2 Ví dụ: * Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = 4x +2017 Ta có D = R ∀x1 , x2 ∈ R, ∀ε > δ= nhỏ tùy ý, tồn ε cho x1 − x2 < δ f ( x1 ) − f ( x2 ) = x1 + 2017 − (2 x2 − 2017) = x1 − x2 < 2δ = ε * Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = x2 Hàm số liên tục R? Nhưng không liên tục R Thật ta rằng: Tồn ∀x1 , x2 ∈ D cho x1 = Ta chọn ε >0 cho trước với số x1 − x2 < δ ⇒ f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ ε 1 δ ; x2 = + δ δ x1 − x2 = , f ( x1 ) − f ( x2 ) = x12 − x22 = + δ >1 δ 0 cho , II Các định lí: 2.1 Định lí Vâyơxtrat Nếu Hàm số f liên tục [a,b] thì: a) f bị chặn đoạn [a.b] b) f đạt giá trị lớn nhỏ [a,b] Ví dụ: f ( x) = x (0; +∞) Ví dụ 1: Hàm số liên tục khoảng bị chặn 0, không bị chặn Hàm số không đạt giá trị lớn nhỏ khoảng (0; +∞) Ví dụ 2: Hàm số f(x) = x liên tục (-1;1) không bị chặn khoảng nên giá trị lớn nhỏ khoảng 2.2 Định lí Bônsano- Côsi Nếu hàm số f liên tục [a;b] α c ∈ [a; b] số thực f(a) f(b) tồn α điểm cho f(c) = 2.3 Hệ quả: Nếu f liên tục [a;b] f(a).f(b) < tồn c ∈ [a; b] điểm cho f(c) = Ví dụ: Ví dụ Cho hàm số f(x) = -x2 -2x +3 liên tục [-1;4] f(-1) = > 0; f(3) = -12 < 0, tồn III Bài tập: c ∈ [-1;3] cho f(c) = Tìm c = Bài1: Tìm số thực a, b cho hàm số điểm x = 1, gián đoạn x = Bình luận: ĐS: a – b = 3; ax − b, x ≤ f ( x ) = 3 x , < x < bx − a, x ≥ liên tục b≠3 Bài 2: Cho hàm số f ( x) liên tục [0;1] Chứng minh ∀n ∈ N tồn 1 f (c ) ≥ f c + ÷ n c ∈ [0;1] điểm cho Bình luận: + Do f(x) liên tục [0;1] nên tồn giá trị lớn M giá trị nhỏ m cho m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [0;1] + Vì M giá trị lớn f(x) [0;1] nên tồn M, f (c ) ≥ f ( x ) x =c+ n với c ∈ [0;1] cho f(c) = ∀x ∈ [0;1] x = c + ∈ [0;1] n 1 f (c ) ≥ f c + ÷ n + Đặt cho , ta có Bài3: Cho hàm f(x) liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f(0) = f(1) Chúng minh phương trình f ( x) = f x + ÷ 2017 có nghiệm [0;1] Bình luận: + Xét hàm số g ( x) = f x + ÷− f ( x ) 2017 2016 0; 2017 Ta có: g (0) = f ÷− f (0) 2017 g ÷= f ÷− f ÷ 2017 2017 2017 2016 2017 g ÷= f ÷− 2017 2017 2016 f ÷ 2017 + Cộng vế với vế ta được: 2016 g (0) + g ÷+ + g ÷ = f (1) − f (0) = 2017 2017 + Do tồn điểm i, j ∈ { 0,1, 2, , 2016} cho i g ÷≤ 2017 j g ÷≥ 2017 + Nếu + Nếu i g ÷= 2017 i g ÷< 2017 j g ÷= 2017 j g ÷> 2017 ta có điều phải chứng minh Do hàm g(x) liên tục [0;1] nên tồn j i x0 ∈ ; ÷ 2017 2017 cho g(x0) = + Vậy phương trình cho có nghiệm 1 ∫ f ( x)dx < 2017 Bài4: Cho f(x) hàm liên tục [0;1], f(0) > Chứng minh phương trình x2016 = f(x) có nghiệm thuộc đoạn [0;1] Bình luận: + Xét hàm số g(x) = x2016 – f(x) [0;1] Khi g(x) liên tục [0;1] + Ta có g(0) = – f(0) < 0(d0 f(0) > 0) 1 ∫ g ( x)dx = ∫ ( x + Mặt khác x1 ∈ (0;1) 2016 − f ( x ) ) dx = − f ( x )dx > 2017 ∫0 Nên tồn để g(x1) > x0 ∈ (0; x1 ) ⊂ (0;1) + Vì g(0) g(x1) < 0, tồn để g(x0) = Vậy phương trình cho có nghiệm x0 lim f ( x) = +∞ x →+∞ Bài5: Cho f hàm liên tục R Giả sử tồn 2017 số a1, a2, , a2017 cho f(a1) + f(a2) + .+f(a2017) = 2017 Chứng minh tồn 2017 số b1, b2, ., b2017 cho bi > ai, +f(b2017) = 2018 Bình luận: i = 1, 2017 f(b1) + f(b2) + x∈R + Đặt g(x) = f(a1 +x) + f(a2 + x) + .+f(a2017 + x) – 2018, Khi g(x) hàm liên tục R + Ta có g(0) = f(a1) + f(a2) + .+f(a2017) – 2018 = 2017 – 2018 = - < (1) lim f ( x) = +∞ + Mặt khác x →+∞ + Từ (1) (2) tồn lim g ( x) = +∞ x →+∞ nên x0 ∈ (0; x1 ) suy ∃x1 > để g(x1) > (2) để g(x0) = ⇔ f (a1 + x0 ) + f ( a2 + x0 ) + + f (a2017 + x0 ) − 2018 = + Đặt bi = + x0 > , ∀i = 1, 2017 Khi f (b1 ) + f (b2 ) + + f (b2017 ) − 2018 = ⇔ f (b1 ) + f (b2 ) + + f (b2017 ) = 2018 Bài tập tuần 03 Dạng 2: Tìm giới hạn dãy Bài 1: Cho dãy số lim ( un ) n →+∞ Tìm Bình luận: Bài 2: Cho dãy số lim ( un ) n →+∞ Tìm Bình luận: Bài 3: Cho dãy số { un } { un } { un } lim ( un2 ) xác định bởi: u1 = u2 = 1; un + = un +1 − u n , n = 1, 2, 2 u0 = 1; un +1 = xác định bởi: u0 = 0; un = xác định bởi: un , n = 1, 2, u +1 n un −1 + (−1) n , n ≥ 2016 n →+∞ Tìm Bình luận: Bài 4: Cho dãy số lim ( un ) n →+∞ Tìm Bình luận: Bài 5: Cho dãy số u lim n n ÷ n.2 { un } { un } xác định bởi: xác định bởi: u1 = ; ( n + 2) un +1 = n2 un − n − 1, n ≥ u0 = 1, u1 = 3; un + = 4un +1 − 4un , n ≥ n →+∞ Tìm Bình luận: Bài 6: Cho dãy số lim ( un ) n →+∞ Tìm Bình luận: Bài 7: Cho dãy số { un } { un } xác định bởi: xác định bởi: 1 2016 u1 = 2017; un = un −1 + ÷, n ≥ 2 un −1 un2 u1 = ; un +1 = − 1, n ≥ lim ( un ) = − Chứng minh Bình luận: n →+∞ Bài 8: Cho hai dãy số un +1 = un + 1 , +1 = + un 2017 lim ÷= n →+∞ u + v n n Tìm Bình luận: { un } { } u1 = xác định bởi: 2015 2017 ; v1 = 2016 2016 Bài tập tuần 04 bình luận Dạng 3: Tìm giới hạn biểu thức xây dựng từ dãy số cho trước { un } u1 = 1; 2017un +1 = un2 + 2017 u n , n = 1, 2, Bài 1: Cho dãy số xác định bởi: u u u lim + + + n ÷ un +1 u2 u3 n →+∞ Tìm Bình luận: + Từ Giả thiết ta có uk2 u −u uk uk +1 − uk = ⇔ k +1 k = 2017 uk +1.uk 2017uk +1 uk = 2017 − ÷ uk +1 uk u k +1 + Hay + Chỉ dãy đơn điệu tăng lim ( un ) = a ≥ n →∞ + Giả sử , ta lại tìm a = 0, nên mâu thuẫn với giả thiết lim ( un ) = +∞ n →∞ + Vậy + Kết u u u lim + + + n ÷ = 2017 n →+∞ u un +1 u3 Bài 2: Cho dãy số un +1 lim ÷ n →+∞ u u u n Tìm Bình luận: { un } xác định bởi: u1 = 5; un +1 = un2 − 2, n = 1, 2, un2+1 = ( un2 − ) ⇒ un2+1 − = un2 (un2 − 4), n = 1, 2, + Từ giả thiết + Vậy un2+1 − = un2 (un2 − 4) = un2 un2−1 (un2−1 − 4) = = un2 un2−1 u12 (u12 − 4) + Ta tìm un +1 ÷ = 21 + ( u1u2 un ) u1.u2 un , mà u1 = un +1 lim ÷ = 21 u1.u2 un n →+∞ + Kết quả: Bài 3: Cho dãy số { un } xác định bởi: u1 = 1; un +1 = un ( + un2017 ) , n = 1, 2, u 2017 u 2017 u 2017 lim + + + n ÷ n →+∞ u3 un+1 u2 Tìm Bình luận: + Từ giả thiết ta tìm được: uk2017 1 = − uk +1 uk uk +1 u12017 u22017 u 2017 1 + + + n ÷ = − u3 un+1 u1 un +1 u2 + Tính tổng + Chỉ dãy số dương, đơn điệu tăng lim ( un ) = +∞ + Giả sử có giới hạn hữu hạn, dẫn tới vô lý, nên + Kết luận: u 2017 u 2017 u 2017 lim + + + n n →+∞ u3 un +1 u2 Bài 4: Cho dãy số { un } n →∞ ÷= xác định bởi: u1 = 1; un = nun −1 + n, n ≥ 2, 1 lim ∏ 1 + ÷ n →+∞ uk k =1 n Tìm Bình luận: + Ta có: u1 = u2 = 2u1 + = 2.1 + , u3 = 3u2 + = 3.2.1 + 3.2 + = 3!+ 3!+ 3! 2! u4 = 4u3 + = 4.3.2.1 + 4.3.2 + 4.3 + = 4!+ 4!+ 4! 4! + 2! 3! un = nun −1 + n = n !+ n !+ n! n! n! 1 + + + = n !1 + + + + ÷ 2! 3! ( n − 1)! 2! ( n − 1)! 1 + ∏ uk k =1 n + Mặt khác ta có: n k =1 n uk + n uk + ÷= ∏ ÷ = ∏ k =1 uk k =1 k ( uk −1 + 1) un + un + = = ÷ ÷ 1.2.3 n n! 1 1 ÷ = + + + + 1! 2! n! k ∏ 1 + u + Vậy + Kết luận: n lim ∏ 1 + n →∞ uk k =1 Bài 5: Cho dãy số { un } 1 1 + + + + ÷ = e ÷ = lim n! n →∞ 1! 2! xác định bởi: un2 + 2016un u1 = 2; un+1 = , n ≥ 1, 2017 n uk lim ∑ ÷ n →+∞ k =1 uk +1 − Tìm Bình luận: 1 = 2017 − ÷ uk +1 − uk − uk +1 − uk + Từ giả thiết ta rút được: + Cho k thay đổi, ta được: + Chỉ dãy tăng n uk ∑ ÷ = 2017 − ÷ k =1 uk +1 − un+1 − lim ( un ) = +∞ + Giả sử dãy un có giới hạn vô lý , nên + Kết luận: n uk lim ∑ ÷ = 2017 n →+∞ k =1 uk +1 − Bài 6: Cho dãy số lim ( ln un ) n →+∞ Tìm Bình luận: { un } xác định bởi: x− + Ta chứng minh được: + Từ giả thiết ta có + Xét với n →∞ i x= n x2 < ln(1 + x ) < x, x > ln un = ln 1 + ÷+ ln 1 + n n ta được: 2 n un = + ÷ + ÷ 1 + ÷ n n n n ÷+ + ln 1 + ÷ n i i2 i i − < ln 1 + ÷ < 2 n 2n n n + Vậy 1 1 + + + n ) − ( 12 + 2 + + n ) < ln ( un ) < ( + + + n ) ( n 2n n lim ( ln un ) = n →+∞ + Kết Bài 7: Cho a>0 dãy số { un } u1 = a; un +1 = xác định bởi: u lim ∑ k ÷ n →+∞ k =1 uk +1 n Tìm Bình luận: + Từ giả thiết ta rút được: + Cho k thay đổi, ta được: + Chỉ dãy tăng uk = 2017 − ÷ uk +1 uk uk +1 n uk 1 ∑ ÷ = 2017 − ÷ k =1 uk +1 u1 un +1 + Giả sử dãy un có giới hạn vô lý , nên + Kết luận: n uk 2017 lim ∑ ÷= n →+∞ a k =1 uk +1 lim ( un ) = +∞ n →∞ un2 + u n , n ≥ 1, 2017 ... f( 1-0 ) hữu hạn nên x = điểm giới hạn loại hàm số f * Ví dụ 2: Xét hàm số 1 ; x≠0 f ( x) = x 0; x = lim = +∞ Hàm số gián đoạn x = 0, mặt khác đoạn loại hàm số cho * Ví dụ 3: Xét hàm số. .. dụ: Ví dụ Cho hàm số f(x) = -x2 -2 x +3 liên tục [-1 ;4] f (-1 ) = > 0; f(3) = -1 2 < 0, tồn III Bài tập: c ∈ [-1 ;3] cho f(c) = Tìm c = Bài1: Tìm số thực a, b cho hàm số điểm x = 1, gián đoạn x =... điểm gián đoạn loại hàm số x − 1; x ≤ f ( x) = 5 x − 7; x > * Ví dụ 5: Hàm số Hàm số liên tục R 1.4 Hàm số liên tục khoảng (a;b): Nếu liên tục điểm thuộc khoảng 1.5 Hàm số liên tục đoạn [a;b]: