Về đa thức Jones của nút

Header Page of 166 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** DƯ THÀNH HƯNG VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 Footer Page of 166 Header Page of 166 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** DƯ THÀNH HƯNG VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ THẾ KHÔI Footer Page of 166 Hà Nội - 2012 Header Page of 166 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Lời mở đầu iii Chú dẫn lịch sử v Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nút Link 1.2 Đẳng luân 1.3 Biểu đồ 1.4 Các phép dịch chuyển Reidemeister 1.5 Sự nhân tử hóa 1.6 Đồ thị phẳng 1 11 15 Đa thức Jones 18 2.1 Ngoặc Kauffman đa thức Kauffman 18 2.2 Đa thức Jones 22 Đa thức Jones link thay phiên 33 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Footer Page of 166 i Header Page of 166 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Vũ Thế Khôi (Viện Toán Học) Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Tôi xin cảm ơn phòng Hình học Tô pô, Viện Toán học, giúp đỡ tạo điều kiện nhiều cho hoàn thành khoá học Và xin cám ơn nhóm seminar phòng Hình học Tô pô, Viện toán học, giúp bổ sung, củng cố kiến thức Lý thuyết nút Qua đây, xin gửi tới thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2007-2009, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hoàn thành nhiệm vụ Hà nội, tháng năm 2012 Người viết luận văn Dư Thành Hưng Footer Page of 166 ii Header Page of 166 Lời mở đầu Các nút (tổng quát link) thứ phổ biến sống ngày, quan sát nghiên cứu mức độ góc nhìn khác Chúng ngắm nhìn sản phẩm tinh xảo nghệ nhân, giới hạn cuối phức tạp hình học, mà có lẽ chẳng gặp sống Nghiên cứu nút gán cho mục đích ứng dụng, chẳng hạn sinh học phân tử, Vật lý thống kê, hay Lý thuyết trường lượng tử Tôpô Nhưng nhất, Lý thuyết nút thuộc Tôpô hình học Mục đích nghiên cứu Tôpô nút xuất phát từ cố gắng tìm hiểu tính chất hình học không gian ba chiều thông qua cấu hình thắt nút bên Điều dẫn tới số việc nghiên cứu tính chất hình học nút, tìm hiểu liên quan nút với lĩnh vực Tôpô hình học ba chiều, đặc biệt xây dựng bất biến để phân biệt hai nút cho trước Đối tượng Luận án bất biến quan trọng Lý thuyết nút: Đa thức Jones link định hướng Bố cục luận văn gồm có ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức chuẩn bị Lý thuyết nút link không gian ba chiều, tập trung vào khía cạnh tổ hợp nút link Ngoài ra, số khái niệm sơ cấp đồ thị phẳng đưa vào mục cuối Chương 2: Đa thức Jones Chương gồm hai phần Phần đầu ngoặc Kauffman biểu đồ không định hướng dạng hiểu chỉnh chúng: Đa thức Kauffman link định hướng Một số tính toán với biểu đồ quan trọng trình bày Phần hai Đa thức Jones, thu từ đa thức Kauffman phép đổi biến Các tính chất Đa thức Jones chứng minh chi tiết Trong phần nhấn mạnh việc đa thức Jones tính toán mà không cần thông qua ngoặc Kauffman Chương 3: Đa thức Jones link thay phiên Mục đích chương giải giả thuyết cổ điển Lý thuyết nút tồn gần 100 năm: Giả thuyết Tail thứ Đây xem ứng Footer Page of 166 iii Header Page of 166 dụng đẹp đa thức Jones Cuối chương ví dụ minh họa cho ý nghĩa giả thuyết Tait thứ việc phân loại link thay phiên Vì thời gian trình độ có hạn, trình bày chủ đề lý thú sâu sắc đa thức Jones mối liên hệ với bất biến Arf, với đa thức Conway, định nghĩa đa thức Jones thông qua biểu diễn nhóm bện, tổng quát hóa khác đa thức Jones ứng dụng, Đó chủ đề mà tập trung nghiên cứu tương lai Footer Page of 166 iv Header Page of 166 Chú dẫn lịch sử Về mặt lịch sử, câu hỏi thô sơ nút xuất từ thời Hy Lạp cổ đại Đến kỉ 19, yêu cầu vật lý, Gauss, Kelvin, Listing, số người khác có nghiên cứu nghiêm túc nút, tất dừng mức trực giác Nói riêng, Gauss tìm số liên kết thành phần link nghiên cứu lý thuyết điện từ Cuối kỉ 19, học trò Kelvin Tait đưa hai giả thuyết nhằm phân loại nút thay phiên Từ đầu kỉ 20 đầu năm 1980, với đời phát triển Tôpô, Lý thuyết nút có thành tựu đáng kể theo hướng nói Lời mở đầu Ở khía cạnh phân loại, bất biến đa thức Alexander, đa thức Conway, bất biến Arf tìm Tuy nhiên, họ chứng minh giả thuyết Tait, dù phát biểu đơn giản Năm 1984, Vaughan Jones tạo cách mạng Lý thuyết nút việc tìm bất biến đa thức mà ngày mang tên ông (công bố năm 1985) Sử dụng bất biến này, nhà toán học nhanh chóng chứng minh giả thyết Tait thứ (giả thuyết thứ hai chứng minh sau ba năm, không sử dụng đến đa thức Jones) Sự thực, lĩnh vực nghiên cứu Jones Tôpô, mà Lý thuyết đại số toán tử Ông tìm bất biến đa thức mang tên cách tình cờ phức tạp, dựa vào đại số Von Neumann Lý thuyết biểu diễn nhóm bện Sau không lâu, chuyên gia Lý thuyết nút Kauffman tìm cách định nghĩa đơn giản đa thức Jones dựa vào cấu trúc tổ hợp biểu đồ, công bố năm 1987 ([3]) Ý tưởng Kauffman đến từ Vật lý thống kê Sự đơn giản cách định nghĩa khiến cho việc xuất muộn màng đa thức Jones trở nên đáng ngạc nhiên, nhà toán học khác bỏ công tìm 50 năm, số bất biến họ tìm thấy đa thức Conway, đa thức Alexander, bất biến Arf, có mối liên hệ mật thiết với Với việc tìm bất biến đa thức mang tên mình, Jones trao huy chương Fields năm 1990 Như vây, đa thức Jones liên quan đến nhiều lý thuyết Toán học Vật lý: Tôpô hình học, Đại số toán tử, Lý thuyết biểu diễn, Vật lý thống kê Nhưng chưa hết, xét tương giao Lý thuyết nút với Tôpô ba chiều Lý thuyết trường lượng tử, đa thức Jones trở thành điểm xuất phát Lý thuyết có tên Footer Page of 166 v Header Page of 166 Bất biến lượng tử Theo hướng này, năm 1988, Witten tìm tổng quát hóa cho đa thức Jones dựa vào tích phân đường Feynman Công trình góp phần đem lại huy chương Fields cho Witten năm 1990 Đa thức Jones tổng quát hóa Witten, mà có nhiều tổng quát hóa khác Sớm khoảng bốn tháng sau Jones công bố công trình đa thức Jones, sáu nhà toán học Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter độc lập với công bố tổng quát hóa tự nhiên đa thức Jones Đó đa thức hai biến, gọi đa thức HOMFLY theo chữ tên sáu nhà toán học Đến năm 2000, Khovanov đưa tổng quát hóa đại số cho đa thức Jones, gọi đối đồng điều Khovanov Với link định hướng, ông xây dựng phức đối xích phân bậc có đặc trưng Euler phân bậc đa thức Jones chuẩn hóa Nếu hai link giống hai phức tương ứng đồng luân Sau Bar-Natan đơn giản hóa đáng kể Lý thuyết Khovanov vào năm 2002 Năm 2007, lại Khovanov, với Rozansky, mở rộng lý thuyết lên cho trường hợp đặc biệt đa thức HOMFLY, gọi đối đồng điều Khovanov-Rozansky Và gần đây, năm 2010, Peter Kronheimer Tomas Mrowka chứng minh đối đồng điều Khovanov hệ số nguyên phân biệt nút tầm thường Với đa thức Jones, điều tương tự câu hỏi mở quan trọng Chứng minh Kronheimer Mrowka công bố báo dài 125 trang, sử dụng công cụ Toán học có nguồn gốc Vật lý, cụ thể Lý thuyết Gauge Hiện nay, với việc cố gắng giải toán trường hợp đa thức Jones, người ta tìm kiếm chứng minh đại số tổ hợp cho định lý Kronheimer Mrowka Footer Page of 166 vi Header Page of 166 CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương trình bày số khái niệm, định lý Lý thuyết nút Các chứng minh dài khó bỏ qua kèm theo trích dẫn tài liệu tra cứu cho Ngoài ra, vài khái niệm Lý thuyết đồ thị, thứ cần thiết cho chương ba, trình bày vắn tắt Cuối mục bảng nút nguyên tố có số điểm cắt không lớn Ngoài trừ mục cuối, nội dung chương chủ yếu dựa vào ba tài liệu [2], [8] [9] 1.1 Nút Link Các nút thứ quen thuộc sống Nó xuất buộc kiện hàng, thắt dây giầy, hay công việc tương tự khác Các nút tháo ra, buộc lại theo cách giống khác Để nghiên cứu tính thắt nút, phần bị thắt nút sợi dây cần làm bật Một cách làm điều phần bên chỗ thắt nút đoạn dây dài thẳng Một cách tốt ta gắn hai đầu phần bên nút để tạo thành vòng dây Lý thuyết nút nghiên cứu tính chất Tôpô vòng bị nhúng vào không gian ba chiều Ta cho phép nút làm cho bị biến dạng giống ta tác động lên sợi dây mảnh, mềm mại, co giãn với hai đầu dính liền Bây định nghĩa xác nút: Định nghĩa 1.1 Một nút ảnh phép nhúng trơn S1 vào R3 Như nút đa tạp chiều R3 vi phôi với S1 , có hai phép định hướng Một nút với phép định hướng gọi nút định hướng Nếu K nút định hướng ta kí hiệu −K nút định hướng nhận từ K cách đảo hướng Hiển nhiên −(−K ) = K Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 1.2 Đẳng luân Định nghĩa 1.2 Một m-link (m ∈ N) tập R3 có m thành phần liên thông, thành phần liên thông nút Một m-link định hướng m-link với thành phần nút định hướng Như vậy, nút link thành phần Với m-link, ta có thảy 2m cách định hướng Một số ví dụ nút link quan trọng cho hình 1.1 Hình 1.1: Vài ví dụ nút link Với link L cho trước, ta xây dựng link phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy Cụ thể ta ký hiệu L ảnh L qua ánh xạ: ( x, y, z) → ( x, y, −z) Rõ ràng L m-link gọi link gương L 1.2 Đẳng luân Trong mục định nghĩa hai nút tương đương Một cách trực giác, hai nút tương đương chúng biến đổi thành mà không cần phải tháo nút thắt nút lại theo kiểu khác Định nghĩa toán học hình ảnh sau: Footer Page 10 of 166 Header Page 38 of 166 2.2 Đa thức Jones Trong ví dụ hai nút có đa thức Jones (t−2 − t−1 + − t + t2 )2 , nhiên bất biến đa thức khác có tên đa thức Alexander chúng khác nhau, nên chúng không đẳng luân Một ví dụ khác thú vị nút Kinoshita-Terasaka với nút Conway hình 2.5 Trong ví dụ này, nút Conway thu từ nút Kinoshita-Terasaka thủ thuật gọi phép đột biến sau: Lấy hình cầu B với biên giao hoành với nút K-T bốn điểm, cách nhiễu loạn cần, ta giả sử bốn điểm giao hai cặp điểm đối xứng qua đường thẳng bắc - nam B Ta giữ nguyên phần bù R3 − B, tháo rời B quay quanh trục bắc - nam góc π, sau lắp trở lại để thu nút Conway Người ta chứng minh nhóm hai phần bù hai nút không đẳng cấu, phần bù chúng không đồng phôi, nên chúng đẳng luân Hình 2.5: Ta chứng minh V (nút K-T) = V (nút Conway) mà không cần tính toán cụ thể: Lấy hướng nút Kinoshita-Terasaka lấy biểu đồ D D nút Kinoshita-Terasaka nút Conway Vì phép quay B không ảnh hưởng đến dấu điểm cắt, nên w( D ) = w( D ) Việc lại phải chứng minh D = D Điều rõ ràng chương sau ta có công thức tường minh D Việc đa thức Jones không phân biệt tất nút dẫn đến câu hỏi nhẹ hơn: Đa thức Jones phân biệt nút tầm thường hay không? Nói khác, có tồn hay không nút không tầm thường có đa thức Jones 1? Câu hỏi đến để mở Tuy nhiên, với link định hướng tổng quát câu hỏi có lời giải đáp Năm 2003, ba nhà toán học Eliahou, Kauffman, Thistlethwaite đưa Footer Page 38 of 166 30 Header Page 39 of 166 2.2 Đa thức Jones phép xây dựng họ vô hạn m-link định hướng không tầm thường (m > 1) có đa thức Jones trùng với đa thức Jones m-link tầm thường ([3]) Ví dụ đơn giản có lẽ link bên (với hai cách định hướng) Footer Page 39 of 166 31 Header Page 40 of 166 2.2 Đa thức Jones Hình 2.6: Footer Page 40 of 166 32 Header Page 41 of 166 CHƯƠNG Đa thức Jones link thay phiên Trong chương này, ứng dụng bật (và sơ cấp) đa thức Jones trình bày Đó lời giải giả thuyết P.G Tait đưa từ năm 1898, gọi giả thuyết Tait thứ nhất, số điểm cắt tối thiểu biểu đồ nút thay phiên Cụ thể giả thuyết Tait thứ phát biểu sau: Nếu nút K có biểu đồ thay phiên với n điểm cắt, không điểm cắt bỏ qua (ta định nghĩa sau), biểu đồ K có không n điểm cắt (tức c(K ) = n) Gần 90 năm sau Tait đưa giả thuyết mình, Kauffman, Murasugi Thistletwaite tìm chứng minh khác dựa vào đa thức Jones, công bố tạp chí Topology năm ([3], [7], [10]) Ba cách chứng minh họ khác Đây xem tiến quan trọng việc phân loại toàn link thay phiên (Đến năm 1991, Menasco Thistletwaite công bố chứng minh giả thuyết Tait thứ hai) Trong chương theo [5] để trình bày chứng minh Kauffman cho giả thuyết Tait thứ nhất, số lập luận Kauffman thay đổi Kết tìm thấy [2] với trình bày gần với chứng minh ban đầu Kauffman, diễn giải chi tiết Chúng không đề cập đến giả thuyết Tait thứ hai chương chứng minh không sử dụng đa thức Jones Đầu tiên, ta chứng minh tồn ngoặc Kauffman Sở dĩ ta đưa định lý vào phép chứng minh cần thiết cho chương chương hai Định lý 3.1 Ngoặc Kauffman tồn với biểu đồ CHỨNG MINH Ta chứng minh cách xây dựng trực tiếp ngoặc Kauffman Với biểu đồ ta đánh số điểm cắt Với biểu đồ D có n điểm cắt đánh số 1, 2, , n, ta gọi trạng thái D hàm s : {1, 2, , n} → {1, −1} Như vậy, D có thảy 2n trạng thái Với mỗt trạng thái s, điểm cắt thứ i Footer Page 41 of 166 Header Page 42 of 166 D, dựa vào dấu s(i ) ta phá hủy điểm cắt theo hai cách hình 3.1 Kí hiệu sD biểu đồ thu sau phá hủy tất điểm cắt D, Hình 3.1: hai cách phá hủy điểm cắt đơn giản số đường cong đơn đóng mặt phẳng đôi rời Kí hiệu |sD | số lượng đường cong đặt n D = ∑s A∑i=1 s(i) (− A−2 − A2 )|sD|−1 tổng lấy tất 2n trạng thái D Ta phải chứng minh D thỏa mãn ba đẳng thức định nghĩa ngoặc Kauffman Hai đẳng thức dễ dàng kiểm tra trực tiếp Để kiểm tra đẳng thức thứ ba, xét điểm cắt thứ j bất kì, ta việc tách tổng thành hai tổng tổng lấy s thỏa mãn s( j) = Rõ ràng tổng A A−1 , tổng lại Một loại link đặc biệt nghiên cứu chương link thay phiên định nghĩa đây: Định nghĩa 3.2 Một biểu đồ link L gọi thay phiên người xuất phát từ điểm thành phần L trọn vẹn thành phần đó, ảnh người biểu đồ qua điểm cắt theo cung thay đổi cách đặn: , cung trên, cung dưới, cung trên, cung dưới, Một link có biểu đồ thay phiên gọi link thay phiên Ta coi link có biểu đồ điểm cắt link thay phiên Ví dụ link thay phiên nhiều, chẳng hạn nút trefoil, Hopf link, nút số tám Hiển nhiên tính thay phiên bất biến đẳng luân link Để link không thay phiên, điều kiện cần biểu đồ phải có hai điểm cắt Việc chứng minh link không thay phiên nói chung việc không đơn giản Ta giả sử D biểu đồ có n điểm cắt Đặt s+ , s− hai trạng thái s+ (i ) = ∀i s− (i ) = −1 ∀i Hiển nhiên s+ trạng thái thỏa mãn ∑in=1 s+ (i ) = n, s− trạng thái thỏa mãn ∑in=1 s− (i ) = −n Định nghĩa 3.3 Một biểu đồ D gọi đầy đủ dương |s+ ( D )| > |sD | với trạng thái s thỏa mãn ∑in=1 s(i ) = n − Một biểu đồ D gọi đầy đủ âm |s− ( D )| < |sD | với trạng thái s thỏa mãn ∑in=1 s(i ) = − n Footer Page 42 of 166 34 Header Page 43 of 166 Một biểu đồ D gọi đầy đủ vừa biểu đồ đầy đủ dương, vừa biểu đồ đầy đủ âm Tuy phức tạp, thực việc kiểm tra biểu đồ D có n điểm cắt có phải biểu đồ đầy đủ hay không đơn giản: Ta gán trạng thái s+ cho D (tức điểm cắt D gán giá trị 1) phá hủy điểm cắt D theo quy tắc hình 3.1 Nếu hai cung thay hai cung cũ việc phá hủy điểm cắt không thuộc thành phần s+ ( D ) D biểu đồ đầy đủ dương Thật vậy, trạng thái s thỏa mãn ∑in=1 s(i ) = n − trạng thái nhận từ s+ sau đổi giá trị điểm cắt thành −1, điểm cắt khác giữ nguyên giá trị +1 (như có tất n trạng thái s thế) Với trạng thái s thế, ta gán cho D, gán trạng thái s+ cho D Phá hủy đồng thời điểm cắt D theo hai trạng thái s+ s cho điểm cắt có giá trị khác phá cuối Cho đến trước điểm cắt xét bị phá, số thành phần tạo theo hai cách phá hủy hiển nhiên Sau phá hủy điểm cắt cuối cùng, cách phá hủy theo s+ tạo hai thành phần (hình 3.2 a), điều kéo theo cách phá hủy theo s tạo thành phần (hình 3.2 b) Như vậy, để kiểm tra tính đầy đủ dương biểu đồ D, ta cần kiểm tra thành phần s+ ( D ) xem có thành phần tự đối diện với qua điểm cắt hay không Việc kiểm tra tính đầy đủ âm biểu đồ hoàn toàn tương tự Hình 3.2: Một ứng dụng khác nhận xét phép chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 3.4 Biểu đồ link thay phiên rút gọn biểu đồ đầy đủ Ở đây, biểu đồ rút gọn biểu đồ thỏa mãn tính chất: Không tồn vòng mặt phẳng Oxy giao với biểu đồ điểm, điểm điểm cắt biểu đồ Ta hình dung biểu đồ rút gọn biểu đồ điểm cắt giống tronghai kiểu hình 3.2 Hai điểm cắt hình 3.2 gọi điểm cắt bỏ qua Nếu biểu đồ link có điểm cắt bỏ qua được, dĩ nhiên ta xóa bỏ điểm cắt cách quay nửa link giữ nguyên nửa lại CHỨNG MINH Với biểu đồ thay phiên đầy đủ D, ta tô màu kiểu bàn cờ với hai màu đen trắng cho Oxy − D Tính thay phiên D suy thành phần Footer Page 43 of 166 35 Header Page 44 of 166 Hình 3.3: Điểm cắt bỏ qua s+ D vòng phẳng bao quanh tất miền tô màu (chẳng hạn màu đen) với góc làm trơn Điều tương đương với việc cung xuất phá hủy điểm cắt thuộc vào miền tô màu đen (hình 3.4) Tương tự, thành phần s− D vòng phẳng bao quanh tất miền màu trắng Lại biểu đồ điểm cắt bỏ qua được, nên miền Oxy − D tự đối diện với qua điểm cắt, không ta có vòng qua điểm cắt nằm trọn miền đối diện với qua điểm cắt Theo nhận xét bên ta có điều cần chứng minh Hình 3.4: phá hủy điểm cắt theo trạng thái s+ link thay phiên Với đa thức Laurent P, kí hiệu lũy thừa lớn nhỏ xuất P M ( P) and m( P) Ngay sau đây, ta đưa số đánh giá M D m D , lũy thừa lớn nhỏ A xuất ngoặc Kauffman số biểu đồ D Bổ đề 3.5 Nếu D biểu đồ có n điểm cắt (i) M D ≤ n + 2|s+ D | − Nếu D biểu đồ đầy đủ dương ta có dấu đẳng thức (ii) m D ≥ −n − 2|s− D | + Nếu D biểu đồ đầy đủ âm ta có dấu đẳng thức CHỨNG MINH (i) Với trạng thái s D, đặt: n D |s = A∑i=1 s(i) (− A−2 − A2 )|sD|−1 D = ∑s D |s Từ suy M D ≤ maxs M D |s Vì ∑in=1 s+ (i ) = n nên M D |s+ = n + 2|s+ D | − Do dó bất đẳng thức chứng minh Footer Page 44 of 166 36 Header Page 45 of 166 M D |s+ = maxs M D |s Nhận xét trạng thái s ta xem có "khởi đầu" s+ , biến đổi cách từ từ trạng thái s Cụ thể, dãy trạng thái s0 , s1 , , , sk cho s0 = s+ , sk = s s j (i ) = s j−1 (i ) với i ∈ {1, , , , n}, ngoại trừ giá trị i j , mà với s j−1 (i j ) = = −s j (i j ) Vì s j D s j−1 D hai biểu đồ giống hệt nhau, ngoại trừ lân cận điểm cắt D, nên |s j D | = |s j−1 D | ± Cùng với việc ∑in=1 s j (i ) = n − 2j, ta suy M D |s j−1 − M D |s j Như thế, M D |s j−1 ≥ M D |s j , s0 = s+ , sk = s nên với M D |s0 ≥ M D |s Vì s nên M D |s+ = maxs M D |s Bây giờ, D biểu đồ đầy đủ dương lập luận trước |s1 D | = |s+ D | − Do M D |s j giảm bước j chuyển từ đến 1, không tăng lên bước sau (vì sau bước chuyển trạng thái, ∑in=1 s(i ) giảm 2, |sD | tăng lên 1) Do biểu diễn n D = ∑s ( A∑i=1 s(i) (− A−2 − A2 )|sD|−1 ), từ có bậc M D |s+ D |s+ không bị triệt tiêu từ D |s với s = s+ , đẳng thức xảy (ii) Nhận xét với biểu đồ D ta có M D = −m D |s+ D | = |s− D | Từ đó, áp dụng chứng minh cho biểu đồ gương D ta nhận điều phải chứng minh Hệ 3.6 Nếu D biểu đồ đầy đủ có n điểm cắt M D − m D = 2n + 2|s+ D | + 2|s− D | − Để có thêm đánh giá , ta cần có thông tin |s+ D | |s− D | Hai bổ đề sau chuẩn bị cho điều Bổ đề 3.7 Nếu D biểu đồ liên thông có n điểm cắt |s+ D | + |s− D | ≤ n + CHỨNG MINH Ta chứng minh quy nạp theo n Hiển nhiên bổ đề n = Giả sử bổ đề với biểu đồ D có n điểm cắt Chọn điểm cắt D Với hai cách phá hủy điểm cắt hai cung không giao hình 3.1, biểu đồ D nhận liên thông Không tổng quát ta coi điểm cắt phá hủy cách trạng thái dương Khi |s+ D | = |s+ D | |s− D | = |s− D | ± Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: |s+ D | + |s− D | = |s+ D | + |s− D | ± ≤ (n − 1) + ± ≤ n + Bổ đề 3.8 Cho D biểu đồ liên thông có n điểm cắt Khi Footer Page 45 of 166 37 Header Page 46 of 166 (i) Nếu D biểu đồ thay phiên |s+ D | + |s− D | = n + (ii) Nếu D biểu đồ nguyên tố rõ ràng không thay phiên |s+ D | + |s− D | < n + CHỨNG MINH (i) Trước hết ta nhắc lại công thức Euler cho đồ thị phẳng liên thông G, mà chứng minh tìm chương 10 [1]: |V ( G )| − | E( G )| + | F ( G )| = | E( G )|, |V ( G )| số đỉnh, số cạnh G, | F ( G )| số thành phần liên thông phần bù G Bây D xem đồ thị phẳng liên thông n đỉnh Như nói mục chương 1, số cạnh D 2n Lại D biểu đồ thay phiên, |s+ D | + |s− D | số thành phần liên thông phần bù D mặt phẳng (ta tô màu kiểu bàn cờ cho miền coi |s+ D | số miền tô màu đen, |s− D | số miền tô màu trắng) Áp dụng công thức Euler cho D ta điều cần chứng minh (ii) Ta chứng minh quy nạp theo n Nếu n = biểu đồ không thay phiên nguyên tố rõ ràng nên biểu đồ 2-link tầm thường Khi |s+ D | + |s− D | = < Giả sử kết luận với biểu đồ có số điểm cắt nhỏ n (n > 2) Vì D không thay phiên nên tồn hai điểm cắt liên tiếp cho qua hai điểm cắt đó, hai lần ta theo cung cung Gọi c điểm cắt thứ ba Như trình bày, c bị phá hủy hai cách: dương âm Từ giả thiết D nguyên tố rõ ràng, ta phá hủy c cách biểu đồ nhận liên thông Thật vậy, giả sử ta phá hủy c theo cách dương thu hai thành phần rời Khi D phải có dạng hình 3.3 b, tức c điểm cắt bỏ qua Lấy vòng bao quanh phần X không bao quanh c Vì D nguyên tố rõ ràng nên X điểm cắt Tương tự Y điểm cắt Điều có nghĩa D có điểm cắt, ta có mâu thuẫn Bây ta tô màu kiểu bàn cờ lên phần bù D mặt phẳng cho miền không bị chặn bị tô màu trắng Thiết lập đồ thị phẳng Γ sau: Số đỉnh Γ số vùng tô đen Oxy − D, ta đặt tương ứng vùng với đỉnh Γ Với hai vùng tô đen đối điểm cắt, ta dựng cạnh nối hai đỉnh tương ứng Γ Với miền tô đen tự qua điểm cắt, ta dựng cạnh khép kín qua đỉnh ứng với miền Dễ dàng chứng minh đồ thị Γ xây dựng liên thông D biểu đồ liên thông Ngoài ra, từ cách xây dựng ta thấy việc phá hủy điểm cắt Footer Page 46 of 166 38 Header Page 47 of 166 biểu đồ hai cách tương ứng với việc cạnh Γ bị xóa phần bị co rút đỉnh Ta tiếp tục chứng minh Đầu tiên ta khẳng định tính nguyên tố rõ ràng D tương đương với việc Γ đỉnh tách (ta cần chiều ngược lại, chứng minh chiều xuôi) Thật vậy, giả sử D nguyên tố rõ ràng Γ lại có đỉnh tách Nếu đỉnh tách có cung khép kín qua thì, tương đương với nó, phần bù D có thành phần tô đen tự đối diện qua điểm cắt Khi hiển nhiên điểm cắt bỏ qua được, dẫn đến mâu thuân Trường hợp Γ cạnh khép kín, ta gọi đỉnh tách v Γ có dạng hình 3.5 bên trái, với Γ1 , , Γk đồ thị liên thông Γ thỏa mãn: Γi ∩ Γ j = ∅ ∀ i = j, hai đỉnh thuộc hai đồ thị khác cạnh nối Ta phá hủy tất điểm cắt nằm biên thành phần tô đen tương ứng với v cho cạnh tương ứng đồ thị Γ bị xóa phần Sau xóa điểm cắt, đồ thị tương ứng nhận không liên thông, nhận xét biểu đồ nhận từ D sau phá hủy điểm cắt không liên thông Điều mâu thuẫn với điều ta chứng minh: Tính nguyên tố rõ ràng biểu đồ liên thông kéo theo việc phá hủy điểm cắt cách biểu đồ nhận liên thông Hình 3.5: Đồ thị Γ trở thành không liên thông biểu đồ bị xóa số điểm cắt Ngược lại (đây ta cần), Γ đỉnh tách D không nguyên tố rõ ràng Khi D có dạng hình 3.6 bên trái, với hai bên X Y có điểm cắt Không tổng quát, ta xem miền bị tô màu đen Như phải đối diện với miền tô đen không trùng với qua điểm cắt Gọi đỉnh tương ứng với miền tô đen v, Γ X đồ thị Γ ứng với miền tô đen X, ΓY đồ thị ứng với miền tô đen Y Như Γ v hình học hình 3.6 bên phải, đỉnh tách Γ Mâu thuẫn Cuối cùng, gọi đồ thị tương ứng sau phép xóa điểm cắt c Γ Như nhận xét, Γ nhận từ Γ sau xóa phần cạnh co rút cạnh đỉnh Theo bổ đề 1.16, xóa cạnh e Γ làm xuất đỉnh tách v, phép co rút hiệu ứng Điều có nghĩa có kiểu xóa Footer Page 47 of 166 39 Header Page 48 of 166 Hình 3.6: Nếu D không nguyên tố rõ ràng Γ có đỉnh tách c dẫn đến Γ đỉnh tách Theo chứng minh trên, biểu đồ tương ứng sau xóa c D nguyên tố rõ ràng Ta chứng minh D liên thông, không thay phiên giữ hai điểm cắt liên tiếp D mà ta nói bên Theo giả thiết quy nạp |s+ D | + |s− D | < n + 1, từ ta có điều phải chứng minh Định lý 3.10 kết Kauffman, Murasugi Thistletwaite mà ta nhắc đến đầu chương Một định nghĩa cần thiết nêu trước ta trình bày định lý: Định nghĩa 3.9 Với đa thức Laurent V biến t, ta gọi biên độ V, kí hiệu B(V ), hiệu số số mũ lớn nhỏ t xuất V Như B (V ) = M (V ) − m (V ) Định lý 3.10 (Kauffman, Murasugi, Thistletwaite) Cho D biểu đồ liên thông có n điểm cắt link định hướng L Như thường lệ, đa thức Jones L kí hiệu V ( L) Khi đó: (i) B(V ( L)) ≤ n (ii) Nếu D biểu đồ thay phiên thu gọn, B(V ( L)) = n (iii) Nếu D biểu đồ nguyên tố không thay phiên, B(V ( L)) < n CHỨNG MINH (i) Nhắc lại đa thức Jones V ( L) thu từ đa thức Kauffman X ( L) = (− A)−3w( D) | D | qua phép đổi biến t = A−4 Do đó, 4B(V ( L)) = B | D | = M | D | − m | D | (ở đây, M | D | , m | D | tính theo lũy thừa A) Theo hai bổ đề 3.5 3.7 ta có: 4B(V ( L)) ≤ 2n + 2|s+ D | + 2|s− D | − ≤ 4n (ii) Nếu D biểu đồ thay phiên thu gọn, đầy đủ Khi đó, bất đẳng thức bổ đề 3.5 trở thành đẳng thức Kết hợp với phần (i) bổ đề 3.8 ta 4B(V ( L)) = 4n (iii) Nếu D biểu đồ nguyên tố nhân tử biểu đồ nút tầm thường ảnh hưởng đến đa thức Jones, chứa điểm cắt Vì vậy, không tổng Footer Page 48 of 166 40 Header Page 49 of 166 quát ta xem D biểu đồ nguyên tố rõ ràng Theo phần (ii) bổ đề 3.8 ta có B(V ( L)) < n Bằng cách lấy hướng link sử dụng định lý 3.10, ta được: Hệ 3.11 Nếu link L có biểu đồ liên thông, thay phiên, thu gọn, với n điểm cắt, biểu đồ có n điểm cắt (tức c( L) = n) Mọi biểu đồ không thay phiên nguyên tố L có số điểm cắt lớn n Hiển nhiên kết luận hệ 3.11 tổng quát hóa giả thuyết Tait thứ CHỨNG MINH Lấy hướng L Vì L có biểu đồ liên thông, thay phiên, thu gọn nên theo phần (ii) định lý 3.10 ta có B(V ( L)) = n Nếu L có biểu đồ với m điểm cắt từ phần (i) định lý 3.10 ta thu n = B(V ( L)) ≤ m Còn L có biểu đồ nguyên tố không thay phiên với m điểm cắt, từ phần (iii) định lý 3.10 suy n = B(V ( L)) < m Một ý nghĩa giả thuyết Tait thứ cho ta tiêu chuẩn để chứng minh link không thay phiên Chẳng hạn từ bảng nút nguyên tố chương 1, ta thấy ba nút 819 , 820 821 có đa thức Jones với biên độ nhỏ tám Theo kết trên, chúng có biểu đồ thay phiên, biểu đồ phải có số điểm cắt nhỏ tám Tuy nhiên, nút có biểu đồ có bảy điểm cắt nhỏ liệt kê bảng, nút có đa thức Jones trùng với đa thức Jones ba nút Do ba nút biểu đồ thay phiên, tức chúng nút thay phiên Cuối cùng, ta nêu hai hệ khác định lý 3.10 Hệ 3.12 Nếu link L có phân tích L = L1 #L2 với L1 , L2 hai link thay phiên, không tách, c ( L ) = c ( L1 ) + c ( L2 ) (Trường hợp tổng quát câu hỏi mở cổ điển lý thuyết nút.) CHỨNG MINH Bằng cách dịch chuyển nhân tử L1 phía sau điểm cắt L2 cần, ta suy L link thay phiên Hiển nhiên L link không tách Do đó, ta lấy hướng L B(V ( L)) = c( L) Lại V ( L) = V ( L1 )V ( L2 ) nên B(V ( L)) = B(V ( L1 )) + B(V ( L2 )) = c( L1 ) + c( L2 ), ta có điều cần chứng minh Hệ 3.13 Nếu L link định hướng, thay phiên, không tách, đẳng luân với link gương nó, c( L) số chẵn CHỨNG MINH Từ hai đẳng thức: Footer Page 49 of 166 41 Header Page 50 of 166 V ( L)(t−1 ) = V ( L)(t) V ( L)(t) = V ( L)(t) (vì L L đẳng luân) ta suy V ( L) đa thức Laurent với lũy thừa đối xứng Do B(V ( L)) = c( L) phải số chẵn Nhận xét 3.14 Ta thấy có tương tự thú vị đa thức Jones với bất biến đa thức khác đa thức Alexander Trong đa thức Alexander cung cấp thông tin giống link thay phiên không tách ([5]), đa thức Jones cung cấp thông tin số điểm cắt loại link Footer Page 50 of 166 42 Header Page 51 of 166 Kết luận Các công việc mà luận văn hoàn thành sau: + Trình bày khái niệm Lý thuyết nút + Trình bày cách tiếp cận tới đa thức Jones Kauffman Các tính chất đa thức Jones với tính toán trình bày tỉ mỉ chi tiết + Trình bày chứng minh giả thuyết Tail thứ Footer Page 51 of 166 43 Header Page 52 of 166 Tài liệu tham khảo [1] J.A Bondy, U.S.R Murty, Graph Theory, Graduate Texts in Math 244, Springer-Verlag, (2008) [2] P R Cromwell, Knots and Links, Cambridge University Press, (2004) [3] S Eliahou, L.H Kauffman, M.B Thistlethwaite, Infinite families of links with trivial Jones polynomial, Topology 42 (2003) 155 − 169 [4] L.H Kauffman, State 26 (1987) 395 − 407 [5] W B R Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Math 175, Springer-Verlag, 1997 [6] K Murasugi, Jones polynomials and classical conjectures in knot theory, Topology 26 (1987) 187 − 194 [7] K Murasugi, Knot Theory and Its Applications, (translated from the Japanese by Bohdan Kurpita), Birkhauser, (1996) [8] T Ohtsuki, Quantum Invariants A Study of Knots, 3-Manifolds, and Their Sets , Series on Knots and Everything 29, World Scientific Publishing, (2002) [9] V V Prasolov, A B Sossinsky, Knots, Links, Braids and 3-Manifolds An introduction to the new invariants in low-dimensional topology, Translations of Mathematical Monographs 154, American Mathematical Society, (1997) models and the Jones polynomial, Topology [10] M.B Thistlethwaite, A spanning tree expansion of the Jones polynomial, Topology 26 (1987) 297 − 309 Footer Page 52 of 166 44 ... đẳng thức (i) (iii) mệnh đề sau đặc trưng đa thức Jones (về mặt lịch sử chúng dùng để định nghĩa đa thức Jones trước Kauffman tìm định nghĩa đa thức Jones ta trình bày): Mệnh đề 2.9 Đa thức Jones. .. CHƯƠNG Đa thức Jones Lý thuyết đa thức Jones Vaughan Jones tìm năm 1984 cho phép gắn link định hướng (trường hợp nút không cần định hướng) với đa thức Laurent hệ số nguyên (là biểu thức kiểu đa thức. .. định hướng, nên đa thức Jones bất biến link định hướng Hơn nữa, đa thức Kauffman link định hướng không thay đổi ta đảo hướng tất thành phần, nên đa thức Jones Do ta nói đa thức Jones nút không định