SỞ GD – ĐT BẮC NINH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN I TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ Môn: Toán học Năm học 2014 – 2015 (Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề) Câu (3 điểm) Cho hàm số y = x − 3x + 2(*) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (*) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d có phương trình y = 2014 − 3x Câu (3 điểm) Giải phương trình x − cos x = Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số phân biệt? x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = e ( x − x − ) đoạn [ 1;3] Câu (2 điểm) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Cạnh bên tạo với mặt đáy ( ABCD ) góc 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA, CD Tính thể tích khối chóp S ABCD Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 3;1) , đường thẳng BC có phương trình y = , đường phân giác góc · có BAC phương y = x − , điểm M ( −6; −2 ) thuộc đường thẳng AB Tính diện tích tam giác ABC Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình x − xy + + y − xy + − = ( x − y ) ( 16 xy − ) x + y + = ( ) Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………………………… Số báo danh: ……………………………… trình ĐÁP ÁN Câu ( ID: 79345 ) (3 điểm) 2,0đ - Tập xác định: D = R 0,25đ - Sự biến thiên: Ta có y ' = x − x x = y ' = ⇔ 3x − x ⇔ x = 0,5đ - Cực trị: xCD = 0, y = y ( ) = 2; xCT = 2, yCT = y ( ) = −2 0,25đ y = +∞, lim y = −∞ - Giới hạn: xlim →+∞ x →−∞ 0,25đ - Bảng biến thiên 0,25đ - Đồ thị: Bảng số giá trị (Tâm đối xứng đồ thị (C) điểm I ( 1; ) 0,25đ Gọi M ( x0 , y0 ) điểm thuộc đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) M có dạng y = y ' ( x0 ) ( x − x0 + y0 ) 0,25đ Vì tiếp tuyến song song với y = 2014 − 3x nên y ' ( x0 ) = −3 ⇔ x0 = 0,25đ Với x0 = y0 = − 3.1 + = 0,25đ Vậy phương trình tiếp tuyến y = −3 ( x − 1) + ⇔ y = −3x + 0,25đ Câu ( ID: 79346 ) (3 điểm) Ta có PT ⇔ 1.0đ π sin x − cos x = ⇔ sin x − ÷ = 2 3 0,5đ ⇔ x− x= π π 5π = + k 2π ⇔ x = + k 2π , k ∈ Z Vậy phương trình cho có nghiệm 5π + k 2π , k ∈ Z 0,5đ 1.0đ Số tự nhiên có chữ số có dạng ab với a ∈ { 1, 2,3, 4} b ∈ { 0,1, 2,3, 4} , a ≠ b 0,5đ Có cách chọn chữ số a Với cách chọn a có cách chọn chữ số b Theo quy tắc nhân, có tất 4.4=16 số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán 0,5đ 1.0đ x Ta có: y ' = e ( x + x − ) Và y ' = x = ∈ [ 1;3] Tính toán ta x = −3 ∉ [ 1;3] y = y ( 3) = e3 y = y ( ) = −3e Vậy max [ 1;3] [ 1;3] 0,25đ 0,5đ 0,25đ Câu ( ID: 79348 ) (2 điểm) 1,5đ 0,25đ Gọi H hình chiếu vuông góc S ( ABCD ) Vì S ABCD hình chóp tứ giác nên H tâm hình vuông ABCD Vậy H giao điểm đường chéo AC BD Đường cao hình chóp SH Cạnh bên SB cắt mặt đáy ( ABCD ) B Vậy góc tạo cạnh bên · mặt đáy góc SBH = 600 Ta có BH = 0,25đ 1 a BD = BC + CD = 2 0,25đ Tam giác SHB vuông H nên a a a · SH = BH tan SBH = tan 600 = 3= 2 0,25đ Gọi M trung điểm AB N hình chiếu vuông góc H SN Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có: 1 a = + ⇒ HN = 2 NH HM SH 14 Chứng minh HN ⊥ ( SAB ) 0,25đ Vì CD / / ( SAB ) nên d ( SA, CD ) = d ( CD, ( SAB ) ) = 2.d ( H , ( SAB ) ) Vậy d ( SA, CD ) = 2.HN = a 0,25đ 0,5đ 2 Diện tích hình vuông S ABCD = AB = a (đvdt) 0,25đ 1 a a3 Vậy thể tích khối chóp V = S ABCD SH = a (đvtt) = 3 0,25đ Câu ( ID: 79349 ) (1 điểm) Vì AB qua A M nên đường thẳng AB có phương trình y = x Ta có AB ∩ BC = B ( 0; ) 0,25đ Gọi d đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng y = x − Phương trình d y = − x Giao điểm hai đường thẳng H ( 1; −1) Gọi B’ điểm · đối xứng với B qua đường phân giác góc BAC B’ nằm đường thẳng AC H trung điểm BB’ Tìm B ' ( 2; −2 ) Đường thẳng AC qua A, B’ nên có phương trình 8 y = x − Như AC ∩ BC = C ; ÷ 3 0,50đ Dễ thấy BC = , h = d ( A, BC ) = Vậy S ∆ABC = h.BC = (đvdt) 3 0,25đ Câu ( ID: 79352 ) (1 điểm) 3 ĐK x ≥ 0, y ≥ Đặt u = x − xy + 1, v = y − xy + ⇒ ( x − y ) = ( u + v ) − 3 Từ suy u + v ≥ ( 1) 0,25đ u + v3 u + v + 3 Phương trình đầu hệ trở thành u + v − = ( u + v ) − ⇔ = ( ) Từ (1) (2) suy u + v ≥ > ( 3) Ta chứng minh u + v3 u + v ≥ ÷ ( ) , với u, v thỏa mãn u+v+2 u+v (3) Đẳng thức (4) xảy u = v Từ (2) (4) dẫn tới ≥ ÷ ( ) ⇔ ( u + v − ) ( u + v + 1) + ≤ ⇔ u + v ≤ ( ) 0,25đ Từ ( 3) , ( ) ⇒ u + v = Từ (2) suy u + v = hay ( x − y ) = ⇔ x = y Thử lại, thấy x = y thỏa mãn phương trình đầu hệ Vậy x − xy + + y − xy + − = ( x − y ) ⇔ x = y 0,25đ Thế y = x vào phương trình thứ hai hệ phương trình cho, ta ( 16 x − ) x + = ( ) Ta thấy x = không nghiệm (6) Với x > (6) trở thành 8x + = ( ) Áp dụng BĐT Cô si (Cauchy) x 8x2 + 1 1 = 8x2 + + + + ≥ x x x x x 2 Nên ( ) ⇔ x = x ⇔x= 1 Dẫn tới ( ) ⇔ x = Tức HPT ⇔ x = y = Vậy hệ 4 1 1 phương trình cho có nghiệm ; ÷ 4 4 0,25đ Ghi chú: Để giải phương trình (6) ta đặt t = x , t ≥ , (6) trở thành t − 5t + = ⇔ ( t − 1) Từ tìm x = y = (t + 2t + 3t + ) = ⇔ t = (do t ≥ )