Các thuật toán gần đúng giải bài toán cây khung với chi phí định tuyến nhỏ nhất.

Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI PHAN TẤN QUỐC CÁC THUẬT TOÁN GẦN ĐÚNG GIẢI BÀI TOÁN CÂY KHUNG VỚI CHI PHÍ ĐỊNH TUYẾN NHỎ NHẤT Chuyên ngành: Mã số: Khoa học máy tính 62480101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Hà Nội –2015 Footer Page of 166 Header Page of 166 Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Đức Nghĩa Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Xuân Hoài Phản biện 2: TS Nguyễn Đức Dũng Phản biện 3: TS Hoàng Tuấn Hảo Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi …… giờ, ngày … tháng … năm ……… Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội Thư viện Quốc gia Việt Nam Footer Page of 166 Header Page of 166.MỞ ĐẦU Tối ưu hóa mạng liên quan đến nhiều lĩnh vực toán ứng dụng, khoa học máy tính, vận trù học, kỹ thuật, mạng truyền thông,… Nhiều toán thực tế lĩnh vực mạng truyền thông, chẳng hạn toán Optimal Communication Spanning Trees, Steiner Minimal Trees, Bounded Diameter Minimum Spanning Trees BDMST, Minimum Routing Cost Spanning Trees thuộc lớp toán NP-khó NP-đầy đủ Minimum Routing Cost Spanning Trees-MRCST toán tối ưu đồ thị tiếng có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực mạng truyền thông tin sinh học Bài toán lần giới thiệu T C Hu vào năm 1974 qua công trình “Optimum communication spanning trees” Mô hình toán học toán MRCST phát biểu sau: Cho G đồ thị vô hướng liên thông có chi phí định tuyến không âm cạnh Giả sử T khung G Chi phí định tuyến cho cặp đỉnh T định nghĩa tổng chi phí định tuyến cạnh đường đơn nối chúng T chi phí định tuyến T định nghĩa tổng tất chi phí định tuyến cặp đỉnh T Bài toán MRCST đặt tìm khung có chi phí định tuyến nhỏ số tất khung G Bài toán MRCST chứng minh thuộc lớp toán NP-khó Việc đề xuất thuật toán dạng metaheuristic giải toán MRCST có ý nghĩa quan trọng, mặt, nhằm giải toán ứng dụng thực tiễn vừa nêu; mặt khác, sở để giải toán khung tối ưu dạng NP-khó khác đồ thị Bài toán MRCST thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học bốn mươi năm qua Hiện có hàng loạt thuật toán giải toán MRCST đề xuất theo hướng: tìm lời giải đúng, tìm lời giải gần cận tỉ lệ, heuristic, metaheuristic Mục đích luận án phát triển số thuật toán gần dạng metaheuristic giải toán MRCST cho chất lượng lời giải tốt so với thuật toán có cỡ thời gian tính đòi hỏi thời gian tính so sánh với thuật toán có chất lượng lời giải Footer Page of 166 Header Page đưa of 166 tương đương lời giải tốt cho số liệu thực nghiệm chuẩn Các kết nghiên cứu luận án công bố báo tạp chí báo hội nghị chuyên ngành Luận án trình bày chương Luận án phân tích ưu nhược điểm thuật toán loại liệu thực nghiệm cụ thể qua định hướng phạm vi áp dụng cho thuật toán đề xuất Phụ lục luận án ghi nhận kết thực nghiệm công trình nghiên cứu liên quan thời điểm Chương TỔNG QUAN Chương giới thiệu tổng quan toán MRCST, ứng dụng toán MRCST, khảo sát thuật toán giải toán MRCST, tiêu chí đánh giá chất lượng thuật toán giải gần hệ thống liệu thực nghiệm chuẩn sử dụng cho toán MRCST 1.1.BÀI TOÁN MRCST 1.1.1.Một số định nghĩa Cho G = (V(G), E(G)) đồ thị vô hướng, liên thông, có trọng số không âm cạnh; V(G) tập gồm n đỉnh, E(G) tập gồm m cạnh, w(e) trọng số cạnh e, e  E(G) Định nghĩa 1.1 (Chi phí định tuyến cặp đỉnh) Cho T = (V(T), E(T)) khung G, trọng số cạnh e hiểu chi phí định tuyến cạnh e, ta gọi chi phí định tuyến (routing cost) cặp đỉnh (u,v) T, ký hiệu dT(u,v), tổng chi phí định tuyến cạnh đường đơn (duy nhất) nối đỉnh u với đỉnh v T Định nghĩa 1.2 (Chi phí định tuyến khung) Cho T = (V(T), E(T)) khung G, chi phí định tuyến T, ký hiệu C(T), tổng chi phí định tuyến cặp đỉnh thuộc T, tức là: C (T )   u ,vV (T ) dT (u, v) (1-1) Bài toán MRCST: Cho đồ thị G định nghĩa trên, toán đặt số tất khung đồ thị G cần tìm khung có chi phí định tuyến nhỏ Footer Page of 166 Header of Bài toánPage đặt166 tên toán khung với chi phí định tuyến nhỏ (Minimum Routing Cost Spanning Tree-MRCST) Bài toán MRCST chứng minh thuộc lớp toán NP-khó Định nghĩa 1.3 (Tải định tuyến cạnh khung) Cho T = (V(T), E(T)) khung đồ thị G Nếu loại khỏi T cạnh e T tách thành hai T1 T2 với hai tập đỉnh tương ứng V(T1) V(T2) Ta gọi tải định tuyến cạnh e, ký hiệu l(T,e), giá trị 2×V(T1)×V(T2) Từ định nghĩa, dễ thấy tải định tuyến cạnh e số lượng đường T có chứa cạnh e Định lý 1.1 sau cho ta cách tính chi phí định tuyến khung thông qua tải định tuyến cạnh Định lý 1.1 Cho T khung G, ta có: C (T )   l (T , e)  w(e) (1-2) eE (T ) chi phí định tuyến T tính thời gian O(n) 1.1.2.Thuật toán tính chi phí định tuyến khung Đây thuật toán đề cập tất công trình giải toán MRCST; trình bày thuật toán tính chi phí định tuyến khung chi tiết công trình kể góc độ kỹ thuật Algorithm 1.1 Thuật toán tính chi phí định tuyến khung RoutingCost(T) Đầu vào: Cây khung T biểu diễn có gốc v1 Đầu ra: Chi phí định tuyến khung T if (T = ) return +; // Qui ước rỗng có chi phí + Thực duyệt T theo chiều sâu (Depth First Search) đỉnh v1 ta thu biểu diễn T dạng có gốc đỉnh v1 Gọi nu số lượng đỉnh có gốc u Với đỉnh u T, u  v1, ký hiệu eu = (p(u), u); p(u) cha u T C=0; for (mỗi đỉnh u  V(T){v1}) { l(eu) =  nu  (n  nu); C = C + l(eu)  w(eu); } Footer Page of 166 Header Page return C; of 166 RoutingCost thủ tục quan trọng sử dụng tất thuật toán giải toán MRCST Các thuật toán giải toán MRCST thường xuyên thực thao tác loại cạnh khung sau thêm cạnh khác cho kết thu khung có chất lượng tốt thêm cạnh vào khung sau loại cạnh chu trình vừa hình thành cho kết thu khung có chất lượng tốt hơn; hai thao tác đem lại thay đổi nhỏ mặt cấu trúc cây, để tính chi phí định tuyến khung thu sau thao tác đòi hỏi độ phức tạp O(n) 1.1.3.Đánh giá chi phí định tuyến khung Định lý 1.2 Giả sử T khung đồ thị G Khi với cạnh e  E(T) ta có: 2(n  1)  l (T , e)  n / (1-3) Từ định lý 1.1 định lý 1.2 trên, đề xuất hệ sau: Hệ 1.1 Chi phí định tuyến khung T thỏa mãn bất đẳng thức sau: 2(n  1)2 wmin  C (T )  n2 (n  1) wmax / 2, (1-4) Trong wmin  min{w(e) : e  E (G )} wmax  max{w(e) : e  E(G)} Hệ 1.2 Đối với đồ thị đầy đủ G với trọng số cạnh w0, ta có chi phí định tuyến khung tối ưu 2(n−1)2w0 (1-5) 1.2.ỨNG DỤNG Có thể tìm thấy ứng dụng toán MRCST lĩnh vực mạng thiết kế mạng tin sinh học 1.3.CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN BÀI TOÁN MRCST Đối với toán thuộc lớp NP-khó toán MRCST khó hy vọng tìm thuật toán vượt trội chất lượng lời giải lẫn thời gian tính liệu thực nghiệm Do có nhiều thuật toán giải toán MRCST đề xuất Mỗi thuật toán giải toán MRCST, thời điểm công bố có đóng góp định, cải thiện chất lượng lời giải, cải thiện thời gian tính, Footer Page of 166 Header Page of 166 đề xuất cách tiếp cận cho chất lượng lời giải tương đương Thứ tự 10 11 12 13 14 15 Bảng 1.1 Danh sách thuật toán giải toán MRCST biết Năm Tên gọi thuật toán Kiểu thuật toán đề xuất Branch And Bound giải 1979 Branch And Bound + Column Generation giải 2002 Wong cận tỉ lệ 1980 General Star cận tỉ lệ 4/3 1999 Parallelized Approximation Algorithm cận tỉ lệ 4/3 2008 PTAS 1999 cận tỉ lệ 1+ Add heuristic 2005 Campos heuristic 2008 ESCGA (thuật giải di truyền mã hóa metaheuristic 2005 cạnh) BCGA (thuật giải di truyền mã hóa metaheuristic 2005 Prũfer) SHC (tìm kiếm leo đồi ngẫu nhiên) Metaheuristic 2005 PBLS (tìm kiếm địa phương) metaheuristic 2008 PABC (thuật toán Artificial Bee Metaheuristic 2011 Colony) ABC+LS (thuật toán Artificial Bee metaheuristic 2011 Colony + Local Search) Distributed Approximation Algorithm cận tỉ lệ 2014 1.4.TIÊU CHÍ ĐÁNH GIÁ THUẬT TOÁN Chất lượng thuật toán gần đánh giá qua chất lượng lời giải thời gian tính Đối với lớp thuật toán gần cận tỷ lệ, đánh giá đóng góp thông qua cận tỷ lệ thuật toán Tuy nhiên, phần lớn thuật toán gần nay, việc đánh giá tiên nghiệm chất lượng lời giải mà chúng đưa thực Trong tình này, nhà khoa học chấp nhận giải pháp đánh giá qua thực nghiệm Để chứng tỏ thuật toán đề xuất có đóng góp để giải toán đặt ra, nhà khoa học cần tiến hành thực nghiệm liệu chuẩn để thuật toán đề xuất so với thuật toán biết có điểm tốt tiêu chí thời gian, tiêu chí chất lượng lời giải, chẳng hạn: Footer Page of 166 Header Page of 166  thuật toán đề xuất đòi hỏi thời gian so với thuật toán có chất lượng lời giải tương đương,  thuật toán đề xuất cho lời giải với chất lượng tốt so với thuật toán có cỡ thời gian tính,  thuật toán đề xuất đưa lời giải tốt (new best solution) cho số liệu liệu chuẩn,  tốt nhất, thuật toán đề xuất tốt thuật toán biết hai tiêu chí thời gian lẫn chất lượng lời giải đem lại,… Trong lý thuyết phân tích độ phức tạp tính toán thuật toán, nhà khoa học đưa tiêu chí khách quan để đánh giá thời gian tính thuật toán: đánh giá thời gian tính thuật toán giải toán hàm kích thước liệu đầu vào toán, ghi nhận dạng ký pháp tiệm cận (asymptotic notation), ký hiệu O sử dụng để ghi nhận đánh giá tiệm cận Tuy nhiên, nhược điểm việc sử dụng ký hiệu tiệm cận kết so sánh tốc độ tăng hàm đối số “đủ lớn” Vì đối số chưa đủ lớn kết so sánh không Chẳng hạn, thuật toán có đánh giá thời gian tính f(n) = 1000n2O(n2) nhanh thuật toán có đánh giá g(n) = 2n3O(n3) n đủ lớn Nhưng n