CHƯƠNG VII: LÝ THUYẾT SẮP HÀNG

Chng 7: Lý thuyt sp hng CHNG VII: Lí THUYT SP HNG GII THIU Trong nhiu h thng phc v, cỏc khỏch hng (costumer) phi dựng chung ti nguyờn, phi ch c phc v v ụi b t chi phc v Lý thuyt quỏ trỡnh sp hng (queueing process) xỏc nh v tỡm cỏc phng ỏn ti u h thng phc v tt nht Trong na u ca th k 20 lý thuyt sp hng ó c ng dng nghiờn cu thi gian i cỏc h thng in thoi Ngy lý thuyt sp hng cũn cú nhiu ng dng cỏc lnh vc khỏc nh mng mỏy tớnh, vic qun lý xớ nghip, qun lý giao thụng v cỏc h phc v khỏc Ngoi lý thuyt sp hng cng cũn l c s toỏn hc nghiờn cu v ng dng nhiu bi toỏn kinh t nh u t, kim kờ, ri ro ca bo him, th trng chng khoỏn Chui Markov l quỏ trỡnh sp hng vi thi gian ri rc ó c xem xột chng Quỏ trỡnh sinh t cng l quỏ trỡnh sp hng, ú sinh biu th s n v t biu th s ri hng ca h thng Ngi ta phõn loi cỏc quỏ trỡnh sp hng da vo lut phõn b ca quỏ trỡnh n, lut phõn b phc v, nguyờn tc phc v v c cu phc v Trờn c s phõn loi ny ta cú ký hiu Kendall A / B / k hoc A / B / k / N , ú A l ký hiu lut phõn b ca quỏ trỡnh n (hay quỏ trỡnh n trung gian), B ký hiu lut phõn b ca quỏ trỡnh phc v, k ký hiu s server v N ký hiu dung lng ti a ca hng i vi lý thuyt sp hng ta quan tõm n cỏc s o hiu nng, ú l cỏc giỏ tr trung bỡnh quỏ trỡnh t trng thỏi dng bao gm: di hng i trung bỡnh ca hng, di hng i trung bỡnh ca h thng, thi gian i trung bỡnh ca hng (tr ca hng) v thi gian i trung bỡnh ca h thng (tr ca h thng) tớnh cỏc i lng ny ta cú th s dung phng phỏp gii phng trỡnh tớch phõn dng Wiener-Hopf hoc phng phỏp kho sỏt chui Markov nhỳng T ú suy cỏc cụng thc tớnh cỏc phõn b n nh cho cỏc loi hng M / M / k , M / M / k / N ; Cụng thc tng quỏt tớnh cỏc giỏ tr trung bỡnh ny cho cỏc hng G / G / v cụng thc c th cho cỏc hng c bit M / M / , M / D / v M / E k / Tuy nhiờn chng ny chỳng tụi ch cung cp cỏc kt qu di dng cỏc cụng thc v khụng chng minh Hng ng dng vo vin thụng: Mt nhng bi toỏn quan trng ca lý thuyt chuyn mch l xung t thụng tin, nghn mch hoc rt cuc gi Lý thuyt sp hng s xỏc lp phng ỏn ti u khc phc nhng trờn Ngoi lý thuyt sp hng cng c ng dng rng rói cỏc h phc v khỏc 7.1 KHI NIM V PHN LOI QU TRèNH SP HNG 7.1.1 Khỏi nim quỏ trỡnh sp hng Mụ hỡnh tng quỏt ca lý thuyt sp hng l khỏch hng n mt thi im ngu nhiờn no ú v yờu cu c phc v theo mt loi no ú Gi thit thi gian phc v cú th ngu nhiờn 166 Chng 7: Lý thuyt sp hng Ngun vo Cỏc khỏch hng yờu cu v tỡm kim dch v Quỏ trỡnh n Quỏ trỡnh n trung gian t n di hng ca h thng Hng i di hng i Dung lng: Hu hn hoc vụ hn Quy tc phc v: FIFO hoc LIFO Phng tin phc v Cỏc khỏch hng ó c phc v u t t n l khong thi gian gia ln n ca khỏch hng th n v th n , khỏch hng th n ti thi im Ta gi nh rng tt c cỏc t n ( n ) l c lp v cú cựng phõn b Vỡ vy vic n ca cỏc khỏch hng to thnh hng k tip vi tc n l = Ta E(t1 ) gi quỏ trỡnh {t n ; n = 1, 2, } l quỏ trỡnh n Khỏch hng n h thng yờu cu cỏc server ca h thng phc v Ta gi s rng khỏch hng th n cn mt thi gian phc v l s n ( n ), tt c cỏc s n c lp v cú cựng phõn b Quỏ trỡnh {s n ; n = 1, 2, } c gi l quỏ trỡnh phc v Ta cng gi thit rng cỏc thi gian n trung gian c lp vi thi gian phc v Quỏ trỡnh sp hng c phõn loi da vo cỏc tiờu sau: 1) Phõn b ca quỏ trỡnh n (input process) {t n ; n = 1, 2, } 167 Chng 7: Lý thuyt sp hng 2) Phõn b ca thi gian phc v (service distribution) {s n ; n = 1, 2, } 3) Nguyờn tc phc v: Cỏc khỏch hng n c sp xp vo hng ch n lt c phc v n gin ta gi thit ch cú mt hng Tuy nhiờn nhiu trng hp cú th m rng cho nhiu hng cựng hot ng song song Nu di hng cú t ngng thỡ cỏc n v n hng hng y vt ngng s b loi Cỏc khỏch hng c chn phc v theo nguyờn tc "n trc phc v trc" (FIFO), ngha l phc v cho khỏch no ng u hng 4) C cu phc v: Mt phng tin phc v bao gm mt hay nhiu Server Cỏc Server cú th kt ni thnh chui vỡ th mi yờu cu phc v c phc v theo nhiu cỏch hoc ln lt hoc song song 7.1.2 Phõn loi Kendall Kendall (1951) ó a ký hiu A / B / k mụ t cỏc tham s c bn ca h thng sp hng, ú A biu din dng ca phõn b thi gian n trung gian, B l dng phõn b thi gian phc v v k l s Server ắ Nu lut phõn b c xột di dng tng quỏt thỡ A hoc B ly ký hiu G (General) ụi ngi ta cũn ký hiu GI (general independence) ắ Nu quỏ trỡnh n l quỏ trỡnh Poisson, ngha l thi gian n trung gian cú phõn b m thỡ A c ký hiu M (Markovian) Tng t nu thi gian phc v cú phõn b m thỡ B cng c ký hiu M ắ Nu thi gian n trung gian hoc thi gian phc v cú phõn b Erlang-k thỡ A , B c ký hiu E k ắ Nu thi gian n trung gian hoc thi gian phc v l hng s thỡ A hoc B c ký hiu D (Deterministic) Khi mt vi thit b phc v cú dung lng hu hn thỡ h thng ch cú th cha n N khỏch hng Nu hng ó cú N khỏch hng cha c phc v thỡ khỏch hng mi n s b t chi hoc b mt Trong trng hp ny h thng c ký hiu A / B / k / N 7.1.3 Cỏc s o hiu nng 1) Lq : di hng i trung bỡnh ca hng, ú l k vng ca chui thi gian liờn tc {l (t )} q 2) t ú l q (t ) l s khỏch hng i hng ti thi im t L : di hng i trung bỡnh ca h thng, ú l k vng ca chui thi gian liờn tc {l (t )}t ú l (t ) l s khỏch hng h thng ti thi im t Vy l (t ) = l q (t ) + s khỏch hng ang c phc v 3) Wq : Thi gian i trung bỡnh ca hng l k vng ca quỏ trỡnh thi gian ri rc {q n ; n = 1, 2, } ú q n l khong thi gian m khỏch hng th n phi i hng cho n lỳc c nhn phc v 168 Chng 7: Lý thuyt sp hng 4) W : Thi gian i trung bỡnh ca h thng l k vng ca quỏ trỡnh thi gian ri rc {wn ; n = 1, 2, } ú wn = q n + s n l thi gian khỏch hng th n h thng, ú l thi gian i hng v thi gian c phc v 7.1.4 Kt qu nh ( Little's result ) Cụng thc liờn h gia di hng i v thi gian i trng thỏi cõn bng L = W (7.1) Lq = W q (7.2) ú l tc n c nh ngha nh sau: = lim E {số khách đến khoảng ( 0; t ]} t t (7.3) 7.2 HNG M / M / k 7.2.1 Trng thỏi n nh ca hng M / M / k Hng M / M / k cú quỏ trỡnh n Poisson, thi gian phc v theo phõn b m v k Server Trong trng hp ny chui thi gian liờn tc {l (t )}t vi khụng gian trng thỏi {0,1, 2, } l mt quỏ trỡnh sinh t vụ hn cú cú tc sinh i = v tc t ài = min(k , i ) Khi > k hay cng lu thụng (traffic intensity) = > thỡ h thng khụng kà t c trng thỏi n nh Chui {l (t )}t khụng hi qui (transient) S cỏc khỏch hng h thng s dn n vụ hn Khi = k hay = , chui {l (t )}t hi qui khụng (null - recurrent), h thng cng khụng t trng thỏi n nh S khỏch hng h thng khụng tin v mt trng thỏi no Thi gian trung bỡnh h thng xut phỏt t mt trng thỏi bt k quay v li trng thỏi ny l vụ hn Khi < k hay < , chui {l (t )}t hi qui dng (positive recurrent) v h thng t c trng thỏi n nh Ngha l tc n nh hn tc phc v ti a ca h thng thỡ s khỏch hng h thng cú khuynh hng tin v khụng v h thng quay tr li trng thỏi nu cú mt khỏch hng mi n h thng ang rng Ti thi im t bt k t d (t ) l khong thi gian cho n khỏch hng tip theo ri h thng nh lý Burke phỏt biu rng t thỡ d (t ) cú phõn b m vi tham s v c lp vi s khỏch hng h thng ti thi im t Núi cỏch khỏc, chui gii hn cỏc khỏch hng ri h thng M / M / k l mt quỏ trỡnh Poisson tham s (Burke, 1976) Rừ rng rng tc ri h thng phi bng tc n h thng tr li trng thỏi n nh Tuy nhiờn, rt khú hỡnh dung c khong thi gian gii hn cho ti khỏch hng tip theo ri h thng li c lp vi s khỏch hng h thng 169 Chng 7: Lý thuyt sp hng 7.2.2 Phõn b dng ca hng M / M / k Khi < k hay = < thỡ h thng t trng thỏi n nh cú phõn b dng tho món: kà (k )n p0 01 n1 n! pn = p = à1à2 àn k k n k ! p0 n k (7.4) n > k T iu kin pn = suy n =0 k (k ) n (k )k + p0 = k !(1 ) n =0 n ! (7.5) Cỏc s o hiu nng tng ng L= Lq = (k ) k L p0 ; W = ; + k !(1 ) Lq (k )k W = ; = =W p L q k !(1 ) (7.6) 7.2.3 Hng M / M / k / N õy l hng cú quỏ trỡnh n Poisson vi tc , thi gian phc v cú phõn b m tc vi k Server Trng thỏi ca h thng b gii hn bi s lng N Khi mt khỏch hng n h thng thỡ xy hin tng sau: Nu ó cú N khỏch hng hng thỡ lp tc khỏch hng ny ri h thng cũn trng hp ngc li thỡ khỏch hng s xp vo hng ch Nh vy khụng gian trng thỏi ca chui {l (t )}t l {0,1, , N }, õy l mt quỏ trỡnh sinh t hu hn Chui l (t ) chuyn t trng thỏi i n i + mt khỏch hng n v i trng thỏi i v i mt phc v va hon tt Tc sinh l hng s i = vi mi i = 1, 2, Tc t ài = min(k , i) H thng luụn t trng thỏi n nh vi phõn b dng tho món: (k )n p0 n! pn = n k k p k ! k (k ) n (k ) k p0 = + k! n=0 n ! Tc n thc s : e = (1 p N ) Cỏc s o hiu nng tng ng 170 n k (7.7) k < n N N k +1 ; = kà (7.8) Chng 7: Lý thuyt sp hng Lq = p0 (k )k [1 + (1 )( N k ) ] N k ; L = Lq + e = Lq + (1 pN ) ; à k !(1 ) ( ) W= L e = Lq + ; Wq = Lq e = Lq (1 pN ) (7.9) Mt vi trng hp c bit Khi N ta cú nhn c cụng thc (7.4)-(7.6) ca trng hp M / M / k Khi N = k ta c cụng thc mt ca Erlang (Erlang's loss formula), ú l xỏc sut tt c cỏc Server u bn k = Pk = p0 k! ( / )k k ( / ) k! n n! n =0 7.3 HNG G / G / H thng cú Server, quỏ trỡnh n l tng quỏt nhng cỏc thi gian n trung gian t n c lp, cú cựng phõn b v cú k vng chung l E[t1 ] Thi gian phc v mi chu k cng c lp, cựng phõn b v cú k vng chung E[s1 ] Kendall ký hiu h thng ny l G / G / (cng cú ký hiu GI / GI / , õy I thay cho independence ngha l c lp) Ta s a phng phỏp phõn tớch cỏc trng hp c bit i vi quỏ trỡnh sp hng G / G / Phng phỏp th nht c gi l phng phỏp phng trỡnh tớch phõn Phng phỏp ny a bi toỏn tỡm cỏc phõn b gii hn thi gian i ca khỏch hng th n (khi n ) v bi toỏn gii phng trỡnh tớch phõn dng Wiener - Hopf Phng phỏp th kho sỏt chui Markov nhỳng (Embedded Markov Chain) Nu quỏ trỡnh n l Poisson thỡ chui Markov nhỳng c xột l di ca hng ti nhng thi im cú mt khỏch hng va c phc v xong Nu thi gian phc v cú phõn b m v quỏ trỡnh n cú phõn b tng quỏt thỡ chui Markov nhỳng cú c bng cỏch kờ khai kớch thc ca hng ti mi thi im cú mt khỏch hng mi n Khi ú quỏ trỡnh tr thnh mt chui Markov vi cu trỳc c bit Phng phỏp th nghiờn cu cỏc tớnh cht ca bin ngu nhiờn W (t ) l thi gian mt khỏch hng phi i nu n h thng ti thi im t i lng ny c gi l thi gian i thc s ca khỏch hng vi gi thit khỏch hng n h thng ti thi im t 7.3.1 Phng phỏp phng trỡnh tớch phõn Ký hiu: Wn l thi gian i ca khỏch hng th n (khụng bao gm thi gian phc v) 171 Chng 7: Lý thuyt sp hng s n l thi gian phc v khỏch hng th n t n l thi gian n trung gian ca khỏch hng th n v th n Tn l thi im khỏch hng th n n h thng, vi gi thit W0 , s , T0 u bng Ngha l ta gi thit rng ngi th nht n ti thi im t = v khụng cú ng ch trc Rừ rng Wn + s n l khong thi gian khỏch hng th n h thng (thi gian ch + thi gian phc v) Do ú, nu tn +1 > Wn + sn thỡ khỏch hng th n + n s khụng cú hng vỡ vy thi gian i Wn+1 = Trng hp tn +1 Wn + sn thỡ thi gian i l Wn + sn tn+1 Túm li Wn + sn tn +1 Wn + sn tn+1 Wn +1 = Wn + sn tn +1 < (7.10) Ký hiu U n = sn tn+1 v Z + = max(Z , 0) (7.11) thỡ + Wn+1 = (Wn + sn tn+1 ) = (Wn + U n ) {U n }n=1 + (7.12) l dóy cỏc bin ngu nhiờn c lp, cựng phõn b vi U Gi s Fn ( x) l hm phõn b ca Wn v g ( x) l hm mt phõn b ca U Vỡ Wn v U n l cỏc bin ngu nhiờn c lp, ú vi mi x : Fn+1 ( x) = P {Wn+1 < x} = P {max(Wn + U n ;0) < x} = P {Wn + U n < x} = P {Wn + U n < x U n = y} g ( y)dy = Fn ( x y ) g ( y )dy (7.13) y x Vỡ ngi th nht n h thng ti thi im t = v khụng i nờn x F1 ( x) = x < (7.14) Mt khỏc: Fn ( x) = vi mi x < , vi mi n = 0,1, 2, Do ú F1 ( x ) F2 ( x ) , x  Fn ( x) Fn+1 ( x) = [Fn1 ( x y) Fn ( x y)]g ( y)dy y x Bng qui np ta chng minh c, vi mi n Fn ( x) Fn+1 ( x) , x  172 (7.15) Chng 7: Lý thuyt sp hng Dóy hm {Fn ( x )} n =1 khụng tng, khụng õm nờn hi t v hm F ( x) , x  Chuyn qua gii hn ca ng thc (7.13) ta c: F ( x) = F ( x y) g ( y)dy (7.16) y x t z = x y ta c F ( x) = F ( z ) g ( x z )dz = F ( x) * g ( x) (7.17) nh lý 7.1: (i) Vi mi x < , F ( x) = (ii) Nu E [U ] = xg ( x)dx thỡ F ( x) = 0, xR (iii) Nu E[U ] = xg ( x)dx < thỡ F (x) l hm phõn b (l hm khụng gim, liờn tc trỏi v tho lim F ( x) = , lim F ( x) = ) x x nh ngha 7.1: Thi gian t lỳc mt khỏch hng ri h thng v h thng tr thnh rng cho n cú mt khỏch hng tip theo n h thng gi l chu k ri ca h thng Ký hiu chu k ri th n l in nh lý 7.2: Nu E[U ] < thỡ h thng t c trng thỏi n nh v thi gian i trung bỡnh hng Wq = E U 2E [U ] E i12 2E [i1 ] (7.18) ú i1 l chu k ri u tiờn Nhn xột 7.1: Nu ta tớnh c moment cp1v cp ca thi gian ri i1 thỡ cụng thc (7.18) cho ta tớnh c thi gian i trung bỡnh ca hng Wq Da vo "kt qu nh" (7.1) s cho phộp tớnh c cỏc s o hiu nng cũn li L, Lq v W 7.3.2 Hng M / G / Ta gi thit quỏ trỡnh n Poisson tc , ngha l quỏ trỡnh n trung gian t n cú phõn b m tc Quỏ trỡnh phc v {s n } c xột mt cỏch tng quỏt nhng gi thit thi gian phc v cỏc chu k l c lp vi v cú cựng lut phõn b E [t1 ] = ; E t12 = Do ú cng lu thụng 173 Chng 7: Lý thuyt sp hng = E [ s1 ] = E [ s1 ] , E [t1 ] E [U1 ] = E [t1 s1 ] = = >0 2(1 ) E U12 = E ( s1 t1 ) = E s12 2E [ s1 ] + = E s12 + Mt khỏc, vỡ quỏ trỡnh n l Poisson nờn khong thi gian t mt thi im bt k n lỳc cú mt khỏch hng tip theo n h thng luụn cú phõn b m Do ú thi gian t lỳc mt khỏch hng ri h thng v h thng tr thnh rng cho n cú mt khỏch hng tip theo n h thng (chu k ri ca h thng) cng cú phõn b m tc Vy E [i1 ] = ; E i12 = Thay vo cụng thc (7.18) ca nh lý 7.2 ta c cụng thc Pollaczek - Khinchin (P-K) cho hng M / G / Wq = 2(1 ) E s12 + 2(1 ) 2 = E s12 2(1 ) W = Wq + E [ s1 ] (7.19) (7.20) T "kt qu nh" (7.1)-(7.2) suy cỏc s o hiu nng cũn li 7.3.3 Cỏc trng hp c bit ca hng M / G / 1) Hng M / M / : Quỏ trỡnh n Poisson vi tc n , thi gian phc v cú phõn b m tc E [ s1 ] = ; E s12 = ; = à (7.21) Wq = W = Wq + L = W = (à ) (7.22) 1 + = (à ) à (7.23) à2 à = = ; Lq = Wq = (à ) (7.24) 2) Hng M / D / : Quỏ trỡnh n Poisson vi tc n , thi gian phc v khụng i tc 174 Chng 7: Lý thuyt sp hng E [ s1 ] = ; var [ s1 ] = E s12 -E [ s1 ] = E s12 = ; = à à2 Wq = W = Wq + L = W = 2à ( ) (7.26) 2à + = 2à ( ) 2à ( ) (7.27) à = (7.25) = + ; Lq = Wq = 2à ( ) 2à (à ) (7.28) 3) Hng M / E k / : Quỏ trỡnh n Poisson vi tc n , thi gian phc v ngu nhiờn c lp cú cựng phõn b Erlang- k vi tc E [ s1 ] = k = ; var [ s1 ] = k 02 = kà 1 E s12 = + 2;= kà (7.29) (k + 1) (k + 1) kà2 = Wq = 2k ( ) (7.30) (k + 1) + 2k ( ) (7.31) W = Wq + L = W = = (k + 1) (k + 1) + ; Lq = Wq = 2k ( ) 2k ( ) (7.32) Trong cụng thc trờn ta ó s dng (6.10) chng Nhn xột 7.2: Thi gian i trung bỡnh Wq m mt khỏch hng phi mt hng i l s o tr xy h thng sp hng Ta cú Wq M / D /1 Wq M / Ek /1 Wq M / M /1 (7.33) Khi k = : Wq M / Ek /1 = Wq M / M / Khi k : lim Wq M / Ek / = Wq M / D / k Xột h to trc chun Oxy Trờn trc honh ta chn cỏc honh nguyờn k = 1, 2, , trc tung chn n v l thỡ th ca Wq M / Ek / l hyperbol (à ) 175 Chng 7: Lý thuyt sp hng k +1 1 t cc i bng k = v tim cn n k = + 2k 2k H s ln nu gn bng Nh vy tc n gn vi tc phc v (à ) thỡ hng i tng lờn nhanh chúng t l nghch vi hiu s hai tc (à ) 2 k 7.3.4 Phng phỏp chui Markov nhỳng ỏp dng cho hng G / M / Xột h thng sp hng cú server, cỏc chu k thi gian phc v s n c lp cựng cú phõn b m tc Quỏ trỡnh n l c lp, tng quỏt, cú cựng phõn b v thi gian n trung gian l bin ngu nhiờn cú hm phõn b H (u ) Ta xột chui Markov nhỳng l s khỏch hng hng ti nhng thi im cú khỏch hng mi n h thng Gi q l trng thỏi ca h thng cú ngi mi n v gi q' l trng thỏi sau cú ngi tip theo n : q' = q + N (7.34) ú N l s khỏch hng c phc v chu k gia hai ln n Vỡ phõn b m cú tớnh cht "khụng nh" nờn s khỏch hng N c phc v chu k gia ln n ch ph thuc vo di ca khong v q m khụng ph thuc vo phm vi phc v m khỏch hin ti ó c nhn phc v Vi cỏc gi thit ny cụng thc (7.34) xỏc nh chui Markov cú xỏc sut chuyn P = pij tha : pij = P {q ' = j q = i} = P { N = i + j} j > i +1 i + j (7.35) t a k = P{N = k } thỡ pij = +1 j 176 j > i +1 i + j (7.36) Chng 7: Lý thuyt sp hng p dng cụng thc xỏc sut y v t gi thit thi gian phc v cú phõn b m vi tc cú th chng minh c (xem mc chng 14 [6]) : ak = e àu uk k dH (u ) k! (7.37) ú H (u ) l hm phõn b ca chu k n trung gian Cui cựng cỏc xỏc sut chuyn pi ( j = ) l xỏc sut m tt c i ngi hng ó c phc v trc cú ngi mi n pi = pij = a a1 j =1 (7.38) (7.39) Vy ma trn xỏc sut chuyn r0 r1 P = r2 r3 ú ri = a a1 Cng lu thụng = kak a0 0 a1 a0 0 a2 a1 a0 a3 a2 a1 a0 k =0 H thng t trng thỏi n nh < hay kak > k =0 Phõn b dng = [ , , , ] cú dng i = (1 )0i ; i = 0,1, 2, (7.40) ú l nghim nht ca phng trỡnh f (0 ) = (0 < < 1) vi f ( ) = ak k (7.41) k =0 Thi gian i W Nu < thỡ h thng t trng thỏi n nh, ú hm phõn b di ca hng cng t n phõn b n nh Vi iu kin ny ta xột thi gian i W Xỏc sut khụng phi i l = 177 Chng 7: Lý thuyt sp hng Nu khỏch hng n v ó cú n khỏch hng hng thỡ phi i vi tng s n ln phc v cú phõn b c lp v cựng phõn b m trc n lt Ta bit rng tng ca n phõn b m c lp tham s l phõn b Erlang- n tham s Do ú t P {W < t có n ngời hàng} = n n1 e d , n (7.42) P {có n ngời hàng} = n = (1 ) 0n , n (7.43) (n 1)! Mt khỏc p dng cụng thc xỏc sut y ta c W (t ) = P {W < t} = P {W < t có n ngời hàng} P {có n ngời hàng} + n =1 t = (1 ) n n1 (n 1)! n =1 e 0n d + (1 ) W (t ) = (1 ) + e àt (10 ) (7.44) 7.3.5 Cỏc cn trờn ca thi gian i trung bỡnh ca hng tớnh cỏc s o hiu nng ca hng G / G / ta cú cụng thc (7.16) v "kt qu nh" (7.1)-(7.2) Tuy nhiờn trng hp tng quỏt cha cú qui tc tớnh E[i1 ] v E i1 Thay cho cụng thc tớnh chớnh xỏc ngi ta tỡm cỏc cn trờn v cn di ca chỳng õy ngi ta nờu mt vi cn trờn cho Wq 2 Vỡ s hng E i1 E [i1 ] nờn Wq E U (7.45) 2E [U ] Mt khỏc ta cũn cú th chng minh c 2E [U ]Wq var [U ] v 2E[U ] > , ú Wq var [ U ] 2E [U ] (7.46) Khi cng lu thụng thỡ thi gian ri i1 tin n iu ny lm cho E i12 tin n nhanh hn E [i1 ] Do ú E i1 E [i1 ] , vỡ vy lim Wq 178 var [ U ] 2E [U ] = var [ u1 ] 2E [ u1 ] = var [ t1 ] + var [s1 ] 2E [ u1 ] = ( var [ t1 ] + var [s1 ]) 2(1 ) (7.47) Chng 7: Lý thuyt sp hng CU HI ễN TP V BI TP 7.1 Kt qu nh cho cụng thc liờn h gia cỏc s o hiu nng ca mt h thng sp hng ỳng Sai 7.2 Trong ký hiu Kendall A / B / k nu quỏ trỡnh n l quỏ trỡnh Poisson thỡ A c ký hiu l P ỳng Sai 7.3 Quỏ trỡnh trỡnh n mi h thng sp hng u l quỏ trỡnh Poisson ỳng Sai 7.4 Hng M / M / vi tc n < tc phc v thỡ h t trng thỏi n nh vi tr trung bỡnh ca hng i l Wq = ỳng Sai (à ) 7.5 Hng M / E k / vi tc n < tc phc v thỡ h t trng thỏi n nh cú di trung bỡnh ca h thng l L = ỳng Sai (k + 1) 2k ( ) 7.6 Vi iu kin tc n < tc phc v thỡ h M / G / t trng thỏi n nh, ú vi tr trung bỡnh ca hng i ca hng M / D / l nht s tr trung bỡnh ca hng i ca hng M / G / ỳng Sai 7.7 Gi s h thng sp hng cú tc n = 10 , tc phc v = 12 a Tỡm tr phc v trung bỡnh ca h thng v di trung bỡnh ca hng trng thỏi cõn bng cỏc trng hp sau: M / M / , M / D / , M / E5 / b Tỡm k nh nht di trung bỡnh ca hng LM / E /1 khụng vt quỏ k 7.8 Hng M / M / k / N cú phõn b dng tha cụng thc (7.6)-(7.7) Khi k = N cỏc xỏc sut pi vi mi i = 0,1, , k c bit vi tờn gi l cụng thc xỏc sut mt Erlang Tỡm xỏc sut mt Erlang k = N = 7.9 T cụng thc phõn b dng (7.4)-(7.5) ca hng M / M / k Chng minh rng Lq = k +1 (k 1)!(k ) p0 Hóy tớnh cỏc s o hiu nng: L ; W , Wq 7.10 Hóy tớnh cỏc s o hiu nng: L, Lq ; W , Wq ca hng M / M / vi = 12 , = 10 179 ... ngời hàng} = n n1 e d , n (7.42) P {có n ngời hàng} = n = (1 ) 0n , n (7.43) (n 1)! Mt khỏc p dng cụng thc xỏc sut y ta c W (t ) = P {W < t} = P {W < t có n ngời hàng} P {có n ngời hàng} ... loi da vo cỏc tiờu sau: 1) Phõn b ca quỏ trỡnh n (input process) {t n ; n = 1, 2, } 167 Chng 7: Lý thuyt sp hng 2) Phõn b ca thi gian phc v (service distribution) {s n ; n = 1, 2, } 3) Nguyờn... n = 1, 2, } ú q n l khong thi gian m khỏch hng th n phi i hng cho n lỳc c nhn phc v 168 Chng 7: Lý thuyt sp hng 4) W : Thi gian i trung bỡnh ca h thng l k vng ca quỏ trỡnh thi gian ri rc {wn ;