CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU

CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 4.2 MẪU NGẪU NHIÊN 4.2.1 Khái niệm mẫu ngẫu nhiên 4.1 SỰ CẦN THIẾT PHẢI LẤY MẪU Nhiều toán thực tế dẫn đến nghiên cứu hay nhiều dấu hiệu định tính định lượng đặc trưng cho phần tử tập hợp Tập hợp phần tử đồng theo dấu hiệu nghiên cứu định tính hay định lượng gọi tổng thể Để xử lý dấu hiệu cần nghiên cứu người ta sử dụng phương pháp nghiên cứu toàn Tuy nhiên thực tế việc áp dụng phương pháp gặp phải khó khăn sau:  Qui mô tập hợp cần nghiên cứu lớn Trong nhiều trường hợp nắm toàn  Có thể trình điều tra phá hủy đối tượng nghiên cứu 3/16/2015 Mỗi phân tử tổng thể gọi cá thể Dấu hiệu nghiên cứu tổng thể định tính định lượng Bằng cách mô hình hóa ta xem dấu hiệu nghiên cứu biến ngẫu nhiên xác định tổng thể Việc chọn n cá thể từ tổng thể gọi phép lấy mẫu Ta gọi cá thể chọn mẫu, n kích thước mẫu Nếu cá thể chọn xong không trả lại tổng thể để chọn tiếp mẫu gọi không hoàn lại Nếu chọn xong trả lại tổng thể để chọn tiếp mẫu gọi có hoàn lại Ta nói mẫu mẫu ngẫu nhiên phép lấy mẫu cá thể tổng thể chọn cách độc lập có xác suất chọn 3/16/2015 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 4.2.2 Mô hình hóa mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên kích thước n dãy gồm n biến ngẫu Giả sử cá thể tổng thể nghiên cứu thông qua dấu hiệu X Với mẫu ta cần quan tâm dấu hiệu nghiên cứu X cá thể mẫu Chẳng hạn, muốn biết chiều cao trung bình niên vùng với cá thể A chọn làm mẫu ta quan tâm chiều cao A, tức dấu hiệu chiều cao XA, không quan tâm đến đặc trưng khác cá thể Vì vậy, cá thể chọn lấy mẫu đồng với dấu hiệu nghiên cứu X cá thể Bằng cách đồng mẫu ngẫu nhiên với dấu hiệu nghiên cứu mẫu ta có định nghĩa mẫu ngẫu nhiên sau 3/16/2015 nhiên: X1, X2, … , Xn độc lập phân bố với X, ký hiệu W = (X1, X2, … , Xn) Xi dấu hiệu X phần tử thứ i mẫu (i=1, … , n) Thực phép thử mẫu ngẫu nhiên W thực phép thử thành phần mẫu Giả sử Xi nhận giá trị xi (i=1, … , n), giá trị x1, x2, … , xn tạo thành giá trị mẫu ngẫu nhiên, hay gọi thể mẫu ngẫu nhiên, ký hiệu w = (x1, x2, … , xn) 3/16/2015 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU Ví dụ: Gọi X số chấm mặt xuất tung xúc xắc cân đối, X biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1,…,6 đồng khả Tung xúc xắc lần gọi Xi số nốt xuất lần tung thứ i (i=1, 2, 3) ta có biến ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân bố xác suất với X Vây ta có mẫu ngẫu nhiên kích thước 3: W = (X1, X2, X3) Thực phép thử mẫu ngẫu nhiên tức tung xúc xắc lần Giả sử lần thứ nốt, lần thứ hai nốt lần ba nốt w=(2,5,3) mẫu cụ thể mẫu ngẫu nhiên W 3/16/2015 4.2.3 Biểu diễn giá trị cụ thể mẫu ngẫu nhiên theo bảng theo biểu đồ 4.2.3.1 Bảng phân bố tần số thực nghiệm Từ mẫu cụ thể mẫu ngẫu nhiên kích thước n X, ta xếp giá trị mẫu cụ thể theo thứ tự tăng dần Giả sử giá trị xi xuất với tần số ri, i=1, …, k x1   xk ; r1    rk  n Bảng phân bố tần số thực nghiệm 3/16/2015 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 4.2.3.2 Bảng phân bố tần suất thực nghiệm Ví dụ 4.2: r Ký hiệu fi  i gọi tần suất xi n Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước 120 ta có bảng phân bố tần số thực nghiệm Bảng phân bố tần suất thực nghiệm X 4.2.3.3 Hàm phân bố thực nghiệm mẫu Bảng phân bố tần suất thực nghiệm tương ứng Fn ( x )   f j ;    x   x j x Định lý Glivenco hàm phân bố thực nghiệm Fn(x) xấp xỉ với phân bố lý thuyết FX(x) = P{X  x} n đủ lớn 3/16/2015 3/16/2015 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU Ví dụ: Một mẫu chiều cao (cm) 400 trình bày bảng phân bố ghép lớp sau 4.2.3.4 Bảng phân bố ghép lớp Trong trường hợp mẫu điều tra có kích thước lớn, giá trị cụ thể dấu hiệu X lấy giá trị khác song lại gần nhau, người ta thường xác định số khoảng C1, C2, … , Ck cho giá trị dấu hiệu điều tra thuộc vào khoảng Các khoảng lập thành phân hoạch miền giá trị X Việc chọn số khoảng độ rộng khoảng tuỳ thuộc vào kinh nghiệm người nghiên cứu, nói chung không nên chia khoảng r Giá trị y i  i tần số xuất đơn vị khoảng khoảng có li độ dài li 3/16/2015 3/16/2015 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 10 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU Biểu đồ đa giác tần suất 4.2.3.5 Biểu diễn biểu đồ Biểu đồ tần số hình gậy 3/16/2015 11 3/16/2015 12 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 4.3 THỐNG KÊ VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU NGẪU NHIÊN 4.2.3.6 Tổ chức đồ (histogram) 6.3.1 Định nghĩa thống kê Một thống kê mẫu hàm biến ngẫu nhiên thành phần mẫu Thống kê mẫu ngẫu nhiên W=(X1, X2, …, Xn) có dạng T = T(X1 , X2 , …, Xn) Như thống kê T biến ngẫu nhiên, tuân theo quy luật phân bố xác suất định có tham số đặc trưng kỳ vọng ET phương sai DT … Với giá trị cụ thể w=(x1, x2, …, xn) mẫu T nhận giá trị cụ thể gọi giá trị quan sát thống kê Tqs = T(x1 , x2 , …, xn) 3/16/2015 13 3/16/2015 14 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 4.3.2 Trung bình mẫu 4.3.3 Phương sai mẫu, Độ lệch chuẩn mẫu Trung bình mẫu mẫu ngẫu nhiên W=(X1, X2, …, Xn) biến ngẫu nhiên gốc X định nghĩa ký hiệu  Phương sai mẫu S 2 n S   X i  X n i 1  n X   Xi n i 1 Giá trị quan sát trung bình mẫu mẫu ngẫu nhiên cụ thể w=(x1, x2,…, xn)   n  X i2  X n i 1   2 1 n n E  S   E   ( X i   )  (   X )   E    X i     X      n i 1  n  i 1     n x n i 1 i   n 2 E    X i      n X   n  i 1  Kỳ vọng, phương sai trung bình mẫu biến ngẫu nhiên gốc X DX D X   E X   E X n  2  n 1 DX 2 E    X i      n X      n D X  n n  i 1 n   n  x 3/16/2015 15   S2  n  Xi  X n  i 1     n 2 n X   Xi   n   i 1  n 1     n 1 DX  n  16 S  S2  k  ri X i  X n  i1   4.3.4 Tần suất mẫu n  Xi    n i 1 Biến ngẫu nhiên gốc X có phân bố Bernoulli tham số p xác suất xuất biến cố A Lấy mẫu ngẫu nhiên W=(X1, X2, …, Xn) Tần số xuất dấu hiệu A mẫu r  X1  X    X n Áp dụng công thức tính kỳ vọng ta có 3/16/2015   2n( X   )( X   )   Độ lệch chuẩn mẫu phương sai mẫu chọn S * E S2  D X    X i    ( X   )    CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng xác định EX =  S *2  2 3/16/2015 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU Phương sai mẫu có hiệu chỉnh S   Tần suất mẫu E S *2  D X 17 3/16/2015 r f  X n E( f )  p D( f )  p(1  p ) n 18 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 4.3.5 Cách tính giá trị cụ thể trung bình mẫu phương sai mẫu Mẫu thu gọn: Nếu giá trị mẫu cụ thể xi không gọn (quá lớn bé phân tán) ta thu gọn mẫu cách đổi biến: Nếu mẫu nhận giá trị x1, x2, … , xk với tần số tương ứng r1, r2, … , rk giá trị trung bình mẫu phương sai mẫu cụ thể tính theo công thức x k  ri xi , n i 1 k s   ri xi  x n  i 1   k r  n i  i 1   k   ri xi2  n   i 1   k i 1 i i rx n       x Nếu giá trị mẫu cụ thể cho dạng bảng phân bố ghép lớp với khoảng C1 , … , Cm giá trị xi thức trung điểm khoảng Ci 3/16/2015 xi  a  xi  hui  a  x  hu  a ; s  h 2su2 h k   i 1 rui i k k  k 2 u   ru ri ui  u  ru i i su    i i   n i 1 n  i 1 n   i 1 n  ui  19 s2          k k h k k ri xi   ri  hui  a    ru  i i  a  ri  hu  a n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 k  ri xi  x n  i 1    k  ri hui  a  hu  a n  i 1    h2 k  ri ui  u n  i 1   3/16/2015  h su2 20 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 4.4 PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ THỐNG KÊ MẪU 4.4.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc có phân bố chuẩn Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X có phân bố chuẩn N(; 2) Các tham số biết chưa biết Từ tổng thể rút mẫu ngẫu nhiên W=(X1, X2, …, Xn) Các biến ngẫu nhiên thành phần X1, X2, …, Xn độc lập có phân bố chuẩn biến ngẫu nhiên gốc X x  5  177,5  177,52   1,9917  20  17,78 su2    873, 47   400 399  400  Từ tính chất: tổ hợp tuyến tính biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn Vì ta có kết sau s  52  su2  49,79  s  49,79  7,056 3/16/2015 21 3/16/2015 22 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 4.4.1.1 Phân bố thống kê trung bình mẫu     Trung bình mẫu X có phân bố chuẩn với E X   , D X  Do U ( X  ) n   Giải: a) E( X )  n ~ N (0;1)   E( X )  163cm , D  X   b) Áp dụng công thức ta U   2 n  32  0,36 25 ( X  163) ~ N(0;1) 0,  P 161,86  X  163,3   (0,5)   ( 1,9)   (0,5)   (1,9)   0,6627 Ví dụ 4.4: Chiều cao X nam sinh viên đại học biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với trung bình 163cm độ lệch chuẩn 3cm Lấy 80 mẫu mẫu ngẫu nhiên 25 sinh viên Vậy số mẫu thỏa mãn điều kiện cần tìm 80.0,6627 xấp xỉ 53 mẫu   c) P X  161,   ( 2,67)    (2,67)  0,0038 a) Tìm kỳ vọng phương sai trung bình mẫu b) Có mẫu số 80 mẫu lấy giá trị trung bình khoảng từ 161,8 cm đến 163,3 cm c) Có mẫu số 80 mẫu lấy giá trị trung bình nhỏ 161,4 cm 3/16/2015 23 Đây biến cố có xác suất bé, mẫu số 80 mẫu có số đo trung bình nhỏ 161,4 cm Thật 80.0,0038  0,304 npq > 20 Vậy coi Giải: Có thể xem lần gieo đồng xu thực phép thử Bernoulli với thành công phép thử xuất mặt sấp, từ giả thiết ta có xác suất thành công phép thử 0,5 Như biến ngẫu nhiên gốc X có phân bố Bernoulli tham số 0,5 ( f  p) n U ~ N(0;1) pq  np  npq  20   nq  3/16/2015 Gieo 120 lần lấy mẫu ngẫu nhiên với kích thước 120 biến ngẫu X1    X 120 120 np  nq  120.0,5  60; npq  5, 48 thỏa mãn điều kiện kích thước đủ lớn nhiên gốc, tần suất mẫu f  27 3/16/2015 28 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU a) 40% 60% 120 48 72 Áp dụng công thức ta có  72  0,5  60   48  0,5  60  P 48  r  72        5, 48 5, 48       (2,28)   ( 2, 28)  2 (2,28)   0,9774 5 b) 120  75 , xác suất tỷ lệ mặt sấp xuất lớn 8  74,5  60  P r  75  0,5        2,65   0,9960  0,0040     5, 48  c) Theo ý a) xác suất gieo 120 lần đồng xu (mẫu ngẫu nhiên kích thước 120) với 40% đến 60% lần mặt sấp xuất 0,9774 Vậy 500 người thực 120 lần gieo đồng xu (500 quan sát cụ thể mẫu ngẫu nhiên kích thước 120) số người có kết gieo với số mặt sấp xuất khoảng 40% đến 60% 500.0,9774  488,7  489 3/16/2015 29 ... 3/16/2015 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 10 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU Biểu đồ đa giác tần suất 4.2.3.5 Biểu diễn biểu đồ Biểu đồ tần số hình gậy 3/16/2015 11 3/16/2015 12 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT... 4: LÝ THUYẾT MẪU Phương sai mẫu có hiệu chỉnh S   Tần suất mẫu E S *2  D X 17 3/16/2015 r f  X n E( f )  p D( f )  p(1  p ) n 18 CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU CHƯƠNG 4: LÝ THUYẾT MẪU 4.3.5 Cách... xác suất bé, mẫu số 80 mẫu có số đo trung bình nhỏ 161,4 cm Thật 80.0,0038  0,304